2018-2019數(shù)學(xué)新學(xué)案同步必修二人教A版全國(guó)通用版講義：第四章 圓與方程4.3

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§4。3空間直角坐標(biāo)系學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解空間直角坐標(biāo)系，會(huì)用空間直角坐標(biāo)系刻畫(huà)點(diǎn)的位置.2.掌握空間兩點(diǎn)間的距離公式．知識(shí)點(diǎn)一空間直角坐標(biāo)系思考空間直角坐標(biāo)系需要幾個(gè)坐標(biāo)軸，它們之間有什么關(guān)系？答案空間直角坐標(biāo)系需要三個(gè)坐標(biāo)軸，它們之間兩兩相互垂直．梳理（1)空間直角坐標(biāo)系及相關(guān)概念①空間直角坐標(biāo)系：從空間某一定點(diǎn)引三條兩兩垂直,且有相同單位長(zhǎng)度的數(shù)軸:x軸、y軸、z軸，這時(shí)我們說(shuō)建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz.②相關(guān)概念：點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn),x軸、y軸、z軸叫做坐標(biāo)軸，通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為xOy平面、yOz平面、zOx平面．（2）右手直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向,如果中指指向z軸的正方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系．（3)空間一點(diǎn)的坐標(biāo)空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組(x，y，z）來(lái)表示，有序?qū)崝?shù)組(x，y，z）叫做點(diǎn)M在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo),記作M(x,y,z），其中x叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)M的豎坐標(biāo)．知識(shí)點(diǎn)二空間兩點(diǎn)間的距離1．空間兩點(diǎn)間的距離公式（1)在空間中，點(diǎn)P(x，y，z）到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離｜OP｜＝eq\r（x2＋y2＋z2）。（2)在空間中，P1（x1，y1,z1)與P2（x2，y2,z2）的距離｜P1P2|＝eq\r（x1－x22＋y1－y22＋z1－z22).2．空間中的中點(diǎn)坐標(biāo)公式在空間直角坐標(biāo)系中，若A（x1，y1，z1）,B(x2，y2，z2),則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2，2)，\f(y1＋y2，2)，\f(z1＋z2,2）)）。

1．空間直角坐標(biāo)系中，在x軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)一定是(0,b，c)的形式．（×）2．空間直角坐標(biāo)系中，在xOz平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)一定是(a，0，c)的形式．(√）3．關(guān)于坐標(biāo)平面yOz對(duì)稱的點(diǎn)其縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)保持不變,橫坐標(biāo)相反．(√）類(lèi)型一求空間中點(diǎn)的坐標(biāo)例1如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M在線段BC1上，且|BM|＝2｜MC1｜，N是線段D1M的中點(diǎn),求點(diǎn)M,N的坐標(biāo)．考點(diǎn)空間直角坐標(biāo)系題點(diǎn)空間中點(diǎn)的坐標(biāo)解如圖,過(guò)點(diǎn)M作MM1⊥BC于點(diǎn)M1，連接DM1，取DM1的中點(diǎn)N1，連接NN1.由|BM｜＝2｜MC1｜，知｜MM1|＝eq\f（2,3)|CC1|＝eq\f(2,3），|M1C|＝eq\f（1,3)|BC｜＝eq\f（1，3）。因?yàn)镸1M∥DD1，所以M1M與z軸平行，點(diǎn)M1與點(diǎn)M的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)相同，點(diǎn)M的豎坐標(biāo)為eq\f（2,3),所以Meq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，3），1，\f（2,3)))。由N1為DM1的中點(diǎn),知N1eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1，6)，\f(1，2），0））.因?yàn)镹1N與z軸平行，且|N1N｜＝eq\f(|M1M｜＋｜DD1｜,2)＝eq\f(5,6）,所以Neq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，6），\f(1,2），\f(5,6))）.反思與感悟1.建立空間直角坐標(biāo)系時(shí),應(yīng)遵循的兩個(gè)原則(1）讓盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上或坐標(biāo)平面上．(2）充分利用幾何圖形的對(duì)稱性．2．