高中數(shù)學(xué)知識點考點梳理匯總(必修1-5,選修系列)

高中數(shù)學(xué)知識點考點匯編

必修1知識點

第一章集合與函數(shù)概念

〖1.1〗集合

【1.1.1】集合的含義與表示

（1）集合的概念

集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.

（2）常用數(shù)集及其記法

N表示自然數(shù)集，N或N表示正整數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實數(shù)集.

（3）集合與元素間的關(guān)系

對象a與集合M的關(guān)系是aM，或者aM，兩者必居其一.

（4）集合的表示法

①自然語言法：用文字敘述的形式來描述集合.

②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)表示集合.

③描述法：{x|x具有的性質(zhì)}，其中x為集合的代表元素.

④圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.

（5）集合的分類

①含有有限個元素的集合叫做有限集.②含有無限個元素的集合叫做無限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().

【1.1.2】集合間的基本關(guān)系

（6）子集、真子集、集合相等

（7）已知集合

空真子集.A有n(n1)個元素，則它有2n個子集，它有2n1個真子集，它有2n1個非空子集，它有2n2非

【1.1.3】集合的基本運算

（8）交集、并集、補集

1

（1）含絕對值的不等式的解法

（2）一元二次不等式的解法

【1.2.1】函數(shù)的概念

（1）函數(shù)的概念

①設(shè)

A、B是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種對應(yīng)法則f

，對于集合

A中任何一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確

）叫做集合

定的數(shù)

f(x)和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)（包括集合A，B以及A到B的對應(yīng)法則f

2

A到B的一個函

數(shù)，記作f:AB．

②函數(shù)的三要素:定義域、值域和對應(yīng)法則．

③只有定義域相同，且對應(yīng)法則也相同的兩個函數(shù)才是同一函數(shù)．

（2）區(qū)間的概念及表示法

①設(shè)a,b是兩個實數(shù)，且ab，滿足axb的實數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，記做[a,b]；滿足axb的實

xb，或axb的實數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別記

x,ax,的x實b數(shù)b數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，記做(a,b)；滿足a做[a,b)，(a,b]；滿足x,ax的集合分別記做

[a,),(a,),(,b],(,b)．

注意：對于集合{x|axb}與區(qū)間(a,b)，前者a可以大于或等于b，而后者必須

ab．

（3）求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則：

①

②

③f(x)是整式時，定義域是全體實數(shù)．f(x)是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù)．f(x)是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數(shù)的集合．

④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1．

⑤ytanx中，xk

2(kZ)．

⑥零（負）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零．

⑦若f(x)是由有限個基本初等函數(shù)的四則運算而合成的函數(shù)時，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集．⑧對于求復(fù)合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若已知

等式af(x)的定義域為[a,b]，其復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域應(yīng)由不g(x)b解出．

⑨對于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具體情況需對字母參數(shù)進行分類討論．

⑩由實際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實際意義．

（4）求函數(shù)的值域或最值

求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的．事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最?。ù螅?shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最?。ù螅┲担虼饲蠛瘮?shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的，只是提問的角度不同．求函數(shù)值域與最值的常用方法：

①觀察法：對于比較簡單的函數(shù)，我們可以通過觀察直接得到值域或最值．

②配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值．③判別式法：若函數(shù)yf(x)可以化成一個系數(shù)含有y的關(guān)于x的二次方程a(y)x2b(y)xc(y)0，則在a(y)0時，由于x,y為實數(shù)，故必須有b2(y)4a(y)c(y)0，從而確定函數(shù)的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值．

3

⑤換元法：通過變量代換達到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值

問題．

⑥反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值．⑦數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值．⑧函數(shù)的單調(diào)性法．

【1.2.2】函數(shù)的表示法

（5）函數(shù)的表示方法

表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種．

解析法：就是用數(shù)學(xué)表達式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．圖

象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．（6）映射的概念

①設(shè)

A、B是兩個集合，如果按照某種對應(yīng)法則f

，對于集合

A中任何一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它

）叫做集合

A到B的映射，記作f:AB．

對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)（包括集合

A，B以及A到B的對應(yīng)法則f

②給定一個集合

A到集合B的映射，且aA,bB．如果元素a和元素b對應(yīng)，那么我們把元素b叫做元素a的

象，元素a叫做元素b的原象．

〖1.3〗函數(shù)的基本性質(zhì)

【1.3.1】單調(diào)性與最大（小）值

（1）函數(shù)的單調(diào)性

①定義及判定方法

③

ug(x)為增，則yf[g(x)]為增；若yf(u)為減，ug(x)為減，則yf[g(x)]為增；若yf(u)

為增，u

g(x)為減，則yf[g(x)]為減；若yf(u)為減，ug(x)為增，則yf[g(x)]為減．

（2）打“√”函數(shù)

a

f(x)x(a0)的圖象與性質(zhì)

x

f(x

)分別在(,

、

)上為增函數(shù)，分別在[

、上為減函數(shù)．

（3）最大（?。┲刀x①一般地，設(shè)函數(shù)

yf(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：（1）對于任意的xI，都有

是函數(shù)

f(x)M

；．

（2）存在x0I，使得

②一般地，設(shè)函數(shù)

f(x0)M．那么，我們稱Mf(x)的最大值，記作fmax(x)M

yf(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)m滿足：（1）對于任意的xI，都有（2）f(x)m；

存在x0I，使得f(x0)m．那么，我們稱m是函數(shù)f(x)的最小值，記作fmax(x)m．

【1.3.2】奇偶性

（4）函數(shù)的奇偶性

①定義及判定方法

②若函數(shù)

f(x)為奇函數(shù)，且在x0處有定義，則f(0)0．

③奇函數(shù)在

y軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在y軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相反．

④在公共定義域②化解函數(shù)解析式；③討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性）；④畫出函數(shù)的圖象．利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：

要準確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖象．

5

①平移變換

h0,左移h個單位k0,上移k個單位yf(x)yf(xh)yf(x)yf(x)kh0,右移|h|個單位k0,下移|k|個單位

②伸縮變換

01,伸yf(x)yf(x)1,縮

0A1,縮yf(x)yAf(x)A1,伸

③對稱變換

y軸x軸yf(x)yf(x)yf(x)yf(x)

直線yx原點yf(x)yf(x)yf(x)yf1(x)

去掉y軸左邊圖象yf(x)yf(|x|)保留y軸右邊圖象，并作其關(guān)于y軸對稱圖象

保留x軸上方圖象yf(x)y|f(x)|將x軸下方圖象翻折上去

（2）識圖

對于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系．

（3）用圖

函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得問題結(jié)果的

重要工具．要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法．

第二章基本初等函數(shù)(Ⅰ)

〖2.1〗指數(shù)函數(shù)

