第二章 211離散型隨機(jī)變量

§2.1離散型隨機(jī)變量及其分布列2.1.1離散型隨機(jī)變量理解隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量的含義.2.了解隨機(jī)變量與函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系.3.會(huì)用離散型隨機(jī)變量描述隨機(jī)現(xiàn)象.知識(shí)點(diǎn)一隨機(jī)變量定義在隨機(jī)試驗(yàn)中，可以確定一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，使得每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果都用一個(gè)確定的數(shù)字表示，_數(shù)字隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化，像這種隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量.隨機(jī)變量常用字母X，匕&〃，…表示.知識(shí)點(diǎn)二隨機(jī)變量與函數(shù)的關(guān)系相同點(diǎn)隨機(jī)變量和函數(shù)都是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系區(qū)別隨機(jī)變量是隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果到實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)，函數(shù)是實(shí)數(shù)到實(shí)數(shù)的一一對(duì)應(yīng)聯(lián)系隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域，隨機(jī)變量的取值范圍相當(dāng)于函數(shù)的值域知識(shí)點(diǎn)三離散型隨機(jī)變量定義：所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量.特征：可用數(shù)字表示.試驗(yàn)之前可以判斷其出現(xiàn)的所有值.在試驗(yàn)之前不能確定取何值.試驗(yàn)結(jié)果能一一列出.思考辨析判斷正誤1.離散型隨機(jī)變量的取值是任意的實(shí)數(shù).(X)2.隨機(jī)變量的取值可以是有限個(gè)，也可以是無(wú)限個(gè).(V).離散型隨機(jī)變量是指某一區(qū)間內(nèi)的任意值.(X).手機(jī)電池的使用壽命X是離散型隨機(jī)變量.(X)一、隨機(jī)變量的概念例1指出下列變量中，哪些是隨機(jī)變量，哪些不是隨機(jī)變量，并說(shuō)明理由.任意擲一枚均勻硬幣5次，出現(xiàn)正面向上的次數(shù)；投一顆質(zhì)地均勻的骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)(最上面的數(shù)字)；某個(gè)人的屬相隨年齡的變化；在標(biāo)準(zhǔn)狀況下，水在0°C時(shí)結(jié)冰.解(1)任意擲一枚硬幣1次，可能出現(xiàn)正面向上也可能出現(xiàn)反面向上，因此投擲5次硬幣，出現(xiàn)正面向上的次數(shù)可能是0,1,2,3,4,5，而且出現(xiàn)哪種結(jié)果是隨機(jī)的，是隨機(jī)變量.投一顆骰子出現(xiàn)的結(jié)果是1點(diǎn)，2點(diǎn)，3點(diǎn)，4點(diǎn)，5點(diǎn)，6點(diǎn)中的一個(gè)且出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果是隨機(jī)的，因此是隨機(jī)變量.屬相是出生時(shí)便確定的，不隨年齡的變化而變化，不是隨機(jī)變量.標(biāo)準(zhǔn)狀況下，在0C時(shí)水結(jié)冰是必然事件，不是隨機(jī)變量.反思感悟隨機(jī)變量的辨析方法隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果是否具有可變性，即每次試驗(yàn)對(duì)應(yīng)的結(jié)果不盡相同.隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果的確定性，即每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個(gè)，但在一次試驗(yàn)之前卻不能肯定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果.