第四節(jié) 水錘計(jì)算的特征線法

第四節(jié)水錘計(jì)算的特征線法前面介紹了水錘計(jì)算的解析法。解析法的優(yōu)點(diǎn)是應(yīng)用簡(jiǎn)便，但難以求解較為復(fù)雜錘問(wèn)題。水錘計(jì)算的特征線法原則上可以解決任何形式的邊界條件問(wèn)題，可以較合理應(yīng)水輪機(jī)的特性，能較方便地計(jì)人摩阻的影響，也便于用數(shù)字計(jì)算機(jī)計(jì)算。特征線法有兩種，一種以Z-v(或H-V)為坐標(biāo)場(chǎng)，一種以x-t為坐標(biāo)場(chǎng)，兩法的結(jié)果是一致的。圖14-12簡(jiǎn)單管示意圖一、以Zv為坐標(biāo)場(chǎng)的特征線法圖14-12表示一特性沿管長(zhǎng)不變的水管，P為管中任意一點(diǎn)，距A點(diǎn)和B點(diǎn)的距離分為根據(jù)基本方程式(14-5)和式(14-6)可導(dǎo)出求解P、B、A三點(diǎn)水錘壓強(qiáng)時(shí)征線方程。(一)任意斷面P的水錘求解根據(jù)基本方程式(14-5)和式(15—6)，P點(diǎn)在時(shí)刻t的壓強(qiáng)和流速變化為血押=用-刃f=嚴(yán)乜十嚴(yán)関也呼=符「號(hào)嚴(yán)⑴-嚴(yán)⑴也呼=符「號(hào)嚴(yán)⑴-嚴(yán)⑴式中上標(biāo)“P”表示地點(diǎn)，下標(biāo)“t”表示時(shí)間，例如，表示P點(diǎn)在時(shí)刻t的水頭，余類推。對(duì)于某一確定的斷面P PP， 為一常數(shù)，為便于書(shū)寫(xiě)，在波函數(shù)F和f中略去了。對(duì)于A點(diǎn)，在時(shí)刻可寫(xiě)出下列相似的方程對(duì)于A點(diǎn)，在時(shí)刻可寫(xiě)出下列相似的方程=唁，-咐=-邑0(1-嚴(yán)G-怯)] ⑼宀-3二肘① 咁蟲(chóng)因F是由A向P傳播的反向波，故 。由于水管特性不變， 。考慮以上關(guān)系，將式(a)和式(b)兩組方程相減，得以上二式消去f，并將Z=AH/Ho、v=V/Vmax和p=cVmax/2gHo。對(duì)于B點(diǎn)，在時(shí)刻可以寫(xiě)出與式(b)對(duì)于B點(diǎn)，在時(shí)刻可以寫(xiě)出與式(b)相似的方程礙「化-盃=叫畑〕十嚴(yán)UW=壯”-咐=-亙/&-如）+嚴(yán)建-q因f因f是由B向P傳播的正向波，故m?，將式?與⑻兩組方程相減，以上法處理,(15-36)從形式上看，式（14-35）是反x向?qū)懗龅模Q之為反向方程，在Z-v坐標(biāo)場(chǎng)上是一根斜率為2p的直線，如圖14-13中的4f—E線，如圖14-13中的-線；式（9-36）是順x向?qū)懗龅姆匠?，成為正向方程，在Z-v坐標(biāo)場(chǎng)上是召—P一根斜率為-2p的直線，如圖14-13中的 線。圖14-13Z-v坐標(biāo)場(chǎng)上得特征線在式（14-35在式（14-35）和式（14-36）中，如已知A點(diǎn)在時(shí)刻和B點(diǎn)在時(shí)刻的壓強(qiáng)和流速",即可求出P點(diǎn)在時(shí)刻t的壓強(qiáng)和流速。和為圖14-13中Pt的坐標(biāo)值，可用「目?jī)蓷l直線的交點(diǎn)求出。用特征線法求解壓強(qiáng)和流速的方法就是過(guò)去廣為采用的水錘計(jì)算的圖解法。（二）進(jìn)口B點(diǎn)的水錘求解已知P點(diǎn)在時(shí)刻t的壓強(qiáng)和流速，列出PB間反向方程B-蠶=K壓力水管進(jìn)口為水庫(kù)或平水建筑物， ，故由上式可確定未知量三）管末A點(diǎn)的水錘求解已知P點(diǎn)在時(shí)刻t的壓強(qiáng)和流速，列出PA間的正向方程L.++十 『古+十上式中有兩個(gè)未知量 一和一，必須利用A點(diǎn)的邊界條件方能求解。若A點(diǎn)為水斗式水輪機(jī)的(15-3^利用式(14-38)和式(14-39)可求出未知量 ■和?。在圖14-13中，式(14-38)代表一根通過(guò)Pt斜率為一2p的直線，式(14-39)則為一根拋物線，二者的交點(diǎn) ',的坐標(biāo)即為待求的 和。式(14-35)-式(14-38)是水錘的特征方程。已知A點(diǎn)和B點(diǎn)的壓強(qiáng)和流速推求P點(diǎn)的壓強(qiáng)和流速，再以P點(diǎn)作為已知，并利用邊界條件，推求下一時(shí)段A點(diǎn)和B點(diǎn)之值，如是反復(fù)進(jìn)行，可求出各點(diǎn)水錘壓強(qiáng)和流速的全過(guò)程。以上計(jì)算可圖解，可手算，也可編出程序借助數(shù)字計(jì)算機(jī)進(jìn)行。計(jì)算時(shí)段為°F和月大公約數(shù)的2倍。若二者的最大公約數(shù)很小，為了求出水錘的全過(guò)程，可能需要進(jìn)行數(shù)次或更多的反復(fù)運(yùn)算，用計(jì)算機(jī)來(lái)求解這類問(wèn)題是很理想的。對(duì)于水頭較低管路較長(zhǎng)的水電站或供水、輸油系統(tǒng)，在水錘計(jì)算中考慮阻力損失是必要的。阻力損失?232與成正比，V有方向性(即有正負(fù))，為了在計(jì)算中反映V的方向性，以IvIv代,IvI為v的絕對(duì)值。在非恒定流時(shí)，管道中的流速隨著時(shí)間和地點(diǎn)而改變，對(duì)阻力損失只能近似地予以考慮。計(jì)人阻力損失有不同的方法，比較簡(jiǎn)便而又有足夠精度的決法是將式(14-35)-式(14-38)寫(xiě)成⑴-羽)，而以上式中,⑴-羽)，而以上式中,C=-R6n-糙率；R-管道水力半徑;