【2.1.1】指數(shù)與指數(shù)冪的運算

（1）根式的概念

①如果x

na,aR,xR,n1，且nN，那么x叫做a的n次方根．當n是奇數(shù)時，a的n次方根用

的n次n是偶數(shù)時，正數(shù)a的正的n

n

次方根用符號0

方根是0；負數(shù)a沒有n次方根．

這里n叫做根指數(shù)，當n為奇數(shù)時，當n為偶數(shù)時，

a0．a(chǎn)叫做被開方數(shù)．a(chǎn)為任意實數(shù)；

③根式的性質(zhì)：（2）分數(shù)指數(shù)冪的概念

a(a0)na；當n

a；當n為偶數(shù)時，

|a|．a(chǎn)(a0)

m

n①正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是：aa0,m,nN,且n1)．0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0．

m

n②正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是：a1m()na0,m,nN,且n1)．0a的負分數(shù)指數(shù)冪

沒有意義．注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù)．

（3）分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)

①arasars(a0,r,sR)②(ar)sars(a0,r,sR)

6

③(ab)

r

arbr(a0,b0,rR)

【2.1.2】指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

（4）指數(shù)函數(shù)

〖2.2〗對數(shù)函數(shù)【2.2.1】對數(shù)與對數(shù)運算

（1）對數(shù)的定義①若a

x

N(a0,且a1)，則x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x

logaN，其中a叫做底數(shù)，N

叫做真數(shù)．

②負數(shù)和零沒有對數(shù)．③對數(shù)式與指數(shù)式的互化：x（2）幾個重要的對數(shù)恒等式

logaNaxN(a0,a1,N0)．

loga10，logaa1，logaabb．

（3）常用對數(shù)與自然對數(shù)

常用對數(shù)：lgN，即log10

N；自然對數(shù)：lnN，即logeN（其中e2.71828?）．

7

（4）對數(shù)的運算性質(zhì)如果a0,a1,M

①加法：loga

0,N0，那么

MlogaNloga(MN)②減法：logaMlogaNloga

MlogaMn(nR)④alogaNN

MN

③數(shù)乘：nloga

⑤log

ab

Mn

logbNn

(b0,且b1)logaM(b0,nR)⑥換底公式：logaN

logbab

【2.2.2】對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

（5）對數(shù)函數(shù)

(6)反函數(shù)的概念

設(shè)函數(shù)

yf(x)的定義域為A，值域為C，從式子yf(x)中解出x，得式子x(y)．如果對于y在C

(y)，x在A中都有唯一確定的值和它對應(yīng)，那么式子x(y)表示x是y的函

中的任何一個值，通過式子x

8

數(shù)，函數(shù)x

(y)叫做函數(shù)yf(x)的反函數(shù)，記作xf1(y)，習(xí)慣上改寫成yf1(x)．

（7）反函數(shù)的求法

①確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；②從原函數(shù)式③將x

yf(x)中反解出xf1(y)；

f1(y)改寫成yf1(x)，并注明反函數(shù)的定義域．

（8）反函數(shù)的性質(zhì)①原函數(shù)

②函數(shù)

yf(x)與反函數(shù)yf1(x)的圖象關(guān)于直線yx對稱．

yf(x)的定義域、值域分別是其反函數(shù)yf1(x)的值域、定義域．

yf(x)的圖象上，則P’(b,a)在反函數(shù)yf1(x)的圖象上．

③若P(a,b)在原函數(shù)④一般地，函數(shù)

yf(x)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù)．

〖2.3〗冪函數(shù)

（1）冪函數(shù)的定義一般地，函數(shù)

yx叫做冪函數(shù)，其中x為自變量，是常數(shù)．

（3）冪函數(shù)的性質(zhì)

①圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象．冪函數(shù)是偶函數(shù)時，圖象分布在第一、二象限(圖象關(guān)于y軸對稱)；是奇函數(shù)時，圖象分布在第一、三象限(圖象關(guān)于原點對稱)；是非奇非偶函數(shù)時，圖象只分布在第一象限．②過定點：所有的冪函數(shù)在(0,)都有定義，并且圖象都通過點(1,1)．

③單調(diào)性：如果0，則冪函數(shù)的圖象過原點，并且在[0,)上為增函數(shù)．如果0，則冪函數(shù)的圖象在(0,)

y軸．上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近x軸與

④奇偶性：當為奇數(shù)時，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當為偶數(shù)時，冪函數(shù)為偶函數(shù)．當

q

pqpq（其中p,q互質(zhì)，p和qZ），p是偶函數(shù)，若若

則p為奇數(shù)q為奇數(shù)時，則yx是奇函數(shù)，若p為奇數(shù)q為偶數(shù)時，則yxp為偶數(shù)q為奇數(shù)時，yxq

p是非奇非偶函數(shù)．

⑤圖象特征：冪函數(shù)

在直線yx,x(0,)，當1時，若0x1，其圖象在直線yx下方，若x1，其圖象yx上方，當1時，若0x1，其圖象在直線yx上方，若x1，其圖象在直線yx下方．

〖補充知識〗二次函數(shù)

（1）二次函數(shù)解析式的三種形式

①一般式：f(x)ax2bxc(a0)②頂點式：f(x)a(xh)2k(a0)③兩根式：

f(x)a(xx1)(xx2)(a0)（2）求二次函數(shù)解析式的方法

①已知三個點坐標時，宜用一般式．

②已知拋物線的頂點坐標或與對稱軸有關(guān)或與最大（?。┲涤嘘P(guān)時，常使用頂點式．

③若已知拋物線與x軸有兩個交點，且橫線坐標已知時，選用兩根式求

（3）二次函數(shù)圖象的性質(zhì)

①二次函數(shù)f(x)更方便．f(x)ax2bxc(a0)的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為xb,頂點坐標是2a

b4acb2

(,)．2a4a

10

②當a0時，拋物線開口向上，函數(shù)在(,

bbb

]上遞減，在[,)上遞增，當x

2a2a2a

時，

4acb2

fmin(x)

4a

時，

；當a0時，拋物線開口向下，函數(shù)在(,

bbb

在[當x]上遞增，,)上遞減，

2a2a2a

4acb2

fmax(x)

4a

．

③二次函數(shù)

f(x)ax2bxc(a0)當b24ac0時，圖象與x

軸有兩個交點

．|a|

M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2||x1x2|

（4）一元二次方程ax

2

bxc0(a0)根的分布

一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要設(shè)一元二次方程ax

2

bxc0(a0)的兩實根為x1,x2，且x1x2．令f(x)ax2bxc，從以下四個

b2a

③判別式：④端點函數(shù)值符號．

方面來分析此類問題：①開口方向：a②對稱軸位置：x①k＜x1≤x2

②x1≤x2＜k

③x1＜k＜x2af(k)＜0

11

④k1＜x1≤x2＜k2

⑤有且僅有一個根x1（或x2）滿足k1＜x1（或x2）＜k2

f(k1)f(k2)0，并同時考慮f(k1)=0或f(k2)=0這兩種情況是否也符合

⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2此結(jié)論可直接由⑤推出．（5）二次函數(shù)設(shè)

f(x)ax2bxc(a0)在閉區(qū)間[p,q]上的最值

，最小值為m，令x0

f(x)在區(qū)間[p,q]上的最大值為M

（Ⅰ）當a

1

(pq)．2

0時（開口向上）

①若

bbbb

p，則mf(p)②若pq，則mf()③若q，則mf(q)

