第65講 凸集與凸包

第65講凸集與凸包本節(jié)主要內(nèi)容是：凸集、凸包的概念以及用凸集凸包來(lái)解有關(guān)的題.凸集：平面上的點(diǎn)集，如果任何兩點(diǎn)在這個(gè)點(diǎn)集內(nèi)，則連這兩點(diǎn)的線(xiàn)段上的所有的點(diǎn)也在此點(diǎn)集內(nèi)，就說(shuō)該點(diǎn)集是一個(gè)凸集.線(xiàn)段、射線(xiàn)、直線(xiàn)、圓及帶形、整個(gè)平面等都是凸集.兩個(gè)凸集的交集還是凸集；任意多個(gè)凸集的交集也仍是凸集.凸包：每個(gè)平面點(diǎn)集都可用凸集去蓋住它，所有蓋住某個(gè)平面點(diǎn)集的凸集的交集就是這個(gè)平面點(diǎn)集的凸包.或者可以形象地說(shuō)：如果把平面上的點(diǎn)集的每個(gè)點(diǎn)都插上一根針，然后用一根橡皮筋套在這些針外，當(dāng)橡皮筋收緊時(shí)橡皮筋圍出的圖形就是這個(gè)點(diǎn)集的凸包.平面點(diǎn)集的直徑平面點(diǎn)集中的任意兩點(diǎn)距離的最大值稱(chēng)為這個(gè)平面點(diǎn)集的直徑.例如，圓的直徑就是其直徑，有無(wú)數(shù)條；線(xiàn)段的直徑就是其本身；正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)組成的點(diǎn)集的直徑就是其邊長(zhǎng)，有三條；平行四邊形的直徑是其較長(zhǎng)的對(duì)角線(xiàn)；….A類(lèi)例題例1定理任何一個(gè)平面點(diǎn)集的凸包是存在且唯一的.分析存在惟一性的證明，即證明滿(mǎn)足某條件的集A存在且惟一存在.通常先證明存在性，即證明有滿(mǎn)足條件的集合A.再用反證法證明惟一性，即若滿(mǎn)足條件的集A不惟一，或說(shuō)明會(huì)引出矛盾，或得出其余集均必需與A相等的結(jié)論.證明由于全平面是一個(gè)凸集，故任何平面點(diǎn)集都可用全平面蓋住，即能被凸集蓋住，從而蓋住該凸集的所有凸集的交集存在，即凸包存在.而如果某個(gè)凸集A有兩個(gè)凸包M1與M2，則M1HM2也能蓋住凸集A，且MnMuM，但M是A的凸包，故MuMAM，故MAM=M.同_J_[11<^—2.rj..，j2.TJ..i.aI—J-J|1Lr，^^^〔11J-'J.―，ii.rj.―i.rj...IJ._L理m1am2=m2.即m1=m2.

例2定理如果一個(gè)點(diǎn)集M是由有限個(gè)點(diǎn)組成，且其中至少有三個(gè)點(diǎn)不共線(xiàn)，則M的凸包是一個(gè)凸多邊形.分析可以構(gòu)造一個(gè)尋找凸包的方法，來(lái)說(shuō)明命題的正確性.證明由于M為有限點(diǎn)集，故存在一條直線(xiàn)I，使M中的一個(gè)或幾個(gè)點(diǎn)在l上，其余的點(diǎn)都在l同旁（這只要任畫(huà)一條直線(xiàn)，如果點(diǎn)集M中的點(diǎn)在直線(xiàn)l的兩旁，則讓直線(xiàn)按與此直線(xiàn)垂直的方向平移，即可得到滿(mǎn)足要求的直線(xiàn)）.取l上的兩個(gè)方向中的一個(gè)方向?yàn)檎?，此時(shí)，按此正向，不妨設(shè)M中不在l上的點(diǎn)都在l的左邊.在l上沿其正向找出M中的最后一個(gè)點(diǎn)A1，把l繞A1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，直到遇到M中的另外的點(diǎn)，又找出此時(shí)l上的M中的最后一個(gè)點(diǎn)A2，此時(shí)再讓l繞A2逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，依此類(lèi)推，直到最后繞Ak旋轉(zhuǎn)又遇到A1為止（由于M是有限點(diǎn)集，故這樣的旋轉(zhuǎn)不可能一起下去）.這時(shí)，凸多邊形A]A2"Ak即為M的凸包.情景再現(xiàn)證明圓面（圓及圓內(nèi)所有的點(diǎn)組成的集合）是凸集.平面上任意給定5個(gè)點(diǎn)，其中任三點(diǎn)不共線(xiàn)，則可選出4個(gè)點(diǎn)，這四點(diǎn)能構(gòu)成一個(gè)凸四邊形的四個(gè)頂點(diǎn).B類(lèi)例題例3海萊定理：定理（海萊定理）對(duì)于若干個(gè)（個(gè)數(shù)nN3）凸集，如果任意三個(gè)凸集都有一個(gè)公共點(diǎn)，那么存在一個(gè)點(diǎn)同時(shí)屬于每個(gè)凸集.分析先證明簡(jiǎn)單情況，再用數(shù)學(xué)歸納法證明本定理.證明對(duì)于n=3，顯然成立.當(dāng)n>3時(shí)，先取4個(gè)這樣的凸集.F1，F(xiàn)2,F3,F4.