求某點(diǎn)M的坐標(biāo)的方法作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y，即點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y，再求M點(diǎn)在z軸上射影的豎坐標(biāo)z，即為M點(diǎn)的豎坐標(biāo)z，于是得到M點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y，z）．3．坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征xOy平面上的點(diǎn)的豎坐標(biāo)為0，即（x,y，0）．yOz平面上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0,即(0，y，z）．xOz平面上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，即(x，0，z）．4．坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征x軸上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)都為0，即(x，0，0)．y軸上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)、豎坐標(biāo)都為0，即(0，y，0)．z軸上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為0,即（0,0，z）．跟蹤訓(xùn)練1已知正四棱錐P－ABCD的底面邊長(zhǎng)為5eq\r（2)，側(cè)棱長(zhǎng)為13，建立的空間直角坐標(biāo)系如圖，寫(xiě)出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)．考點(diǎn)空間直角坐標(biāo)系題點(diǎn)空間中點(diǎn)的坐標(biāo)解因?yàn)閨PO|＝eq\r(|PB|2－|OB｜2）＝eq\r（169－25)＝12，所以各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為P(0，0，12）,Aeq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(5\r（2)，2），－\f（5\r(2）,2)，0）），Beq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(5\r（2），2)，\f(5\r(2),2)，0)），Ceq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(5\r(2）,2)，\f（5\r(2）,2），0）），Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5\r(2）,2)，－\f(5\r(2)，2），0）)。類(lèi)型二空間中點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題例2在空間直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)P（－2,1，4）．(1）求點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo);（2）求點(diǎn)P關(guān)于xOy平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；(3）求點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M(2,－1，－4)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)．考點(diǎn)空間中點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題題點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的綜合問(wèn)題解（1）由于點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱后，它在x軸的分量不變，在y軸,z軸的分量變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù),所以對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為P1(－2,－1，－4）．(2）由點(diǎn)P關(guān)于xOy平面對(duì)稱后，它在x軸，y軸的分量不變，在z軸的分量變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù),所以對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為P2（－2，1，－4)．(3)設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為P3(x，y，z）,則點(diǎn)M為線段PP3的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得x＝2×2－（－2）＝6,y＝2×（－1）－1＝－3，z＝2×（－4）－4＝－12,所以P3的坐標(biāo)為（6，－3，－12)．反思與感悟(1）空間中點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題可類(lèi)比平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題，要掌握對(duì)稱點(diǎn)的變化規(guī)律，才能準(zhǔn)確求解．（2）對(duì)稱點(diǎn)的問(wèn)題常常采用“關(guān)于誰(shuí)對(duì)稱，誰(shuí)保持不變，其余坐標(biāo)相反”這個(gè)結(jié)論．