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文檔簡介
學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精2.1.2向量的加法學(xué)習(xí)目標1。理解并掌握向量加法的概念,了解向量加法的物理意義及其幾何意義。2。掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則,并能熟練地運用這兩個法則作兩個向量的加法運算.3。了解向量加法的交換律和結(jié)合律,并能依據(jù)幾何意義作圖解釋向量加法運算律的合理性.知識點一向量加法的三角形法則與平行四邊形法則分析下列實例:(1)飛機從廣州飛往上海,再從上海飛往北京(如圖),這兩次位移的結(jié)果與飛機從廣州直接飛往北京的位移是相同的.(2)有兩條拖輪牽引一艘輪船,它們的牽引力分別是F1=3000N,F(xiàn)2=2000N,牽引繩之間的夾角為θ=60°(如圖),如果只用一條拖輪來牽引,也能產(chǎn)生跟原來相同的效果. 思考1從物理學(xué)的角度來講,上面實例中位移、牽引力說明了什么?體現(xiàn)了向量的什么運算?答案后面的一次位移叫做前面兩次位移的合位移,四邊形OACB的對角線eq\o(OC,\s\up6(→))表示的力是eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))表示的力的合力.體現(xiàn)了向量的加法運算.思考2上述實例中位移的和運算、力的和運算分別用了什么法則?答案三角形法則和平行四邊形法則.梳理(1)向量加法的定義求兩個向量和的運算,叫做向量的加法.
(2)三角形法則如圖所示,已知向量a,b,在平面上任取一點A,作eq\o(AB,\s\up6(→))=a,eq\o(BC,\s\up6(→))=b,再作向量eq\o(AC,\s\up6(→)),則向量eq\o(AC,\s\up6(→))叫做a與b的和(或和向量),記作a+b,即a+b=eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(BC,\s\up6(→))=eq\o(AC,\s\up6(→))。上述求兩個向量和的作圖法則,叫做向量求和的三角形法則.對于零向量與任一向量a的和,有a+0=0+a=a.(3)平行四邊形法則如圖所示,已知兩個不共線向量a,b,作eq\o(AB,\s\up6(→))=a,eq\o(AD,\s\up6(→))=b,則A,B,D三點不共線,以AB,AD為鄰邊作平行四邊形ABCD,則對角線上的向量eq\o(AC,\s\up6(→))=a+b,這個法則叫做兩個向量求和的平行四邊形法則.知識點二向量求和的多邊形法則思考如果一個動點先由點A位移到點B,再由點B位移到點C,最后由點C位移到點D,那么動點的合位移向量是多少?由此可得到向量加法的什么法則?答案合位移向量是eq\o(AD,\s\up6(→)),由此可得向量求和的多邊形法則.梳理已知n個向量,依次把這n個向量首尾相連,以第一個向量的始點為始點,第n個向量的終點為終點的向量叫做這n個向量的和向量,這個法則叫做向量求和的多邊形法則.知識點三向量加法的運算律思考1實數(shù)加法有哪些運算律?答案交換律和結(jié)合律.思考2根據(jù)圖中的平行四邊形ABCD,驗證向量加法是否滿足交換律.(注:eq\o(AB,\s\up6(→))=a,eq\o(AD,\s\up6(→))=b)答案∵eq\o(AC,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(BC,\s\up6(→)),∴eq\o(AC,\s\up6(→))=a+b.∵eq\o(AC,\s\up6(→))=eq\o(AD,\s\up6(→))+eq\o(DC,\s\up6(→)),∴eq\o(AC,\s\up6(→))=b+a。∴a+b=b+a.
思考3根據(jù)圖中的四邊形ABCD,驗證向量加法是否滿足結(jié)合律.(注:eq\o(AB,\s\up6(→))=a,eq\o(BC,\s\up6(→))=b,eq\o(CD,\s\up6(→))=c)答案∵eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\o(AC,\s\up6(→))+eq\o(CD,\s\up6(→))=(eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(BC,\s\up6(→)))+eq\o(CD,\s\up6(→)),∴eq\o(AD,\s\up6(→))=(a+b)+c。又∵eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(BD,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))+(eq\o(BC,\s\up6(→))+eq\o(CD,\s\up6(→))),∴eq\o(AD,\s\up6(→))=a+(b+c),∴(a+b)+c=a+(b+c).梳理向量加法的運算律交換律a+b=b+a結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)1.0+a=a+0=a.