無(wú)窮小與無(wú)窮大無(wú)窮小的比較

關(guān)于無(wú)窮小與無(wú)窮大無(wú)窮小的比較第一頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日

定義1.12

若函數(shù)在自變量的某個(gè)變化過(guò)程中以零為極限，則稱(chēng)在該變化過(guò)程中,為無(wú)窮小量．簡(jiǎn)稱(chēng)無(wú)窮?。?.4.1無(wú)窮小例如，當(dāng)時(shí)，，，是無(wú)窮小量；當(dāng)時(shí)，是無(wú)窮小量當(dāng)時(shí)，，是無(wú)窮小量．我們經(jīng)常用希臘字母，，來(lái)表示無(wú)窮小量．第二頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日注意：

（1）無(wú)窮小是以零為極限的變量，常數(shù)中只有零是無(wú)窮小

（2）無(wú)窮小總是和自變量的變化趨勢(shì)相關(guān)聯(lián)的，例如:

當(dāng)時(shí),為無(wú)窮小當(dāng)時(shí),就不是無(wú)窮小第三頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日定理1.2函數(shù)以為極限的充分

必要條件是：可以表示為與一個(gè)無(wú)窮小量之和．即其中．第四頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日無(wú)窮小的代數(shù)性質(zhì)性質(zhì)1

無(wú)限個(gè)無(wú)窮小之和仍是無(wú)窮小。性質(zhì)2

有界變量與無(wú)窮小之積仍是無(wú)窮小。推論1

常數(shù)與無(wú)窮小之積是無(wú)窮小。推論2

有限個(gè)無(wú)窮小之積是無(wú)窮小。第五頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日

定義1.10如果(或)時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值的絕對(duì)值無(wú)限增大，則稱(chēng) 當(dāng)(或)時(shí)為無(wú)窮大量，簡(jiǎn)稱(chēng)無(wú)窮大.2.4.2無(wú)窮大第六頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日

如果函數(shù)當(dāng)時(shí)為無(wú)窮大，按通常意義來(lái)說(shuō)，極限是不存在的，但為了便于敘述，我們也說(shuō)“函數(shù)的極限是無(wú)窮大”并記為第七頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日而且，把正值的無(wú)窮大叫做正無(wú)窮大，把負(fù)值的無(wú)窮大叫做負(fù)無(wú)窮大，分別記為例如，（1）

無(wú)窮大是個(gè)變量，不是常數(shù)

（2）

無(wú)窮大總和自變量的變化趨勢(shì)相關(guān)聯(lián)

注意：

第八頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日時(shí)，,時(shí)，是無(wú)窮小例1

指出下列函數(shù)分別在自變量怎樣的變化過(guò)程中是無(wú)窮小和無(wú)窮大？

解時(shí)，,時(shí)，是無(wú)窮小時(shí)，,時(shí)，是無(wú)窮大解時(shí)，,時(shí)，是無(wú)窮大時(shí)，,時(shí)，是無(wú)窮大第九頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日解時(shí)，，所以時(shí)，是無(wú)窮小時(shí)，,所以時(shí)，是正無(wú)窮大第十頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日練習(xí)一1.下列函數(shù)中哪些是無(wú)窮??？哪些是是無(wú)窮大？是無(wú)窮大是無(wú)窮小是無(wú)窮大是無(wú)窮小第十一頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日是無(wú)窮大是無(wú)窮小是無(wú)窮小是無(wú)窮大第十二頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日2.指出下列函數(shù)分別在自變量怎樣的變化過(guò)程中是無(wú)窮大和無(wú)窮小

時(shí)，是無(wú)窮小時(shí)，是無(wú)窮大時(shí)，是無(wú)窮小時(shí)，是無(wú)窮大第十三頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日時(shí)，是無(wú)窮小時(shí)，是正無(wú)窮大第十四頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日第十五頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日解因?yàn)?，所以是有界變量；?

求．當(dāng)時(shí)，是無(wú)窮小量．根據(jù)性質(zhì)1.2，乘積是無(wú)窮小量．即．第十六頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日練習(xí)求下列函數(shù)的極限第十七頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日，，．我們記，，，它們都是時(shí)的無(wú)窮小量．但2.4.3無(wú)窮小的比較第十八頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日，，趨于零的情況10100100010000

0.10.010.0010.0001

0.20.020.0020.00020.010.00010.0000010.00000001第十九頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日定義1.14設(shè)、是同一變化過(guò)程中的兩個(gè)無(wú)窮小量，(2)若(是不等于零的常數(shù))，則稱(chēng)與是同階無(wú)窮小量．若，則稱(chēng)與是等價(jià)無(wú)窮小量．(1)若,則稱(chēng)是比高階的無(wú)窮小量．也稱(chēng)是比低階的無(wú)窮小量．第二十頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日21關(guān)于等價(jià)無(wú)窮小，有下面重要的性質(zhì)．定理4–4設(shè)

~，

~，且存在，則證明：第二十一頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日22在求極限時(shí)，利用定