如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果對(duì)應(yīng)的變量滿足以上兩點(diǎn)，則該變量即為隨機(jī)變量.跟蹤訓(xùn)練1下列變量中，哪些是隨機(jī)變量，哪些不是隨機(jī)變量？并說(shuō)明理由.某機(jī)場(chǎng)一年中每天運(yùn)送乘客的數(shù)量；某單位辦公室一天中接到電話的次數(shù)；⑶明年5月1日到10月1日期間所查酒駕的人數(shù)；⑷明年某天濟(jì)南一青島的某次列車到達(dá)青島站的時(shí)間.考點(diǎn)隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量的概念題點(diǎn)隨機(jī)變量的概念解(1)某機(jī)場(chǎng)一年中每天運(yùn)送乘客的數(shù)量可能為0,1,2,3，…，是隨機(jī)變化的，因此是隨機(jī)變量.(2)某單位辦公室一天中接到電話的次數(shù)可能為0,1,2,3,…，是隨機(jī)變化的，因此是隨機(jī)變量.⑶明年5月1日到10月1日期間，所查酒駕的人數(shù)可能為0,1,2,3,…，是隨機(jī)變化的，因此是隨機(jī)變量.(4)濟(jì)南一青島的某次列車到達(dá)青島站的時(shí)間每次都是隨機(jī)的，可能提前，可能準(zhǔn)時(shí)，也可能晚點(diǎn)，故是隨機(jī)變量.二、離散型隨機(jī)變量的判定例2指出下列隨機(jī)變量是不是離散型隨機(jī)變量，并說(shuō)明理由.湖南矮寨大橋橋面一側(cè)每隔30米有一路燈，將所有路燈進(jìn)行編號(hào)，其中某一路燈的編號(hào)X；在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，設(shè)一、二、三等獎(jiǎng)，小明同學(xué)參加競(jìng)賽獲得的獎(jiǎng)次X；丁俊暉在2017年世錦賽中每局所得的分?jǐn)?shù).解(1)橋面上的路燈是可數(shù)的，編號(hào)X可以一一列出，是離散型隨機(jī)變量.小明獲獎(jiǎng)等次X可以一一列出，是離散型隨機(jī)變量.每局所得的分?jǐn)?shù)X可以一一列舉出來(lái)，是離散型隨機(jī)變量.反思感悟(1)判斷離散型隨機(jī)變量的方法明確隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果.將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化.確定試驗(yàn)結(jié)果所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是否可以一一列出，如能一一列出，則該隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量，否則不是.(2)從具體實(shí)例入手，抽象出離散型隨機(jī)變量的概念，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).跟蹤訓(xùn)練2指出下列隨機(jī)變量是不是離散型隨機(jī)變量，并說(shuō)明理由.從10張已編好號(hào)碼的卡片(1號(hào)到10號(hào))中任取一張，被取出的卡片的號(hào)數(shù)；一個(gè)袋中裝有5個(gè)白球和5個(gè)黑球，從中任取3個(gè)，其中所含白球的個(gè)數(shù)；某林場(chǎng)樹(shù)木最高達(dá)30m，則此林場(chǎng)中樹(shù)木的高度；某加工廠加工的某種銅管的外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差.解⑴只要取出一張，便有一個(gè)號(hào)碼，因此被取出的卡片號(hào)數(shù)可以一一列出，符合離散型隨機(jī)變量的定義.從10個(gè)球中取3個(gè)球，所得的結(jié)果有以下幾種：3個(gè)白球；2個(gè)白球和1個(gè)黑球；1個(gè)白球和2個(gè)黑球；3個(gè)黑球，即其結(jié)果可以一一列出，符合離散型隨機(jī)變量的定義.林場(chǎng)樹(shù)木的高度是一個(gè)隨機(jī)變量，它可以取(0,30］內(nèi)的一切值，無(wú)法一一列舉，不是離散型隨機(jī)變量.實(shí)際測(cè)量值與規(guī)定值之間的差值無(wú)法一一列出，不是離散型隨機(jī)變量.三、隨機(jī)變量的應(yīng)用例3一個(gè)袋中裝有大小相同的2個(gè)白球和5個(gè)黑球，從中任取3個(gè)，其中所含白球的個(gè)數(shù)為<5寫(xiě)出隨機(jī)變量可能取的值，并說(shuō)明隨機(jī)變量所取的值表示結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn).解<可取0,1,2.5,表示取出的3個(gè)球中有i個(gè)白球，(3-i)個(gè)黑球，其中i=0,1,2.引申探究(變換條件)一個(gè)袋中裝有5個(gè)同樣大小的球，編號(hào)為1,2,3,4,5.現(xiàn)從該袋內(nèi)隨機(jī)取出3個(gè)球，被取出的球的最大號(hào)碼數(shù)<,所求不變.解<可取3,4,5.<=3表示取出的3個(gè)球的編號(hào)為1,2,3；<=4表示取出的3個(gè)球的編號(hào)為1,2,4或1,3,4或2,3,4；<=5表示取出的3個(gè)球的編號(hào)為1,2,5，或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5.反思感悟隨機(jī)變量從本質(zhì)上講就是以隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)結(jié)果為自變量的一個(gè)函數(shù)，即隨機(jī)變量的取值本質(zhì)上是試驗(yàn)結(jié)果對(duì)應(yīng)的數(shù)，起到了描述隨機(jī)事件的作用.這些數(shù)是預(yù)先知道的所有可能的值，而不知道究竟是哪一個(gè)值，這便是“隨機(jī)”的本源.跟蹤訓(xùn)練3寫(xiě)出下列隨機(jī)變量可能的取值，并說(shuō)明隨機(jī)變量所取的值表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果.從學(xué)校回家要經(jīng)過(guò)3個(gè)紅綠燈路口，可能遇到紅燈的次數(shù)4；電臺(tái)在每個(gè)整點(diǎn)都報(bào)時(shí)，報(bào)時(shí)所需時(shí)間為0.5分鐘，某人隨機(jī)打開(kāi)收音機(jī)對(duì)時(shí)間，他所等待的時(shí)間為4分鐘.考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的可能取值題點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的取值解(1)4可取0,1,2,3,4=0表示遇到紅燈的次數(shù)為0；4=1表示遇到紅燈的次數(shù)為1；4=2表示遇到紅燈的次數(shù)為2；4=3表示遇到紅燈的次數(shù)為3.(2)4的可能取值為區(qū)間［0,59.5］內(nèi)任何一個(gè)值，每一個(gè)可能取值表示他所等待的時(shí)間.-課堂小結(jié)1.所謂的隨機(jī)變量就是試驗(yàn)結(jié)果和實(shí)數(shù)之間的一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，隨機(jī)變量是將試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，變量的取值對(duì)應(yīng)于隨機(jī)試驗(yàn)的某一個(gè)隨機(jī)事件.2.寫(xiě)隨機(jī)變量表示的結(jié)果，要看三個(gè)特征：(1)可用數(shù)來(lái)表示；(2)試驗(yàn)之前可以判斷其可能出現(xiàn)的所有值；(3)在試驗(yàn)之前不能確定取值.擲均勻硬幣一次，下列是隨機(jī)變量的為（）擲硬幣的次數(shù)出現(xiàn)正面向上的次數(shù)出現(xiàn)正面向上的次數(shù)或反面向上的次數(shù)出現(xiàn)正面向上的次數(shù)與反面向上的次數(shù)之和考點(diǎn)隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量的概念題點(diǎn)隨機(jī)變量的概念答案B解析擲一枚硬幣，可能出現(xiàn)的結(jié)果是正面向上或反面向上，以一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)如正面向上的次數(shù)來(lái)描述這一隨機(jī)試驗(yàn)，那么正面向上的次數(shù)就是隨機(jī)變量SW的取值是0,1.A項(xiàng)中，擲硬幣的次數(shù)就是1，不是隨機(jī)變量；C項(xiàng)中的標(biāo)準(zhǔn)模糊不清；D項(xiàng)中，出現(xiàn)正面向上的次數(shù)和反面向上的次數(shù)的和必是1，對(duì)應(yīng)的是必然事件，試驗(yàn)前便知是必然出現(xiàn)的結(jié)果，所以不是隨機(jī)變量.故選B.下列變量中，是離散型隨機(jī)變量的是（）到2018年5月1日止，我國(guó)被確診的艾滋病人數(shù)一只剛出生的大熊貓，一年以后的身高某人在車站等出租車的時(shí)間某人投籃10次，可能投中的次數(shù)答案D袋中有大小相同的紅球6個(gè)，白球5個(gè)，從袋中每次任意取出1個(gè)球，直到取出的球是白球?yàn)橹?，所需要的取球次?shù)為隨機(jī)變量X，則X的可能取值為.