解直角三角形及其應(yīng)用教案

解直角三角形及其應(yīng)用◆考點聚焦1．掌握并靈活應(yīng)用各種關(guān)系解直角三角形，這是本節(jié)重點．2．了解測量中的概念，并能靈活應(yīng)用相關(guān)知識解決某些實際問題，而在將實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題時，怎樣合理構(gòu)造直角三角形以及如何正確選用直角三角形的邊角關(guān)系是本節(jié)難點，也是中考的熱點．◆備考兵法正確地建立解直角三角形的數(shù)學(xué)模型以及熟悉測量，航海，航空，工程等實際問題中的常用概念是解決這類問題的關(guān)鍵．注意：（1）準確理解幾個概念：①仰角，俯角；②坡角；③坡度；④方位角．（2）將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵是畫出符合題意的圖形．（3）在一些問題中要根據(jù)需要添加輔助線，構(gòu)造出直角三角形，從而轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．◆考點鏈接1．解直角三角形的概念：在直角三角形中已知一些_____________叫做解直角三角形．2．解直角三角形的類型：已知____________；已知___________________．3．如圖（1）解直角三角形的公式：（1）三邊關(guān)系：__________________．（2）角關(guān)系：∠A+∠B＝_____，（3）邊角關(guān)系：sinA=___，sinB=____，cosA=_______．cosB=____，tanA=_____，tanB=_____．4．如圖（2）仰角是____________,俯角是____________．5．如圖（3）方向角：OA：_____，OB：_______，OC：_______，OD：________．6．如圖（4）坡度：AB的坡度iAB＝_______，∠α叫_____，tanα＝i＝____．OAOABC（圖2）（圖3）（圖4）◆典例精析例1（2009年安徽?。╅L為m的梯子搭在墻上與地面成45°角，作業(yè)時調(diào)整成60°角（如圖所示），則梯子的頂端沿墻面升高了______m．【答案】（約0.64）.【解析】涉及知識點有銳角三角函數(shù)的應(yīng)用.4m的梯子、地面和墻高構(gòu)成了直角三角形，當(dāng)梯子搭在墻上與地面成45°的角時，梯子的頂端到地面的距離是4×sin45°=2，當(dāng)梯子搭在墻上與地面成60°的角時，梯子的頂端到地面的距離是4×sin60°=2.則梯子的頂端沿墻面升高了（約0.64）m．【點評】把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形即直角三角形，利用銳角三角函數(shù)或勾股定理解答即可.例2（2009年山東臨沂）如圖，A，B是公路l（l為東西走向）兩旁的兩個村莊，A村到公路l的距離AC=1km，B村到公路l的距離BD=2km，B村在A村的南偏東45°方向上．（1）求出A，B兩村之間的距離；北東北東BACDl【分析】（1）設(shè)AB與CD的交點為O，那么三角形AOC和BOD是兩個等要直角三角形，根據(jù)A、B到公路的距離，利用勾股定理計算AO、BO，進而計算AB的長度.或者以AB為斜邊構(gòu)造直角三角形解答.（2）作AB的垂直平分線，與公路l的交點即為所求.【答案】解：（1）方法一：設(shè)AB與CD的交點為O，根據(jù)題意可得．和都是等腰直角三角形．，．兩村的距離為（km）．方法二：過點作直線的平行線交的延長線于．易證四邊形是矩形，．在中，由，可得．（km）BACDlNBACDlNMOP（2）作圖正確，痕跡清晰．作法：①分別以點為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧交于兩點，作直線；②直線交于點，點即為所求．【點評】（1）點到線的距離是垂線短的長，所以圖形中就包含了直角三角形，然后利用勾股定理計算便是.本題也可以利用銳角三角函數(shù)計算.（2）“到線段兩個端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上”把握這個特征是找出確切位置的基礎(chǔ).◆迎考精練一、選擇題第1題圖1.（2009年山東泰安）在一次夏令營活動中，小亮從位于A點的營地出發(fā)，沿北偏東60°方向走了5km到達B地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到達C地，測得A地在C地南偏西30°方向，則A、C兩地的距離為第1題圖A.B.EBCADlEBCADl2.（2009年山東濰坊）如圖，小明要測量河內(nèi)小島B到河邊公路l的距離，在A點測得，在C點測得，2題又測得米，則小島B到公路l的距離為（）米．2題A．25 B． C． D．二、填空題1.