2a

2a2a2a

x

x

x

12

①若bbx0，則Mf(q)②x0，則Mf(p)2ax

x

(Ⅱ)當a0時(開口向下)①若

①若

bbbb

p，則Mf(p)②若pq，則Mf()③若q，則Mf(q)

2a2a2a2a

x

x

x

f

f

bbx0，則mf(q)②x0，則mf(p)．2a2a

x

f

x

一、方程的根與函數(shù)的零點1、函數(shù)零點的概念：對于函數(shù)的零點。

2、函數(shù)零點的意義：函數(shù)點的橫坐標。即：方程

第三章函數(shù)的應(yīng)用

yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的實數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)(xD)

yf(x)的零點就是方程f(x)0實數(shù)根，亦即函數(shù)yf(x)的圖象與x軸交

f(x)0有實數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點函數(shù)yf(x)有零點．

3、函數(shù)零點的求法：

yf(x)的零點：

1（代數(shù)法）求方程f(x)0的實數(shù)根；○

求函數(shù)

2（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)○

零點．

4、二次函數(shù)的零點：二次函數(shù)

yf(x)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出

yax2bxc(a0)．

2

１）△＞０，方程axbxc0有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點．

13

２）△＝０，方程axbxc

一個二重零點或二階零點．

３）△＜０，方程ax22，二次函數(shù)的圖象與x軸有一個交點，二次函數(shù)有0有兩相等實根（二重根）bxc0無實根，二次函數(shù)的圖象與x軸無交點，二次函數(shù)無零點．

高中數(shù)學(xué)必修2知識點

第一章空間幾何體

1.1柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征

1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖

1三視圖：

正視圖：從前往后側(cè)視圖：從左往右俯視圖：從上往下

2畫三視圖的原則：

長對齊、高對齊、寬相等

3直觀圖：斜二測畫法

4斜二測畫法的步驟：

（1）.平行于坐標軸的線依然平行于坐標軸；

（2）.平行于y軸的線長度變半，平行于x，z軸的線長度不變；

（3）.畫法要寫好。

5用斜二測畫法畫出長方體的步驟：（1）畫軸（2）畫底面（3）畫側(cè)棱（4）成圖

1.3空間幾何體的表面積與體積

（一）空間幾何體的表面積

1棱柱、棱錐的表面積：各個面面積之和

2圓柱的表面積Srlr23圓錐的表面積S22

4圓臺的表面積Srlr2rlr2RlR25球的表面積S4R2

1S底h3

D

ABC（二）空間幾何體的體積1柱體的體積3臺體的體積VS底h2錐體的體積V1VS上S上S下S下)h4球體的體積34VR33

第二章直線與平面的位置關(guān)系

2.1空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

2.1.1

1平面含義：平面是無限延展的

2平面的畫法及表示

（1）平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，銳角畫成45，且橫邊畫成鄰邊的2倍長（如圖）

（2）平面通常用希臘字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個頂點或者相對的兩個頂點的大寫字母來表示，如平面AC、平面ABCD等。

3三個公理：

（1）公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面140L

公理1作用：判斷直線是否在平面·C··AB2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

1空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：

共面直線

異面直線：不同在任何一個平面)；②兩條異面直線所成的角θ∈(0，

2③當兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作a⊥b；

④兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；

⑤計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。

2.1.3—2.1.4空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系

1、直線與平面有三種位置關(guān)系：

（1）直線在平面α來表示

aαa∩α=Aa∥α

2.2.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)

2.2.1直線與平面平行的判定

1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面α

bβ∥α

15

a∥b

2.2.2平面與平面平行的判定

1、兩個平面平行的判定定理：一個平面β

bβ

a∩

β∥

αa

∥α

b∥α2、判斷兩平面平行的方法有三種：

（1）用定義；

（2）判定定理；

（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行。

2.2.3—2.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)

1、定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。

簡記為：線面平行則線線平行。

符號表示：

a∥α

aβ∥b

α∩β=b

作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。

2、定理：如果兩個平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。

符號表示：

α∥β

α∩γ∥b

β∩γ=b

作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行

2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

2.3.1直線與平面垂直的判定

1、定義

如果直線L與平面αa)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；

b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

2.3.2平面與平面垂直的判定

16

1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形

A

梭

B

2、二面角的記法：二面角α-l-β或α-AB-β

3、兩個平面互相垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。

2.3.3—2.3.4

直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)

1、定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。

2性質(zhì)定理：兩個平面垂直，則一個平面直線與方程

3.1直線的傾斜角和斜率

3.1傾斜角和斜率

1、直線的傾斜角的概念：當直線l與x軸相交時,取x軸作為基準,x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.特別地,當直線l與x軸平行或重合時,規(guī)定α=0°.

2、傾斜角α的取值范圍：0°≤α＜180°.當直線l與x軸垂直時,α=90°.

3、直線的斜率:

一條直線的傾斜角α(α≠90°)的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,也就是k=tanα

?當直線l與x軸平行或重合時,α=0°,k=tan0°=0;

?當直線l與x軸垂直時,α=90°,k不存在.

由此可知,一條直線l的傾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.

4、直線的斜率公式:

給定兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用兩點的坐標來表示直線P1P2的斜率：

斜率公式:k=y2-y1/x2-x1

3.1.2兩條直線的平行與垂直

1、兩條直線都有斜率而且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，那么它們平行，即17

注意:上面的等價是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少這個前提，結(jié)論并不成立．即如果k1=k2,那么一定有L1∥L2

2、兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，那么它們的斜率互為負倒數(shù)；反之，如果它們的斜率互為負倒數(shù)，那么它們互相垂直，即

3.2.1直線的點斜式方程

1、直線的點斜式PP

12方程：直線l經(jīng)過點P0(x0,y0)，且斜率為kyy0k(xx0)

2、、直線的斜截式方程：已知直線l的斜率為k，且與y軸的交點為(0,b)ykxb

x2,y1y2)y-y1/y-y2=x-x1/x-x23.2.2直線的兩點式方程(x1,x2),P2(x2,y2)其中(x11、直線的兩點式方程：已知兩點P1

2、直線的截距式方程：已知直線l與x軸的交點為A(a,0)，與y軸的交點為B(0,b)，其中a0,b0

3.2.3直線的一般式方程

1、直線的一般式方程：關(guān)于x,

2、各種直線方程之間的互化。y的二元一次方程AxByC0（A，B不同時為0）

3.3直線的交點坐標與距離公式

3.3.1兩直線的交點坐標

1、給出例題：兩直線交點坐標

L1：3x+4y-2=0L1：2x+y+2=0解：解方程組3x4y20得x=-2，y=22x2y20

所以L1與L2的交點坐標為M（-2，2）

3.3.2

3.3.3兩點間距離點到直線的距離公式兩點間的距離公式

1．點到直線距離公式：

點P(x0,y0)到直線l:AxByC0的距離為：dAx0By0C

AB22

2、兩平行線間的距離公式：

已知兩條平行線直線l1和l2的一般式方程為l1：

18

AxByC10，

l2AxByC20，則l1與l2的距離為dC1C2

AB22

第四章

4.1.1圓的標準方程

1、圓的標準方程：(xa)2圓與方程(yb)2r2

圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程

2、點M(x0,y0)與圓(xa)