設(shè)占PGFnFCF,占PGFnFCF,占PGFnFCF,占八、、工［~￡"Iqll4，八、、工］~^［llqll」，八、、Aq~L11O'A，八'、jl4。jl。。P4GFinF2nF3?若pppp中有兩個(gè)點(diǎn)重合例如p—p則pgfnfnf右P〔、廠(chǎng)少、P3、P4兩,P1—P2,PjGF］F2F3L。Z-tZ-tnF4；設(shè)此四點(diǎn)互不相同.⑴若此四點(diǎn)中有三點(diǎn)共線(xiàn)，例如P1、p2、p3共線(xiàn)，且P2在P1、p3之間，則P2GF1nF2nF3nF4；(2)若此四點(diǎn)中無(wú)二點(diǎn)共線(xiàn)由上可知APPPlF\pppfA\乙/右凸T——女，由LiJKM公廠(chǎng)1廠(chǎng)7廠(chǎng)］JF/公P}P^P.^F，公4。r"jl匕1。P1P3P4JF2，A尸2P3P4JF1，此時(shí)，若P］、p2、p3、p4的凸包為凸四邊形，則此凸四邊形對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)XG此四個(gè)三角形；C若ppP戶(hù)的iA句為二角正柘il力rtiA句為lililp②1若P］、p^、P3、P4的凸包為一角形，例如凸包為APP2P3，則P4G此四個(gè)三角形.總之，存在點(diǎn)^GF1nF2nF3nF4.即對(duì)于n=4定理成立.當(dāng)n>4時(shí)，易用數(shù)學(xué)歸納法證明.說(shuō)明請(qǐng)讀者完成用數(shù)學(xué)歸納法證明一般情況.例4平面上任給5個(gè)點(diǎn)，以久表示這些點(diǎn)間最大的距離與最小的距離之比，證明：4N2sin54。.(1985年全國(guó)聯(lián)賽)AA分析這類(lèi)問(wèn)題總是先作出凸包，再根據(jù)凸包的形狀分類(lèi)證明.這樣分類(lèi)證明問(wèn)題可以使每一類(lèi)的解決都不困難，從而使問(wèn)題得到解決.證明⑴若此五點(diǎn)中有三點(diǎn)共線(xiàn)，例如a、b、C三點(diǎn)共線(xiàn)，不妨設(shè)B在A(yíng)、C之間，則AB與BC必有一較大者.不妨設(shè)ABNBC.則BC已2>2sin54°.⑵設(shè)此五點(diǎn)中無(wú)三點(diǎn)共線(xiàn)的情況.若此五點(diǎn)的凸包為正五邊形.則其五個(gè)內(nèi)角都=108。.五點(diǎn)的連線(xiàn)只有兩種長(zhǎng)度：正五邊形的邊長(zhǎng)與對(duì)角線(xiàn)，而此對(duì)角線(xiàn)與邊長(zhǎng)之比為2sin54。.若此五點(diǎn)的凸包為凸五邊形.則其五個(gè)內(nèi)角中至少有一個(gè)內(nèi)角N108°.設(shè)NEABN108。，且EA^AB，則/AEBW36。,=2cosEN2cos36°=2sin54°..BEsin(B+E),sin2E'*AB=sinE=2cosEN2cos36°=2sin54°.若此五點(diǎn)的凸包為凸四邊形ABCD,點(diǎn)E在其內(nèi)部，連AC,設(shè)點(diǎn)E在A(yíng)ABC內(nèi)部，貝g/AEB、ZBEC＞ZCEA中至少有一個(gè)角N120°＞108。，由上證可知，結(jié)論成立.若此五點(diǎn)的凸包為三角形ABC，則形內(nèi)有兩點(diǎn)D、E，則ZADB、ZBDC.ZCDA中必有一個(gè)角N120。，結(jié)論成立.鏈接海爾布朗(Heilbron)問(wèn)題：設(shè)平面上給定n個(gè)點(diǎn)，每?jī)牲c(diǎn)間距離的最大值與最小值的比為匕，求、的下確界..也sin7現(xiàn)在得到的結(jié)論有快＞\'2；"22sin54。,卜＞2cos'-\＞2，人＞，4'5'6107'8兀sin,猜測(cè)七＞2cosf.