第2講 隨機(jī)變量及其分布

第2講隨機(jī)變量及其分布［考情分析］離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、方差和概率的計(jì)算問題常常相結(jié)合在一起進(jìn)行考查，重點(diǎn)考查超幾何分布、二項(xiàng)分布及正態(tài)分布，以解答題為主，中等難度.考點(diǎn)一分布列的性質(zhì)及應(yīng)用【核心提煉】離散型隨機(jī)變量x的分布列為Xx1X2…x.i…xnPP1P2…Pi…Prn貝U(l)p20,i=1,2,…，n.P1+P2+^+Pn=l.E(x)=xiPi+m+…+xPi+…+XPn.nD(X)=[x.-E(X)]2p.,i=1若Y=aX+b,貝UE(Y)=aE(X)+b,D(Y)=a2D(X.例1(1)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如表:X12345Pm0.10.2n0.3若離散型隨機(jī)變量Y=—3X+1,且E(X)=3,則()A.m=0.1B.n=0.3C.E(Y)=—8D.D(Y)=—7.8答案C解析由E(X)=1Xm+2X0.1+3X0.2+4Xn+5X0.3=3，得m+4n=0.7，又由m+0.1+0.2+n+0.3=1，得m+n=0.4，從而得m=0.3,n=0.1，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)錯(cuò)誤;

E(Y)=-3E(X)+1=-8,故C選項(xiàng)正確；因?yàn)镼(X)=0.3X(1-3)2+0.1X(2-3)2+0.1X(4-3)2+0.3X(5-3)2=2.6，所以D(Y)=(-3)2D(X)=23.4，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.1a.q=3C.k=2(2)已知隨機(jī)變量^的分布列如表所示，若E(G1a.q=3C.k=2亳kk-1Pa1—a2T)入—b.a=3D.k=|答案D解析由題意得E(^)=ka+(k-1)(1-a)=k-1+a,D(切二[k-(k-1+a)]2?a+[k-1-(k-1+a)]2-(1-a)=a(1-a).因?yàn)镋(滬D(?,所以k-1+a=a(1-a),所以k=1-a2,[aN0,又＜所以O(shè)WaW1,1-aN0,所以k=1-。2弓[0,1],故卜2不成立.規(guī)律方法分布列性質(zhì)的兩個(gè)作用利用分布列中各事件概率之和為1的性質(zhì)可求參數(shù)的值及檢查分布列的正確性.隨機(jī)變量X所取的值分別對(duì)應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點(diǎn)可以求隨機(jī)變量在某個(gè)范圍內(nèi)的概率.跟蹤演練1(1)已知隨機(jī)變量X,Y的分布列如下：X012P2ab

Ya1P2m則E(X).E(T)的最小值為()48A.則E(X).E(T)的最小值為()48A.1B.3C.2D.3答案D解析由分布列的性質(zhì)知，。+》+2=1,2+m=1,所以a+b=1,m=1,所以E(X)=QX1+1211211Xa+2Xb=a+2b，E⑺虧X3+bX偵履+3b，所以E(X)?E(Y)=(a+2b)P2+1]=2+2+4b+aN4+2\：4bXa-=8,V3a3b)333a3b"3\'3aX3b3當(dāng)且僅當(dāng)孕二土，即a=2b時(shí)等號(hào)成立，3a3b古攵E(X)?E(Y)的最小值為|.(2)(2021-紹興模擬)設(shè)a>Q,若隨機(jī)變量M的分布列如下:￡-1Q2Pa2a3a則下列方差值中最大的是()A.D(&B.D(峪I)C.D(2^-1)D.D(2崎I+1)答案C解析由題意知a+2a+3a=1,a=*,E(加-1乂6+。