（1）(x0

（3）(x02(yb)2r2的關(guān)系的判斷方法：a)2(y0b)2>r2，點在圓外（2）(x0a)2(y0b)2=r2，點在圓上a)2(y0b)2<r2，點在圓圓的一般方程

1、圓的一般方程：x2y2DxEyF0

2、圓的一般方程的特點：

(1)①x2和y2的系數(shù)相同，不等于0．②沒有xy這樣的二次項．

(2)圓的一般方程中有三個特定的系數(shù)D、E、F，因之只要求出這三個系數(shù)，圓的方程就確定了．

(3)、與圓的標準方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯，圓的標準方程則指出了圓心坐標與半徑大小，幾何特征較明顯。

4.2.1圓與圓的位置關(guān)系

1、用點到直線的距離來判斷直線與圓的位置關(guān)系．

設(shè)直線l：axbyc0，圓C：xyDxEyF0，圓的半徑為r，圓心(

離為d，則判別直線與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點：

（1）當dr時，直線l與圓C相離；（2）當dr時，直線l與圓C相切；

（3）當dr時，直線l與圓C相交；22DE,)到直線的距22

4.2.2圓與圓的位置關(guān)系

兩圓的位置關(guān)系．

設(shè)兩圓的連心線長為l，則判別圓與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點：

（1）當lr1r2時，圓C1與圓C2相離；（2）當lr1r2時，圓C1與圓C2外切；

（3）當|r1r2|lr1r2時，圓C1與圓C2相交；

（4）當l|r1r2|時，圓C1與圓C2直線與圓的方程的應(yīng)用

19

1、利用平面直角坐標系解決直線與圓的位置關(guān)系；

2、過程與方法

用坐標法解決幾何問題的步驟：

第一步：建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，用坐標和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運算，解決代數(shù)問題；

第三步：將代數(shù)運算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論．

4.3.1空間直角坐標系1、點M對應(yīng)著唯一確定的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)，x、y、z分別是P、Q、R在x、y、z軸

上的坐標

2、有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)，對應(yīng)著空間直角坐標系中的一點3、空間中任意點M的坐標都可以用有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)來表示，該數(shù)組叫做點M在此空間直角坐標系中的坐標，記M(x,y,z)，x叫做點M的橫坐標，

坐標。y叫做點M的縱坐標，z叫做點M的豎4.3.2空間兩點間的距離公式

1、空間中任意一點P1(x1,y1,z1)到點P2(x2,y2,z2)之間的距離公式P1P2(x1x2)(y1y2)(z1z2)

22220

高中數(shù)學(xué)必修3知識點

第一章算法初步

1.1.1算法的概念

1、算法概念：

在數(shù)學(xué)上，現(xiàn)代意義上的“算法”通常是指可以用計算機來解決的某一類問題是程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之程序框圖

1、程序框圖基本概念：

（一）程序構(gòu)圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說明來準確、直觀地表示算法的圖形。一個程序框圖包括以下幾部分：表示相應(yīng)操作的程序框；帶箭頭的流程線；程序框外必要文字說明。

（二）構(gòu)成程序框的圖形符號及其作用

學(xué)習(xí)這部分知識的時候，要掌握各個圖形的形狀、作用及使用規(guī)則，畫程序框圖的規(guī)則如下：

1、使用標準的圖形符號。2、框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫。3、除判斷框外，大多數(shù)流程圖符號只有一個進入點和一個退出點。判斷框具有超過一個退出點的唯一符號。4、判斷框分兩大類，一類判斷框“是”與“否”兩分支的判21

斷，而且有且僅有兩個結(jié)果；另一類是多分支判斷，有幾種不同的結(jié)果。5、在圖形符號直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)

注意：1循環(huán)結(jié)構(gòu)要在某個條件下終止循環(huán)，這就需要條件結(jié)構(gòu)來判斷。因此，循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu)，但不允許“死循環(huán)”。2在循環(huán)結(jié)構(gòu)中都有一個計數(shù)變量和累加變量。計數(shù)變量用于記錄循環(huán)次數(shù)，累加變量用于輸出結(jié)果。計數(shù)變量和累加變量一般是同步執(zhí)行的，累加一次，計數(shù)一次。

22

1.2.1輸入、輸出語句和賦值語句

1、輸入語句

（1）輸入語句的一般格式

（2）輸

入語句

的作用

是實現(xiàn)算法的輸入信息功能；（3）“提示IF表示條件語句的結(jié)束。計算機在執(zhí)行時，首先對IF后的條件進行判斷，如果條件符合，則執(zhí)行THEN后面的語句1；若條件不符合，則執(zhí)行ELSE后面的語句2。

23

3、IF—THEN語句

IF—THEN語句的一般格式為圖3，對應(yīng)的程序框圖為圖4。

注意：“條件”表示判斷的條件；“語句”表示滿足條件時執(zhí)行的操作對應(yīng)的程序框圖是

（2）直到型循環(huán)又稱為“后測試型”循環(huán)，從UNTIL行條件的判斷，如果條件不滿足，繼續(xù)返回執(zhí)行循環(huán)體，然后再進行條件的判斷，這個過程反復(fù)進行，直到某一次條件滿足時，不再執(zhí)行循環(huán)體，跳到LOOPUNTIL語句后執(zhí)行其他語句，是先執(zhí)行循環(huán)體后進行條件判斷的循環(huán)語句。分析：當型循環(huán)與直到型循環(huán)的區(qū)別：（先由學(xué)生討論再歸納）（1）當型循環(huán)先判斷后執(zhí)行，直到型循環(huán)先執(zhí)行后判斷；

在WHILE語句中，是當條件滿足時執(zhí)行循環(huán)體，在UNTIL語句中，是當條件不滿足時執(zhí)行循環(huán)24

1.3.1輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)

1、輾轉(zhuǎn)相除法。也叫歐幾里德算法，用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的步驟如下：

（1）：用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n得到一個商

0，則用除數(shù)n除以余數(shù)

除數(shù)S0和一個余數(shù)R0；（2）：若R0＝0，則n為m，n的最大公約數(shù)；若為m，n的最大公約數(shù)；若＝0，此時所得到的R0≠R0得到一個商S1和一個余數(shù)R1；（3）：若R1＝0，則R1R1≠0，則用R0除以余數(shù)R1得到一個商S2和一個余數(shù)R2；??依次計算直至RnRn1即為所求的最大公約數(shù)。

2、更相減損術(shù)

我國早期也有求最大公約數(shù)問題的算法，就是更相減損術(shù)。在《九章算術(shù)》中有更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的步驟：可半者半之，不可半者，副置分母?子之數(shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之。

翻譯為：（1）：任意給出兩個正數(shù)；判斷它們是否都是偶數(shù)。若是，用2約簡；若不是，執(zhí)行第二步。（2）：以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個數(shù)（等數(shù)）就是所求的最大公約數(shù)。

例2用更相減損術(shù)求98與63的最大公約數(shù).