跟蹤訓(xùn)練2已知點(diǎn)P（2,3，－1)關(guān)于坐標(biāo)平面xOy的對(duì)稱點(diǎn)為P1，點(diǎn)P1關(guān)于坐標(biāo)平面yOz的對(duì)稱點(diǎn)為P2，點(diǎn)P2關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)為P3，則點(diǎn)P3的坐標(biāo)為_(kāi)_______．考點(diǎn)空間中點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題題點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的綜合問(wèn)題答案(2，－3，1)解析點(diǎn)P(2，3，－1)關(guān)于坐標(biāo)平面xOy的對(duì)稱點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（2，3,1），點(diǎn)P1關(guān)于坐標(biāo)平面yOz的對(duì)稱點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(－2，3，1)，點(diǎn)P2關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)P3的坐標(biāo)是(2,－3，1）．類(lèi)型三空間中兩點(diǎn)間的距離問(wèn)題eq\x(命題角度1求空間兩點(diǎn)間的距離）例3已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(1,5,2），B(2，3，4)，C(3,1，5)．(1）求△ABC中最短邊的邊長(zhǎng)；(2）求AC邊上中線的長(zhǎng)度．考點(diǎn)空間兩點(diǎn)間的距離公式及應(yīng)用題點(diǎn)空間兩點(diǎn)間的距離公式的綜合應(yīng)用解（1）由空間兩點(diǎn)間距離公式得|AB｜＝eq\r(1－22＋5－32＋2－42)＝3，｜BC|＝eq\r（2－32＋3－12＋4－52）＝eq\r（6）,|AC|＝eq\r（1－32＋5－12＋2－52)＝eq\r(29），∴△ABC中最短邊是|BC|，其長(zhǎng)度為eq\r(6)。(2)由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（2，3，\f（7，2）)).∴AC邊上中線的長(zhǎng)度為eq\r（2－22＋3－32＋\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（4－\f(7，2)）)2）＝eq\f（1，2）。反思與感悟求空間兩點(diǎn)間的距離的方法求空間兩點(diǎn)間的距離時(shí)，一般使用空間兩點(diǎn)間的距離公式，應(yīng)用公式的關(guān)鍵在于建立合適的坐標(biāo)系，確定兩點(diǎn)的坐標(biāo)．確定點(diǎn)的坐標(biāo)的方法視具體題目而定．一般來(lái)說(shuō)，要轉(zhuǎn)化到平面中求解，有時(shí)也利用幾何圖形的特征，結(jié)合平面直角坐標(biāo)系的知識(shí)確定．跟蹤訓(xùn)練3已知三點(diǎn)A(－1,0，1)，B（2，4，3），C(5，8，5）,則（）A．三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形B．三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形C．三點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形D．三點(diǎn)構(gòu)不成三角形考點(diǎn)空間兩點(diǎn)間的距離公式及應(yīng)用題點(diǎn)空間兩點(diǎn)間的距離公式的綜合應(yīng)用答案D解析由｜AB|＝eq\r（29)，｜BC｜＝eq\r（29）,｜AC｜＝eq\r(116)，｜AB｜＋｜BC|＝|AC|。故選D.eq\x（命題角度2空間兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用）例4(1)已知點(diǎn)A(1－t，1－t，t），B（2，t，t)，則｜AB|的最小值為_(kāi)_______．考點(diǎn)空間兩點(diǎn)間的距離公式題點(diǎn)已知空間兩點(diǎn)間的距離，求參數(shù)的值答案eq\f(3\r(5)，5）解析由空間中兩點(diǎn)的距離公式，得｜AB|＝eq\r（2－1＋t2＋t－1＋t2＋t－t2）＝eq\r（5t2－2t＋2）＝eq\r（5\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（t－\f(1,5)）)2＋\f(9,5）).當(dāng)t＝eq\f（1,5）時(shí)，｜AB|取最小值,最小值為eq\f（3\r(5)，5)。（2）已知點(diǎn)A（0，1，0），B(－1，0，－1),C(2，1，1），若點(diǎn)P（x，0，z)滿足PA⊥AB，PA⊥AC，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)．考點(diǎn)求空間中點(diǎn)的坐標(biāo)題點(diǎn)求空間中點(diǎn)的坐標(biāo)解∵PA⊥AB,∴△PAB為直角三角形，∴|PB|2＝｜PA｜2＋|AB｜2，即(x＋1）2＋（z＋1)2＝x2＋1＋z2＋1＋1＋1,即x＋z＝1, ①又∵PA⊥AC，∴△PAC為直角三角形，∴｜PC|2＝|PA｜2＋｜AC｜2，即（x－2)2＋1＋（z－1）2＝x2＋1＋z2＋4＋0＋1，即2x＋z＝0， ②由①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－1，,z＝2,))∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（－1，0，2)．