例5每個(gè)有界平面點(diǎn)集，都有且只有一個(gè)蓋住它的最小圓.如果這個(gè)集合是凸集，那么在這個(gè)圓上或者有此凸集的兩個(gè)點(diǎn)，這兩點(diǎn)是此圓的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)；或者有此集的三個(gè)點(diǎn)，此三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是銳角三角形.分析由于“有界平面點(diǎn)集”這一概念涉及點(diǎn)集廣泛，所以要就一般情況來(lái)討論.但仍可采取從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的辦法，先解決簡(jiǎn)單的情況，以此為基礎(chǔ)再解決一般情況.

證明首先，若M是平面有界點(diǎn)集，故可以作一B個(gè)半徑足夠大的圓把它蓋住.B在所有蓋住M的圓中有且只有1個(gè)最小圓，如果有兩個(gè)最小圓。^、。。2蓋住M（顯然這兩個(gè)圓半徑應(yīng)該相等），此二圓不重合，且都蓋住了M,于是其公共部分也蓋住了M.以此二圓的公共弦為直徑作圓0,則此圓蓋住了兩圓的公共部分，于是也蓋住了M，但此圓比。0］、。02小.現(xiàn)證明此結(jié)論的后面部分：1。首先，蓋住有界凸集M的最小圓與M如果沒(méi)有公共點(diǎn)（圖1），保持圓心0不動(dòng)，縮小其半徑，直到與M有公共點(diǎn)為止，此時(shí)，蓋住M的圓半徑的半徑變小.⑴⑵⑶2。如果蓋住M的圓與M只有唯一的公共點(diǎn)（圖2），則沿半徑方向稍移動(dòng)圓，又得1。⑴⑵⑶3。如果M上有兩個(gè)點(diǎn)A、B在圓上，這兩點(diǎn)不是同一條直徑的端點(diǎn)，且優(yōu)弧AB上沒(méi)有圓上的點(diǎn)，則沿與AB垂直的方向移動(dòng)圓即可得到1。.例6設(shè)G是凸集，其面積用g表示，且其邊界不包括直線(xiàn)段與尖點(diǎn)（即過(guò)其邊界上每一點(diǎn)都有一條切線(xiàn)且每條切線(xiàn)與G的邊界只有一個(gè)公共點(diǎn)）.設(shè)PQRS是G的外切四邊形中面積最小的一個(gè)，A，B，C，D分別是它的四條邊與G的邊界的切點(diǎn).則ABCD是面積大于《的平行四邊形.分析利用微調(diào)來(lái)說(shuō)明本題.證明先證明一個(gè)引理：若A是PQ上的切點(diǎn)，則A為PQ的中點(diǎn).反設(shè)A不是PQ的中點(diǎn)，不妨設(shè)AP>AQ，現(xiàn)把點(diǎn)A向P微移到A',切線(xiàn)PQ移動(dòng)為PQ(如圖)，只要A'足夠靠近A,就仍有A'P>A'Q'.設(shè)PQ、PQ交于點(diǎn)。，則O、A、A'三點(diǎn)充分靠近.?.?OP'>OQ'，OP>OQ.于是SAopp>Saoqq,.此時(shí)SPQrs=Spqrs+Saoqq—Saopp〈Spqrs，即得出比pQRS面積還要小的外切四邊形.與PQRS最小的假設(shè)矛盾.于是得A為PQ中點(diǎn).同理B、C、D分別為相應(yīng)邊的中點(diǎn).因順次連結(jié)四邊形各邊中點(diǎn)得到的是平行四邊形.即ABCD是平行四邊形．而SPQRS>g，所以SABCD='2SPQRS>^2S'說(shuō)明本題的證明含有連續(xù)與極限的思想.情景再現(xiàn)在平面上有n(nN4)個(gè)點(diǎn)組成的點(diǎn)集M，如果任取其中4個(gè)點(diǎn)都是凸四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，則此n個(gè)點(diǎn)是一個(gè)凸n邊形的頂點(diǎn).