場域邊界條件分界面銜接條件第一類邊界條件第二類邊課件

第2章靜電場

靜電場：相對觀察者靜止且量值不隨時間變化的電荷所產(chǎn)生的電場。

本章任務：闡述靜電荷與電場之間的關系，在已知電荷或電位的情況下求解電場的各種計算方法，或者反之。

靜電場是本電磁場課程的基礎。由此建立的物理概念、分析方法在一定條件下可類比推廣到恒定電場,恒定磁場及時變場。1第2章靜電場靜電場：本章任務：1.1.1庫侖定律2.1電場強度N(牛頓)適用條件

兩個可視為點電荷的帶電體之間相互作用力

無限大真空情況(式中可推廣到無限大各向同性均勻介質中F/m)N(牛頓)圖2.1.1兩點電荷間的作用力

庫侖定律是靜電現(xiàn)象的基本實驗定律。試驗表明:真空中兩個靜止的點電荷q1與q2之間的相互作用力:21.1.1庫侖定律2.1電場強度N(牛頓)適用條2.1.2靜電場基本物理量——電場強度定義：

V/m(N/C)

電場強度E

表示單位正電荷在電場中所受到的力(F),它是空間坐標的矢量函數(shù),定義式給出了E

的大小、方向與單位。a)點電荷產(chǎn)生的電場強度V/mV/m圖2.1.2點電荷的電場32.1.2靜電場基本物理量——電場強度定義：V/mb)n個點電荷產(chǎn)生的電場強度(矢量疊加)c)連續(xù)分布電荷產(chǎn)生的電場強度V/m體電荷分布面電荷分布線電荷分布圖2.1.3體電荷的電場4b)n個點電荷產(chǎn)生的電場強度(矢量疊加)c)連例1真空中有長為L的均勻帶電直導線,電荷線密度為,試求P點的電場.解:采用直角坐標系,令y軸經(jīng)過場點p,導線與x軸重合。(直角坐標)(圓柱坐標)圖2.1.4帶電長直導線的電場5例1真空中有長為L的均勻帶電直導線,電荷線密度為,試求

無限長直均勻帶電導線產(chǎn)生的電場為平行平面場。

電場強度的矢量積分一般先轉化為標量積分,然后再合成,即

點電荷的數(shù)學模型

積分是對源點進行的,計算結果是場點的函數(shù)。

點電荷是電荷體分布的極限情況,可以把它看成是一個體積很小,電荷密度很大，總電量不變的帶電小球體。

當時，電荷密度趨近于無窮大，通常用沖擊函數(shù)表示點電荷的密度分布。單位點電荷的密度分布點電荷的密度6無限長直均勻帶電導線產(chǎn)生的電場為平行平面場。點電荷矢量恒等式直接微分得故電場強度E

的旋度等于零2.2靜電場的無旋性和高斯定律

1.靜電場旋度2.2.1

靜電場的無旋性7點電荷矢量恒等式直接微分得故電場強度E的旋度等于零2.2

可以證明，上述結論適用于點電荷群和連續(xù)分布電荷產(chǎn)生的電場。靜電場是一個無旋場。即任一分布形式的靜電荷產(chǎn)生的電場的旋度恒等于零，即2.靜電場的環(huán)路定律

在靜電場中,電場強度沿著閉合回路的環(huán)量恒等于零。

電場力作功與路徑無關,靜電場是保守場。無旋場一定是保守場，保守場一定是無旋場。由斯托克斯定理，得

二者等價。8可以證明，上述結論適用于點電荷群和連續(xù)分布電荷產(chǎn)生的3.電位函數(shù)

在靜電場中可通過求解電位函數(shù)，再利用上式可方便地求得電場強度E。式中負號表示電場強度的方向從高電位指向低電位。2)

已知電荷分布，求電位：點電荷群連續(xù)分布電荷1)電位的引出以點電荷為例推導電位：根據(jù)矢量恒等式93.電位函數(shù)在靜電場中可通過求解電位函數(shù)，再利3)

E與的微分關系

在靜電場中，任意一點的電場強度E的方向總是沿著電位減少的最快方向，其大小等于電位的最大變化率。在直角坐標系中：4)

E與的積分關系設P0為參考零點E與的積分關系103)E與的微分關系在靜電場中，任意一點的電場5)

電位參考點的選擇原則

場中任意兩點的電位差與參考點無關。

同一個物理問題，只能選取一個參考點。

選擇參考點盡可能使電位表達式比較簡單，且要有意義。例如：點電荷產(chǎn)生的電場：表達式無意義

電荷分布在有限區(qū)域時，選擇無窮遠處為參考點；

電荷分布在無窮遠區(qū)時，選擇有限遠處為參考點。115)電位參考點的選擇原則場中任意兩點的電位差與參6)

電力線與等位線（面）

E線：曲線上每一點切線方向應與該點電場強度E的方向一致，若dl是電力線的長度元，E

矢量將與dl方向一致，故電力線微分方程在直角坐標系中：微分方程的解即為電力線的方程。當取不同的

C值時，可得到不同的等位線（面）。

在靜電場中電位相等的點的曲面稱為等位面，即等位線(面)方程:例2

計算電偶極子的電場(r>>d)。126)電力線與等位線（面）E線：曲線上每一點切線方在球坐標系中：代入上式，得用二項式展開，又有，得

表示電偶極矩，方向由負電荷指向正電荷。圖1.2.2電偶極子圖1.2.3電偶極子的等位線和電力線r1r2(r,,)13在球坐標系中：代入上式，得用二項式展開，又有，得?

對上式等號兩端取散度；?