考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的可能取值題點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的取值答案1,2,3,4,5,6,7解析由于取到是白球時(shí)，取球停止，所以取球次數(shù)可以是1,2,3,…，7.在一塊地里種10棵樹(shù)苗，成活的棵數(shù)為X,則x可取值為.答案0,1,2,3，…，10在考試中，需回答三個(gè)問(wèn)題，考試規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確得一100分，則這名同學(xué)回答這三個(gè)問(wèn)題的總得分X的所有可能取值.答案300,100，—100，—300一、選擇題10件產(chǎn)品中有3件次品，從中任取2件，可作為隨機(jī)變量的是（）取到產(chǎn)品的件數(shù)B.取到正品的概率C.取到次品的件數(shù)D.取到次品的概率考點(diǎn)隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量的概念題點(diǎn)隨機(jī)變量的概念答案C解析對(duì)于A中取到產(chǎn)品的件數(shù)，是一個(gè)常量不是變量，B,D也是一個(gè)常量，而C中取到次品的件數(shù)可能是0,1,2，是隨機(jī)變量.下列敘述中，是離散型隨機(jī)變量的為（）某單位下個(gè)月的用水量B.把一杯開(kāi)水置于空氣中，讓它自然冷卻，每一時(shí)刻它的溫度公交車司機(jī)下周一收取的費(fèi)用袋中有2個(gè)黑球，6個(gè)紅球，任取2個(gè)，取得1個(gè)紅球的可能性考點(diǎn)隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量的概念題點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的概念答案C下面不是離散型隨機(jī)變量的是（）某機(jī)場(chǎng)候機(jī)室中一天的游客數(shù)量X；某尋呼臺(tái)一天內(nèi)收到的尋呼次數(shù)X；某水文站觀察到一天中長(zhǎng)江的最高水位X；某立交橋一天經(jīng)過(guò)的車輛數(shù)X.A.①中的XB.②中的XC.③中的XD.④中的X考點(diǎn)隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量的概念題點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的概念答案C解析①②④中隨機(jī)變量X所有可能取的值我們都可以按一定次序一一列出因此它們都是離散型隨機(jī)變量，③中X可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，無(wú)法一一列出，故不是離散型隨機(jī)變量.拋擲兩枚骰子一次，X為第一枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)與第二枚擲出的點(diǎn)數(shù)之差，則X的所有可能的取值為（）0WXW5,xEN—5WXW0,xEZ—1WXW6,xEN—5WXW5,xEZ考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的可能取值題點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的取值答案D解析兩次擲出的點(diǎn)數(shù)均可取1~6之間的所有整數(shù)，所以XE[-5,5],xEZ.一個(gè)袋子中有質(zhì)量相等的紅、黃、綠、白四種小球各若干個(gè)，一次倒出三個(gè)小球，下列變量是離散型隨機(jī)變量的是（）小球滾出的最大距離倒出小球所需的時(shí)間倒出的三個(gè)小球的質(zhì)量之和倒出的三個(gè)小球的顏色的種數(shù)答案D解析A項(xiàng)，小球滾出的最大距離不是一個(gè)隨機(jī)變量，因?yàn)椴荒苊鞔_滾動(dòng)的范圍；B項(xiàng)，倒出小球所需的時(shí)間不是一個(gè)隨機(jī)變量，因?yàn)椴荒苊鞔_所需時(shí)間的范圍；C項(xiàng)，三個(gè)小球的質(zhì)量之和是一個(gè)定值，不是隨機(jī)變量，就更不是離散型隨機(jī)變量；D項(xiàng)，顏色的種數(shù)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量.