反思與感悟利用空間兩點(diǎn)間的距離公式,將空間距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)上的轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)思想，此類(lèi)題目的解題方法是直接設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用距離公式就可以將幾何問(wèn)題代數(shù)化，分析函數(shù)即可．跟蹤訓(xùn)練4已知點(diǎn)A（4，5，6），B（－5，0，10),在z軸上有一點(diǎn)P,使|PA｜＝|PB｜，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______．考點(diǎn)求空間中點(diǎn)的坐標(biāo)題點(diǎn)求空間中點(diǎn)的坐標(biāo)答案（0,0,6）解析設(shè)P（0，0,z)，由|PA|＝｜PB|，得eq\r（4－02＋5－02＋6－z2）＝eq\r(－5－02＋0－02＋10－z2)，解得z＝6?！帱c(diǎn)P的坐標(biāo)為（0,0，6）．1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(－1，－2，－3)到平面yOz的距離是（）A．1B．2C．3D。eq\r(14）考點(diǎn)空間中點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題題點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱問(wèn)題答案A2．以棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則正方形AA1B1B的對(duì)角線的交點(diǎn)坐標(biāo)為()A。eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（0，\f（1,2），\f（1,2））) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,2）,0，\f(1，2）)）C.eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，2），\f（1,2)，0）) D。eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,2)，\f（1，2），\f(1，2））)考點(diǎn)求空間中點(diǎn)的坐標(biāo)題點(diǎn)求空間中點(diǎn)的坐標(biāo)答案B解析由題圖得A（0，0，0），B1（1，0，1），所以對(duì)角線的交點(diǎn)即為AB1的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得對(duì)角線的交點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，2）,0，\f（1，2）))。3．設(shè)點(diǎn)P在x軸上，它到點(diǎn)P1（0，eq\r(2），3)的距離為到點(diǎn)P2(0，1，－1)的距離的兩倍，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(）A．（1，0，0） B．(－1，0，0）C．（1,0，0）或（0，－1，0) D．(1，0，0）或(－1，0，0)考點(diǎn)求空間中點(diǎn)的坐標(biāo)題點(diǎn)求空間中點(diǎn)的坐標(biāo)答案D解析因?yàn)辄c(diǎn)P在x軸上,所以設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，0，0)．由題意，知|PP1|＝2｜PP2|，所以eq\r(x－02＋0－\r（2)2＋0－32）＝2eq\r(x－02＋0－12＋0＋12).解得x＝±1.所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0，0）或（－1，0，0)．4。如圖,在空間直角坐標(biāo)系中，有一棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD－A′B′C′D′，A′C的中點(diǎn)E與AB的中點(diǎn)F的距離為()A。eq\r（2)a B.eq\f（\r(2),2)aC．a(chǎn) D.eq\f（1,2)a考點(diǎn)空間兩點(diǎn)間的距離公式題點(diǎn)空間兩點(diǎn)間的距離的計(jì)算答案B解析∵A′（a，0,a)，C(0,a，0），A(a，0，0）,B（a，a，0)，∴E點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（a,2），\f（a，2），\f（a,2)））,F點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(a，\f(a，2),0)），∴｜EF|＝eq\r(\f（a2,4）＋02＋\f(a2,4）)＝eq\f（\r（2），2)a.5．點(diǎn)P(1,1,1)關(guān)于xOy平面的對(duì)稱點(diǎn)P1的坐標(biāo)為_(kāi)_____；點(diǎn)P關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)P2的坐標(biāo)為_(kāi)_______．考點(diǎn)空間中點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題題點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的綜合問(wèn)題答案（1,1,－1)（－1,－1，1）解析點(diǎn)P(1,1，1）關(guān)于xOy平面的對(duì)稱點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(1,1,－1)，點(diǎn)P關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（－1，－1，1)．