2B-第二章-導(dǎo)熱基本定律與穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱2解析

繆正清上海交通高校2016.3傳熱傳質(zhì)學(xué)其次章、導(dǎo)熱基本定律與穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

本章首先介紹導(dǎo)熱的基本概念和基本定律，建立導(dǎo)熱微分方程。在此基礎(chǔ)上，對典型的一維、二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題求分析解。然后，介紹肋片換熱。2.1導(dǎo)熱基本定律2.2導(dǎo)熱微分方程2.3一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱（通過平壁、圓筒壁、球殼和其它變截面物體的導(dǎo)熱）2.4通過肋片的導(dǎo)熱2.5具有內(nèi)熱源的導(dǎo)熱及多維導(dǎo)熱2.1導(dǎo)熱基本定律

線索:

1.導(dǎo)熱基本概念(1)溫度場熱力學(xué)的自發(fā)過程告知我們：能量總是自發(fā)地從高溫物體傳向低溫物體，其中溫差是熱量傳遞的推動力。物體的溫度分布形成溫度場穩(wěn)態(tài)溫度場：一維溫度場：二維溫度場：三維溫度場：溫度場還可以用圖線表示。一般是畫出等溫線。等溫線是等溫面與截面的交線。由于場內(nèi)的任何一點，在同一時刻只能有一個溫度，所以等溫線或等溫面是不會相交的。(2)溫度梯度假定在溫度場內(nèi)有兩個等溫面，如圖2-1所示。A點所在的等溫面的溫度為t,與之相鄰的一個等溫面的溫度為t+t,現(xiàn)問A點的溫度變更率？因A點的溫度變更率與方向有關(guān)，A點沿l方向的溫度變更率為：圖2-1.等溫面、溫度梯度及熱流梯度示意圖溫度梯度是A點處最大的溫度變更率，是一個矢量，其方向沿著等溫線的法線方向，并指向溫度增加的一面，用符號t或gradt表示。哈米爾頓算子：故，t在直角坐標(biāo)系中表示為,留意：熱流方向與溫度梯度方向相反。2.傅里葉定律（Fourier’slaw）導(dǎo)熱的基本定律，反映了熱傳導(dǎo)的基本規(guī)律。(W)或者，該定律的意義是：單位時間內(nèi)傳導(dǎo)的熱量與溫度梯度和垂直于熱流方向上的截面積成正比，方向沿著溫降方向。Fourier’slaw以微分形式揭示了導(dǎo)熱的數(shù)學(xué)本質(zhì)，反映影響導(dǎo)熱的各種物理、幾何參數(shù)間的關(guān)系，是導(dǎo)熱問題探討的基礎(chǔ)。

3．導(dǎo)熱系數(shù)導(dǎo)熱系數(shù)是Fourier定律表示式中的比例系數(shù)，它表示當(dāng)溫度梯度為1時通過單位面積的熱流量。(材料性質(zhì)、溫度、壓力、濕度、材料多孔度、方向性等)W/(moC)導(dǎo)熱系數(shù)是通過試驗測定的。試驗測定導(dǎo)熱系數(shù)的方法分類：穩(wěn)態(tài)測定方法非穩(wěn)態(tài)測定方法通常導(dǎo)熱系數(shù)：金屬>液體>氣體非金屬固體的導(dǎo)熱系數(shù)在很大范圍內(nèi)變更，數(shù)值高的接近液體，數(shù)值低的甚至低于空氣導(dǎo)熱系數(shù)的數(shù)量級。圖2-3(三版教材P24)示出了多種物質(zhì)導(dǎo)熱系數(shù)對溫度的關(guān)系。

大多數(shù)材料的導(dǎo)熱系數(shù)隨溫度的變更可按線性近似,即,式中，b為常數(shù)。導(dǎo)熱系數(shù)很小的材料在工程上有重要的用途。隔熱材料（熱絕緣材料，保溫材料：W/(moC))石棉、礦渣棉、硅藻土、巖棉板、巖棉玻璃布縫氈，膨脹珍寶巖，膨脹蛭石及膨脹塑料等。巖棉玻璃布縫氈W/(moC)空氣在，W/(moC)上述這些效能高的隔熱材料都呈蜂窩狀多孔性結(jié)構(gòu)。呈蜂窩狀的隔熱材料的傳熱機(jī)理：蜂窩固體結(jié)構(gòu)的導(dǎo)熱穿過微小氣孔的導(dǎo)熱溫度更高時還有輻射由此得到進(jìn)一步提高隔熱效果的技術(shù)措施，用于某些須要特殊隔熱效果的場合。抽真空，以降低空氣導(dǎo)熱系數(shù)設(shè)置多層間隔板，以降低輻射各向異性材料：某些材料各項結(jié)構(gòu)不同（微觀），不同方向上的導(dǎo)熱系數(shù)各不相同。木材，石墨以及多層抽真空結(jié)構(gòu)的隔熱材料等。2.2導(dǎo)熱微分方程導(dǎo)熱微分方程建立在Fourier定律與能量守恒定律基礎(chǔ)上。由于坐標(biāo)系不同，就有不同的數(shù)學(xué)表達(dá)式。本節(jié)只具體地推導(dǎo)直角坐標(biāo)系內(nèi)的導(dǎo)熱微分方程，對圓柱坐標(biāo)系的導(dǎo)熱微分方程只作公式介紹。1.直角坐標(biāo)系的導(dǎo)熱微分方程設(shè)物體各向同性，，，均為常數(shù),在物體內(nèi)取微元體，依據(jù)能量守恒定律，對于微元體：三個方向上導(dǎo)入的熱量+內(nèi)熱源發(fā)出的熱量=三個方向上導(dǎo)出的熱量+內(nèi)能增量。