4+2冷二5,1八1-17E(峪I)=1X6+QX|+2X2=6,D(1XJ1-5)2+1X(Q-51+1打2-5)2空D?6XV6)23XkQ6)22XV26)236D(峪I)=*X〔1--2\|77-6-X1-2+27-&-sX1-3+2\|77-6D(合>1>D(I4)D(24-1)=4X53-53/D(2I{I+1)=4X29=29(s)>L^ry(!si),■(匕.1)369369.其中D(24-1)最大.考點(diǎn)二隨機(jī)變量的分布列【核心提煉】1.超幾何分布在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件｛X二幻發(fā)生的概率P(X=k)=CM^L-M,k=0,1,2，…，m，其中m=min｛M,n｝，且nWN,MWN,n,M,N6*CN2.二項(xiàng)分布一般地，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，則P(X=k)=Cnpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…，n.考向1二項(xiàng)分布例2為了加強(qiáng)食品安全監(jiān)管，某縣市場(chǎng)監(jiān)管局計(jì)劃添購(gòu)一批食品檢測(cè)儀器，符合這次采購(gòu)要求的檢測(cè)儀器只有甲、乙兩種型號(hào)，下表是該縣市場(chǎng)監(jiān)管局以往使用甲、乙兩種型號(hào)檢測(cè)儀器的使用年限及數(shù)量統(tǒng)計(jì)表.使用年限1年2年3年4年合計(jì)甲型號(hào)檢測(cè)儀器數(shù)量/臺(tái)287320乙型號(hào)檢測(cè)儀器數(shù)量/臺(tái)396220以頻率估計(jì)概率.分別從以往使用的甲、乙兩種檢測(cè)儀器中各隨機(jī)抽取一臺(tái)，求甲型號(hào)檢測(cè)儀器的使用年限比乙型號(hào)檢測(cè)儀器的使用年限恰好多1年的概率；若該縣市場(chǎng)監(jiān)管局購(gòu)買甲、乙兩種型號(hào)檢測(cè)儀器各2臺(tái)，記2年后仍可使用的檢測(cè)儀器的臺(tái)數(shù)為＜5求言的分布列與均值.解(1)記事件A,?為“從以往使用的甲型號(hào)檢測(cè)儀器中隨機(jī)抽取一臺(tái)，使用年限為，年”，事件Bj為“從以往使用的乙型號(hào)檢測(cè)儀器中隨機(jī)抽取一臺(tái)，使用年限為?年”，?=1,2,3,4,事件C為“從以往使用的甲、乙兩種型號(hào)檢測(cè)儀器中各隨機(jī)抽取一臺(tái)，甲型號(hào)檢測(cè)儀器的使用年限比乙型號(hào)檢測(cè)儀器的使用年限恰好多1年”，則

,//,83^79^36_21尸(C)_P(A2B1)+P(A3B2)+尸(A4B3)_onXxXonon.21324320202020202080由題意知甲型號(hào)檢測(cè)儀器2年后仍可使用的概率為2，乙型號(hào)檢測(cè)儀器2年后仍可使用的概率為5.設(shè)2年后仍可使用的甲型號(hào)檢測(cè)儀器有x臺(tái)，乙型號(hào)檢測(cè)儀器有y臺(tái)，易知X項(xiàng)2,9,y項(xiàng)2,2)由題意知￡的所有可能取值為0,1,2,3,4,且P(N0)=P(x=0,y=0)=Cgg)?2XC0?0(5)2二總，P(￡=1)=P(X=1,y=0)+P(X=0,Y=1)(D1?1XC2(!X5)2+C0(D0g)2Xc1(|)(|)3,P(￡=3)=P(X=2,Y=1)+P(X=1,Y=2)C2?2?0XC201(5)1+C?1(&Xc2?2(5)0二1，P(￡=4)=P(X=2,Y=2)=C母仰XC2X③③=25，P(￡=2)=1-P(￡=0)-P(￡=1)-P(￡=3)-P(￡=4)=而，所以￡的分布列為￡01234P9100_3_103710015X25所以E(￡)=0x2+1x3+2X里+3x]+4X【二9100101005255-考向2超幾何分布例3(2021-房山模擬)單板滑雪U型池比賽是冬奧會(huì)比賽中的一個(gè)項(xiàng)目，進(jìn)入決賽階段的12名運(yùn)動(dòng)員按照預(yù)賽成績(jī)由低到高的出場(chǎng)順序輪流進(jìn)行三次滑行，裁判員根據(jù)運(yùn)動(dòng)員的騰空高度、完成的動(dòng)作難度和效果進(jìn)行評(píng)分，最終取單次最高分作為比賽成績(jī).現(xiàn)有運(yùn)動(dòng)員甲、乙二人在2021賽季單板滑雪U型池世界杯分站比賽成績(jī)?nèi)缦卤?分站運(yùn)動(dòng)員甲的三次滑行成績(jī)運(yùn)動(dòng)員乙的三次滑行成績(jī)