（2009年四川遂寧）如圖，已知△ABC中，AB=5cm，BC=12cm，AC=13cm，那么AC邊上的中線BD的長為cm.AC(AC(B′)BA′C′DABChl2.（2009年浙江寧波）如圖，在坡屋頂?shù)脑O(shè)計圖中，，屋頂?shù)膶挾葹?0米，坡角為35°，則坡屋頂高度為米．（結(jié)果精確到0.1米）3.（2009年湖南益陽）如圖，將以A為直角頂點的等腰直角三角形ABC沿直線BC平移得到△，使點與C重合，連結(jié)，則的值為.4.（2009年山東濟南）如圖，是放置在正方形網(wǎng)格中的一個角，則的值是．OAOAB第4題圖5.（2009年山東泰安）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，沿△ABC的中線CM將△CMA折疊，使點A落在點D處，若CD恰好與MB垂直，則tanA的值為.DD6.（2009年湖南衡陽）某人沿著有一定坡度的坡面前進了10米，此時他與水平地面的垂直距離為米，則這個坡面的坡度為__________.7.（2009年湖北孝感）如圖，角的頂點為O，它的一邊在x軸的正半軸上，另一邊OA上有一點P（3，4），則．三、解答題1.（2009年河南省）如圖所示，電工李師傅借助梯子安裝天花板上距地面2.90m的頂燈.已知梯子由兩個相同的矩形面組成，每個矩形面的長都被六條踏板七等分，使用時梯腳的固定跨度為1m．矩形面與地面所成的角α為78°.李師傅的身高為l.78m，當(dāng)他攀升到頭頂距天花板0.05～0.20m時，安裝起來比較方便.他現(xiàn)在豎直站立在梯子的第三級踏板上，請你通過計算判斷他安裝是否比較方便?(參考數(shù)據(jù)：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.70.)2.（2009年福建福州）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，的三個頂點均在格點上，請按要求完成下列各題：用簽字筆畫AD∥BC（D為格點），連接CD；線段CD的長為；請你在的三個內(nèi)角中任選一個銳角，若你所選的銳角是，則它所對應(yīng)的正弦函數(shù)值是.（4）若E為BC中點，則tan∠CAE的值是3.（2009年山東德州）如圖，斜坡AC的坡度（坡比）為1:，AC＝10米．坡頂有一旗桿BC，旗桿頂端B點與A點有一條彩帶AB相連，AB＝14米．試求旗桿BC的高度．參考數(shù)據(jù)sin12°0.21cos12°0.98tan5°0.09參考數(shù)據(jù)sin12°0.21cos12°0.98tan5°0.09（1）求坡高；（2）求斜坡新起點與原起點的距離（精確到0.1米）．（第4題）（第4題）DCBA5°12°5.（2009年河北?。┤鐖D是一個半圓形橋洞截面示意圖，圓心為O，直徑AB是河底線，弦CD是水位線，CD∥AB，且CD=24m，OE⊥CD于點E．已測得sin∠DOE=

．（1）求半徑OD；AOAOBECD6.（2009年江蘇省）如圖，在航線的兩側(cè)分別有觀測點A和B，點A到航線的距離為2km，點B位于點A北偏東60°方向且與A相距10km處．現(xiàn)有一艘輪船從位于點B南偏西76°方向的C處，正沿該航線自西向東航行，5min后該輪船行至點A的正北方向的D處．（1）求觀測點B到航線的距離；（2）求該輪船航行的速度（結(jié)果精確到0.1km/h）．（參考數(shù)據(jù)：，，，）北北東CDBEAl60°76°OO7.（2009年湖南婁底）在學(xué)習(xí)實踐科學(xué)發(fā)展觀的活動中，某單位在如圖所示的辦公樓迎街的墻面上垂掛一長為30米的宣傳條幅AE，張明同學(xué)站在離辦公樓的地面C處測得條幅頂端A的仰角為50°，測得條幅底端E的仰角為30°.問張明同學(xué)是在離該單位辦公樓水平距離多遠的地方進行測量？（精確到整數(shù)米）（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20，sin30°=0.50，cos30°≈0.87，tan30°≈0.58）8.（2009年山東煙臺）騰飛中學(xué)在教學(xué)樓前新建了一座“騰飛”雕塑（如圖①）.為了測量雕塑的高度，小明在二樓找到一點C，利用三角板測得雕塑頂端A點的仰角為，底部B點的俯角為，小華在五樓找到一點D，利用三角板測得A點的俯角為（如圖②）.若已知CD為10米，請求出雕塑AB的高度．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)）．DDCBA②①9.（2009年山東濟南）九年級三班小亮同學(xué)學(xué)習(xí)了“測量物體高度”一節(jié)課后，他為了測得右圖所放風(fēng)箏的高度，進行了如下操作：（1）在放風(fēng)箏的點處安置測傾器，測得風(fēng)箏的仰角；（2）根據(jù)手中剩余線的長度算出風(fēng)箏線的長度為70米；（3）量出測傾器的高度米．