(*)

依據(jù)fourier

定律，并按Tayor級數(shù)綻開，略去二階導(dǎo)數(shù)以后的各項：所以x方向凈導(dǎo)入熱量：同理,設(shè)單位時間內(nèi)單位體積內(nèi)熱源的生成率為，則，將上述各式代入式（*），經(jīng)整理得，式中,所以，固體導(dǎo)熱方程為：當(dāng)導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)，無內(nèi)熱源（）時，上式進(jìn)一步簡化為：式中，，,為導(dǎo)溫系數(shù)，也稱熱擴(kuò)散率。它是描述非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程的重要物理量。穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的微分方程為:

即用同樣的方法可以導(dǎo)出圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系的導(dǎo)熱微分方程式：無內(nèi)熱源，，一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，在不同坐標(biāo)系中通式：式中，n=0,直角坐標(biāo)系；

n=1,柱坐標(biāo)系；

n=2,球坐標(biāo)系；圓柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系中的微元體的表示，參見P27.圖2-5.2.邊界條件和初始條件求導(dǎo)熱微分方程必須要滿足邊界條件和初始條件。對于穩(wěn)態(tài)問題，只要求給定邊界條件。第一類邊界條件：給定邊界上的溫度值。穩(wěn)態(tài)：tw=常數(shù)；非穩(wěn)態(tài)：>0,tw=f1()其次類邊界條件：給定邊界上的熱流密度。穩(wěn)態(tài)：qw=常數(shù)；非穩(wěn)態(tài)：>0,第三類邊界條件：給定邊界物體與四周流體的換熱。即，和。以物體冷卻為例：

在非穩(wěn)態(tài)時，式中，和可為時間的函數(shù)。當(dāng)流體溫度為常數(shù)時，其溫度特地用表示。2-3一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱（通過平壁、圓筒壁、球殼和其它變截面物體的導(dǎo)熱）無限大平壁、圓筒壁、球殼的導(dǎo)熱，但溫度場不隨著時間而變時，均為典型的一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題。1.通過平壁的導(dǎo)熱t(yī)1,t2不隨時間而變更。,F=常數(shù)方程:

邊界條件：求解結(jié)果:

圖2-6.單層平壁上式揭示了和之間的內(nèi)在聯(lián)系。

分析上式：

q為熱的轉(zhuǎn)移量，為造成熱轉(zhuǎn)移的動力，分母為影響熱轉(zhuǎn)移的阻力。

其實，這一關(guān)系在自然界的其它轉(zhuǎn)移過程也是成立的，如電量、動量、質(zhì)量的轉(zhuǎn)移過程：所以，一般地，

比較:

電路中的歐姆定律導(dǎo)熱的微分方程因此，在與歐姆定律的類比中，導(dǎo)熱公式中的分母叫做熱阻。即，或,

熱阻概念的引入，使得可以利用電路中的串并聯(lián)電阻的計算公式來計算傳熱過程的合成熱阻，從而簡化傳熱過程的計算。下面以此為例，計算多層平壁的導(dǎo)熱問題。多層平壁：如客機(jī)座艙，鍋爐爐墻等。給定:依據(jù)熱流量相等，=常數(shù)依據(jù)比例關(guān)系，依據(jù)電熱類比：留意：當(dāng)導(dǎo)熱系數(shù)為溫度的線性函數(shù)時，即，時，取計算區(qū)域內(nèi)的平均值代入。圖2-7.多層平壁2.通過圓筒壁內(nèi)的導(dǎo)熱(油管、氣管、火焰筒)設(shè)長為l，內(nèi)外徑r1,r2

溫度t1,t2,導(dǎo)熱系數(shù)

假如，可以簡化為一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：圓柱坐標(biāo)一維導(dǎo)熱方程：