分站運(yùn)動(dòng)員甲的三次滑行成績(jī)運(yùn)動(dòng)員乙的三次滑行成績(jī)第1次第2次第3次第1次第2次第3次第1站80.2086.2084.0380.1188.400第2站92.8082.1386.3179.3281.2288.60第3站79.10087.5089.1075.3687.10第4站84.0289.5086.7175.1388.2081.01第5站80.0279.3686.0085.4087.0487.70假設(shè)甲、乙二人每次比賽成績(jī)相互獨(dú)立.從上表5站中隨機(jī)選取1站，求在該站運(yùn)動(dòng)員甲的成績(jī)高于運(yùn)動(dòng)員乙的成績(jī)的概率；從上表5站中任意選取2站，用X表示這2站中甲的成績(jī)高于乙的成績(jī)的站數(shù)，求X的分布列和均值；假如從甲、乙2人中推薦1人參加2022年北京冬奧會(huì)單板滑雪U型池比賽，根據(jù)以上數(shù)據(jù)信息，你推薦誰參加，并說明理由.1——.——..——sr——、＞，，_,，、.,，(汪：萬差S2=n[(X]—x)2+(X2—x)2(xn—x)2]，其中X為％，X2，…，Xn的平均數(shù))解(1)設(shè)“該站運(yùn)動(dòng)員甲的成績(jī)高于該站運(yùn)動(dòng)員乙的成績(jī)”為事件A,運(yùn)動(dòng)員甲第1站、第2站、第3站、第4站、第5站的成績(jī)分別為86.20,92.80,87.50,89.50,86.00,運(yùn)動(dòng)員乙第1站、第2站、第3站、第4站、第5站的成績(jī)分別為88.40,88.60,89.10,88.20,87.70,其中第2站和第4站甲的成績(jī)高于乙的成績(jī)，所以P(A)=|,(2)X可能取的值為0,1,2，則P(P(X=0)=C0C2_3

—23—C510P(X—1)—P(X—2)—C2CP(X—1)—P(X—2)—C2C0_123—C510C2105所以X的分布列為X012P3E(X)—0X宣+1x3+2^———E(X)0X105105.推薦乙.甲5站的平均成績(jī)?yōu)門甲=1X(86.20+92.80+87.50+89.50+86.00)二88.40,乙5站的平均成績(jī)?yōu)門乙=1x(88.40+88.60+89.10+88.20+87.70)二88.40,甲5站成績(jī)的方差為s甲=5X[(88.40-86.20)2+(88.40-92.80)2+(88.40-87.50)2+(88.40-89.50)2+(88.40-86.00)2]=6.396,乙5站成績(jī)的方差為s乙=5X[(88.40-88.40)2+(88.40-88.60)2+(88.40-89.10)2+(88.40-88.20)2+(88.40-87.70)2]=0.212,7甲二；乙說明甲乙二人水平相當(dāng)，s甲*乙表明乙的發(fā)揮比甲的更穩(wěn)定，所以預(yù)測(cè)乙的成績(jī)會(huì)更好.規(guī)律方法求隨機(jī)變量X的均值與方差的方法及步驟理解隨機(jī)變量X的意義，寫出X可能的全部取值；求X取每個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，寫出隨機(jī)變量X的分布列；由均值和方差的計(jì)算公式，求得均值E(X)，方差D(X)；若隨機(jī)變量X的分布列為特殊分布列(如：兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布)，可利用特殊分布列的均值和方差的公式求解.