平面上任意給出6個(gè)點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)不在一條直線(xiàn)上，證明：在這6個(gè)點(diǎn)中，可以找到3個(gè)點(diǎn)，使這3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形有一個(gè)角不小于120.在由n(nN3)個(gè)點(diǎn)組成的點(diǎn)集M中，如果有一個(gè)點(diǎn)至少是三條直徑的端點(diǎn)，則M中必有一點(diǎn)至多是一條直徑的端點(diǎn).是否任意一個(gè)凸四邊形都可用折線(xiàn)分成兩部分，使每部分的直徑都小于原四邊形的直徑？C類(lèi)例題例7設(shè)A、B是平面上兩個(gè)有限點(diǎn)集，無(wú)公共元素，且AUB中任意三點(diǎn)都不共線(xiàn)，如果A、B中至少有一者的點(diǎn)數(shù)不少于5個(gè)，證明存在一

個(gè)三角形，它的頂點(diǎn)全在A(yíng)中或全在B中，它的內(nèi)部沒(méi)有另一個(gè)集合中的點(diǎn).（IMO—25預(yù)選題）分析抓住5點(diǎn)組來(lái)討論.證明設(shè)集合A中的點(diǎn)不小于5個(gè)，從中選出5個(gè)點(diǎn)A1、A2、A3、A4、A5，使這5點(diǎn)的凸包內(nèi)沒(méi)有其他A的點(diǎn)，否則可用其內(nèi)部的點(diǎn)來(lái)代替原來(lái)的某些點(diǎn).⑴若此凸包為五邊力形取△《AAAAAAAAAA若這三個(gè)t^yCJJ-LA^/l/，/—A.A^A^、AAAjAqA」、AAAjAqAq，三角形中的任何一個(gè)內(nèi)部無(wú)集合B中的點(diǎn)，則此三角形即為所求，若此三個(gè)三角形內(nèi)都有B中的點(diǎn)則在每個(gè)三角形內(nèi)取一個(gè)B中的點(diǎn)，這三點(diǎn)連成的三角形內(nèi)部沒(méi)有A中的點(diǎn).⑵若此凸包為四邊形AiA2A3A4，內(nèi)部有一個(gè)點(diǎn)A5，則可連得4個(gè)三角形.AAAAAAAAAAAAAAAA若任—個(gè)內(nèi)部沒(méi)有B.八處吏］處2、八處5處2處3、八處5處3處4、八A5A4A1，B中的點(diǎn)，則此三角形即為所求，若每個(gè)三角形內(nèi)部都有8中的點(diǎn)，則每個(gè)三角形內(nèi)取一個(gè)B中的點(diǎn)，連成兩個(gè)互不重疊的三角形，其中至少有一個(gè)三角形內(nèi)部沒(méi)有A中的點(diǎn)，即為所求.⑶若此凸包為三角形，內(nèi)部有兩個(gè)點(diǎn)，則可把凸包分成5個(gè)三角形，如果每個(gè)三角形內(nèi)都有B中的點(diǎn)則5個(gè)點(diǎn)分布在直線(xiàn)A4A5兩側(cè)，必有一側(cè)有其中三個(gè)點(diǎn)，這三點(diǎn)連成的三角形內(nèi)就沒(méi)有A中的點(diǎn).說(shuō)明題中有“不少于5點(diǎn)”的條件，所以就只要研究5個(gè)點(diǎn)的情況.例8平面上任給5個(gè)點(diǎn)，其中任3點(diǎn)不共線(xiàn)，則在以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形中，至多有7個(gè)銳角三角形.證明5個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形共有10個(gè).⑴若這5點(diǎn)的凸包為凸五邊形，這個(gè)五邊形至少有兩個(gè)角非銳角（因五邊形內(nèi)角和為540。，若五邊形的內(nèi)角中有4個(gè)銳角，則此4個(gè)角的和W360。，于是另一個(gè)角N180。）.這兩個(gè)非銳角相鄰或不相鄰.