1．結(jié)合長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高理解點(diǎn)的坐標(biāo)（x,y，z),培養(yǎng)立體思維,增強(qiáng)空間想象力．2．學(xué)會(huì)用類(lèi)比聯(lián)想的方法理解空間直角坐標(biāo)系的建系原則,切實(shí)體會(huì)空間中點(diǎn)的坐標(biāo)及兩點(diǎn)間的距離公式同平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)及兩點(diǎn)間的距離公式的區(qū)別和聯(lián)系．3．在導(dǎo)出空間兩點(diǎn)間的距離公式的過(guò)程中體會(huì)轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用,突出化空間為平面的解題思想．一、選擇題1。如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,則點(diǎn)B1的坐標(biāo)是（）A．(1，0，0）B．(1,0，1)C．(1，1，1)D．（1，1,0）考點(diǎn)空間直角坐標(biāo)系題點(diǎn)空間中點(diǎn)的坐標(biāo)答案C解析點(diǎn)B1到三個(gè)坐標(biāo)平面的距離都為1，易知其坐標(biāo)為(1，1，1)，故選C。2．點(diǎn)A(0，－2，3)在空間直角坐標(biāo)系中的位置是（)A．在x軸上 B．在xOy平面內(nèi)C．在yOz平面內(nèi) D．在xOz平面內(nèi)考點(diǎn)已知坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)確定位置題點(diǎn)已知坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)確定位置答案C解析∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為0，∴點(diǎn)A（0，－2,3）在yOz平面內(nèi)．3．設(shè)點(diǎn)B是點(diǎn)A（2，－3,5）關(guān)于xOy平面的對(duì)稱點(diǎn)，則A，B兩點(diǎn)的距離為（)A．10B。eq\r(10)C。eq\r(38）D．38考點(diǎn)空間中點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題題點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱問(wèn)題答案A解析∵點(diǎn)B是A（2，－3，5）關(guān)于xOy平面的對(duì)稱點(diǎn)，∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)與點(diǎn)A相同,豎坐標(biāo)相反，∴B（2，－3，－5），∴AB的長(zhǎng)度是5－（－5)＝10.故選A。4．在空間直角坐標(biāo)系中，P(2，3，4），Q(－2，－3，－4）兩點(diǎn)的位置關(guān)系是()A．關(guān)于x軸對(duì)稱B．關(guān)于yOz平面對(duì)稱C．關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱D．以上都不對(duì)考點(diǎn)空間中點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題題點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題答案C解析當(dāng)三個(gè)坐標(biāo)均相反時(shí)，兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．5．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P(1，eq\r(2），eq\r（3)），過(guò)點(diǎn)P作平面yOz的垂線PQ，則垂足Q的坐標(biāo)為()A．（0，eq\r(2),0） B．（0,eq\r（2），eq\r(3)）C．(1,0,eq\r(3）) D．（1，eq\r(2），0)考點(diǎn)已知坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)確定位置題點(diǎn)已知坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)確定位置答案B6．在空間直角坐標(biāo)系中，若以點(diǎn)A（4,1，9），B(10，－1，6),C(x，4，3)為頂點(diǎn)的△ABC是以BC為底邊的等腰三角形，則實(shí)數(shù)x的值是（)A．－2 B．2C．6 D．2或6考點(diǎn)空間兩點(diǎn)間的距離公式及應(yīng)用題點(diǎn)空間兩點(diǎn)間的距離公式的綜合應(yīng)用答案D解析依題意有｜AB｜＝|AC｜，即eq\r（10－42＋－1－12＋6－92）＝eq\r(x－42＋4－12＋3－92），即x2－8x＋12＝0，解得x＝2或x＝6。7．一束光線自點(diǎn)P（1，1，1)發(fā)出，遇到平面xOy被反射,到達(dá)點(diǎn)Q（3，3,6）被吸收，那么光所走的路程是（)A.eq\r（37）B.eq\r(47)C。eq\r（33）D。eq\r（57)考點(diǎn)空間中點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題題點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的綜合問(wèn)題答案D解析點(diǎn)P(1，1，1）關(guān)于平面xOy的對(duì)稱點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，1，－1)．