利用矢量恒等式及矢量積分、微分的性質，得2.2.2真空中的高斯定律1.靜電場的散度———高斯定律的微分形式真空中高斯定律的微分形式其物理意義表示為

高斯定律說明了靜電場是一個有源場，電荷就是場的散度（通量源），電力線從正電荷發(fā)出，終止于負電荷。14?對上式等號兩端取散度；?利用矢量恒等式及矢量積2.高斯定律的積分形式式中n是閉合面包圍的點電荷總數(shù)。散度定理圖2.2.11閉合曲面的電通量

E的通量僅與閉合面S所包圍的凈電荷有關。圖2.2.12閉合面外的電荷對場的影響

S面上的E是由系統(tǒng)中全部電荷產(chǎn)生的。152.高斯定律的積分形式式中n是閉合面包圍的點電荷總數(shù)電場強度垂直于導體表面；導體是等位體，導體表面為等位面；導體內電場強度E為零，靜電平衡；電荷分布在導體表面，且任何導體，只要它們帶電量不變，則其電位是不變的。（）一導體的電位為零，則該導體不帶電。（）接地導體都不帶電。（）2.2.3.電介質中的高斯定律1.靜電場中導體的性質2.靜電場中的電介質圖2.2.13靜電場中的導體?16電場強度垂直于導體表面；導體是等位體，導體表面為等位面；

電介質在外電場E作用下發(fā)生極化，形成有向排列的電偶極矩；

電介質內部和表面產(chǎn)生極化電荷；

極化電荷與自由電荷都是產(chǎn)生電場的源。式中為體積元內電偶極矩的矢量和，P的方向從負極化電荷指向正極化電荷。無極性分子有極性分子圖2.2.14電介質的極化用極化強度P表示電介質的極化程度，即C/m2電偶極矩體密度17電介質在外電場E作用下發(fā)生極化，形成有向排列的電偶極

實驗結果表明，在各向同性、線性、均勻介質中

e——電介質的極化率,無量綱量。均勻：媒質參數(shù)不隨空間坐標（x,y,z）而變化。各向同性：媒質的特性不隨電場的方向而改變,反之稱為各向異性；線性：媒質的參數(shù)不隨電場的值而變化；一個電偶極子產(chǎn)生的電位：

極化強度

P是電偶極矩體密度，根據(jù)疊加原理，體積V內電偶極子產(chǎn)生的電位為：式中圖2.2.15電偶極子產(chǎn)生的電位P(r,,)18實驗結果表明，在各向同性、線性、均勻介質中e——電介質矢量恒等式：圖2.2.16體積V內電偶極矩產(chǎn)生的電位散度定理令極化電荷體密度極化電荷面密度19矢量恒等式：圖2.2.16體積V內電偶極矩產(chǎn)

在均勻極化的電介質內，極化電荷體密度這就是電介質極化后，由面極化電荷p和體極化電荷p共同作用在真空

0中產(chǎn)生的電位。

根據(jù)電荷守恒原理，這兩部分極化電荷的總和

有電介質存在的場域中，任一點的電位及電場強度表示為20在均勻極化的電介質內，極化電荷體密度這就是3.電介質中的高斯定律a）高斯定律的微分形式（真空中）（電介質中）定義電位移矢量（Displacement）則有電介質中高斯定律的微分形式代入,得其中——相對介電常數(shù)；——介電常數(shù)，單位（F/m）

在各向同性介質中

D線從正的自由電荷發(fā)出而終止于負的自由電荷。213.電介質中的高斯定律a）高斯定律的微分形式（真空中）（圖示平行板電容器中放入一塊介質后，其D

線、E線和P線的分布。?D線由正的自由電荷發(fā)出，終止于負的自由電荷；?P線由負的極化電荷發(fā)出，終止于正的極化電荷。?E

線的起點與終點既可以在自由電荷上，又可以在極化電荷上；D線E線P線圖2.2.17D、E與P

三者之間的關系22圖示平行板電容器中放入一塊介質后，其D線、E線和P線的()()()

D

的通量與介質無關，但不能認為D

的分布與介質無關。

D通量只取決于高斯面內的自由電荷，而高斯面上的

D

是由高斯面內、外的系統(tǒng)所有電荷共同產(chǎn)生的。B）高斯定律的積分形式散度定理圖2.2.18點電荷的電場中置入任意一塊介質qq圖2.2.19閉合面外的電荷對場的影響23()()()D的通量與介質無關，例2.2.2求電荷線密度為的無限長均勻帶電體的電場。解：電場分布特點：

D

線皆垂直于導線，呈輻射狀態(tài)；

等

r

處D值相等；取長為L，半徑為r的封閉圓柱面為高斯面。由得圖2.2.20電荷線密度為的無限長均勻帶電體4.高斯定律的應用計算技巧：a）分析給定場分布的對稱性，判斷能否用高斯定律求解。b）選擇適當?shù)拈]合面作為高斯面，使容易積分。

高斯定律適用于任何情況，但只有具有一定對稱性的場才能得到解析解。24例2.2.2求電荷線密度為的無限長均勻帶電體的電場圖2.2.22球殼內的電場圖2.2.21球殼外的電場例2.2.3試分析圖2.2.21與2.2.22的電場能否直接用高斯定律來求解場的分布？圖2.2.21點電荷q置于金屬球殼內任意位置的電場圖2.2.22點電荷±q分別置于金屬球殼內的中心處與球殼外的電場25圖2.2.22球殼內的電場圖2.2.21球殼外的電場2.3靜電場的基本方程分界面上的銜接條件2.3.1靜電場的基本方程靜電場是一個無旋、有源場，靜止電荷就是靜電場的源。這兩個重要特性用簡潔的數(shù)學形式為：解：根據(jù)靜電場的旋度恒等于零的性質,