(√)2.eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(BC,\s\up6(→))=eq\o(AC,\s\up6(→))。(√)3。eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(BA,\s\up6(→))=0.(√)4。eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(BC,\s\up6(→))>eq\o(AC,\s\up6(→))。(×)5.|eq\o(AB,\s\up6(→))|+|eq\o(BC,\s\up6(→))|=|eq\o(AC,\s\up6(→))|。(×)類型一向量加法的三角形法則和平行四邊形法則例1如圖(1)(2),已知向量a,b,c,求作向量a+b和a+b+c.(1)(2)解(1)作法:在平面內(nèi)任意取一點O,作eq\o(OA,\s\up6(→))=a,eq\o(AB,\s\up6(→))=b,則eq\o(OB,\s\up6(→))=a+b。(2)在平面內(nèi)任意取一點O,作eq\o(OA,\s\up6(→))=a,eq\o(AB,\s\up6(→))=b,eq\o(BC,\s\up6(→))=c,則eq\o(OC,\s\up6(→))=a+b+c.反思與感悟向量加法的平行四邊形法則和三角形法則的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別:(1)三角形法則中強調(diào)“首尾相接",平行四邊形法則中強調(diào)“共起點”.(2)三角形法則適用于任意兩個非零向量求和,而平行四邊形法則僅適用于不共線的兩個向量求和.聯(lián)系:(1)當兩個向量不共線時,向量加法的三角形法則和平行四邊形法則是統(tǒng)一的.(2)三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出的圖形的一半.跟蹤訓(xùn)練1如圖所示,O為正六邊形ABCDEF的中心,化簡下列向量.(1)eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\o(OC,\s\up6(→))=________;(2)eq\o(BC,\s\up6(→))+eq\o(FE,\s\up6(→))=________;(3)eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\o(FE,\s\up6(→))=________。答案(1)eq\o(OB,\s\up6(→))(2)eq\o(AD,\s\up6(→))(3)0類型二向量加法運算律的應(yīng)用例2化簡:(1)eq\o(BC,\s\up6(→))+eq\o(AB,\s\up6(→));(2)eq\o(DB,\s\up6(→))+eq\o(CD,\s\up6(→))+eq\o(BC,\s\up6(→));(3)eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(DF,\s\up6(→))+eq\o(CD,\s\up6(→))+eq\o(BC,\s\up6(→))+eq\o(FA,\s\up6(→)).解(1)eq\o(BC,\s\up6(→))+eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(BC,\s\up6(→))=eq\o(AC,\s\up6(→))。(2)eq\o(DB,\s\up6(→))+eq\o(CD,\s\up6(→))+eq\o(BC,\s\up6(→))=eq\o(BC,\s\up6(→))+eq\o(CD,\s\up6(→))+eq\o(DB,\s\up6(→))=(eq\o(BC,\s\up6(→))+eq\o(CD,\s\up6(→)))+eq\o(DB,\s\up6(→))=eq\o(BD,\s\up6(→))+eq\o(DB,\s\up6(→))=0。(3)eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(DF,\s\up6(→))+eq\o(CD,\s\up6(→))+eq\o(BC,\s\up6(→))+eq\o(FA,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(BC,\s\up6(→))+eq\o(CD,\s\up6(→))+eq\o(DF,\s\up6(→))+eq\o(FA,\s\up6(→))=eq\o(AC,\s\up6(→))+eq\o(CD,\s\up6(→))+eq\o(DF,\s\up6(→))+eq\o(FA,\s\up6(→))=eq\o(AD,\s\up6(→))+eq\o(DF,\s\up6(→))+eq\o(FA,\s\up6(→))=eq\o(AF,\s\up6(→))+eq\o(FA,\s\up6(→))=0.反思與感悟(1)根據(jù)向量加法的交換律使各向量首尾連接,再運用向量的結(jié)合律調(diào)整向量順序后相加.(2)向量求和的多邊形法則:eq\o(A1A2,\s\up6())+eq\o(A2A3,\s\up6(→))+eq\o(A3A4,\s\up6(→))+…+eq\o(An-1An,\s\up6(→))=eq\o(A1An,\s\up6(→))。