①若兩個(gè)非銳角相鄰，如圖中A、B非銳角，連BE,則四邊形BCDE至少有一個(gè)角非銳角，于是圖中至少有3個(gè)角非銳角，即至少有三個(gè)非銳角三角形.從而至多有7個(gè)銳角三角形.②若兩個(gè)非銳角不相鄰，如圖中A、C非銳角，^^EAB、ABCD非銳角三角形.連AC，則四邊形ACDE中至少有一個(gè)非銳角，于是圖中至少有三個(gè)非銳角三角形，即至多有7個(gè)銳角三角形.⑵若這個(gè)凸包為四邊形ABCD，E在形內(nèi).則四邊形ABCD至少有一個(gè)內(nèi)角非銳角，ZAEB.ZBEC.ZCED.ZEDA中至少有一個(gè)非銳角（否則四個(gè)角的和少于360。），ZAEC、ZBED中至少有一個(gè)非銳角（否則ZBEC>180。），于是圖中至多有7個(gè)銳角三角形，⑶若凸包為三角形ABC，D、E在形內(nèi)，則ZADB、ZBDC、ZCDA中至多有一個(gè)銳角，/AEB、/BEC、/CEA中至多有一個(gè)銳角，即圖中至多有6個(gè)銳角三角形.綜上可知，結(jié)論成立.說(shuō)明利用五點(diǎn)組的特點(diǎn)解決問(wèn)題.本題即是下面情景再現(xiàn)第7題的引理.情景再現(xiàn)平面上任給100個(gè)點(diǎn)，其中任3點(diǎn)不共線(xiàn)，則在以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形中，至多有70%的三角形是銳角三角形.（IMO—12—6）設(shè)G是凸集，其面積用g表示，且其邊界不包括直線(xiàn)段與尖點(diǎn)（即過(guò)其邊界上每一點(diǎn)都有一條切線(xiàn)且每條切線(xiàn)與G的邊界只有一個(gè)公共點(diǎn)）.ABCD是G的所有內(nèi)接四邊形中面積最大的一個(gè)，過(guò)A，B，C，D作G的切線(xiàn)得到四邊形PQRS.證明:PQRS是G的面積小于2g的外切平行四邊形.習(xí)題65(1)證明：平面點(diǎn)集M的直徑等于它的凸包M的直徑.⑵由n(3Wn<+8)個(gè)點(diǎn)組成的平面點(diǎn)集共有k條直徑，證明kWn.證明：一個(gè)平面凸集的直徑如果不止一條則任何兩條直徑都相交，在平面上給出n個(gè)點(diǎn)，它們中的任意三點(diǎn)都能被一個(gè)半徑為1的圓蓋住，證明：這n個(gè)點(diǎn)能被半徑為1的圓蓋住.平面點(diǎn)集M的對(duì)稱(chēng)軸的并集為L(zhǎng)，L的對(duì)稱(chēng)軸的并集為S，求證：LS.平面上五點(diǎn)，無(wú)三點(diǎn)共線(xiàn)，每三點(diǎn)連出一個(gè)三角形，最多可以連出多少個(gè)鈍角三角形？最少可以連出多少個(gè)鈍角三角形？于面上任給4個(gè)點(diǎn)，這四點(diǎn)連成的線(xiàn)段中最長(zhǎng)與最短的線(xiàn)段的長(zhǎng)度比巳寸五給定n個(gè)點(diǎn)無(wú)三點(diǎn)共線(xiàn)，每三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)組成一個(gè)三角形，每個(gè)三角形都有一個(gè)面積，令最大面積與最小面積的比為與，證明：冬巳1；與巳與1(還可證％巳3，但灼也沒(méi)有解決)包含平面點(diǎn)集S的最小圓的半徑用符號(hào)r(S)表示.如果點(diǎn)A、B、C之間的距離小于點(diǎn)A，、B\C之間的相應(yīng)距離，那么，r(A、B、C)<r(A\B\C').本節(jié)“情景再現(xiàn)”解答：證明任取一個(gè)圓。0，其半徑=r>0，在圓面上任取兩點(diǎn)A，B，則0AWr，0BWr.作0C±AB于C，對(duì)于A(yíng)B上任意一/"一一點(diǎn)。，則D必至少與A、B之一在C的同側(cè)，設(shè)D與A；pW、B\在C的同側(cè)，則0D<0AWr，故D在。0內(nèi)部.故圓面A七，:為凸集.J證明⑴若此五點(diǎn)的凸包為五邊形，則可去掉一點(diǎn)，余下四點(diǎn)即是一個(gè)凸四邊形的四個(gè)頂點(diǎn).

