解析幾何測試題與答案解析

..2013屆高三數(shù)學章末綜合測試題〔15平面解析幾何〔1一、選擇題<本大題共12小題,每小題5分,共60分．在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的>1．已知圓x2＋y2＋Dx＋Ey＝0的圓心在直線x＋y＝1上,則D與E的關(guān)系是<>A．D＋E＝2B．D＋E＝1C．D＋E＝－1D．D＋E＝－2X解析D依題意得,圓心eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<D,2>,－\f<E,2>>>在直線x＋y＝1上,因此有－eq\f<D,2>－eq\f<E,2>＝1,即D＋E＝－2.2．以線段AB：x＋y－2＝0<0≤x≤2>為直徑的圓的方程為<>A．<x＋1>2＋<y＋1>2＝2B．<x－1>2＋<y－1>2＝2C．<x＋1>2＋<y＋1>2＝8D．<x－1>2＋<y－1>2＝8解析B直徑的兩端點為<0,2>,<2,0>,∴圓心為<1,1>,半徑為eq\r<2>,圓的方程為<x－1>2＋<y－1>2＝2.3．已知F1、F2是橢圓eq\f<x2,4>＋y2＝1的兩個焦點,P為橢圓上一動點,則使|PF1|·|PF2|取最大值的點P為<>A．<－2,0>B．<0,1>C．<2,0>D．<0,1>和<0,－1>解析D由橢圓定義,|PF1|＋|PF2|＝2a＝4,∴|PF1|·|PF2|≤eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<|PF1|＋|PF2|,2>>>2＝4,當且僅當|PF1|＝|PF2|,即P<0,－1>或<0,1>時,取"＝"．4．已知橢圓eq\f<x2,16>＋eq\f<y2,25>＝1的焦點分別是F1、F2,P是橢圓上一點,若連接F1、F2、P三點恰好能構(gòu)成直角三角形,則點P到y(tǒng)軸的距離是<>A.eq\f<16,5>B．3C.eq\f<16,3>D.eq\f<25,3>解析A橢圓eq\f<x2,16>＋eq\f<y2,25>＝1的焦點分別為F1<0,－3>、F2<0,3>,易得∠F1PF2<eq\f<π,2>,∴∠PF1F2＝eq\f<π,2>或∠PF2F1＝eq\f<π,2>,點P到y(tǒng)軸的距離d＝|xp|,又|yp|＝3,eq\f<x\o\al<2,p>,16>＋eq\f<y\o\al<2,p>,25>＝1,解得|xP|＝eq\f<16,5>,故選A.5．若曲線y＝x2的一條切線l與直線x＋4y－8＝0垂直,則l的方程為<>A．4x＋y＋4＝0B．x－4y－4＝0C．4x－y－12＝0D．4x－y－4＝0解析D設切點為<x0,y0>,則y′|x＝x0＝2x0,∴2x0＝4,即x0＝2,∴切點為<2,4>,方程為y－4＝4<x－2>,即4x－y－4＝0.6．"m>n>0”是"方程mx2＋ny2＝1表示焦點在y軸上的橢圓"的<>A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析C方程可化為eq\f<x2,\f<1,m>>＋eq\f<y2,\f<1,n>>＝1,若焦點在y軸上,則eq\f<1,n>>eq\f<1,m>>0,即m>n>0.7．設雙曲線eq\f<x2,a2>－eq\f<y2,b2>＝1的一條漸近線與拋物線y＝x2＋1只有一個公共點,則雙曲線的離心率為<>A.eq\f<5,4>B．5C.eq\f<\r<5>,2>D.eq\r<5>解析D雙曲線的漸近線為y＝±eq\f<b,a>x,由對稱性,只要與一條漸近線有一個公共點即可由eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<y＝x2＋1,,y＝\f<b,a>x,>>得x2－eq\f<b,a>x＋1＝0.∴Δ＝eq\f<b2,a2>－4＝0,即b2＝4a2,∴e＝eq\r<5>.8．P為橢圓eq\f<x2,4>＋eq\f<y2,3>＝1上一點,F1、F2為該橢圓的兩個焦點,若∠F1PF2＝60°,則eq\o<PF1,\s\up7<→>>·eq\o<PF2,\s\up7<→>>＝<>A．3B.eq\r<3>C．2eq\r<3>D．