特別地,當An和A1重合時,eq\o(A1A2,\s\up6(→))+eq\o(A2A3,\s\up6(→))+eq\o(A3A4,\s\up6(→))+…+eq\o(An-1A1,\s\up6(→))=0。跟蹤訓(xùn)練2已知正方形ABCD的邊長等于1,則|eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AD,\s\up6(→))+eq\o(BC,\s\up6(→))+eq\o(DC,\s\up6(→))|=________。答案2eq\r(2)解析|eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AD,\s\up6(→))+eq\o(BC,\s\up6(→))+eq\o(DC,\s\up6(→))|=|eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(BC,\s\up6(→))+eq\o(AD,\s\up6(→))+eq\o(DC,\s\up6(→))|=|eq\o(AC,\s\up6(→))+eq\o(AC,\s\up6(→))|=2|eq\o(AC,\s\up6(→))|=2eq\r(2)。類型三向量加法的實際應(yīng)用例3在靜水中船的速度為20m/min,水流的速度為10m/min,如果船從岸邊出發(fā)沿垂直于水流的航線到達對岸,求船行進的方向.解作出圖形,如圖所示.船速v船與岸的方向成α角,由圖可知v水+v船=v實際,結(jié)合已知條件,四邊形ABCD為平行四邊形.在Rt△ACD中,|eq\o(CD,\s\up6(→))|=|eq\o(AB,\s\up6(→))|=|v水|=10m/min,|eq\o(AD,\s\up6(→))|=|v船|=20m/min,∴cosα=eq\f(|\o(CD,\s\up6(→))|,|\o(AD,\s\up6(→))|)=eq\f(10,20)=eq\f(1,2),∴α=60°,從而船與水流方向成120°的角.∴船是沿與水流的方向成120°的角的方向行進的.引申探究1.若本例中條件不變,則經(jīng)過1h,該船的實際航程是多少?解由例3知v船=20m/min,v實際=20×sin60°=10eq\r(3)(m/min),故該船1h行駛的航程為10eq\r(3)×60=600eq\r(3)(m)=eq\f(3\r(3),5)(km).2.若本例中其他條件不變,改為若船沿垂直水流的方向航行,求船實際行進的方向與岸方向的夾角的正切值.解如圖,作平行四邊形ABDC,則eq\o(AD,\s\up6(→))=v實際,設(shè)船實際航向與岸方向的夾角為α,則tanα=eq\f(|\o(BD,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|)=eq\f(20,10)=2。即船實際行進的方向與岸方向的夾角的正切值為2.反思與感悟向量既有大小又有方向的特性在實際生活中有很多應(yīng)用,準確作出圖象是解題關(guān)鍵.跟蹤訓(xùn)練3如圖,用兩根繩子把重10N的物體W吊在水平桿子AB上,∠ACW=150°,∠BCW=120°,求A和B處所受力的大?。ɡK子的重量忽略不計)解如圖所示,設(shè)eq\o(CE,\s\up6(→)),eq\o(CF,\s\up6(→))分別表示A,B所受的力,10N的重力用eq\o(CG,\s\up6(→))表示,則eq\o(CE,\s\up6(→))+eq\o(CF,\s\up6(→))=eq\o(CG,\s\up6(→))。易得∠ECG=180°-150°=30°,∠FCG=180°-120°=60°,∴|eq\o(CE,\s\up6(→))|=|eq\o(CG,\s\up6(→))|cos30°=10×eq\f(\r(3),2)=5eq\r(3)(N),|eq\o(CF,\s\up6(→))|=|eq\o(CG,\s\up6(→))|cos60°=10×eq\f(1,2)=5(N).∴A處所受的力為5eq\r(3)N,B處所受的力為5N。1.如圖,在正六邊形ABCDEF中,eq\o(BA,\s\up6(→))+eq\o(CD,\s\up6(→))+eq\o(EF,\s\up6(→))等于()A.0 B.eq\o(BE,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→)) D。eq\o(CF,\s\up6(→))考向向量加法法則題點結(jié)合圖形求向量的和答案D解析eq\o(BA,\s\up6(→))+eq\o(CD,\s\up6(→))+eq\o(EF,\s\up6(→))=eq\o(DE,\s\up6(→))+eq\o(CD,\s\up6(→))+eq\o(EF,\s\up6(→))=eq\o(CE,\s\up6(→))+eq\o(EF,\s\up6(→))=eq\o(CF,\s\up6(→)).2.如圖,D,E,F(xiàn)分別是△ABC的邊AB,BC,CA的中點,則下列等式中錯誤的是()A。eq\o(FD,\s\up6(→))+eq\o(DA,\s\up6(→))+eq\o(DE,\s\up6(→))=0B.eq\o(AD,\s\up6(→))+eq\o(BE,\s\up6(→))+eq\o(CF,\s\up6(→))=0C。