H-水電站上下游水位差；一水管末端A點(diǎn)以上的水頭損失。P按此Ho求出?？紤]阻力損失后，各點(diǎn)的初始?jí)簭?qiáng)應(yīng)注意扣除該點(diǎn)以上的水頭損失。若AP和PB兩管段的特性不同，以％、亡童、5和％、°叭&丘分別代人以上各式,特征方程仍然有效。但每個(gè)特征方程所跨越的管段(如AP段和PB段)則必須是特性不變的。二、以x-t為坐標(biāo)場(chǎng)的特征線法水錘基本方程式(14-1)和式(14-2)有兩個(gè)自變量x和t，兩個(gè)因變量H和V，是一組擬線性雙曲型偏微分方程組，難于直接求出解析解。特征線法的原理是在x-t平面建立一組曲線，沿這組曲線將水錘的偏微分方程轉(zhuǎn)換為常微分方程，這組常微分方程的解就是滿足上述曲線所給定的x和t特定關(guān)系的偏徽分方程的解。以任意常數(shù)又乘以式(14-2)，并與式(14-1)相加，忽略管道坡度的影響，得/I/I選擇入的兩個(gè)特定值，使Cb)則式(a)成dHchdxdi——十(d￥chdHchdxdi——十 十

吃dx曲H和V為x和t的函數(shù)。若x隨t的變化而變化，則dHdHdxdHdVdVd?idV = -|- n = 4- chdxdi di曲必徹以之代人式(c)，得di出2d'上式是以t為自變量，H和V為因變量的常微分方程，入的數(shù)值可從式(b)求出，得k二土g/貽dx/dt=V±c流速V遠(yuǎn)小于波速c，可以略去。由k=±g/c得dx?——=+e￡冷十空丄cdtdtId由入二-g/c得

——=-C——=-Ccdidi2d''(15-45|(15-47)一 空)式(14-44)和式(14-46)在x-t坐標(biāo)場(chǎng)代表兩族曲線，如圖14-14所示。曲線dx/dt=+c上的點(diǎn)均滿足式(14-45),稱正向特征線；曲線dx/dt=-c 上的點(diǎn)均滿足式(14-47)，稱反向特征線。圖14-14x-t坐標(biāo)場(chǎng)上的特征線式(14-45)和式(14-47)與式(14-44)和(14-46)等價(jià),稱特征方程，其解就是水錘基本方程式(14-1)和式(14-2)的解。若將一簡(jiǎn)單管等分成N段，每段長(zhǎng)厶x，時(shí)間步長(zhǎng)At=△x/c，如圖14-15所示。其中AP線滿足式(14-47)，若A點(diǎn)的因變量H和V已知，則沿 線將式(14-47)積分，可得P點(diǎn)的未知量H和V。以cdt/g=dx/g乘以式(14-47)，引人管道的斷面積A,以流量Q代流速V,積分得上式最后一項(xiàng)中Q隨x的變化是未知的，若A、P兩點(diǎn)的距離不大,可采用一階近似積分代替式(14-48)的最后一項(xiàng)，得為了提高計(jì)算精度，可將上式的摩阻項(xiàng)略加修正而成同理，圖14-15中的BP線廠滿足式(14-45)，以同法處理可得

利用式（14-50）和式（14-51）可求出P點(diǎn)的壓頭Hp和流量Qp。由于式中的 ,1!：（7=-7?6" ，略加分析即可證明，式（14-50）和式（14-51）與式（14-40）和式（14-41）是完全相同的。因此，特征線法無(wú)論以Zv為坐標(biāo)場(chǎng)或是以x-t為坐標(biāo)場(chǎng)，其特征線方程相同。一__11—-1——H11————————1宀1;-1i+l圖14-15特征線法的計(jì)算網(wǎng)格式（14-50）和式（14-51）可簡(jiǎn)寫(xiě)為擴(kuò):仏=6+春p擴(kuò):仏