一束光線自點(diǎn)P（1,1，1)發(fā)出，遇到平面xOy被反射，到達(dá)點(diǎn)Q(3，3，6)被吸收，那么光所走的路程是eq\r(3－12＋3－12＋6＋12)＝eq\r(57).二、填空題8．已知平行四邊形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,－3，－5），B(－1，3，2)，對(duì)角線的交點(diǎn)是E(4，－1，7），則C，D的坐標(biāo)分別為_(kāi)_______________．考點(diǎn)空間中點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題題點(diǎn)中點(diǎn)坐標(biāo)公式及其應(yīng)用答案（6，1,19），（9,－5，12）解析由題意知，E為AC與BD的中點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式,可得C(6，1，19），D（9，－5，12)．9．如果點(diǎn)P在z軸上，且滿足｜PO|＝1(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，則點(diǎn)P到點(diǎn)A(1,1，1)的距離是________．考點(diǎn)求空間中點(diǎn)的坐標(biāo)題點(diǎn)求空間中點(diǎn)的坐標(biāo)答案eq\r（2)或eq\r(6）解析設(shè)P(0，0，z)，由|PO|＝eq\r（0－02＋0－02＋z－02）＝1,得z＝±1，∴P(0,0，1)或P(0,0，－1），則｜PA|＝eq\r(2)或eq\r(6).10．如圖所示的是棱長(zhǎng)為3a的正方體OABC－O′A′B′C′,點(diǎn)M在B′C′上,且｜C′M|＝2|MB′｜,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為_(kāi)_______．考點(diǎn)空間中點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題題點(diǎn)中點(diǎn)坐標(biāo)公式及其應(yīng)用答案（2a，3a,3a)解析∵|C′M|＝2｜MB′|,∴|C′M|＝eq\f（2,3）｜B′C′|＝2a，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2a,3a，3a)．11．已知正方體的六個(gè)面中,不在同一平面的兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(－1，2，－1)，B（3，－2，3），則正方體的體積是________．考點(diǎn)空間兩點(diǎn)間的距離公式及應(yīng)用題點(diǎn)空間兩點(diǎn)間的距離公式的綜合應(yīng)用答案64解析｜AB|＝eq\r(－1－32＋2＋22＋－1－32)＝4eq\r（3)。又因?yàn)锳(－1，2,－1),B（3，－2，3）不在同一平面上,所以A，B兩點(diǎn)間的距離即為正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)．設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為a,則eq\r(3)a＝4eq\r(3），即a＝4,所以正方體的體積為64.三、解答題12．在yOz平面上求與點(diǎn)A(3，1,2），B(4，－2，－2）,C(0，5，1）等距離的點(diǎn)P的坐標(biāo)．考點(diǎn)求空間中點(diǎn)的坐標(biāo)題點(diǎn)求空間中點(diǎn)的坐標(biāo)解設(shè)P(0，y，z),由題意得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(|PA|＝｜PC｜，,｜PB|＝｜PC|，）)所以eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(\r(0－32＋y－12＋z－22），＝\r（0－02＋y－52＋z－12，),\r(0－42＋y＋22＋z＋22)，＝\r（0－02＋y－52＋z－12，）））即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（4y－z－6＝0，，7y＋3z－1＝0，）)解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（y＝1,,z＝－2，）)所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1，－2)．13．如圖所示,正方體ABCD－A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為a,P,Q分別是D′B，B′C的中點(diǎn)，求｜PQ｜.考點(diǎn)空間兩點(diǎn)間的距離公式及應(yīng)用題點(diǎn)空間兩點(diǎn)間的距離公式的綜合應(yīng)用解以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD′所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，由題意得B(a，a，0)，D′（0，0，a），所以Peq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f（a，2），\f（a，2))）.又C(0，a，0)，B′(a，a，a），所以Qeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(a，2），a，\f(a,2))）。所以|PQ|＝eq\r(\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（a，2)－\f(a,2）))2＋\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co