eq\o(FD,\s\up6(→))+eq\o(DE,\s\up6(→))+eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))D。eq\o(AD,\s\up6(→))+eq\o(EC,\s\up6(→))+eq\o(FD,\s\up6(→))=eq\o(BD,\s\up6(→))答案D解析eq\o(FD,\s\up6(→))+eq\o(DA,\s\up6(→))+eq\o(DE,\s\up6(→))=eq\o(FA,\s\up6(→))+eq\o(DE,\s\up6(→))=0,eq\o(AD,\s\up6(→))+eq\o(BE,\s\up6(→))+eq\o(CF,\s\up6(→))=eq\o(AD,\s\up6(→))+eq\o(DF,\s\up6(→))+eq\o(FA,\s\up6(→))=0,eq\o(FD,\s\up6(→))+eq\o(DE,\s\up6(→))+eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\o(FE,\s\up6(→))+eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\o(AD,\s\up6(→))+eq\o(DB,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(AD,\s\up6(→))+eq\o(EC,\s\up6(→))+eq\o(FD,\s\up6(→))=eq\o(AD,\s\up6(→))+0=eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\o(DB,\s\up6(→))≠eq\o(BD,\s\up6(→))。故選D。3.已知正方形的邊長為1,eq\o(AB,\s\up6(→))=a,eq\o(BC,\s\up6(→))=b,eq\o(AC,\s\up6(→))=c,則|a+b+c|等于()A.0B.3C.2eq\r(2)D.eq\r(2)答案C解析∵eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(BC,\s\up6(→))=eq\o(AC,\s\up6(→)),∴|a+b+c|=|2c|=2eq\r(2).4。如圖所示,在四邊形ABCD中,eq\o(AC,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AD,\s\up6(→)),則四邊形為()A.矩形B.正方形C.平行四邊形D.菱形答案C解析∵eq\o(AC,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AD,\s\up6(→)),∴eq\o(DC,\s\up6(→))=eq\o(DA,\s\up6(→))+eq\o(AC,\s\up6(→))=eq\o(DA,\s\up6(→))+eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\o(DA,\s\up6(→))+eq\o(AD,\s\up6(→))+eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→)),即eq\o(DC,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→)),∴四邊形ABCD為平行四邊形.5.小船以10eq\r(3)km/h的靜水速度沿垂直于對岸的方向行駛,同時河水的流速為10km/h,則小船的實際航行速度的大小為________km/h。答案20解析如圖,設(shè)船在靜水中的速度為|v1|=10eq\r(3)km/h,河水的流速為|v2|=10km/h,小船的實際航行速度為v0,則由|v1|2+|v2|2=|v0|2,得(10eq\r(3))2+102=|v0|2,所以|v0|=20km/h,即小船實際航行速度的大小為20km/h。1.三角形法則和平行四邊形法則都是求向量和的基本方法,兩個法則是統(tǒng)一的,當兩個向量首尾相連時常選用三角形法則,當兩個向量共起點時,常選用平行四邊形法則.2.向量的加法滿足交換律,因此在進行多個向量的加法運算時,可以按照任意的次序和任意的組合去進行.3.在使用向量加法的三角形法則時要特別注意“首尾相接".和向量的特征是從第一個向量的起點指向第二個向量的終點.向量相加的結(jié)果是向量,如果結(jié)果是零向量,一定要寫成0,而不應(yīng)寫成0。一、選擇題1.作用在同一物體上的兩個力F1=60N,F(xiàn)2=60N,當它們的夾角為120°時,則這兩個力的合力大小為()A.30NB.60NC.90ND.120N答案B2.如圖,在平行四邊形ABCD中,O是對角線的交點,下列結(jié)論正確的是()A。eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\o(CD,\s\up6(→)),eq\o(BC,\s\up6(→))=eq\o(AD,\s\up6(→)) B.eq\o(AD,\s\up6(→))+eq\o(OD,\s\up6(→))=eq\o(DA,\s\up6(→))C.eq\o(AO,\s\up6(→))+eq\o(OD,\s\up6(→))=eq\o(AC,\s\up6(→))+eq\o(CD,\s\up6(→)) D。eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(BC,\s\up6(→))+eq\o(CD,\s\up6(→))=eq\o(DA,\s\up6(→))答案C3.下列說法正確的個數(shù)為()①如果非零向量a與b的方向相同或相反,那么a+b的方向必與a或b的方向相同;②在△ABC中,必有eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(BC,\s\up6(→))+eq\o(CA,\s\up6(→))=0;③若eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(BC,\s\up6(→))+eq\o(CA,\s\up6(→))=0,則A,B,C一定為一個三角形的三個頂點;④若a,b均為非零向量,則|a+b|=|a|+|b|。A.0B.1C.2D.3答案B解析①錯,若a+b=0,則a+b的方向是任意的;②正確;③錯,當A,B,C三點共線時,也滿足eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(BC,\s\up6(→))+eq\o(CA,\s\up6(→))=0;④錯,|a+b|≤|a|+|b|.4.已知四邊形ABCD為菱形,則下列等式中成立的是()A。eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(BC,\s\up6(→))=eq\o(CA,\s\up6(→)) B。eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AC,\s\up6(→))=eq\o(BC,\s\up6(→))C。eq\o(AC,\s\up6(→))+eq\o(BA,\s\up6(→))=eq\o(AD,\s\up6(→)) D。eq\o(AC,\s\up6(→))+eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\o(DC,\s\up6(→))答案C解析對于A,eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(BC,\s\up6(→))=eq\o(AC,\s\up6(→))≠eq\o(CA,\s\up6(→));對于B,eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AC,\s\up6(→))≠eq\o(BC,\s\up6(→));對于C,eq\o(AC,\s\up6(→))+eq\o(BA,\s\up6(→))=eq\o(BA,\s\up6(→))+eq\o(AC,\s\up6(→))=eq\o(BC,\s\up6(→)),又eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\o(BC,\s\up6(→)),所以eq\o(AC,\s\up6(→))+eq\o(BA,\s\up6(→))=eq\o(AD,\s\up6(→));對于D,eq\o(AC,\s\up6(→))+eq\o(AD,\s\up6(→))≠eq\o(DC,\s\up6(→))。5.已知a,b為非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,則()A.a(chǎn)∥b,且a與b方向相同B.a(chǎn),b是共線向量且方向相反C.a(chǎn)=bD.a(chǎn),b無論什么關(guān)系均可答案A6.若在△ABC中,AB=AC=1,|eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AC,\s\up6(→))|=eq\r(2),則△ABC的形狀是()A.正三角形 B.銳角三角形C.斜三角形 D.等腰直角三角形答案D解析以AB,AC為鄰邊作平行四邊形ABDC,∵AB=AC=1,AD=eq\r(2),∴∠ABD=90°,該四邊形為正方形,∴∠BAC=90°,∴△ABC為等腰直角三角形,故選D.7.如圖所示的方格紙中有定點O,P,Q,E,F,G,H,則eq\o(OP,\s\up6(→))+eq\o(OQ,\s\up6(→))等于()A。eq\o(OH,\s\up6(→))B。eq\o(OG,\s\up6(→))C.eq\o(FO,\s\up6(→))D。eq\o(EO,\s\up6(→))答案C解析設(shè)a=eq\o(OP,\s\up6(→))+eq\o(OQ,\s\up6(→)),利用平行四邊形法則作出向量eq\o(OP,\s\up6(→))+eq\o(OQ,\s\up6(→)),再平移即發(fā)現(xiàn)a=eq\o(FO,\s\up6(→))。二、填空題8.如圖,在平行四邊形ABCD中,O是AC和BD的交點.(1)eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AD,\s\up6(→))=________;(2)eq\o(AC,\s\up6(→))+eq\o(CD,\s\up6(→))+eq\o(DO,\s\up6(→))=________;(3)eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AD,\s\up6(→))+eq\o(CD,\s\up6(→))=________;(4)eq\o(AC,\s\up6(→))+eq\o(BA,\s\up6(→))+eq\o(DA,\s\up6(→))=________。