例2.3.1已知試判斷它能否表示靜電場？對應靜電場的基本方程

，矢量

A可以表示一個靜電場。能否根據(jù)矢量場的散度來判斷該矢量場是否是靜電場?問262.3靜電場的基本方程分界面上的銜接條件2.3.以分界面上點P作為觀察點，作一小扁圓柱高斯面（）。2、電場強度E的銜接條件以點P作為觀察點，作一小矩形回路（）。2.3.2分界面上的銜接條件1、電位移矢量D的銜接條件分界面兩側

E的切向分量連續(xù)。分界面兩側的

D的法向分量不連續(xù)。當時，D的法向分量連續(xù)。圖2.3.2在電介質分界面上應用環(huán)路定律則有根據(jù)根據(jù)則有圖2.3.1在電介質分界面上應用高斯定律27以分界面上點P作為觀察點，作一2、電場強度E的銜接條表明：（1）導體表面是一等位面，電力線與導體表面垂直，電場僅有法向分量；（2）導體表面上任一點的D就等于該點的自由電荷密度。當分界面為導體與電介質的交界面時，分界面上的銜接條件為：圖2.3.3a導體與電介質分界面在交界面上不存在時，E、D滿足折射定律。折射定律圖2.3.3分界面上E線的折射28表明：（1）導體表面是一等位面，電力線與導體表面垂直因此表明:在介質分界面上，電位是連續(xù)的。3、用電位函數(shù)表示分界面上的銜接條件設點1與點2分別位于分界面的兩側，其間距為d，,則表明:一般情況下,電位的導數(shù)是不連續(xù)的。圖2.3.4電位的銜接條件對于導體與理想介質分界面，用電位表示的銜接條件應是如何呢？思考29因此表明:在介質分界面上，電位是連續(xù)的。3、用電位函數(shù)解：忽略邊緣效應圖（a）圖（b）例2.3.2如圖(a)與圖(b)所示平行板電容器,已知和,圖(a)已知極板間電壓U0

,圖(b)已知極板上總電荷,試分別求其中的電場強度。（a）（b）圖2.3.5平行板電容器30解：忽略邊緣效應圖（a）圖（b）例2.3.2如圖2.4靜電場邊值問題唯一性定理2.4.1泊松方程與拉普拉斯方程推導微分方程的基本出發(fā)點是靜電場的基本方程：泊松方程泊松方程與拉普拉斯方程只適用于各向同性、線性的均勻媒質。例2.4.1列出求解區(qū)域的微分方程拉普拉斯方程——拉普拉斯算子2.4.2靜電場的邊值問題圖2.4.1三個不同媒質區(qū)域的靜電場312.4靜電場邊值問題唯一性定理2.4.1泊松方程已知場域邊界上各點電位值邊值問題框圖自然邊界條件參考點電位有限值邊值問題微分方程邊界條件場域邊界條件分界面銜接條件第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件已知場域邊界上各點電位的法向導數(shù)一、二類邊界條件的線性組合，即32已知場域邊界邊值問題框圖自然參考點電位邊值問題微分方程邊界條

例2.4.2

圖示長直同軸電纜橫截面。已知纜芯截面是一邊長為2b的正方形，鉛皮半徑為a，內外導體之間電介質的介電常數(shù)為，并且在兩導體之間接有電源U0，試寫出該電纜中靜電場的邊值問題。解：根據(jù)場分布對稱性，確定場域。（陰影區(qū)域）場的邊值問題圖2.4.4纜心為正方形的同軸電纜橫截面33例2.4.2圖示長直同軸電纜橫截面。已知纜芯截面邊界條件積分之，得通解

例2.4.3設有電荷均勻分布在半徑為a的介質球型區(qū)域中，電荷體密度為，試用解微分方程的方法求球體內、外的電位及電場。解:采用球坐標系,分區(qū)域建立方程參考點電位圖2.4.5體電荷分布的球形域電場34邊界條件積分之，得通解例2.4.3設有電荷均勻分布解得電場強度（球坐標梯度公式）：

對于一維場（場量僅僅是一個坐標變量的函數(shù)），只要對二階常系數(shù)微分方程積分兩次，得到通解；然后利用邊界條件求得積分常數(shù)，得到電位的解；再由得到電場強度E的分布。電位：35解得

唯一性定理的重要意義

可判斷靜電場問題的解的正確性：例

圖示平板電容器的電位，哪一個解答正確？答案：（C）唯一性定理為靜電場問題的多種解法(試探解、數(shù)值解、解析解等）提供了理論根據(jù)。

2.5唯一性定理36唯一性定理的重要意義可判斷靜電場問題的解的正確性：2.6鏡像法2.6.1

鏡像法1.平面導體的鏡像

鏡像法:用虛設的電荷分布等效替代媒質分界面上復雜電荷分布,虛設電荷的個數(shù)、大小與位置使場的解答滿足唯一性定理。圖2.6.1平面導體的鏡像上半場域邊值問題：（除

q所在點外的區(qū)域）（導板及無窮遠處）（S為包圍q的閉合面）372.6鏡像法2.6.1鏡像法1.平面導體的鏡像鏡像（方向指向地面）整個地面上感應電荷的總量為例2.6.1求空氣中一個點電荷在地面引起的感應電荷分布情況。解:設點電荷離地面高度為h，則圖2.6.2點電荷在地面引起的感應電荷的分布38（方向指向地面）整個地面上感應電荷的總量為例2.6.1求空2.不同介質分界面的鏡像邊值問題：(下半空間)(除q點外的上半空間)圖2.6.8點電荷對無限大介質分界面的鏡像和392.不同介質分界面的鏡像邊值問題：(下半空間)(除q點

?

中的電場是由決定，其有效區(qū)在下半空間，是等效替代自由電荷與極化電荷的作用。即圖2.6.9點電荷位于不同介質平面上方的場圖

?