邊界條件：通解：溫度分布:

(2-28)圖2-8.多層圓筒壁由溫度分布，可以求出溫度梯度，然后利用Fourier定律求出Q.取微元：將溫度分布代入上式,

或?qū)τ趫A筒壁的總面積，熱阻為：

(2-31)

對于多層圓筒壁與多層平壁一樣可運(yùn)用串聯(lián)熱阻迭加法求出導(dǎo)熱總熱量（以三層壁為例）：

空心球壁的導(dǎo)熱，內(nèi)外球壁保持勻整恒定溫度時，在球坐標(biāo)系內(nèi)亦為一維穩(wěn)定導(dǎo)熱，其溫度分布和熱量計算公式為：其熱阻為,或（為壁厚）2-4．通過肋片的導(dǎo)熱為了強(qiáng)化傳熱，往往接受肋片形式的換熱器。如暖氣片，發(fā)動機(jī)水箱散熱片，氣缸外套的肋片，家用空調(diào)的散熱器，鍋爐鑄鐵式省煤器的肋片等。按肋的外形分：直肋，環(huán)肋，針形肋等。３．通過等截面直肋片的導(dǎo)熱探討內(nèi)容：溫度沿直肋片長度的分布;通過肋片的散熱量。假設(shè)：穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，長肋片：肋片的高度肋片厚度，一維溫度變更：因為一般為金屬，很大，任一截面相同，方法一：描述導(dǎo)熱的通用微分方程為：導(dǎo)熱通用微分方程的簡化：因為，所以，式中，為單位體積的熱源。相應(yīng)的微元體積為，故，相應(yīng)的折算源項（單位體積的熱源）為，特殊引起留意的是一項。它是指加入微元，或微元向外釋放的熱量，假如我們在肋片內(nèi)部取微元，則，=0，現(xiàn)在我們?nèi)x長，包括肋外周的微元，則所取微元有向外散熱部分，所以在此，，且。方法二：從微元熱平衡求微分方程，據(jù)，

所以，整理，引進(jìn)，無量綱過余溫度，

令，則，（二階常微分方程）其通解為， (1)C1,C2的數(shù)值取決于邊界條件：肋根：(2)肋端的邊界條件比較困難，我們?nèi)∫环N：設(shè)肋端絕熱：(3)求解：所以，令，，即可求出肋端溫度，：通過肋的全部散熱量：有兩種方法可供選擇：*單位肋長外邊長上散熱的積分，*計算肋根導(dǎo)入的熱量。依據(jù)熱平衡：由肋片散入外界的全部熱量=通過x=0的肋根的導(dǎo)入熱量所以，對于必需考慮肋片末端面散熱的少數(shù)場合，計算時，可接受一簡潔的方法：以直肋為例，假如肋厚度，則可以用假想高度代替實際肋高H,代入原Q公式。附錄:2.各種肋片換熱面散熱量的計算關(guān)于一般形態(tài)肋片的溫度分布和散熱量可從有關(guān)參考資料查得。好用上，在接受理論方法求得后還把理論解轉(zhuǎn)化為曲線形式表示，以利于人們便利地查閱、計算。在圖線表示時，引進(jìn)了表征肋片散熱有效程度的肋效率概念。這樣，當(dāng)各種形態(tài)的肋的肋效率以曲線表示后，人們依據(jù)給定的形態(tài)參數(shù)查得肋效率后，就很簡潔求出實際的散熱量。留意：在曲線圖中要查時，首先要算出橫坐標(biāo)（自變量組合值）。如，對于等截面直肋，圖2-19.矩形及三角形直肋的效率曲線2-5．具有內(nèi)熱源的導(dǎo)熱及多維導(dǎo)熱１．具有內(nèi)熱源的導(dǎo)熱例子：*電流通過電路或線圈時的發(fā)熱

*化學(xué)工程中的吸熱與放熱

*核反應(yīng)裝置物理方程：邊界條件:解：任一位置處的熱流密度：圖2-26.具有勻整內(nèi)熱源的平壁２．多維導(dǎo)熱常用兩種方法：分析解法：僅適用于具有簡潔幾何形態(tài)與邊界條件的多維問題。形態(tài)因子法：查表法數(shù)值解法(1)兩維導(dǎo)熱問題的分析解二維矩形物體的三個邊界溫度均為t1，第四個邊界溫度為t2。無內(nèi)熱源，.求：二維溫度場。圖2-30矩形區(qū)域中的二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱物理方程： (2-54a)邊界條件: (2-54b)解：式（1-54a）是關(guān)于溫度的拉普拉斯方程，是一個齊次方程（即方程右邊為零）。首先將邊界條件齊次化，然后，用分別變量法求解。引入無量綱過余溫