2解析D∵S△PF1F2＝b2taneq\f<60°,2>＝3×tan30°＝eq\r<3>＝eq\f<1,2>|eq\o<PF1,\s\up7<→>>|·|eq\o<PF2,\s\up7<→>>|·sin60°,∴|eq\o<PF1,\s\up7<→>>||eq\o<PF2,\s\up7<→>>|＝4,∴eq\o<PF1,\s\up7<→>>·eq\o<PF2,\s\up7<→>>＝4×eq\f<1,2>＝2.9．設橢圓eq\f<x2,m2>＋eq\f<y2,n2>＝1<m>0,n>0>的右焦點與拋物線y2＝8x的焦點相同,離心率為eq\f<1,2>,則此橢圓的方程為<>A.eq\f<x2,12>＋eq\f<y2,16>＝1B.eq\f<x2,16>＋eq\f<y2,12>＝1C.eq\f<x2,48>＋eq\f<y2,64>＝1D.eq\f<x2,64>＋eq\f<y2,48>＝1解析B拋物線的焦點為<2,0>,∴由題意得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<c＝2,,\f<c,m>＝\f<1,2>,>>∴m＝4,n2＝12,∴方程為eq\f<x2,16>＋eq\f<y2,12>＝1.10．設直線l過雙曲線C的一個焦點,且與C的一條對稱軸垂直,l與C交于A,B兩點,|AB|為C的實軸長的2倍,則C的離心率為<>A.eq\r<2>B.eq\r<3>C．2D．3解析B設雙曲線C的方程為eq\f<x2,a2>－eq\f<y2,b2>＝1,焦點F<－c,0>,將x＝－c代入eq\f<x2,a2>－eq\f<y2,b2>＝1可得y2＝eq\f<b4,a2>,∴|AB|＝2×eq\f<b2,a>＝2×2a,∴b2＝2a2,c2＝a2＋b2＝3a2,∴e＝eq\f<c,a>＝eq\r<3>.11．已知拋物線y2＝4x的準線過雙曲線eq\f<x2,a2>－eq\f<y2,b2>＝1<a>0,b>0>的左頂點,且此雙曲線的一條漸近線方程為y＝2x,則雙曲線的焦距為<>新課標第一網(wǎng)A.eq\r<5>B．2eq\r<5>C.eq\r<3>D．2eq\r<3>解析B∵拋物線y2＝4x的準線x＝－1過雙曲線eq\f<x2,a2>－eq\f<y2,b2>＝1<a>0,b>0>的左頂點,∴a＝1,∴雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f<b,a>x＝±bx.∵雙曲線的一條漸近線方程為y＝2x,∴b＝2,∴c＝eq\r<a2＋b2>＝eq\r<5>,∴雙曲線的焦距為2eq\r<5>.12．已知拋物線y2＝2px<p>0>上一點M<1,m><m>0>到其焦點的距離為5,雙曲線eq\f<x2,a>－y2＝1的左頂點為A,若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行,則實數(shù)a的值為<>A.eq\f<1,9>B.eq\f<1,4>C.eq\f<1,3>D.eq\f<1,2>解析A由于M<1,m>在拋物線上,∴m2＝2p,而M到拋物線的焦點的距離為5,根據(jù)拋物線的定義知點M到拋物線的準線x＝－eq\f<p,2>的距離也為5,∴1＋eq\f<p,2>＝5,∴p＝8,由此可以求得m＝4,雙曲線的左頂點為A<－eq\r<a>,0>,∴kAM＝eq\f<4,1＋\r<a>>,而雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f<x,\r<a>>,根據(jù)題意得,eq\f<4,1＋\r<a>>＝eq\f<1,\r<a>>,∴a＝eq\f<1,9>.二、填空題<本大題共4小題,每小題5分,共20分．把答案填在題中橫線上>13．已知直線l1：ax－y＋2a＋1＝0和l2：2x－<a－1>y＋2＝0<a∈R>,則l1⊥l2的充要條件是a解析l1⊥l2?a·eq\f<2,a－1>＝－1,解得a＝eq\f<1,3>.[答案]eq\f<1,3>14．直線l：y＝k<x＋3>與圓O：x2＋y2＝4交于A,B兩點,|AB|＝2eq\r<2>,則實數(shù)k＝________.解析∵|AB|＝2eq\r<2>,圓O半徑為2,∴O到l的距離d＝eq\r<22－2>＝eq\r<2>.即eq\f<|3k|,\r<k2＋1>>＝eq\r<2>,解得k＝±eq\f<\r<14>,7>.