中的電場是由與共同產(chǎn)生，其有效區(qū)在上半空間，是等效替代極化電荷的影響。注意40?中的電場是由決定，其有效區(qū)在下半空間，是鏡像法小結

鏡像法的理論基礎是靜電場唯一性定理；鏡像法的實質是用虛設的鏡像電荷（電軸）替代未知電荷的分布，使計算場域為無限大均勻介質；鏡像法的關鍵是確定鏡像電荷的個數(shù)，大小及位置；

應用鏡像法解題時，注意：鏡像電荷只能放在待求場域以外的區(qū)域。疊加時，要注意場的適用區(qū)域。41鏡像法小結鏡像法的理論基礎是靜電場唯一性定理；412.7電容及部分電容電容只與兩導體的幾何形狀、尺寸、相互位置及導體周圍的介質有關。電容的計算思路：

2.7.1電容定義：單位：

例2.7.1試求球形電容器的電容。解：設內導體的電荷為,則同心導體間的電壓球形電容器的電容當時（孤立導體球的電容）圖2.7.1球形電容器422.7電容及部分電容電容只與兩導體多導體系統(tǒng)、部分電容1.已知導體的電荷，求電位和電位系數(shù)中的其余帶電體，與外界無任何聯(lián)系，即

?

靜電獨立系統(tǒng)——D線從這個系統(tǒng)中的帶電體發(fā)出，并終止于該系統(tǒng)?

線性、多導體(三個以上導體)組成的系統(tǒng)；?

部分電容概念以三導體系為例，接地導體為電位參考點,其余導體的電位與各導體上的電荷的關系為圖2.7.2三導體靜電獨立系統(tǒng)43多導體系統(tǒng)、部分電容1.已知導體的電荷，求電位和電位系數(shù)以此類推（n+1)個多導體系統(tǒng)只有n個電位線性獨立方程，即電位系數(shù)，表明各導體電荷對各導體電位的貢獻；——

自有電位系數(shù)，表明導體上電荷對導體電位的貢獻；——互有電位系數(shù)，表明導體上的電荷對導體電位的貢獻；——寫成矩陣形式為（非獨立方程）注：

的值可以通過給定各導體電荷,計算各導體的電位而得。44以此類推（n+1)個多導體系統(tǒng)只有n個電位線性獨立2.已知帶電導體的電位，求電荷和感應系數(shù)——靜電感應系數(shù)，表示導體電位對導體電荷的貢獻；ii——自有感應系數(shù)，表示導體i電位對導體i電荷的貢獻；ij——互有感應系數(shù)，表示導體j電位對導體i電荷的貢獻。

通常，

的值可以通過給定各導體的電位，測量各導體的電荷而得。452.已知帶電導體的電位，求電荷和感應系數(shù)——靜電感應3.已知帶電導體間的電壓，求電荷和部分電容（矩陣形式）式中：C——部分電容，它表明各導體間電壓對各導體電荷的貢獻；（互有部分電容）；（自有部分電容）。部分電容性質:?

所有部分電容都是正值，且僅與導體的形狀、尺寸、相互位置及介質的值有關；?互有部分電容，即為對稱陣；?

(n+1)個導體靜電獨立系統(tǒng)中，共應有個部分電容；463.已知帶電導體間的電壓，求電荷和部分電容（矩陣形式）式2.8靜電能量1.帶電體系統(tǒng)中的靜電能量靜電能量是在電場的建立過程中，由外力作功轉化而來的。1)連續(xù)分布電荷系統(tǒng)的靜電能量假設：?電荷系統(tǒng)中的介質是線性的；2.8.1靜電能量?電場的建立與充電過程無關,導體上電荷與電位的最終值為、,在充電過程中，與的增長比例為

m，。?建立電場過程緩慢（忽略動能與能量輻射）。472.8靜電能量1.帶電體系統(tǒng)中的靜電能量這個功轉化為靜電能量儲存在電場中。體電荷系統(tǒng)的靜電能量

t

時刻，場中P點的電位為若將電荷增量從無窮遠處移至該點，外力作功t時刻電荷增量為即電位為

48這個功轉化為靜電能量儲存在電場中。體電荷系?式中是元電荷所在處的電位，積分對源進行。自有能互有能自有能是將許多元電荷“壓緊”構成q所需作的功?；ビ心苁怯捎诙鄠€帶電體之間的相互作用引起的能量。自有能與互有能的概念??是所有導體（含K號導體）表面上的電荷在K號導體產(chǎn)生的電位。例如，空間中有兩帶電體，單獨存在時，導體的電位、電荷分別為1，q1和2，q2。將帶電體2放入帶電體1的電場中，兩導體的電位會發(fā)生變化，如圖所示。49?式中是元電荷所在處的電位，積分對源進行。自有能互2.靜電能量的分布及能量密度V——擴大到無限空間，S——所有帶電體表面。將式(2)代入式(1),得應用散度定理得（焦耳）靜電能量圖2.8.1推導能量密度用圖能量密度：凡是靜電場不為零的空間都儲存著靜電能量。結論矢量恒等式502.靜電能量的分布及能量密度V——擴大到無限空間，S——所例2.8.1試求真空中體電荷密度為，半徑為a的介質球產(chǎn)生的靜電能量。有限，應用高斯定理，得解法一由微分方程法得電位函數(shù)為解法二51例2.8.1試求真空中體電荷密度為，半徑為a的介2.8.2靜電力2.虛位移法(VirtualDisplacementMethod)虛位移法是基于虛功原理計算靜電力的方法。

廣義坐標：距離、面積、體積、角度。廣義力：企圖改變某一個廣義坐標的力。廣義力的正方向為廣義坐標增加的方向。二者關系：廣義坐標距離面積體積角度廣義力機械力表面張力壓強轉矩（單位）（N）（N/m）（N/m2）N?m廣義力×廣義坐標=功1.由電場強度E的定義求靜電力，即522.8.2靜電力2.虛位移法(VirtualDis常電荷系統(tǒng)（K打開）：