某人進(jìn)行射擊，共有5發(fā)子彈，擊中目標(biāo)或子彈打完就停止射擊，射擊次數(shù)為＜5則“4=5”表示的試驗(yàn)結(jié)果是（）第5次擊中目標(biāo)第5次未擊中目標(biāo)前4次均未擊中目標(biāo)第4次擊中目標(biāo)考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的可能取值題點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的結(jié)果答案C解析q表示前4次均未擊中目標(biāo)，故選C.拋擲2枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和記為＜,那么“＜=4”表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果是（）2枚都是4點(diǎn)；1枚是1點(diǎn)，另1枚是3點(diǎn)；2枚都是2點(diǎn)；1枚是1點(diǎn)，另1枚是3點(diǎn)，或者2枚都是2點(diǎn).A.①②B.①④C.③④D.④答案D解析擲擲2枚骰子，其中1枚是x點(diǎn)，另1枚是j點(diǎn)，其中x,"1,2，…，6.而＜=x+y,|x=1,|x=2,＜=41或、y=3[y=2.一木箱中裝有8個(gè)同樣大小的籃球，編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7,8,現(xiàn)從中隨機(jī)取出3個(gè)籃球，以＜表示取出的籃球的最大號(hào)碼，則＜=8表示的試驗(yàn)結(jié)果數(shù)為（）A.18B.21C.24D.10答案B解析＜=8表示3個(gè)籃球中一個(gè)編號(hào)是8，另外兩個(gè)從剩余7個(gè)號(hào)中選2個(gè)，有C2種方法，即21種.二、填空題已知X,Y均為離散型隨機(jī)變量，且X=2Y,若X的所有可能取值為0,2,4，貝Y的所有可能取值為.答案0,1,2解析由題意Y=^2x且XE{0,2,4},得YG{0,1,2}.下列隨機(jī)變量中不是離散型隨機(jī)變量的是.（填序號(hào)）廣州白云機(jī)場(chǎng)候機(jī)室中一天的旅客數(shù)量X；廣州某水文站觀察到一天中珠江的水位X；深圳歡樂(lè)谷一日接待游客的數(shù)量X；虎門(mén)大橋一天經(jīng)過(guò)的車輛數(shù)X.答案②解析①③④中的隨機(jī)變量X的所有取值，我們都可以按照一定的次序一一列出，因此它們是離散型隨機(jī)變量；②中的隨機(jī)變量X可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，但無(wú)法按一定的次序一一列出，故不是離散型隨機(jī)變量，故填②.一用戶在打電話時(shí)忘記了最后3個(gè)號(hào)碼，只記得最后3個(gè)數(shù)兩兩不同，且都大于5.于是他隨機(jī)撥最后3個(gè)數(shù)（兩兩不同），設(shè)他撥到正確號(hào)碼的次數(shù)為X，隨機(jī)變量X的可能值有個(gè).考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的可能取值題點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的取值答案24解析后3個(gè)數(shù)是從6,7,8,9四個(gè)數(shù)中取3個(gè)組成的，共有A4=24（個(gè)）.三、解答題甲、乙兩隊(duì)員進(jìn)行乒乓球單打比賽，規(guī)定采用“七局四勝制”.用4表示需要比賽的局?jǐn)?shù)，寫(xiě)出％=6”時(shí)表示的試驗(yàn)結(jié)果.考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的可能取值題點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的結(jié)果解根據(jù)題意可知，4=6表示甲在前5局中勝3局且在第6局中勝出或乙在前5局中勝3局且在第6局中勝出.甲、乙兩隊(duì)在一次對(duì)抗賽的某一輪中有3個(gè)搶答題，比賽規(guī)定：對(duì)于每一個(gè)題，沒(méi)有搶到題的隊(duì)伍得0分，搶到題并回答正確的得1分，搶到題但回答錯(cuò)誤的扣1分（即得一1分），若X是甲隊(duì)在該輪比賽獲勝時(shí)的得分(分?jǐn)?shù)高者勝)，寫(xiě)出X的所有可能取值，并說(shuō)明X的值表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果.解X的所有可能取值是-1,0,1,2,3.X=-1表示：甲搶到1題但答錯(cuò)了，而乙搶到2題都答錯(cuò)了.X=0表示：甲沒(méi)搶到題，乙搶到的題答錯(cuò)至少2個(gè)題或甲搶到2題，但回答1對(duì)1錯(cuò)，而乙答錯(cuò)1題.X=1表示：甲搶1題且答對(duì)，乙搶到2題且1對(duì)1錯(cuò)或全錯(cuò)或甲搶到3題，且2對(duì)1錯(cuò).X=