[答案]±eq\f<\r<14>,7>15．過原點O作圓x2＋y2－6x－8y＋20＝0的兩條切線,設切點分別為P、Q,則線段PQ的長為________．解析如圖,圓的方程可化為<x－3>2＋<y－4>2＝5,∴|OM|＝5,|OQ|＝eq\r<25－5>＝2eq\r<5>.在△OQM中,eq\f<1,2>|QA|·|OM|＝eq\f<1,2>|OQ|·|QM|,∴|AQ|＝eq\f<2\r<5>×\r<5>,5>＝2,∴|PQ|＝4.[答案]416．在△ABC中,|eq\o<BC,\s\up7<→>>|＝4,△ABC的內(nèi)切圓切BC于D點,且|eq\o<BD,\s\up7<→>>|－|eq\o<CD,\s\up7<→>>|＝2eq\r<2>,則頂點A的軌跡方程為________．解析以BC的中點為原點,中垂線為y軸建立如圖所示的坐標系,E、F分別為兩個切點．則|BE|＝|BD|,|CD|＝|CF|,|AE|＝|AF|.∴|AB|－|AC|＝2eq\r<2>,∴點A的軌跡為以B,C為焦點的雙曲線的右支<y≠0>,且a＝eq\r<2>,c＝2,∴b＝eq\r<2>,∴方程為eq\f<x2,2>－eq\f<y2,2>＝1<x>eq\r<2>>．[答案]eq\f<x2,2>－eq\f<y2,2>＝1<x>eq\r<2>>三、解答題<本大題共6小題,共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟>17．<10分>在平面直角坐標系中,已知圓心在直線y＝x＋4上,半徑為2eq\r<2>的圓C經(jīng)過原點O.<1>求圓C的方程；<2>求經(jīng)過點<0,2>且被圓C所截得弦長為4的直線方程．解析<1>設圓心為<a,b>,則eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<b＝a＋4,,\r<a2＋b2>＝2\r<2>,>>解得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<a＝－2,,b＝2,>>故圓的方程為<x＋2>2＋<y－2>2＝8.<2>當斜率不存在時,x＝0,與圓的兩個交點為<0,4>,<0,0>,則弦長為4,符合題意；當斜率存在時,設直線為y－2＝kx,則由題意得,8＝4＋eq\b\lc\|\rc\|<\a\vs4\al\co1<\f<－2k,\r<1＋k2>>>>2,無解．綜上,直線方程為x＝0.18．<12分><2011·XX一模>橢圓的兩個焦點坐標分別為F1<－eq\r<3>,0>和F2<eq\r<3>,0>,且橢圓過點eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<1,－\f<\r<3>,2>>>.<1>求橢圓方程；<2>過點eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<6,5>,0>>作不與y軸垂直的直線l交該橢圓于M,N兩點,A為橢圓的左頂點．試判斷∠MAN的大小是否為定值,并說明理由．解析<1>設橢圓方程為eq\f<x2,a2>＋eq\f<y2,b2>＝1<a>b>0>,由c＝eq\r<3>,橢圓過點eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<1,－\f<\r<3>,2>>>可得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<a2－b2＝3,,\f<1,a2>＋\f<3,4b2>＝1,>>新課標第一網(wǎng)解得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<a2＝4,,b2＝1,>>所以可得橢圓方程為eq\f<x2,4>＋y2＝1.<2>由題意可設直線MN的方程為：x＝ky－eq\f<6,5>,聯(lián)立直線MN和橢圓的方程：eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＝ky－\f<6,5>,,\f<x2,4>＋y2＝1,>>化簡得<k2＋4>y2－eq\f<12,5>ky－eq\f<64,25>＝0.