ADBEC60°根據(jù)測量數(shù)據(jù)，計算出風(fēng)箏的高度約為ADBEC60°65°37°北北ACB10.（2009年山東威海）如圖，一巡邏艇航行至海面處時，得知其正北方向上處一漁船發(fā)生故障．已知港口處在處的北偏西方向上，距處20海里；處在A處的北偏東方向上．求之間的距離（結(jié)果精確到0.1海里）．65°37°北北ACB參考數(shù)據(jù)：11.（2009年廣東省）如圖所示，、兩城市相距100km．現(xiàn)計劃在這兩座城市間修筑一條高速公路（即線段），經(jīng)測量，森林保護中心在城市的北偏東和城市的北偏西的方向上．已知森林保護區(qū)的范圍在以點為圓心，50km為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)．請問計劃修筑的這條高速公路會不會穿越保護區(qū)．為什么？（參考數(shù)據(jù)：）ABABFEP45°30°12.（2009年湖北襄樊）為打擊索馬里海盜，保護各國商船的順利通行，我海軍某部奉命前往該海域執(zhí)行護航任務(wù)．某天我護航艦正在某小島北偏西并距該島海里的處待命．位于該島正西方向處的某外國商船遭到海盜襲擊，船長發(fā)現(xiàn)在其北偏東的方向有我軍護航艦（如圖所示），便發(fā)出緊急求救信號．我護航艦接警后，立即沿航線以每小時60海里的速度前去救援．問我護航艦需多少分鐘可以到達該商船所在的位置處？（結(jié)果精確到個位．參考數(shù)據(jù)：）13.（2009年湖南長沙）校九年級數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)開展了測量湘江寬度的活動．如圖，他們在河?xùn)|岸邊的點測得河西岸邊的標(biāo)志物在它的正西方向，然后從點出發(fā)沿河岸向正北方向行進550米到點處，測得在點的南偏西60°方向上，他們測得的湘江寬度是多少米？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，）【參考答案】選擇題A【解析】此題考查了銳角三角函數(shù)的應(yīng)用.由方位角可求得∠BAC=30°，∠ABC=90°，所以由∠BAC的余弦定義得cos30°=，所以AC=.【點評】根據(jù)角度判斷三角形的形狀，再選擇適當(dāng)?shù)年P(guān)系式.【解析】過點B作BE垂直于AC，垂足為E，因為，，所以∠ABC=∠BAD=30°，則BC=AC=50，在Rt△BCE中，sin∠BCD=，所以小島B到公路l的距離BE=BC·sin∠BCD=50×=（米）.【點評】遇到非直角三角形的問題，通常最垂線構(gòu)造直角三角形，利用銳角三角函數(shù)或勾股定理解答.填空題1.【解析】知識點：勾股定理的逆定理、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì).由52+122=132知△ABC是直角三角形，AC是斜邊，所以BD=AC=cm.【點評】由數(shù)量關(guān)系判斷三角形的形狀，這是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn).學(xué)習(xí)時要注意把直角三角形所有的知識都歸納起來，從而達到綜合運用知識的能力.2.3.5【解析】知識點：等腰三角形三線合一的性質(zhì)、坡角函數(shù)關(guān)系、計算器的操作.根據(jù)三線合一的性質(zhì)可知，坡屋頂高度h把等腰三角形分成了兩個全等的直角三角形，且有tan=，所以h約為3.5米.【點評】利用三線合一的性質(zhì)把等腰三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，利用相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系時解答.3.【解析】由題意可知，△ABC平移的距離是等腰直角三角形的斜邊長，過點A′作AD⊥B′C于點D，設(shè)A′D為a，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)則有BC=B′C′=2a，所以BD=3a，在Rt△A′BD中，==.【點評】準確地構(gòu)造直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.4.5.【解析】本題所考查的知識點有軸對稱、直角三角形斜邊的中線性質(zhì)、等邊對等角、同角的余角相等、30°的正切函數(shù)值.由CM是Rt△ABC斜邊的中線可得CM=AM，則∠A=∠ACM；由折疊可知∠ACM=∠DCM；又∠A+∠B=∠BCD+∠B=90°，則∠A=∠BCD，所以∠A=∠ACM=∠DCM=∠BCD=30°，因此tanA=tan30°=.【點評】把直角三角形與等腰三角形結(jié)合起來，根據(jù)折疊的不變性轉(zhuǎn)化角與角之間的關(guān)系，求出角的大小，函數(shù)值即可躍然紙上.6.1：2【解析】如圖，由題意得直角三角形ABC，AB=10米，AC=米，由勾股定理得BC=4米，坡度為.BCABCA7.