⑵若此凸包為四邊形，則凸包即為所求；⑶若此凸包為三角形，設(shè)為AABC，于是形內(nèi)有兩點(diǎn)，設(shè)為P、Q,直線(xiàn)PQ把平面分成兩部分，A、B、C三點(diǎn)在此兩部分內(nèi)，故必有一部分中有其中兩點(diǎn)，例如B、C在PQ同側(cè)，則P、Q、B、C即為所求的四點(diǎn).3.證明這n個(gè)點(diǎn)的凸包是一個(gè)凸多邊形ABCD…，由例2知，此凸多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)都是M中的點(diǎn).設(shè)M中某點(diǎn)（設(shè)為P）不是此多邊形的頂點(diǎn)，則P/pQ\在凸包多邊形的內(nèi)部或邊上.連凸包多邊形的所有過(guò)A/\的對(duì)角線(xiàn)，把凸包多邊形分成若干個(gè)三角形，于是PB，C必在某個(gè)三角形內(nèi)部或邊上，設(shè)在△ABCD內(nèi)部或邊上，則A、B、C、P四點(diǎn)就不是凸四邊形的頂點(diǎn)，矛盾.故證.4.證明⑴若這6點(diǎn)的凸包為三AA\Df「"/7\EE角形ABC，形內(nèi)有三、片點(diǎn)D、E、F，則匕B《ADB、/BDC、/七A^—-'BA^—CDA中至少有一個(gè)角N120。，設(shè)NADBN120。，則^ADB即為滿(mǎn)足要求的三角形.⑵若這6點(diǎn)的凸包為四邊形ABCD，形內(nèi)有兩點(diǎn)E、F連AC把四邊形分成兩個(gè)三角形，則至少有一個(gè)三角形內(nèi)有一點(diǎn)，例如^ABC內(nèi)有一點(diǎn)E，則據(jù)上證可知結(jié)論成立；⑶若這6點(diǎn)的凸包為五邊形ABCDE，F(xiàn)為形內(nèi)一點(diǎn)，則ZAFC+ZCFE+ZEFB+ZBFD+ZDF4=360OX2=720°，從而這5個(gè)角中必有一/一720°個(gè)角^720=144°>120°.（也可連AC、AD把五邊形分成三個(gè)三角形來(lái)證）⑷若這6個(gè)點(diǎn)的凸包為六邊形，由于六邊形的內(nèi)角和為4X180°=720°，故至少有一個(gè)內(nèi)角巳穿=120°.65.證明設(shè)M的直徑為乙且AB、AC、AD是三條直徑，且AB在

/CAD內(nèi)部.分別以A、B為圓心』為半徑作圓則M必在二圓的公共部分中，如果從點(diǎn)B還能引出一條直徑BE(ENA),不妨設(shè)E與C在A(yíng)B的同側(cè)，于是四邊形ADBE為凸四邊形，從而AB+DE>AD+BE.得DE>d.這與直徑定義矛盾.6.解：設(shè)凸四邊形人8。。中，AABC為正三角形，邊長(zhǎng)為d.點(diǎn)D到A、B、C的距離都VAB，則此四邊形有三條直徑.一條折線(xiàn)無(wú)論才把48。。分成怎樣的兩部分，A、B、D三點(diǎn)中總有兩點(diǎn)在同一部分.于是這一部分的直徑仍為d.7.解100個(gè)點(diǎn)中，共可組成C]*。個(gè)三角形，每次取5個(gè)點(diǎn)共有C]00個(gè)五點(diǎn)組.