分析：（略）

3、輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的區(qū)別：

（1）都是求最大公約數(shù)的方法，計算上輾轉(zhuǎn)相除法以除法為主，更相減損術(shù)以減法為主，計算次數(shù)上輾轉(zhuǎn)相除法計算次數(shù)相對較少，特別當兩個數(shù)字大小區(qū)別較大時計算次數(shù)的區(qū)別較明顯。

（2）從結(jié)果體現(xiàn)形式來看，輾轉(zhuǎn)相除法體現(xiàn)結(jié)果是以相除余數(shù)為0則得到，而更相減損術(shù)則以減數(shù)與差相等而得到

1.3.2秦九韶算法與排序

1、秦九韶算法概念：

f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0求值問題

f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0=(anxn-1+an-1xn-2+….+a1)x+a0=((anxn-2+an-1xn-3+….+a2)x+a1)x+a0

=......=(...(anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0

求多項式的值時，首先計算最v3=v2x+an-3......vn=vn-1x+a0

這樣，把n次多項式的求值問題轉(zhuǎn)化成求n個一次多項式的值的問題。

2、兩種排序方法：直接插入排序和冒泡排序

1、直接插入排序

基本思想：插入排序的思想就是讀一個，排一個。將第１個數(shù)放入數(shù)組的第１個元素中，以后讀入的數(shù)與已存入數(shù)組的數(shù)進行比較，確定它在從大到小的排列中應(yīng)處的位置．將該位置以及以后的元素向后推移一個位置，將讀入的新數(shù)填入空出25

的位置中．（由于算法簡單，可以舉例說明）

2、冒泡排序

基本思想：依次比較相鄰的兩個數(shù),把大的放前面,小的放后面.即首先比較第1個數(shù)和第2個數(shù),大數(shù)放前,小數(shù)放后.然后比較第2個數(shù)和第3個數(shù)......直到比較最后兩個數(shù).第一趟結(jié)束,最小的一定沉到最后.重復(fù)上過程,仍從第1個數(shù)開始,到最后第2個數(shù)......由于在排序過程中總是大數(shù)往前,小數(shù)往后,相當氣泡上升,所以叫冒泡排序.

1.3.3進位制

1、概念：進位制是一種記數(shù)方式，用有限的數(shù)字在不同的位置表示不同的數(shù)值?？墒褂脭?shù)字符號的個數(shù)稱為基數(shù)，基數(shù)為n，即可稱n進位制，簡稱n進制?，F(xiàn)在最常用的是十進制，通常使用10個阿拉伯數(shù)字0-9進行記數(shù)。對于任何一個數(shù)，我們可以用不同的進位制來表示。比如：十進數(shù)57，可以用二進制表示為111001，也可以用八進制表示為71、用十六進制表示為39，它們所代表的數(shù)值都是一樣的。

一般地，若k是一個大于一的整數(shù)，那么以k為基數(shù)的k進制可以表示為：

anan1...a1a0(k)(0ank,0an1,...,a1,a0k)，

而表示各種進位制數(shù)一般在數(shù)字右下腳加注來表示,如111001(2)表示二進制數(shù),34(5)表示5進制數(shù)

第二章統(tǒng)計

2.1.1簡單隨機抽樣

1．總體和樣本

在統(tǒng)計學(xué)中,把研究對象的全體叫做總體．

把每個研究對象叫做個體．

把總體中個體的總數(shù)叫做總體容量．為了研究總體的有關(guān)性質(zhì)，一般從總體中隨機抽取一部分：，

，，

研究，我們稱它為樣本．其中個體的個數(shù)稱為樣本容量．

2．簡單隨機抽樣，也叫純隨機抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊等，完全隨

機地抽取調(diào)查單位。特點是：每個樣本單位被抽中的可能性相同（概率相等），樣本的每個單位完全獨立，彼此間無一定的關(guān)聯(lián)性和排斥性。簡單隨機抽樣是其它各種抽樣形式的基礎(chǔ)。通常只是在總體單位之間差異程度較小和數(shù)目較少時，才采用這種方法。

3．簡單隨機抽樣常用的方法：

（1）抽簽法；?隨機數(shù)表法；?計算機模擬法；?使用統(tǒng)計軟件直接抽取。

在簡單隨機抽樣的樣本容量設(shè)計中，主要考慮：①總體變異情況；②允許誤差范圍；③概率保證程度。

4．抽簽法:

（1）給調(diào)查對象群體中的每一個對象編號；

（2）準備抽簽的工具，實施抽簽

26

（3）對樣本中的每一個個體進行測量或調(diào)查

例：請調(diào)查你所在的學(xué)校的學(xué)生做喜歡的體育活動情況。

5．隨機數(shù)表法：

例：利用隨機數(shù)表在所在的班級中抽取10位同學(xué)參加某項活動。

2.1.2系統(tǒng)抽樣

1．系統(tǒng)抽樣（等距抽樣或機械抽樣）：

把總體的單位進行排序，再計算出抽樣距離，然后按照這一固定的抽樣距離抽取樣本。第一個樣本采用簡單隨機抽樣的辦法抽取。

K（抽樣距離）=N（總體規(guī)模）/n（樣本規(guī)模）

前提條件：總體中個體的排列對于研究的變量來說，應(yīng)是隨機的，即不存在某種與研究變量相關(guān)的規(guī)則分布?？梢栽谡{(diào)查允許的條件下，從不同的樣本開始抽樣，對比幾次樣本的特點。如果有明顯差別，說明樣本在總體中的分布承某種循環(huán)性規(guī)律，且這種循環(huán)和抽樣距離重合。

2．系統(tǒng)抽樣，即等距抽樣是實際中最為常用的抽樣方法之一。因為它對抽樣框的要求較低，實施也比較簡單。更為重要的是，如果有某種與調(diào)查指標相關(guān)的輔助變量可供使用，總體單元按輔助變量的大小順序排隊的話，使用系統(tǒng)抽樣可以大大提高估計精度。

2.1.3分層抽樣

1．分層抽樣（類型抽樣）：

先將總體中的所有單位按照某種特征或標志（性別、年齡等）劃分成若干類型或?qū)哟危缓笤僭诟鱾€類型或?qū)哟沃胁捎煤唵坞S機抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個子樣本，最后，將這些子樣本合起來構(gòu)成總體的樣本。

兩種方法：

1．先以分層變量將總體劃分為若干層，再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。

2．先以分層變量將總體劃分為若干層，再將各層中的元素按分層的順序整齊排列，最后用系統(tǒng)抽樣的方法抽取樣本。

2．分層抽樣是把異質(zhì)性較強的總體分成一個個同質(zhì)性較強的子總體，再抽取不同的子總體中的樣本分別代表該子總體，所有的樣本進而代表總體。

分層標準：

（1）以調(diào)查所要分析和研究的主要變量或相關(guān)的變量作為分層的標準。

（2）以保證各層27

整樣本中各層的比例，使數(shù)據(jù)恢復(fù)到總體中各層實際的比例結(jié)構(gòu)。

2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征

1、本均值：xx1x2xn

n

s22、．樣本標準差：s(x1x)2(x2x)2(xnx)2

n

3．用樣本估計總體時，如果抽樣的方法比較合理，那么樣本可以反映總體的信息，但從樣本得到的信息會有偏差。在隨機抽樣中，這種偏差是不可避免的。

雖然我們用樣本數(shù)據(jù)得到的分布、均值和標準差并不是總體的真正的分布、均值和標準差，而只是一個估計，但這種估計是合理的，特別是當樣本量很大時，它們確實反映了總體的信息。

