微積分a2第6次習題課答案

微積分A（2）第六次習題課參考答案（第九周設有空間區(qū)域1:x2y2z2R2,z0及2：x2y2z2R2x0y0z0，則（C（A）xdv4 (B)ydv4 (C)zdv4 (D)xyzdv4 觀察發(fā)現(xiàn)積分區(qū)域1關于x軸，y軸對稱，x關于y軸是奇函數(shù)，y關于x軸是奇A，B，Dzx，y均為偶函數(shù)，所以可得選項C （1）fC()，則0

f(xyz)dz=【0dy0dx0f(x,y, 0dx0dz0f(x,y, 0dy0dzyf(x,y, 0dz0dyyf(x,y, ycos（2）

dz=112

1

A

1 x f(x,y, 1 0dxxdyxf(xfyf(z)dz60f(x)dx

1y2x2 zdv,其中1y2x2 Ixyzdv=z 球坐標系:Izdvddrcosr

sindr 2121 柱坐標系:I 0

21212

zdz 81212x2y1x2y直角坐標系:I

zdz222 2

2 先對xy積分 I dxdy zzdz z1 2 Dz 2x2y求(1x2y2)zdxdydz 其中x,x2y(,,z)|02,0H,zH

zH(1

y)zdxdydz0d0d(1

H H62)zdz 12(1)Ix2y3zdxdydz，其中積分區(qū)域是由0xa，0yb，0zIa2b3c)abcabc(a2b3c (2)計 (axbyx2y2z22方法1：由對稱 xdxdydzx2y2z22

ydxdydzx2y2z222zdxdydz2dd2cos3sincosd222xyz2于是I 3

2：x2y2z22z的重心坐標在42 zdxdydzV342xyz2 2于是I 3x2設由曲面x2y2az和曲面z2a （ax2,a2a2x2a2aIa2a

dyx2a

f(x,y,I0d0rdra

f(rcos,rsin, d4d4in o

0 0 d24

a sin2f(rsincos,rsinsin,rcos)rSx2y22z4z所圍立體圓心位于(0,0,z)，半徑為rzzz41/4，其面積為(zz41/2 ||dxdydzdzdxdy(zz

dz (1u

du

3 由六個平面3xyz1,x3yz1,xy3z1所圍立體的體 （1/2）解：作線性變換u3xyz,vx3yz,wxy3z det(u,v,w)

116(x,y,

|V|dxdydzdet(xyz)dudvdw1|U|U為|u|1|v|1 (u,v, |w|1，其體積為8。故所得結論為1/2zxyz0x2y2axa0 V(xy)d(x

48(103)注意：DD1D2分界線為y3設A(aij)為33實對稱正定矩陣，aijxixj1表示 ij3det明該橢球面所包圍立體V的體積為|V3det象U為單位球。這是因為

axxxtAxxtPtPxytyy2y2y3ij

iji

|V| dxdxdx |detP1|dydydy|detP1||U|4|detP1|。根據(jù)關 V

U

APtP，我們有(detP)2detA，于是|detP1|3det|V3det

1det|det1det

解：的體積VdV

d

a(1cosr2dr8a3 z=0平面的

a(1cos 的形心

zdVdcos r3dr a4 xy0,z4a5a2b2c設V{(x,y,z)|x2y2z21}，h 0，f(u)a2b2c1V

u1(axbycz)va2xb2yc2zwa3xb3yc31 f(axbycz)dxdydzduf 其中Du (v,w)vw1 。故 f(axbycz)dxdydz1t2f(ht)dtVf(t在[0,F(tz2f(x2y2

(xyz|0zhx2y2t2(t0).求

F. ht0 h 2 2

th32

解:用柱坐標系,F

2

td

f dz 2htf

limF

2hlim0f

hf1

t f

t

t x2y計算I yxxyd,其中Dx,yxyx2y x解：考慮極坐標系y

,ddd.Dx,yx2y2R x2yx2y

xf

y x,yx= x,y ,x,y

Siny x,y ,