跟蹤演練2隨著社會(huì)的發(fā)展，一些企業(yè)改變了針對(duì)應(yīng)屆畢業(yè)生的校園招聘方式，將線下招聘改為線上招聘.某世界五百?gòu)?qiáng)企業(yè)M的線上招聘方式分資料初審、筆試、面試這三個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行，資料初審?fù)ㄟ^后才能進(jìn)行筆試，筆試合格后才能參加面試，面試合格后便正式錄取，且這幾個(gè)環(huán)節(jié)能否通過相互獨(dú)立.現(xiàn)有甲、乙、丙三名大學(xué)生報(bào)名參加了企業(yè)M的線上招聘，并均已通過了資料初審環(huán)節(jié).假設(shè)甲通過筆試、面試的概率分別為2,3；乙通過筆試、面試21的概率分別為2,1；丙通過筆試、面試的概率與乙相同.求甲、乙、丙三人中至少有一人被企業(yè)M正式錄取的概率；為鼓勵(lì)優(yōu)秀大學(xué)生積極參與企業(yè)的招聘工作，企業(yè)M決定給報(bào)名參加應(yīng)聘且通過資料初審的大學(xué)生一定的補(bǔ)貼，補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn)如下表：參與環(huán)節(jié)筆試面試補(bǔ)貼(元)100200記甲、乙、丙三人獲得的所有補(bǔ)貼之和為X元，求X的分布列和均值.解(1)設(shè)事件A表示“甲被企業(yè)M正式錄取”，事件B表示“乙被企業(yè)M正式錄取”，事件C表示“丙被企業(yè)M正式錄取”，貝UP(A)=1\1=1,P(B)=P(C)=2x1=1,236323設(shè)事件D表示“甲、乙、丙三人都沒有被企業(yè)M正式錄取”，1027，則P(D)=P(~A~B~C)=P(~A)P(~B)P(~C)=(1-6所以甲、乙、丙三人中至少有一人被企業(yè)M正式錄取的概率為P=1-P(D)=11027，匕/匕/(2)X的所有可能取值為300,500,700,900,TOC\o"1-5"\h\zP(X=300)=1X1X1^1,2331811121_5P(X=500)=SX-X+2XsX=Xz=—,3323318121.1224P/V—TH、—oV—\z—V1二—P(X—700)—2X2X3X3丁2X3X39/1222P(X—900)—2XTX3—9.所以X的分布列為X300500700900P118_5_184929E(X)—300X+500X￡+700X4+900X2—2000E(X)300X1818993-考點(diǎn)三正態(tài)分布【核心提煉】解決正態(tài)分布問題的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)對(duì)稱軸x—p.樣本標(biāo)準(zhǔn)差“.⑶分布區(qū)間：利用3“原則求概率時(shí)，要注意利用p,。分布區(qū)間的特征把所求的范圍轉(zhuǎn)化為3“的特殊區(qū)間.例4(1)正態(tài)分布廣泛存在于自然現(xiàn)象、生產(chǎn)、生活中，假設(shè)5G芯片的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(200,225)，則P(170<ZW215)等于()(附：若X?腳，“2),則PQ—qW?+")Q0.6827,PQ—2qW?+2“)Q0.9545)0.8086B.0.8186C.0.8286D.0.7986答案B解析由Z服從正態(tài)分布N(200,225)可得，《二200,“2=225,所以“二15,因?yàn)?70二《-2“，215二蟲+“，所以P(170<ZW215)Q0.6827+?x(0.9545-0.6827)=0.8186.(2)(2021-鹽城模擬)設(shè)隨機(jī)變量￡?NS1),函數(shù)f(x)=x2+2x—^沒有零點(diǎn)的概率是0.5,則P(0<4W1)等于()附：若{?NQ,“2),則P0—“<{W?+“)Q0.6827,P0—2“<{W?