4．（1）如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個共同的常數(shù)，標準差不變

（2）如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)乘以一個共同的常數(shù)k，標準差變?yōu)樵瓉淼膋倍

（3）一組數(shù)據(jù)中的最大值和最小值對標準差的影響，區(qū)間(x3s,x3s)的應(yīng)用；

“去掉一個最高分，去掉一個最低分”中的科學(xué)道理

2.3.2兩個變量的線性相關(guān)

1、概念:

（1）回歸直線方程

（2）回歸系數(shù)

2．最小二乘法

3．直線回歸方程的應(yīng)用

（1）描述兩變量之間的依存關(guān)系；利用直線回歸方程即可定量描述兩個變量間依存的數(shù)量關(guān)系

（2）利用回歸方程進行預(yù)測；把預(yù)報因子（即自變量x）代入回歸方程對預(yù)報量（即因變量Y）進行估計，即可得

到個體Y值的容許區(qū)間。

（3）利用回歸方程進行統(tǒng)計控制規(guī)定Y值的變化，通過控制x的范圍來實現(xiàn)統(tǒng)計控制的目標。如已經(jīng)得到了空氣中NO2的濃度和汽車流量間的回歸方程，即可通過控制汽車流量來控制空氣中NO2的濃度。

4．應(yīng)用直線回歸的注意事項

（1）做回歸分析要有實際意義；

（2）回歸分析前,最好先作出散點圖；

（3）回歸直線不要外延。

第三章概率

3.1.1—3.1.2隨機事件的概率及概率的意義

1、基本概念：

28

（1）必然事件：在條件S下，一定會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的必然事件；

（2）不可能事件：在條件S下，一定不會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的不可能事件；

（3）確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對于條件S的確定事件；

（4）隨機事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對于條件S的隨機事件；

（5）頻數(shù)與頻率：在相同的條件S下重復(fù)n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為

nA

事件A出現(xiàn)的頻數(shù)；稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)=n為事件A出現(xiàn)的概率：對于給定的隨機事件A，如果隨著試驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作P（A），稱為事件A的概率。

nA

（6）頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系：隨機事件的頻率，指此事件發(fā)生的次數(shù)nA與試驗總次數(shù)n的比值n，它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個常數(shù)附近擺動，且隨著試驗次數(shù)的不斷增多，這種擺動幅度越來越小。我們把這個常數(shù)叫做隨機事件的概率，概率從數(shù)量上反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小。頻率在大量重復(fù)試驗的前提下可以近似地作為這個事件的概率

3.1.3概率的基本性質(zhì)

1、基本概念：

（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件

（2）若A∩B為不可能事件，即A∩B=ф，那么稱事件A與事件B互斥；

（3）若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件；

（4）當事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；若事件A與B為對立事件，則A∪B為必然事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)

2、概率的基本性質(zhì)：

1）必然事件概率為1，不可能事件概率為0，因此0≤P(A)≤1；

2）當事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；

3）若事件A與B為對立事件，則A∪B為必然事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；

4）互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系，互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗中不會同時發(fā)生，其具體包括三種不同的情形：（1）事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生；（2）事件A不發(fā)生且事件B發(fā)生；（3）事件A與事件B同時不發(fā)生，而對立事件是指事件A與事件B有且僅有一個發(fā)生，其包括兩種情形；（1）事件A發(fā)生B不發(fā)生；（2）事件B發(fā)生事件A不發(fā)生，對立事件互斥事件的特殊情形。

3.2.1—3.2.2古典概型及隨機數(shù)的產(chǎn)生

1、（1）古典概型的使用條件：試驗結(jié)果的有限性和所有結(jié)果的等可能性。

（2）古典概型的解題步驟；

①求出總的基本事件數(shù)；

②求出事件A所包含的基本事件數(shù)，然后利用公式P（A）=

29A包含的基本事件數(shù)總的基本事件個數(shù)

3.3.1—3.3.2幾何概型及均勻隨機數(shù)的產(chǎn)生

1、基本概念：

（1）幾何概率模型：如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型；

（2）幾何概型的概率公式：

構(gòu)成事件A的區(qū)域長度（面積或體積）

P（A）=試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體積）；

（2）幾何概型的特點：1）試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）有無限多個；2）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等．

高中數(shù)學(xué)必修4知識點

第一章三角函數(shù)

正角:按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角1、任意角負角:按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角:不作任何旋轉(zhuǎn)形成的角

2、角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角．第一象限角的集合為

第二象限角的集合為

第三象限角的集合為

第四象限角的集合為k360k36090,kk36090k360180,kk360180k360270,kk360270

k360360,k終邊在x軸上的角的集合為終邊在k180,kk90,ky軸上的角的集合為k18090,k終邊在坐標軸上的角的集合為

3、與角終邊相同的角的集合為k360,k

4、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度．

5、半徑為r的圓的圓心角所對弧的長為l，則角的弧度數(shù)的絕對值是l

r．

1806、弧度制與角度制的換算公式：2360，1，157.3．180

7、若扇形的圓心角為為弧度制，半徑為r，弧長為l，周長為C，面積為S，則lr，C2rl，

30

11

Slrr2．

22

8、設(shè)是一個任意大小的角，的終邊上任意一點的坐標是

x,y，它與原點的距離是r

r0

，則

sin

yxy

，cos，tanx0．rrx

9、三角函數(shù)在各象限的符號：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正．10、三角函數(shù)線：sin11

、

角

本

關(guān)

系

，cos，tan．

三

角

函

數(shù)

2

的基

1sin2cos21

sin1cos2,cos21sin2

2

sin

tancos

sin

sintancos,cos．

tan

12、函數(shù)的誘導(dǎo)公式：

1sin2ksin，cos2kcos，tan2ktank．2sinsin，coscos，tantan．3sinsin，coscos，tantan．4sinsin，coscos，tantan．

口訣：函數(shù)名稱不變，符號看象限．

5sin

cos，cossin．6sincos，cossin．2222

口訣：正弦與余弦互換，符號看象限．13、①的圖象上所有點向左（右）平移

個單位長度，得到函數(shù)

ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的

ysinx的圖象；再將函數(shù)

圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的

1

倍（縱坐標不變），得到函數(shù)

ysinx的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數(shù)ysinx

的圖象．

②數(shù)

ysinx的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的

1

倍（縱坐標不變），得到函數(shù)

再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點向左（右）平移ysinx的圖象；

個單位長度，得到函數(shù)

ysinx

的圖象；再將函數(shù)

ysinx的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數(shù)

ysinx的圖象．

14、函數(shù)

ysinx0,0的性質(zhì)：

31

①振幅：；②周期：函數(shù)