答案(1)eq\o(AC,\s\up6(→))(2)eq\o(AO,\s\up6(→))(3)eq\o(AD,\s\up6(→))(4)09.根據(jù)圖示填空,其中a=eq\o(DC,\s\up6(→)),b=eq\o(CO,\s\up6(→)),c=eq\o(OB,\s\up6(→)),d=eq\o(BA,\s\up6(→))。(1)a+b+c=________;(2)b+d+c=________。答案(1)eq\o(DB,\s\up6(→))(2)eq\o(CA,\s\up6(→))解析(1)a+b+c=eq\o(DC,\s\up6(→))+eq\o(CO,\s\up6(→))+eq\o(OB,\s\up6(→))=eq\o(DB,\s\up6(→))。(2)b+d+c=eq\o(CO,\s\up6(→))+eq\o(BA,\s\up6(→))+eq\o(OB,\s\up6(→))=eq\o(CA,\s\up6(→))。10.在平行四邊形ABCD中,eq\o(BC,\s\up6(→))+eq\o(DC,\s\up6(→))+eq\o(BA,\s\up6(→))+eq\o(DA,\s\up6(→))=________.答案0三、解答題11.如圖,在平行四邊形ABCD中,對角線AC與BD交于O點,P為平面內(nèi)任意一點.求證:eq\o(PA,\s\up6(→))+eq\o(PB,\s\up6(→))+eq\o(PC,\s\up6(→))+eq\o(PD,\s\up6(→))=4eq\o(PO,\s\up6(→))。證明∵eq\o(PA,\s\up6(→))+eq\o(PB,\s\up6(→))+eq\o(PC,\s\up6(→))+eq\o(PD,\s\up6(→))=eq\o(PO,\s\up6(→))+eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\o(PO,\s\up6(→))+eq\o(OB,\s\up6(→))+eq\o(PO,\s\up6(→))+eq\o(OC,\s\up6(→))+eq\o(PO,\s\up6(→))+eq\o(OD,\s\up6(→))=4eq\o(PO,\s\up6(→))+(eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\o(OB,\s\up6(→))+eq\o(OC,\s\up6(→))+eq\o(OD,\s\up6(→)))=4eq\o(PO,\s\up6(→))+(eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\o(OC,\s\up6(→)))+(eq\o(OB,\s\up6(→))+eq\o(OD,\s\up6(→)))=4eq\o(PO,\s\up6(→))+0+0=4eq\o(PO,\s\up6(→)),∴eq\o(PA,\s\up6(→))+eq\o(PB,\s\up6(→))+eq\o(PC,\s\up6(→))+eq\o(PD,\s\up6(→))=4eq\o(PO,\s\up6(→)).12.在水流速度為4eq\r(3)km/h的河中,要使船以12km/h的實際航速與河岸成直角行駛,求船的航行速度的大小和方向.解如圖,設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))表示水流的速度,則eq\o(AC,\s\up6(→))表示船的實際航行速度,連接BC,作AD∥BC,且AD=BC,則eq\o(AD,\s\up6(→))為所求船的航行速度,且eq\o(AD,\s\up6(→))+eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\o(AC,\s\up6(→)).∵|eq\o(AB,\s\up6(→))|=4eq\r(3)km/h,|eq\o(AC,\s\up6(→))|=12km/h,∴tan∠ACB=eq\f(4\r(3),12)=eq\f(\r(3),3).∴∠ACB=30°=∠CAD,|eq\o(AD,\s\up6(→))|=|eq\o(BC,\s\up6(→))|=8eq\r(3)km/h,∠BAD=120°.∴船的航行速度的大小為8eq\r(3)km/h,方向與水流速度成120°角.13.如圖,E,F,G,H分別是梯形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點,化簡下列各式:(1)eq\o(DG,\s\up6(→))+eq\o(EA,\s\up6(→))+eq\o(CB,\s\up6(→));(2)eq\o(EG,\s\up6(→))+eq\o(CG,\s\up6(→))+eq\o(DA,\s\up6(→))+eq\o(EB,\s\up6(→)).解(1)eq\o(DG,\s\up6(→))+eq\o(EA,\s\up6(→))+eq\o(CB,\s\up6(→))=eq\o(GC,\s\up6(→
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