設M<x1,y1>,N<x2,y2>,則y1y2＝－eq\f<64,25k2＋4>,y1＋y2＝eq\f<12k,5k2＋4>,又A<－2,0>,則eq\o<AM,\s\up7<→>>·eq\o<AN,\s\up7<→>>＝<x1＋2,y1>·<x2＋2,y2>＝<k2＋1>y1y2＋eq\f<4,5>k<y1＋y2>＋eq\f<16,25>＝0,所以∠MAN＝eq\f<π,2>.19．<12分>已知橢圓C的中心為直角坐標系xOy的原點,焦點在x軸上,它的一個頂點到兩個焦點的距離分別為7和1.<1>求橢圓C的方程；<2>若P為橢圓C上的動點,M為過P且垂直于x軸的直線上的點,eq\f<|OP|,|OM|>＝e<e為橢圓離心率>,求點M的軌跡方程,并說明軌跡是什么曲線．解析<1>設橢圓長半軸長及半焦距分別為a,c,由已知,得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<a－c＝1,,a＋c＝7,>>解得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<a＝4,,c＝3.>>∴橢圓方程為eq\f<x2,16>＋eq\f<y2,7>＝1.<2>設M<x,y>,P<x,y1>,其中x∈[－4,4],由已知得eq\f<x2＋y\o\al<2,1>,x2＋y2>＝e2,而e＝eq\f<3,4>,故16<x2＋yeq\o\al<2,1>>＝9<x2＋y2>,①由點P在橢圓C上,得yeq\o\al<2,1>＝eq\f<112－7x2,16>,代入①式并化簡,得9y2＝112.∴點M的軌跡方程為y＝±eq\f<4\r<7>,3><－4≤x≤4>,∴軌跡是兩條平行于x軸的線段．20．<12分>給定拋物線y2＝2x,設A<a,0>,a>0,P是拋物線上的一點,且|PA|＝d,試求d的最小值．解析設P<x0,y0><x0≥0>,則yeq\o\al<2,0>＝2x0,∴d＝|PA|＝eq\r<x0－a2＋y\o\al<2,0>>＝eq\r<x0－a2＋2x0>＝eq\r<[x0＋1－a]2＋2a－1>.∵a>0,x0≥0,∴<1>當0<a<1時,1－a>0,此時有x0＝0時,dmin＝eq\r<1－a2＋2a－1>＝a；新課標第一網(wǎng)<2>當a≥1時,1－a≤0,此時有x0＝a－1時,dmin＝eq\r<2a－1>.21．<12分>已知雙曲線的中心在原點,焦點F1,F2在坐標軸上,離心率為eq\r<2>,且過點<4,－eq\r<10>>,點M<3,m>在雙曲線上．<1>求雙曲線方程；<2>求證：點M在以F1F2<3>求△F1MF2的面積．解析<1>∵雙曲線離心率e＝eq\r<2>,∴設所求雙曲線方程為x2－y2＝λ<λ≠0>,xkb1則由點<4,－eq\r<10>>在雙曲線上,知λ＝42－<－eq\r<10>>2＝6,∴雙曲線方程為x2－y2＝6.<2>若點M<3,m>在雙曲線上,則32－m2＝6,∴m2＝3,由雙曲線x2－y2＝6知F1<2eq\r<3>,0>,F2<－2eq\r<3>,0>,∴eq\o<MF1,\s\up7<→>>·eq\o<MF2,\s\up7<→>>＝<2eq\r<3>－3,－m>·<－2eq\r<3>－3,－m>＝m2－3＝0,∴eq\o<MF1,\s\up7<→>>⊥eq\o<MF2,\s\up7<→>>,故點M在以F1F2為直徑的圓上．<3>S△F1MF2＝eq\f<1,2>|F1F2|·|m|＝2eq\r<3>×eq\r<3>＝6.22．<12分>已知實數(shù)m>1,定點A<－m,0>,B<m,0>,S為一動點,點S與A,B兩點連線斜率之積為－eq\f<1,m2>.<1>求動點S的軌跡C的方程,并指出它是哪一種曲線；<2>當m＝eq\r<2>時,問t取何值時,直線l：2x－y＋t＝0<t>0>與曲線C有且只有一個交點？<3>在<2>的條件下,證明：直線l上橫坐標小于2的點P到點<1,0>的距離與到直線x＝2的距離之比的最小值等于曲線C的離心率．解析<1>設S<x,y>,則kSA＝eq\f<y－0,x＋m>,kSB＝eq\f<y－0,x－m>.由題意,得eq\f<y2,x2－m2>＝－eq\f<1,m2>,即eq\f<x2,m2>＋y2＝1<x≠±m(xù)>．∵m>1,∴軌跡C