2

；③頻率：，當

f

12

；④相位：x；⑤初相：．

；當

ysinx

xx1時，取得最小值為yminxx2時，取得最大值為ymax

，則

1

ymaxy2

min，

1

，yyx2x1x1x2．maxmin

22

15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：

16、向量：既有大小，又有方向的量．數(shù)量：只有大小，沒有方向的量．

32

有向線段的三要素：起點、方向、長度．零向量：長度為0的向量．單位向量：長度等于1個單位的向量．

平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量與任一向量平行．相等向量：長度相等且方向相同的向量．17、向量加法運算：

?三角形法則的特點：首尾相連．?平行四邊形法則的特點：共起點．?三角形不等式：

ababab

．

?運算性質(zhì)：①交換律：abba；

②結(jié)合律：

abcabc

；③a00aa．

C

?坐標運算：設(shè)ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2,y1y2．

18、向量減法運算：

?三角形法則的特點：共起點，連終點，方向指向被減向量．

a

b

?坐標運算：設(shè)ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2,y1y2．

設(shè)、兩點的坐標分別為x1,y1，x2,y2，則x1x2,y1y2．

19、向量數(shù)乘運算：

?實數(shù)與向量a的積是一個向量的運算叫做向量的數(shù)乘，記作a．①

abCC

aa

；

②當0時，a的方向與a的方向相同；當0時，a的方向與a的方向相反；當0時，a0．

?運算律：①aa；②aaa；③abab．?坐標運算：設(shè)a

x,y，則ax,yx,y．

20、向量共線定理：向量aa0

與b共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)，使ba．

設(shè)ax1,y1，bx2,y2，其中b0，則當且僅當x1y2x2y10時，向量a、bb0

共線．

21、平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一

對實數(shù)1、2，使a1e12e2．（不共線的向量e1、e2作為這一平面內(nèi)所有向量的一組基底）

22、分點坐標公式：設(shè)點是線段12上的一點，1、2的坐標分別是x1,y1，x2,y2，當12時，點

xx2y1y2

,時，就為中點公式。）（當1的坐標是1．11

23、平面向量的數(shù)量積：

?ababcosa0,b0,0180

．零向量與任一向量的數(shù)量積為0．

33

?性質(zhì)：設(shè)a和b都是非零向量，則①abab0．②當a與b同向時，abababab

；當a與b反向時，

22；aaaa或aabab

．

?運算律：①abba；②ababab

；③

abcacbc．

?坐標運算：設(shè)兩個非零向量ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2y1y2．

若

ax,y

，則

2

ax2y2

1

，或

a．設(shè)

ax1,y1

，

bx2,y2

，則

ab1x2x

y0y2．

．

ab

設(shè)a、b都是非零向量，ax1,y1，bx2,y2，則cos是a與b的夾角，

ab第三章三角恒等變換

24、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：?cos?sin

coscossinsin；?coscoscossinsin；

sincoscossin；?sinsincoscossin；

?tan

tantan

（tantantan1tantan）；

1tantan

tantan

（tantantan1tantan）．

1tantan

?tan

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：?sin2?cos2

2sincos．1sin2sin2cos22sincos(sincos)2cos2sin22cos2112sin2

升冪公式1cos2cos2

22

cos211cos22

，sin降冪公式cos2

22

26、

,1cos2sin2

．

萬能公式:

αα

2tan1tan2

;cosαsinα

αα

1tan21tan2

22

2tan

tan2．

1tan2

27、

1α

cosαα

半角公式:cos

2

2

;sin

2

cosα34

2

α1cosαsinα1cosαtan

21cosα1cosαsinα

（后兩個不用判斷符號，更加好用）

yAsin(

x)B形式。28、合一變形把兩個三角函數(shù)的和或差化為“一個三角函數(shù)，一個角，一次方”的

sincos，其中tan

化簡的方法和技能．常用的數(shù)學(xué)思想方法技巧如下：．29、三角變換是運算化簡的過程中運用較多的變換，提高三角變換能力，要學(xué)會創(chuàng)設(shè)條件，靈活運用三角公式，掌握運算，

（1）角的變換：在三角化簡，求值，證明中，表達式中往往出現(xiàn)較多的相異角，可根據(jù)角與角之間的和差，倍半，互補，

互余的關(guān)系，運用角的變換，溝通條件與結(jié)論中角的差異，使問題獲解，對角的變形如：

①2是的二倍；4是2的二倍；是2的二倍；2是4的二倍；30o

②15453060452ooooo；問：sin

12；cos

12；

③()；④4

2(

4)；⑤2()()(

4)(

4)；等等

（2）函數(shù)名稱變換：三角變形中，常常需要變函數(shù)名稱為同名函數(shù)。如在三角函數(shù)中正余弦是基礎(chǔ)，通?；袨橄遥儺?/p>

名為同名。

（3）常數(shù)代換：在三角函數(shù)運算，求值，證明中，有時需要將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值，例如常數(shù)“1”的代換變形有：1sin2cos2tancotsin90otan45o

（4）冪的變換：降冪是三角變換時常用方法，對次數(shù)較高的三角函數(shù)式，一般采用降冪處理的方法。常用降冪公式

有：；。降冪并非絕對，有時需要升冪，如對無理式

有理式，常用升冪公式有：；；

（5）公式變形：三角公式是變換的依據(jù)，應(yīng)熟練掌握三角公式的順用，逆用及變形應(yīng)用。

如：cos常用升冪化為1tan1tan_______________；______________；1tan1tan

tantan____________；1tantan___________；

tantan____________；1tantan___________；

2tan；1tan2；

tan20otan40o3tan20otan40o；

sincos

（其中tan；）asinbcos1cos1cos；

35

（6）三角函數(shù)式的化簡運算通常從：“角、名、形、冪”四方面入手；

基本規(guī)則是：見切化弦，異角化同角，復(fù)角化單角，異名化同名，高次化低次，無理化有理，特殊值與特殊角的三

角函數(shù)互化。

如：sin50

o

(13tan10o)

tancot

高中數(shù)學(xué)必修5知識點第一章解三角形

（一）解三角形：

1、正弦定理：在C中，a、b、c分別為角、、C的對邊，，則有(R為C的外接圓的半徑)

2、正弦定理的變形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；

②sin

abc

2RsinsinsinC

abc；③a:b:csin:sin:sinC；，sin，sinC2R2R2R

C

3、三角形面積公式：S

111

bcsinabsinCacsin．222

2

222

b2c22bccos，推論：cosbca

4、余弦定理：在C中，有a

2bc

1.數(shù)列的有關(guān)概念：

第二章數(shù)列

（1）數(shù)列：按照一定次序排列的一列數(shù)。數(shù)列是有序的。數(shù)列是定義在自然數(shù)N*或它的有限子集{1,2,3,?,n}上