(或0.8)【解析】根據(jù)點P的坐標(biāo)利用勾股定理可以求得OP==5.所以sin=.解答題1.【解析】過點A作AE⊥BC于點E，過點D作DF⊥BC于點F，利用三角函數(shù)計算AE、DF，結(jié)合電工身高計算其頭頂?shù)教旎ò宓木嚯x在0.05～0.20m范圍內(nèi)即可判斷安裝方便；否則，不方便.【答案】解：過點A作AE⊥BC于點E，過點D作DF⊥BC于點F．∵AB=AC,∴CE=BC=0.5．在Rt△ABC和Rt△DFC中，∵tan780=，∴AE=EC×tan7800.5×4.70=2.35.又∵sinα==，DF=·AE=×AE1.007．李師傅站在第三級踏板上時，頭頂距地面高度約為：1.007+1.78=2.787．頭頂與天花板的距離約為：2.90-2.7870.11．∵0.05＜0.11＜0.20，∴它安裝比較方便．【點評】將等腰三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，把問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.2.【解析】按要求作圖，因圖中的三角形是格點三角形，所以線段的計算要用它與網(wǎng)格線構(gòu)成的直角三角形，通過勾股定理計算，然后計算有關(guān)銳角的函數(shù)值.【答案】（１）如圖；（２）；（３）∠CAD，(或∠ADC，)（４）【點評】選擇合適的格點直角三角形是計算線段長、銳角三角函數(shù)值的基礎(chǔ).3.【解析】BC所在的三角形是斜三角形，所以它的高度無法直接求得，我們可以過點C作AD的垂線，結(jié)合坡比這個條件計算CE、AE，再計算BE，從而通過BE、CE的差求BC.【答案】解：延長BC交AD于E點，則CE⊥AD．在Rt△AEC中，AC＝10，由坡比為1︰可知：∠CAE＝30°，ABCDE∴CE＝AC·sin30°ABCDEAE＝AC·cos30°＝10×＝．在Rt△ABE中，BE＝＝＝11．∵BE＝BC＋CE，∴BC＝BE－CE＝11-5＝6（米）．答：旗桿的高度為6米．【點評】過合適的點作垂線構(gòu)造直角三角形，利用銳角三角函數(shù)和勾股定理計算線段的長度.4.【解析】在Rt△BCD中，利用∠CBD的正弦計算CD，利用∠CBD的余弦計算BD；在Rt△ACD中，利用∠A的正切計算AD，AD與BD的差則是A、B的距離.【答案】解：（1）在中，（米）．（2）在中，（米）；在中，（米），（米）．答：坡高2.1米，斜坡新起點與原起點的距離為13.5米．【點評】這是一道銳角三角函數(shù)的應(yīng)用題，結(jié)合圖形和已知條件，選擇合適的函數(shù)關(guān)系式計算線段的長度.5.【解析】根據(jù)垂徑定理可知DE的長度，在Rt△DOE中，利用∠DOE的正弦求半徑OD，再利用勾股定理計算OE，然后結(jié)合水面下降的速度得時間.【答案】解：（1）∵OE⊥CD于點E，CD=24，∴ED==12．在Rt△DOE中，∵sin∠DOE

=

=，∴OD=13（m）．（2）OE==．∴將水排干需：5÷0.5=10（小時）．【點評】在直角三角形中，已知一邊和與它相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式時用函數(shù)關(guān)系計算另一邊，當(dāng)知道兩條邊長時，則用勾股定理計算第三邊.6.【解析】在Rt△OAD中，利用∠A的余弦關(guān)系求OA，便知OB的長度，然后在Rt△BOE中利用∠OBE的余弦關(guān)系求BE；在Rt△OAD和Rt△BOE利用60°的正切關(guān)系求出OD、OE，便得DE，利用路程和時間求速度.【答案】解：（1）設(shè)與交于點．在中，．又．在中，（km）．觀測點到航線的距離為3km．（2）在中，．在中，．．在中，．．，（km/h）．答：該輪船航行的速度約為40.6km/h【點評】根據(jù)已知的邊和角，在相應(yīng)的直角三角形中選擇三角函數(shù)關(guān)系式計算線段的長度即距離.7.【解析】過D點作DF⊥AB于F點，DF的長度便是張明同學(xué)是在離該單位辦公樓水平距離.【答案】解：方法一：過D點作DF⊥AB于F點FF在Rt△DEF中，設(shè)EF=x，則DF=x在Rt△ADF中，tan50°=≈1.204分30+x=x×1.20x≈27.8∴DF=x≈48答：張明同學(xué)站在離辦公樓約48米處進行測量的.方法二：過點D作DF⊥AB于F點在Rt△DEF中，EF=FD·tan30°在Rt△AFD中，AF=FD·tan30°∵AE+EF=AF∴30+FDtan30°=FD·tan50°∴FD≈48答：張明同學(xué)站在離辦公樓約48米處進行測量的.【點評】作垂線構(gòu)造直角三角形，根據(jù)銳角三角函數(shù)直接或間接計算所要求的距離.8.【解析】過點作于則AB被分為AE、BE兩部分，在相應(yīng)的