它表示取消外源后，電場力做功必須靠減少電場中靜電能量來實現(xiàn)。常電位系統(tǒng)（K合上）：外源提供能量的增量靜電能量的增量

外源提供的能量有一半用于靜電能量的增量，另一半用于電場力做功。設(n+1)個導體組成的系統(tǒng),只有P號導體發(fā)生位移，此時系統(tǒng)中帶電體的電壓或電荷將發(fā)生變化，其功能關系為外源提供能量靜電能量增量=+電場力所作功圖2.8.4多導體系統(tǒng)53常電荷系統(tǒng)（K打開）：它表示取消外源后，電場力做功必?上述兩個公式所得結果是相等的例2.8.3試求圖示平行板電容器的電場力。解法一：常電位系統(tǒng)解法二：常電荷系統(tǒng)可見，兩種方法計算結果相同，電場力有使d減小的趨勢，即電容增大的趨勢。?兩個公式所求得的廣義力是代數(shù)量。還需根據(jù)“±”號判斷其方向。圖2.8.5平行板電容器54?上述兩個公式所得結果是相等的例2.8.3試求圖示平工程上，靜電力有廣泛的應用。靜電分離靜電噴涂55工程上，靜電力有廣泛的應用。靜電分離靜電噴涂55基本實驗定律（庫侖定律）基本物理量（電場強度）EE的旋度E的散度基本方程微分方程邊值問題唯一性定理分界面銜接條件電位（）邊界條件數(shù)值法解析法直接積分法鏡像法圖1.0靜電場知識結構圖積分方程56基本實驗定律（庫侖定律）基本物理量（電場強度）EE的旋度E

球對稱分布：包括均勻帶電的球面，球體和多層同心球殼等。

軸對稱分布：包括無限長均勻帶電的直線，圓柱面，圓柱殼等。試問：能否選取正方形的高斯面求解球對稱場(a)(b)(c)圖2.2.20.球對稱場的高斯面圖2.2.21.軸對稱場的高斯面57球對稱分布：包括均勻帶電的球面，球體和多層同心球殼等

無限大平面電荷：包括無限大的均勻帶電平面，平板等。(a)(b)(c)圖3.平行平面場的高斯面試問：能否選取底面為方型的封閉柱面為高斯面？58無限大平面電荷：包括無限大的均勻帶電平面，平板等。(對場點坐標作散度運算靜電場高斯散度定理的推導矢量恒等式：式中：59對場點坐標作散度運算靜電場高斯散度定理的推導矢量恒等式：式中無電荷區(qū)內，電場強度的散度等于零。則圖1.2.10源點與場點的坐標的矢量表示

60無電荷區(qū)內，電場強度的散度等于零。則圖1.2.10源第2章靜電場

靜電場：相對觀察者靜止且量值不隨時間變化的電荷所產(chǎn)生的電場。

本章任務：闡述靜電荷與電場之間的關系，在已知電荷或電位的情況下求解電場的各種計算方法，或者反之。

靜電場是本電磁場課程的基礎。由此建立的物理概念、分析方法在一定條件下可類比推廣到恒定電場,恒定磁場及時變場。61第2章靜電場靜電場：本章任務：1.1.1庫侖定律2.1電場強度N(牛頓)適用條件

兩個可視為點電荷的帶電體之間相互作用力

無限大真空情況(式中可推廣到無限大各向同性均勻介質中F/m)N(牛頓)圖2.1.1兩點電荷間的作用力

庫侖定律是靜電現(xiàn)象的基本實驗定律。試驗表明:真空中兩個靜止的點電荷q1與q2之間的相互作用力:621.1.1庫侖定律2.1電場強度N(牛頓)適用條2.1.2靜電場基本物理量——電場強度定義：

V/m(N/C)

電場強度E

表示單位正電荷在電場中所受到的力(F),它是空間坐標的矢量函數(shù),定義式給出了E

的大小、方向與單位。a)點電荷產(chǎn)生的電場強度V/mV/m圖2.1.2點電荷的電場632.1.2靜電場基本物理量——電場強度定義：V/mb)n個點電荷產(chǎn)生的電場強度(矢量疊加)c)連續(xù)分布電荷產(chǎn)生的電場強度V/m體電荷分布面電荷分布線電荷分布圖2.1.3體電荷的電場64b)n個點電荷產(chǎn)生的電場強度(矢量疊加)c)連例1真空中有長為L的均勻帶電直導線,電荷線密度為,試求P點的電場.解:采用直角坐標系,令y軸經(jīng)過場點p,導線與x軸重合。(直角坐標)(圓柱坐標)圖2.1.4帶電長直導線的電場65例1真空中有長為L的均勻帶電直導線,電荷線密度為,試求

無限長直均勻帶電導線產(chǎn)生的電場為平行平面場。

電場強度的矢量積分一般先轉化為標量積分,然后再合成,即

點電荷的數(shù)學模型

積分是對源點進行的,計算結果是場點的函數(shù)。

點電荷是電荷體分布的極限情況,可以把它看成是一個體積很小,電荷密度很大，總電量不變的帶電小球體。

當時，電荷密度趨近于無窮大，通常用沖擊函數(shù)表示點電荷的密度分布。單位點電荷的密度分布點電荷的密度66無限長直均勻帶電導線產(chǎn)生的電場為平行平面場。點電荷矢量恒等式直接微分得故電場強度E

的旋度等于零2.2靜電場的無旋性和高斯定律

1.靜電場旋度2.2.1

靜電場的無旋性67點電荷矢量恒等式直接微分得故電場強度E的旋度等于零2.2

可以證明，上述結論適用于點電荷群和連續(xù)分布電荷產(chǎn)生的電場。靜電場是一個無旋場。即任一分布形式的靜電荷產(chǎn)生的電場的旋度恒等于零，即2.靜電場的環(huán)路定律