+2“)Q0.9545.A.0.1587B.0.1359C.0.2718D.0.3413答案B解析.??函數(shù)fx)=x2+2x氣沒有零點(diǎn)，即二次方程X2+2X氣=0無實(shí)根，=4+4X0，.?M<-1，又頊x)=X2+2x氣沒有零點(diǎn)的概率是0.5，?.?P備-1)=0.5，由正態(tài)曲線的對(duì)稱性知《=-1，.?.{~N(-1,1)，?=-1，“二1，.?.?-“=-2，《+“二0，《-2“=-3，《+2“二1，?P(-2<g)F6827，P(-3<^<1)^0.9545，10.9545-0.6827."(0<竺1)=2〔P(-3<涯1)-P(-2<4W0)]Q2=0.1359.規(guī)律方法利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性研究相關(guān)概率問題，涉及的知識(shí)主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x=對(duì)稱，及曲線與x軸之間的面積為1，注意下面三個(gè)結(jié)論的活用：對(duì)任意的a，有Pg-a)=P(X>+a).P(X<x0)=1-P(XNx°).P(a<X<b)=P(X<b)-P(XWa).跟蹤演練3(1)一批電阻的電阻值X(單位：Q)服從正態(tài)分布N(1000,52).現(xiàn)從甲、乙兩箱出廠成品中各隨機(jī)抽取一個(gè)電阻，測(cè)得電阻值分別為1011Q和982Q,可以認(rèn)為()甲、乙兩箱電阻均可出廠甲、乙兩箱電阻均不可出廠甲箱電阻可出廠，乙箱電阻不可出廠甲箱電阻不可出廠，乙箱電阻可出廠答案C解析因?yàn)閄~N(1000,52)，所以1^=1000,”二5,所以^-3o=1000-3X5=9853+3“=1000+3X5=1015.因?yàn)?011E[985,1015],982[985,1015],所以甲箱電阻可出廠，乙箱電阻不可出廠.(2)(2021?丹東模擬)2012年國(guó)家開始實(shí)行法定節(jié)假日高速公路免費(fèi)通行政策，某收費(fèi)站在統(tǒng)計(jì)了2021年清明節(jié)前后車輛通行數(shù)量之后，發(fā)現(xiàn)該站近幾天每天通行車輛的數(shù)量4服從正態(tài)分12布N(1000，“2)，若P(4>1200)=a，P(800<4<1200)=5，貝『+?的最小值為.ab答案8解析4服從正態(tài)分布N(1000,“2),則P(4>1200)=a=P(4<800),又P(800<4<1200)=b，即2a+b=1且a>0,b>0,1+2=(」+2)(2a+b)=4+b+乎巳4+ab\abab2」b*=8，\ab時(shí)取等號(hào).]2a+b=1當(dāng)且僅當(dāng)<b=2a,專題強(qiáng)化練時(shí)取等號(hào).一、選擇題1.設(shè)隨機(jī)變量X，Y滿足Y=3X—1，X?B(2,p)，若P(XN1)=9，則D(Y)等于()A.4B.5C.6D.7答案A

解析由題意可得，P(XN1)=1-P(X=0)=1-Cg(1-p)2=9,解得p=-,則D(X)=np(1-p)=2X1x2=4,D(Y)=32D(X)=433/、39.2.(2021-沈陽(yáng)模擬)某工廠生產(chǎn)了10000根鋼管，其鋼管內(nèi)徑(單位：mm)近似服從正態(tài)分布N(20,a2)(^>0),工作人員通過抽樣的方式統(tǒng)計(jì)出，鋼管內(nèi)徑高于20.05mm的占鋼管總數(shù)的備則這批鋼管中，內(nèi)徑在19.95mm到20mm之間的鋼管數(shù)約為()A.4200根B.4500根C.4800根D.5200根答案C解析VP(X<19.95)=P(X>20.05)=50，???P(19.95WXW20.05)=1-東二萼，.，，2412?.?P(19.95WXW20)=50=25，古攵這批鋼管內(nèi)徑在19.95mm到20mm之間的鋼管數(shù)約為10000X^=4800(根).(2021?