的函數(shù)。

（2）通項公式：數(shù)列的第n項an與n之間的函數(shù)關(guān)系用一個公式來表示，這個公式即是該數(shù)列的通項公式。如:

an2n21。

（3）遞推公式：已知數(shù)列{an}的第1項（或前幾項），且任一項an與他的前一項an-1（或前幾項）可以用一個公式

來表示，這個公式即是該數(shù)列的遞推公式。如:

a11,a22,anan1an2(n2)。

2．數(shù)列的表示方法：

（1）列舉法：如1，3，5，7，9，…（2）圖象法：用（n,an）孤立點表示。（3）解析法：用通項公式表示。（4）遞推法：用遞推公式表示。

3．數(shù)列的分類：

有窮數(shù)列

按項數(shù)

無窮數(shù)列

4．數(shù)列{an}及前n項和之間的關(guān)系:

常數(shù)列:an2n

遞增數(shù)列:an2n1,an2

按單調(diào)性2

遞減數(shù)列:ann1擺動數(shù)列:a(1)n2nn

S1,(n1)

an

SnSn1,(n2)

Sna1a2a3an

36

1、ab0ab；ab0ab；ab0ab．

2、不等式的性質(zhì)：①abba；②ab,bcac；③abacbc；④ab,c0ac

bc，ab,c0acbc；⑤ab,cdacbd；

nn

⑥ab0,cd0acbd；⑦ab0abn,n1；

⑧ab0n,n1．

小結(jié)：代數(shù)式的大小比較或證明通常用作差比較法：作差、化積（商）、判斷、結(jié)論。在字母比較的選擇或填空題中，常采用特值法驗證。3、一元二次不等式解法：（1）化成標準式：ax線性規(guī)劃問題：

1．了解線性約束條件、目標函數(shù)、可行域、可行解、最優(yōu)解

2．線性規(guī)劃問題：求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題．3．解線性規(guī)劃實際問題的步驟：

（1）將數(shù)據(jù)列成表格；（2）列出約束條件與目標函數(shù)；（3）根據(jù)求最值方法：①畫：畫可行域；②移：移與目標函數(shù)一致的平行直線；③求：求最值點坐標；④答；求最值；（4）驗證。兩類主要的目標函數(shù)的幾何意義:①z

2

（2）求出對應(yīng)的一元二次方程的根；bxc0,(a0)；

（3）畫出對應(yīng)的二次函數(shù)的圖象；（4）根據(jù)不等號方向取出相應(yīng)的解集。

axby-----直線的截距；②z(xa)2(yb)2-----兩點的距離或圓的半徑；

ab

0，b0，則ab．

2

ab；aba0,b02

2

4、均值定理：若a

ab

稱為正數(shù)a、ba、b的幾何平均數(shù)．2

5、均值定理的應(yīng)用：設(shè)x、y都為正數(shù)，則有

?若x

，則當xy時，積xy取得最大值ys（和為定值）

s2

．4

?若xy，則當xy時，和xy取得最小值p（積為定值）

注意：在應(yīng)用的時候，必須注意“一正二定三等”三個條件同時成立。

《2012年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)系列》高中數(shù)學(xué)選修修1－1知識點

第一章：命題與邏輯結(jié)構(gòu)

37

知識點：

1、命題：用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句.

真命題：判斷為真的語句.

假命題：判斷為假的語句.

2、“若p，則q”形式的命題中的p稱為命題的條件，q稱為命題的結(jié)論.

3、對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，則這兩個命題稱為互逆命題.其中一個命題稱為原命題，另一個稱為原命題的逆命題.

若原命題為“若p，則q”，它的逆命題為“若q，則p”.

4、對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的條件的否定和結(jié)論的否定，則這兩個命題稱為互否命題.中一個命題稱為原命題，另一個稱為原命題的否命題.

若原命題為“若p，則q”，則它的否命題為“若p，則q”.

5、對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的結(jié)論的否定和條件的否定，則這兩個命題稱為互為逆否命題.其中一個命題稱為原命題，另一個稱為原命題的逆否命題.

若原命題為“若p，則q”，則它的逆否命題為“若q，則p”.

1兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；

2兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．

7、若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件．

若pq，則p是q的充要條件（充分必要條件）．

8、用聯(lián)結(jié)詞“且”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來，得到一個新命題，記作pq．

當p、q都是真命題時，pq是真命題；當p、q兩個命題中有一個命題是假命題時，pq是假命題．用聯(lián)結(jié)詞“或”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來，得到一個新命題，記作pq．

當p、q兩個命題中有一個命題是真命題時，pq是真命題；當p、q兩個命題都是假命題時，pq是假命題．

對一個命題p全盤否定，得到一個新命題，記作p．

若p是真命題，則p必是假命題；若p是假命題，則p必是真命題．

9、短語“對所有的”、“對任意一個”在邏輯中通常稱為全稱量詞，用“”表示．

含有全稱量詞的命題稱為全稱命題．

全稱命題“對中任意一個x，有px成立”，記作“x，px”．

短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常稱為存在量詞，用“”表示．

含有存在量詞的命題稱為特稱命題．

特稱命題“存在中的一個x，使px成立”，記作“x，px”．

10、全稱命題p：x，px，它的否定p：x，px．全稱命題的否定

是特稱命題．

考點：1、充要條件的判定

2、命題之間的關(guān)系

★1．命題“對任意的xR，xx1≤0”的否定是（）

A．不存在xR，xx1≤0

C．存在xR，xx10323232B．存在xR，xx1≤0D．對任意的xR，xx10

383232

★2、給出命題：若函數(shù)y=f(x)是冪函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)的圖象不過第四象限，在它的逆命題、否命題、逆否命題三個命題中，真命題的個數(shù)是(A)3

(B)2

(C)1

(D)0

★3.已知α，β表示兩個不同的平面，m為平面α)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

第二章：圓錐曲線知識點：

1、平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)（大于F1F2）的點的軌跡稱為橢圓．這兩個定點

稱為橢圓的焦點，兩焦點的距離稱為橢圓的焦距．2、橢圓的幾何性質(zhì)：

3、設(shè)是橢圓上任一點，點到F1對應(yīng)準線的距離為d1，點到F2對應(yīng)準線的距離為d2，則

F1d1

F2d2

e．

39

4、平面40

10、過拋物線的焦點作垂直于對稱軸且交拋物線于、兩點的線段，稱為拋物線的“通徑”，即2p．

考點：1、圓錐曲線方程的求解

2、直線與圓錐曲線綜合性問題

3、圓錐曲線的離心率問題

典型例題：★★1．設(shè)O是坐標原點，F(xiàn)是拋物線y2px(p0)的焦點，A是拋物線上的一點，F(xiàn)A2

與x軸正向的夾角為60，則OA為（）

A．21p4BCpD．13p36

★★2．與直線xy20和曲線x2y212x12y540都相切的半徑最小的圓的標準方程是．

★★★3．（本小題滿分14分）

已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若直線l:ykxm與橢圓C相交于A，B兩點（A，B不是左右頂點），且以AB為直徑的圖過橢圓C的右頂點．求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標．

第三章：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

知識點：

41

1、若某個問題中的函數(shù)關(guān)系用fx表示，問題中的變化率用式子

fx2fx1x2x1

fx2fx1f

表示，則式子稱為函數(shù)fx從x1到x2的平均變化率．

x2x1x

fx2fx1x2x1

lim

f

，則稱它為函數(shù)yfx在

x0x

2、