在靜電場中,電場強度沿著閉合回路的環(huán)量恒等于零。

電場力作功與路徑無關,靜電場是保守場。無旋場一定是保守場，保守場一定是無旋場。由斯托克斯定理，得

二者等價。68可以證明，上述結論適用于點電荷群和連續(xù)分布電荷產(chǎn)生的3.電位函數(shù)

在靜電場中可通過求解電位函數(shù)，再利用上式可方便地求得電場強度E。式中負號表示電場強度的方向從高電位指向低電位。2)

已知電荷分布，求電位：點電荷群連續(xù)分布電荷1)電位的引出以點電荷為例推導電位：根據(jù)矢量恒等式693.電位函數(shù)在靜電場中可通過求解電位函數(shù)，再利3)

E與的微分關系

在靜電場中，任意一點的電場強度E的方向總是沿著電位減少的最快方向，其大小等于電位的最大變化率。在直角坐標系中：4)

E與的積分關系設P0為參考零點E與的積分關系703)E與的微分關系在靜電場中，任意一點的電場5)

電位參考點的選擇原則

場中任意兩點的電位差與參考點無關。

同一個物理問題，只能選取一個參考點。

選擇參考點盡可能使電位表達式比較簡單，且要有意義。例如：點電荷產(chǎn)生的電場：表達式無意義

電荷分布在有限區(qū)域時，選擇無窮遠處為參考點；

電荷分布在無窮遠區(qū)時，選擇有限遠處為參考點。715)電位參考點的選擇原則場中任意兩點的電位差與參6)

電力線與等位線（面）

E線：曲線上每一點切線方向應與該點電場強度E的方向一致，若dl是電力線的長度元，E

矢量將與dl方向一致，故電力線微分方程在直角坐標系中：微分方程的解即為電力線的方程。當取不同的

C值時，可得到不同的等位線（面）。

在靜電場中電位相等的點的曲面稱為等位面，即等位線(面)方程:例2

計算電偶極子的電場(r>>d)。726)電力線與等位線（面）E線：曲線上每一點切線方在球坐標系中：代入上式，得用二項式展開，又有，得

表示電偶極矩，方向由負電荷指向正電荷。圖1.2.2電偶極子圖1.2.3電偶極子的等位線和電力線r1r2(r,,)73在球坐標系中：代入上式，得用二項式展開，又有，得?

對上式等號兩端取散度；?

利用矢量恒等式及矢量積分、微分的性質，得2.2.2真空中的高斯定律1.靜電場的散度———高斯定律的微分形式真空中高斯定律的微分形式其物理意義表示為

高斯定律說明了靜電場是一個有源場，電荷就是場的散度（通量源），電力線從正電荷發(fā)出，終止于負電荷。74?對上式等號兩端取散度；?利用矢量恒等式及矢量積2.高斯定律的積分形式式中n是閉合面包圍的點電荷總數(shù)。散度定理圖2.2.11閉合曲面的電通量

E的通量僅與閉合面S所包圍的凈電荷有關。圖2.2.12閉合面外的電荷對場的影響

S面上的E是由系統(tǒng)中全部電荷產(chǎn)生的。752.高斯定律的積分形式式中n是閉合面包圍的點電荷總數(shù)電場強度垂直于導體表面；導體是等位體，導體表面為等位面；導體內電場強度E為零，靜電平衡；電荷分布在導體表面，且任何導體，只要它們帶電量不變，則其電位是不變的。（）一導體的電位為零，則該導體不帶電。（）接地導體都不帶電。（）2.2.3.電介質中的高斯定律1.靜電場中導體的性質2.靜電場中的電介質圖2.2.13靜電場中的導體?76電場強度垂直于導體表面；導體是等位體，導體表面為等位面；

電介質在外電場E作用下發(fā)生極化，形成有向排列的電偶極矩；

電介質內部和表面產(chǎn)生極化電荷；

極化電荷與自由電荷都是產(chǎn)生電場的源。式中為體積元內電偶極矩的矢量和，P的方向從負極化電荷指向正極化電荷。無極性分子有極性分子圖2.2.14電介質的極化用極化強度P表示電介質的極化程度，即C/m2電偶極矩體密度77電介質在外電場E作用下發(fā)生極化，形成有向排列的電偶極

實驗結果表明，在各向同性、線性、均勻介質中

e——電介質的極化率,無量綱量。均勻：媒質參數(shù)不隨空間坐標（x,y,z）而變化。各向同性：媒質的特性不隨電場的方向而改變,反之稱為各向異性；線性：媒質的參數(shù)不隨電場的值而變化；一個電偶極子產(chǎn)生的電位：

極化強度

P是電偶極矩體密度，根據(jù)疊加原理，體積V內電偶極子產(chǎn)生的電位為：式中圖2.2.15電偶極子產(chǎn)生的電位P(r,,)78實驗結果表明，在各向同性、線性、均勻介質中e——電介質矢量恒等式：圖2.2.16體積V內電偶極矩產(chǎn)生的電位散度定理令極化電荷體密度極化電荷面密度79矢量恒等式：圖2.2.16體積V內電偶極矩產(chǎn)

在均勻極化的電介質內，極化電荷體密度這就是電介質極化后，由面極化電荷p和體極化電荷p共同作用在真空

0中產(chǎn)生的電位。

根據(jù)電荷守恒原理，這兩部分極化電荷的總和

有電介質存在的場域中，任一點的電位及電場強度表示為80在均勻極化的電介質內，極化電荷體密度這就是3.電介質中的高斯定律a）高斯定律的微分形式（真空中）（電介質中）定義電位移矢量（Displacement）則有電介質中高斯定律的微分形式代入,得其中——相對介電常數(shù)；——介電常數(shù)，單位（F/m）