遂寧模擬)“四書”是《大學(xué)》《中庸》《論語(yǔ)》《孟子》的合稱，又稱“四子書”，在世界文化史、思想史上地位極高，所載內(nèi)容及哲學(xué)思想至今仍具有積極意義和參考價(jià)值.為弘揚(yáng)中國(guó)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校計(jì)劃開展“四書”經(jīng)典誦讀比賽活動(dòng).某班有4位同學(xué)參賽，每人從《大學(xué)》《中庸》《論語(yǔ)》《孟子》這4本書中選取1本進(jìn)行準(zhǔn)備，且各自選取的書均不相同.比賽時(shí)，若這4位同學(xué)從這4本書中隨機(jī)抽取1本選擇其中的內(nèi)容誦讀，則抽到自己準(zhǔn)備的書的人數(shù)的均值為()答案1C.2D.2答案B解析記抽到自己準(zhǔn)備的書的學(xué)生數(shù)為X，則X可能取值為0,1,2,4,C1X393p(X=o)f=24=8,P(解析P(X=1)=C4X2_8_1A4243P(X=2)=C2X1P(X=2)=A4244P(X=4)=^14=24,貝UE(X)=0X3+1X1+2X1+4^1=1.83424某校高三學(xué)生小李每天早晨7點(diǎn)下課后，從教室到學(xué)校餐廳吃早餐，步行4分鐘，打飯所需時(shí)間Z(單位：分鐘)服從正態(tài)分布N(5,1),吃飯需要15分鐘，而后步行4分鐘返回教室.已知學(xué)校要求學(xué)生7：30開始在教室內(nèi)上自習(xí)，則小李上自習(xí)不遲到的概率約為()參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量Z?NS02)，則PQ—“<ZW?+")Q0.6827,PQ—2“<ZW?+2“)Q0.9545，PQ—3o<ZW?+3o)Q0.9973.A.0.16585B.0.834450.97725D.0.99875答案C解析由題意可知，小李打飯時(shí)間不超過30-4-15-4=7(分鐘)，所以小李上自習(xí)不遲到的概率即為P(Z<7),因?yàn)榇蝻埶钑r(shí)間Z(單位：分鐘)服從正態(tài)分布N(5,1),所以《二5,0=1,^+2o=5+2X1=7,所以p(z<7)=p(z卻+&)=05+2尸8-2o<Z<?+2o)Q0.5+?X0.9545=0.97725.2020年5月，修訂后的《北京市生活垃圾管理?xiàng)l例》正式實(shí)施，某校為宣傳垃圾分類知識(shí)，組織高中三個(gè)年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行垃圾分類知識(shí)測(cè)試，下表記錄了各年級(jí)同學(xué)參與測(cè)試的優(yōu)秀率(即測(cè)試達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)占該年級(jí)總?cè)藬?shù)的比例).年級(jí)高一高二高三垃圾分類知識(shí)測(cè)試優(yōu)秀率52%71%68%假設(shè)從高k(k=1,2,3)年級(jí)中各隨機(jī)選取一名同學(xué)分別進(jìn)行考查，用“務(wù)=1”表示該同學(xué)的測(cè)試成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀，“務(wù)=0”表示該同學(xué)的測(cè)試成績(jī)沒有達(dá)到優(yōu)秀.D(6表示測(cè)試成績(jī)的方差，則下列判斷正確的是()A.D(42)>DG)>D(q)B.D(42)>D(4])>D(43)C.D(4])>D(42)>D(43)D.D(q)>D(43)>D(42)答案D解析當(dāng)k=1時(shí)，在高一年級(jí)中隨機(jī)選取一名同學(xué)進(jìn)行考查，則P(q=1)=0.52,P(q=0)=0.48，則D(￡)=0.52X0.48=0.2496；當(dāng)k=2時(shí)，在高二年級(jí)中隨機(jī)選取一名同學(xué)進(jìn)行考查，則P(q=1)=0.71,P(Z2=0)=0.29,則d(42)=0.71X0.29=0.2059；