每個(gè)五點(diǎn)組中都至多有7個(gè)銳角三角形.而每個(gè)三角形都在7C5故銳角三角形至多占C2個(gè)五點(diǎn)組中，因此，銳角三角形至多-C^個(gè),C297故銳角三角形至多占7C5nd=70%.971008.證明根據(jù)以下一個(gè)顯然的事實(shí)：A、B為G的弧上兩個(gè)定點(diǎn)，C為弧上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)G的在點(diǎn)C處的切線(xiàn)MN//AB時(shí)，△ABC的面積取得最大值.設(shè)ABCD是凸集G的內(nèi)接四邊形中面積最大者.連AC，固定A、C，則當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)B處的切線(xiàn)平行于A(yíng)C時(shí)^ACB的面積最大.于是知當(dāng)且僅當(dāng)B、D處的切線(xiàn)都平行于A(yíng)C時(shí)ABCD的面積才能最大，同理連BD，仍有A、C處的切線(xiàn)平行于BD時(shí)，ABCD的面積最大，即PQRS是平行四邊形.,SPQRS—2SABCD〈2g.“習(xí)題67”解答：1.(1)證明：M，的直徑為d，，而M的直徑為d.設(shè)A、B是M中距離等于d的兩個(gè)點(diǎn).,/M，蓋住M，由于M制，，故A、BWM'.于是d，Nd；

又若d>d,即凸包上有兩點(diǎn)A，、B，,使AB>d,于是必存在點(diǎn)CfGArBf,使ArC上沒(méi)有M的點(diǎn).于是可以用更小的凸集蓋住M,與凸包定義矛盾.⑵證明：n=3時(shí)，3個(gè)點(diǎn)的點(diǎn)集最多連出3條線(xiàn)段，即至多有3條直徑，而正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)所成的集合恰有3條直徑.即kWn成立.設(shè)有n-1個(gè)點(diǎn)的點(diǎn)集的直徑數(shù)Wn—1.對(duì)于n個(gè)點(diǎn)的點(diǎn)集，若點(diǎn)集中的每個(gè)點(diǎn)引出的直徑數(shù)W2,則直徑數(shù)W2n尋2=n.若有某點(diǎn)引出的直徑數(shù)巳3,則必有一點(diǎn)，該點(diǎn)引出的直徑數(shù)為1.去掉此點(diǎn)，則由歸納假設(shè)，余下n—1點(diǎn)的直徑數(shù)Wn—1，故原來(lái)的直徑數(shù)Wn.故證.證明：設(shè)AB、CD是平面凸集的兩條不相交的直徑.則A、B、C、D的凸包為線(xiàn)段，這不可能.A、B、C、D的凸包若為三角形ABC,D在^ABC內(nèi)，有BD〈max{BC、BA}WAB.矛盾.若A、B、C、D的凸包為四邊形ABCD，貝AC+BD>AB+CD，于是AC、BD中至少有一個(gè)〉A(chǔ)B,與AB為直徑矛盾.證明：n=3時(shí)命題顯然成立，對(duì)于〃=4.。0］、。02、。03、。。4的半徑都為r,OOl蓋住P2、pp.go蓋住ppp.go蓋住ppp.go蓋住ppP】、P；O^m|土Pj、P】、P；Oqm|土Pj、P、P,O^m|土p〔、p、。匕1jl。。jl匕1jl匕1P3.現(xiàn)以P］、P2、P3、P4為圓心，作半徑為r的圓.于是O1在GP2、Gp3、gp4內(nèi)，從而gp2、gp3、gp4有公共點(diǎn)，由此可知，gP］、gp2、gp3、gp4中任意三個(gè)都有公共點(diǎn)，由海萊定理，為四個(gè)圓有一個(gè)公共點(diǎn).設(shè)此點(diǎn)為Q,由于點(diǎn)Q在四個(gè)圓內(nèi)，故Q到P］、P2、P3、P4的距離都不超過(guò)r,從而以Q為圓心，r為半徑作圓可把P］、P2、P3、P4蓋住.以上證明對(duì)于n個(gè)點(diǎn)也成立.證明：若凸集F只有1條對(duì)稱(chēng)軸1,則史乙，但l也是自己的對(duì)稱(chēng)軸，故仁S.于是LjS.若F的對(duì)稱(chēng)軸不只1條，任取其一條對(duì)稱(chēng)軸11，則l1cL,只要證明l1cS即