在各向同性介質中

D線從正的自由電荷發(fā)出而終止于負的自由電荷。813.電介質中的高斯定律a）高斯定律的微分形式（真空中）（圖示平行板電容器中放入一塊介質后，其D

線、E線和P線的分布。?D線由正的自由電荷發(fā)出，終止于負的自由電荷；?P線由負的極化電荷發(fā)出，終止于正的極化電荷。?E

線的起點與終點既可以在自由電荷上，又可以在極化電荷上；D線E線P線圖2.2.17D、E與P

三者之間的關系82圖示平行板電容器中放入一塊介質后，其D線、E線和P線的()()()

D

的通量與介質無關，但不能認為D

的分布與介質無關。

D通量只取決于高斯面內的自由電荷，而高斯面上的

D

是由高斯面內、外的系統(tǒng)所有電荷共同產(chǎn)生的。B）高斯定律的積分形式散度定理圖2.2.18點電荷的電場中置入任意一塊介質qq圖2.2.19閉合面外的電荷對場的影響83()()()D的通量與介質無關，例2.2.2求電荷線密度為的無限長均勻帶電體的電場。解：電場分布特點：

D

線皆垂直于導線，呈輻射狀態(tài)；

等

r

處D值相等；取長為L，半徑為r的封閉圓柱面為高斯面。由得圖2.2.20電荷線密度為的無限長均勻帶電體4.高斯定律的應用計算技巧：a）分析給定場分布的對稱性，判斷能否用高斯定律求解。b）選擇適當?shù)拈]合面作為高斯面，使容易積分。

高斯定律適用于任何情況，但只有具有一定對稱性的場才能得到解析解。84例2.2.2求電荷線密度為的無限長均勻帶電體的電場圖2.2.22球殼內的電場圖2.2.21球殼外的電場例2.2.3試分析圖2.2.21與2.2.22的電場能否直接用高斯定律來求解場的分布？圖2.2.21點電荷q置于金屬球殼內任意位置的電場圖2.2.22點電荷±q分別置于金屬球殼內的中心處與球殼外的電場85圖2.2.22球殼內的電場圖2.2.21球殼外的電場2.3靜電場的基本方程分界面上的銜接條件2.3.1靜電場的基本方程靜電場是一個無旋、有源場，靜止電荷就是靜電場的源。這兩個重要特性用簡潔的數(shù)學形式為：解：根據(jù)靜電場的旋度恒等于零的性質,

例2.3.1已知試判斷它能否表示靜電場？對應靜電場的基本方程

，矢量

A可以表示一個靜電場。能否根據(jù)矢量場的散度來判斷該矢量場是否是靜電場?問862.3靜電場的基本方程分界面上的銜接條件2.3.以分界面上點P作為觀察點，作一小扁圓柱高斯面（）。2、電場強度E的銜接條件以點P作為觀察點，作一小矩形回路（）。2.3.2分界面上的銜接條件1、電位移矢量D的銜接條件分界面兩側

E的切向分量連續(xù)。分界面兩側的

D的法向分量不連續(xù)。當時，D的法向分量連續(xù)。圖2.3.2在電介質分界面上應用環(huán)路定律則有根據(jù)根據(jù)則有圖2.3.1在電介質分界面上應用高斯定律87以分界面上點P作為觀察點，作一2、電場強度E的銜接條表明：（1）導體表面是一等位面，電力線與導體表面垂直，電場僅有法向分量；（2）導體表面上任一點的D就等于該點的自由電荷密度。當分界面為導體與電介質的交界面時，分界面上的銜接條件為：圖2.3.3a導體與電介質分界面在交界面上不存在時，E、D滿足折射定律。折射定律圖2.3.3分界面上E線的折射88表明：（1）導體表面是一等位面，電力線與導體表面垂直因此表明:在介質分界面上，電位是連續(xù)的。3、用電位函數(shù)表示分界面上的銜接條件設點1與點2分別位于分界面的兩側，其間距為d，,則表明:一般情況下,電位的導數(shù)是不連續(xù)的。圖2.3.4電位的銜接條件對于導體與理想介質分界面，用電位表示的銜接條件應是如何呢？思考89因此表明:在介質分界面上，電位是連續(xù)的。3、用電位函數(shù)解：忽略邊緣效應圖（a）圖（b）例2.3.2如圖(a)與圖(b)所示平行板電容器,已知和,圖(a)已知極板間電壓U0

,圖(b)已知極板上總電荷,試分別求其中的電場強度。（a）（b）圖2.3.5平行板電容器90解：忽略邊緣效應圖（a）圖（b）例2.3.2如圖2.4靜電場邊值問題唯一性定理2.4.1泊松方程與拉普拉斯方程推導微分方程的基本出發(fā)點是靜電場的基本方程：泊松方程泊松方程與拉普拉斯方程只適用于各向同性、線性的均勻媒質。例2.4.1列出求解區(qū)域的微分方程拉普拉斯方程——拉普拉斯算子2.4.2靜電場的邊值問題圖2.4.1三個不同媒質區(qū)域的靜電場912.4靜電場邊值問題唯一性定理2.4.1泊松方程已知場域邊界上各點電位值邊值問題框圖自然邊界條件參考點電位有限值邊值問題微分方程邊界條件場域邊界條件分界面銜接條件第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件已知場域邊界上各點電位的法向導數(shù)一、二類邊界條件的線性組合，即92已知場域邊界邊值問題框圖自然參考點電位邊值問題微分方程邊界條

例2.4.2

圖示長直同軸電纜橫截面。已知纜芯截面是一邊長為2b的正方形，鉛皮半徑為a，內外導體之間電介質的介電常數(shù)為，并且在兩導體之間接有電源U0，試寫出該電纜中靜電場的邊值問題。解：根據(jù)場分布對稱性，確定場域。（陰影區(qū)域）場的邊值問題圖2.4.4纜心為正方形的同軸電纜橫截面93例2.4.2圖示長直同軸電纜橫截面。已知纜芯截面邊界條件積分之，得通解