當(dāng)k=3時(shí)，在高三年級(jí)中隨機(jī)選取一名同學(xué)進(jìn)行考查，則py=1）=0.68,P（烏二0）=0.32,則D（y3）=0.68X0.32=0.2176,所以割那力（烏）>割5）-6.（2021-煙臺(tái)模擬）袋中裝有標(biāo)號(hào)分別為1,2,3,4,5,6的六個(gè)相同的小球，現(xiàn)有一款摸球游戲，從袋中一次性摸出三個(gè)小球，記下號(hào)碼并放回，如果三個(gè)號(hào)碼的和是3的倍數(shù)，則獲獎(jiǎng)，若有4人參與摸球游戲，則恰好2人獲獎(jiǎng)的概率是（）TOC\o"1-5"\h\z36128A,625B,628八216336CDC.625D.625答案C解析從袋中的六個(gè)小球一次性摸出三個(gè)小球，有C3=6^x4=20（種）情況，63X2X1三個(gè)號(hào)碼的和是3的倍數(shù)有（1,2,3），（1,2,6），（1,3,5），（1,5,6），（2,3,4），（2,4,6），（3,4,5），（4,5,6），共8種情況，所以摸一次中獎(jiǎng)的概率為P=8=|.有4人參與摸球游戲，恰好2人獲獎(jiǎng)的概率為C2（2l4C2k572k572625.7.（2021-杭州模擬）已知0<k<1,0<x<1，隨機(jī)變量X的分布列如下:X02x4。1—X2k11P24當(dāng)頊X）取最大值時(shí)，D（X）等于（）A.1B.很C.3D.9—E答案A解析根據(jù)隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，得k+2+4=1，所以k=4乙l"42所以E(X)=0X1+2xX1+4、《1Fxf=x+1-X2W2L.；—Z二源，當(dāng)且僅當(dāng)X二專時(shí)取等號(hào)，此時(shí)隨機(jī)變量X的分布列為42P111424所以D(X)=(g-0)2X1+(-..」2-*2)2X1+G./2-2，..⑵2X1=1.I乙I某國(guó)產(chǎn)殺毒軟件的比賽規(guī)則為每個(gè)軟件進(jìn)行四輪考核，每輪考核中能夠準(zhǔn)確對(duì)病毒進(jìn)行查殺的進(jìn)入下一輪考核，否則被淘汰.已知某個(gè)軟件在四輪考核中能夠準(zhǔn)確殺毒的概率依次是6,3315,4,3,且各輪考核能否通過互不影響，則下列說法正確的是()該軟件通過考核的概率為8；該軟件在第三輪考核被淘汰的概率為1；8該軟件至少能夠通過兩輪考核的概率為3；在此次比賽中該軟件平均考核了24輪.TOC\o"1-5"\h\zA.①②B.②④C.①③④D.①②④答案D53解析設(shè)事件A,(二1,2,3,4)表示“該軟件能通過第i輪考核”，則P(A])=6，p(A2)=3，p(a3)16253315331=4，P(A4)=3.該軟件通過考核的概率為p(a1a2a3a4)=p(a1)p(a2)p(a3)p(a4)=6X5X4X3二1，①正確；該軟件在第三輪考核被淘汰的概率為p(AaA.)=pa)P(aqp(AJ=5x|x1=8123123/6541，②正確；該軟件至少能夠通過兩輪考核的概率為1-p(a)-p(aa)=1-1-5x2=1，8u'12’6652③不正確；設(shè)在此次比賽中，該軟件考核了Y輪，???Y的可能取值為1,2,3,4，P(Y=1)=P(A15211一，、一53)=1,P(Y=2)=P(AA)=5x2=1,P(Y=3)=P(AAA)=1,P(Y=4)=P(AAA)=5x3))))1/612，653123，8123，65x3=3,.?.頊Y)=1X1+2X1+3X1+4X3=65，④正確.x48，638824，二、填空題(2021-南昌模擬)已知隨機(jī)變量M服從正態(tài)分布N(3,02),P(g)=0.84，則P(g)=答案0.16解析因?yàn)殡S機(jī)變量E服從正態(tài)分布N(3，02)，所以P(竺0)=P(令6)，又P(^W6)=0.84,所以P(g)=1-P(g)=1-0.84=0.16.10.