可.即只要證明對(duì)于F的任一對(duì)稱(chēng)軸12,其對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)13也是F的對(duì)稱(chēng)軸.取F的任一點(diǎn)P,PEF，由于11是F的對(duì)稱(chēng)軸，則P關(guān)于11的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P聲F.同理，P1關(guān)于12的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P2EF,P2關(guān)于11的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P3EF.但P3與P關(guān)于13對(duì)稱(chēng).即13是F的對(duì)稱(chēng)軸.故證.解：最多可以連出10個(gè)鈍角三角形（如圖，以AB為直徑作半圓面，內(nèi)取一點(diǎn)。，以BC、AC為直徑作半圓面，三個(gè)半圓面的交的內(nèi)部取點(diǎn)&以BE、AE為直徑作半圓，五個(gè)半圓面的交內(nèi)取點(diǎn)D，則10個(gè)三角形都是鈍角三角形.例中已證至少3個(gè)鈍角三角形.（如圖可畫(huà)出只有3個(gè)鈍角三角形的情況）.證明設(shè)所求比為入.⑴如果其中有三點(diǎn)共線(xiàn)，例如A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)，不妨設(shè)B在A(yíng)、C之間，則AB與BC必有一較大者.不妨設(shè)ABNBC.貝入MAC巳2><!BC⑵如果此四點(diǎn)中無(wú)三點(diǎn)共線(xiàn)，則此四點(diǎn)的凸包A為四邊形或三角形.A①若此凸包為三角形，凸包三角形是直角三角形，三邊滿(mǎn)足aWb〈c.則c2=Q2+b2N2a2,從而入于W.a

凸包三角形是鈍角三角形，三邊滿(mǎn)足aWb<c，貝c2=b2+a一2abcosC>b2+a2N2a2,得入NCN《2.a，凸包三角形是銳角三角形ABC,則形內(nèi)有一點(diǎn)D,^\ADAB.△DBC.△DCA中，匕ADB+ZBDC+ZCDA=360。，故此三角不可能都W90。，否則此三角之和W270。，矛盾.即此三個(gè)三角形中至少有一個(gè)是鈍角三角形.由上證知，結(jié)論成立.②若此四點(diǎn)的凸包為四邊形，ABCD，則/ABC、/BCD、/CDA、/DAB不可能都是銳角.即至少有一個(gè)角非銳.設(shè)NABCN90。，則由上證知，結(jié)論成立.⑶當(dāng)此四點(diǎn)的凸包為正方形時(shí)，顯然有X=、/2綜上可知*克成立.解：正方形的冉=1，其余的情況冉>4.對(duì)于5點(diǎn)問(wèn)題，若凸包為三角形ABC，取形內(nèi)的一點(diǎn)D，則ADAB、△DBC、MCA中必有一個(gè)WAABC的面積的1.于是所求比與〉/^1.凸包為四邊形同此.若凸包為五邊形ABCDE，取面積最小的三角