例2.4.3設有電荷均勻分布在半徑為a的介質球型區(qū)域中，電荷體密度為，試用解微分方程的方法求球體內、外的電位及電場。解:采用球坐標系,分區(qū)域建立方程參考點電位圖2.4.5體電荷分布的球形域電場94邊界條件積分之，得通解例2.4.3設有電荷均勻分布解得電場強度（球坐標梯度公式）：

對于一維場（場量僅僅是一個坐標變量的函數(shù)），只要對二階常系數(shù)微分方程積分兩次，得到通解；然后利用邊界條件求得積分常數(shù)，得到電位的解；再由得到電場強度E的分布。電位：95解得

唯一性定理的重要意義

可判斷靜電場問題的解的正確性：例

圖示平板電容器的電位，哪一個解答正確？答案：（C）唯一性定理為靜電場問題的多種解法(試探解、數(shù)值解、解析解等）提供了理論根據(jù)。

2.5唯一性定理96唯一性定理的重要意義可判斷靜電場問題的解的正確性：2.6鏡像法2.6.1

鏡像法1.平面導體的鏡像

鏡像法:用虛設的電荷分布等效替代媒質分界面上復雜電荷分布,虛設電荷的個數(shù)、大小與位置使場的解答滿足唯一性定理。圖2.6.1平面導體的鏡像上半場域邊值問題：（除

q所在點外的區(qū)域）（導板及無窮遠處）（S為包圍q的閉合面）972.6鏡像法2.6.1鏡像法1.平面導體的鏡像鏡像（方向指向地面）整個地面上感應電荷的總量為例2.6.1求空氣中一個點電荷在地面引起的感應電荷分布情況。解:設點電荷離地面高度為h，則圖2.6.2點電荷在地面引起的感應電荷的分布98（方向指向地面）整個地面上感應電荷的總量為例2.6.1求空2.不同介質分界面的鏡像邊值問題：(下半空間)(除q點外的上半空間)圖2.6.8點電荷對無限大介質分界面的鏡像和992.不同介質分界面的鏡像邊值問題：(下半空間)(除q點

?

中的電場是由決定，其有效區(qū)在下半空間，是等效替代自由電荷與極化電荷的作用。即圖2.6.9點電荷位于不同介質平面上方的場圖

?

中的電場是由與共同產(chǎn)生，其有效區(qū)在上半空間，是等效替代極化電荷的影響。注意100?中的電場是由決定，其有效區(qū)在下半空間，是鏡像法小結

鏡像法的理論基礎是靜電場唯一性定理；鏡像法的實質是用虛設的鏡像電荷（電軸）替代未知電荷的分布，使計算場域為無限大均勻介質；鏡像法的關鍵是確定鏡像電荷的個數(shù)，大小及位置；

應用鏡像法解題時，注意：鏡像電荷只能放在待求場域以外的區(qū)域。疊加時，要注意場的適用區(qū)域。101鏡像法小結鏡像法的理論基礎是靜電場唯一性定理；412.7電容及部分電容電容只與兩導體的幾何形狀、尺寸、相互位置及導體周圍的介質有關。電容的計算思路：

2.7.1電容定義：單位：

例2.7.1試求球形電容器的電容。解：設內導體的電荷為,則同心導體間的電壓球形電容器的電容當時（孤立導體球的電容）圖2.7.1球形電容器1022.7電容及部分電容電容只與兩導體多導體系統(tǒng)、部分電容1.已知導體的電荷，求電位和電位系數(shù)中的其余帶電體，與外界無任何聯(lián)系，即

?

靜電獨立系統(tǒng)——D線從這個系統(tǒng)中的帶電體發(fā)出，并終止于該系統(tǒng)?

線性、多導體(三個以上導體)組成的系統(tǒng)；?

部分電容概念以三導體系為例，接地導體為電位參考點,其余導體的電位與各導體上的電荷的關系為圖2.7.2三導體靜電獨立系統(tǒng)103多導體系統(tǒng)、部分電容1.已知導體的電荷，求電位和電位系數(shù)以此類推（n+1)個多導體系統(tǒng)只有n個電位線性獨立方程，即電位系數(shù)，表明各導體電荷對各導體電位的貢獻；——

自有電位系數(shù)，表明導體上電荷對導體電位的貢獻；——互有電位系數(shù)，表明導體上的電荷對導體電位的貢獻；——寫成矩陣形式為（非獨立方程）注：

的值可以通過給定各導體電荷,計算各導體的電位而得。104以此類推（n+1)個多導體系統(tǒng)只有n個電位線性獨立2.已知帶電導體的電位，求電荷和感應系數(shù)——靜電感應系數(shù)，表示導體電位對導體電荷的貢獻；ii——自有感應系數(shù)，表示導體i電位對導體i電荷的貢獻；ij——互有感應系數(shù)，表示導體j電位對導體i電荷的貢獻。

通常，

的值可以通過給定各導體的電位，測量各導體的電荷而得。1052.已知帶電導體的電位，求電荷和感應系數(shù)——靜電感應3.已知帶電導體間的電壓，求電荷和部分電容（矩陣形式）式中：C——部分電容，它表明各導體間電壓對各導體電荷的貢獻；（互有部分電容）；（自有部分電容）。部分電容性質:?

所有部分電容都是正值，且僅與導體的形狀、尺寸、相互位置及介質的值有關；?互有部分電容，即為對稱陣；?

(n+1)個導體靜電獨立系統(tǒng)中，共應有個部分電容；1063.已知帶電導體間的電壓，求電荷和部分電容（矩陣形式）式2.8靜電能量1.帶電體系統(tǒng)中的靜電能量靜電能量是在電場的建立過程中，由外力作功