(2021-曲靖模擬)已知隨機(jī)變量M的分布列為￡—2—10123PX11X11124312612若P(kx)=*則實(shí)數(shù)x的取值范圍JL乙答案(4,9]解析由隨機(jī)變量M的分布列知，&的所有可能取值為0,1,4,9,曰p(之二0)二1P(力二八二^+^=」P(02=0)=3，P(C2=1)=4+12=3，P(/2=4)=】+^=」,P({2=9)=^,P(G21264'12，VP(^2<x)=11，JL乙?.?實(shí)數(shù)X的取值范圍是4<xW9.甲、乙兩個(gè)球隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取五局三勝制共贏得三場(chǎng)比賽的隊(duì)伍獲勝，最多比賽五局)，每場(chǎng)球賽無平局.根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主場(chǎng)安排為“主客主主客”.設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6,客場(chǎng)取勝的概率為0.5,且各場(chǎng)比賽相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以3:2獲勝的概率為.答案0.18解析由題意知，甲隊(duì)以3：2獲勝，則甲隊(duì)第五場(chǎng)必勝，前四場(chǎng)“主客主主”中勝兩局，有兩種情況：一種為三個(gè)主場(chǎng)勝兩場(chǎng)，一種為客場(chǎng)勝一場(chǎng)主場(chǎng)勝一場(chǎng)，其概率為C3x0.62X0.4X0.5X0.5+C3X0.6X0.42X0.5X0.5=0.18.對(duì)一個(gè)物理量做n次測(cè)量，并以測(cè)量結(jié)果的平均值作為該物理量的最后結(jié)果.已知最后結(jié)果的誤差匕?N。，3,為使誤差匕在(一0.5,0.5)的概率不小于0.9545,至少要測(cè)量次(若X?NS^)，則P(IX—RW2“)Q0.9545).答案32解析根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性知，要使誤差勺在(-0.5,0.5)的概率不小于0.9545,貝UW-2o,:+2”]Q(-0.5,0.5)且^=0,。二住,所以0.5*.導(dǎo)心32.三、解答題《健康中國(guó)行動(dòng)(2019-2030年)》包括15個(gè)專項(xiàng)行動(dòng)，其中全民健身行動(dòng)提出鼓勵(lì)公眾每周進(jìn)行3次以上、每次30分鐘以上中等強(qiáng)度運(yùn)動(dòng)，或者累計(jì)150分鐘中等強(qiáng)度或75分鐘高強(qiáng)度身體活動(dòng)，日常生活中要盡量多動(dòng)，達(dá)到每天6千步?10千步的身體活動(dòng)量，某高校從該校教職工中隨機(jī)抽取了若干名，統(tǒng)計(jì)他們的日均步行數(shù)(均在2千步?14千步之間)，得到的數(shù)據(jù)如下表：日均步行數(shù)/千步[2,4)[4,6)[6,8)[8,10)[10,12)[12,14]人數(shù)1224a24b9頻率0.080.160.40.16c0.06⑴求a，b，c的值；“每天運(yùn)動(dòng)一小時(shí)，健康工作五十年”，學(xué)校為了鼓勵(lì)教職工積極參與鍛煉，決定對(duì)日均步行數(shù)不低于m千步的教職工進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，為了使全校30%的教職工得到獎(jiǎng)勵(lì)，試估計(jì)m的值；在第(2)問的條件下，以頻率作為概率，從該校得到獎(jiǎng)勵(lì)的教職工中隨機(jī)抽取3人，設(shè)這3人中日均步行數(shù)不低于10千步的人數(shù)為X，求X的分