數(shù)值分析牛頓插值法課件

2.2.2Newton插值法2.2.3等距節(jié)點插值公式華長生制作12.2.2Newton插值法2.2.3等距節(jié)我們知道,Lagrange插值多項式的插值基函數(shù)為形式上太復雜,計算量很大,并且重復計算也很多由線性代數(shù)的知識可知,任何一個n次多項式都可以表示成共n+1個多項式的線性組合那么，是否可以將這n+1個多項式作為插值基函數(shù)呢？華長生制作2我們知道,Lagrange插值多項式的插值基函數(shù)為形式上太復顯然，多項式組線性無關，因此，可以作為插值基函數(shù)華長生制作3顯然，多項式組線性無關，因此，可以作為插值基函數(shù)華長生制作3有再繼續(xù)下去待定系數(shù)的形式將更復雜為此引入差商和差分的概念華長生制作4有再繼續(xù)下去待定系數(shù)的形式將更復雜為此引入差商和差分的概念華一、差商(均差)定義1.稱依此類推華長生制作5一、差商(均差)定義1.稱依此類推華長生制作5差商具有如下性質(請同學們自證)：顯然華長生制作6差商具有如下性質(請同學們自證)：顯然華長生制作6(2)差商具有對稱性,即任意調換節(jié)點的次序,差商的值不變?nèi)缬糜囗椀南嗤C明華長生制作7(2)差商具有對稱性,即任意調換節(jié)點的次序,差商的值不變差商的計算方法(表格法):規(guī)定函數(shù)值為零階差商差商表Chashang.m華長生制作8差商的計算方法(表格法):規(guī)定函數(shù)值為零階差商差商表Chasxif[xi]f[xi,xi+1]f[xi,xi+1,xi+2]f[xi,xi+1,xi+2,xi+2]002832751256216例1求f(xi)=x3在節(jié)點x=0,2,3,5,6上的各階差商值解:計算得如下表華長生制作9xif[xi]f[xi,xi+1]f[xi,xi+1,xi+二、Newton基本插值公式設插值多項式滿足插值條件則待定系數(shù)為華長生制作10二、Newton基本插值公式設插值多項式滿足插值條件則待定系稱定義3.由插值多項式的唯一性,Newton基本插值公式的余項為為k次多項式華長生制作11稱定義3.由插值多項式的唯一性,Newton基本插值公式的余因此可得下面推導余項的另外一種形式華長生制作12因此可得下面推導余項的另外一種形式華長生制作12因此一般Newton插值估計誤差的重要公式另外華長生制作13因此一般Newton插值另外華長生制作13kxkf(xk)一階差商二階差商三階差商四階差商0123412345147863301-1-1/3-2-3/2-1/61/24華長生制作14kxkf(xk)一階差商二階差商三階差商四階差商2.2.3等距節(jié)點插值公式定義.華長生制作152.2.3等距節(jié)點插值公式定義.華長生制作15依此類推可以證明如華長生制作16依此類推可以證明如華長生制作16差分表華長生制作17差分表華長生制作17在等距節(jié)點的前提下,差商與差分有如下關系華長生制作18在等距節(jié)點的前提下,差商與差分有如下關系華長生制作18依此類推華長生制作19依此類推華長生制作19由差商與向前差分的關系Newton插值基本公式為如果假設1.Newton向前(差分)插值公式華長生制作20由差商與向前差分的關系Newton插值基本公式為如果假設1.則插值公式化為其余項化為華長生制作21則插值公式化為其余項化為華長生制作21稱為Newton向前插值公式（又稱為表初公式）插值余項為華長生制作22稱為Newton向前插值公式（又稱為表初公式）插值余項為華長插值余項為根據(jù)向前差分和向后差分的關系如果假設可得Newton向后插值公式2.Newton向后(差分)插值公式華長生制作23插值余項為根據(jù)向前差分和向后差分的關系如果假設可得Newto

例4設x0=1.0,h=0.05,給出在處的函數(shù)值如表2-5的第3列，試用三次等距節(jié)點插值公式求f(1.01)和f(1.28)的近似值。

01.001.000000.0247011.051.024700.02411-0.0005921.101.048810.02357-0.00054-0.0000531.151.07238……

……

……41.201.095440.02307-0.00048-0.0000351.251.118030.02259-0.0004561.301.140170.02214表2-5華長生制作24例4設x0=1.0,h=0.05,給出解用Newton向前插值公式來計算f(1.01)的近似值。先構造與均差表相似的差分表，見表2-5得上半部分。由t=(x-x0)/h=0.2的得用Newton向后插值公式計算f(1.28)的近似值，可利用表2-5中的下半部分。由t=(x-x6)/h=-0.4，得事實上，f(1.01)和f(1.28)的真值分別為1.00498756和1.13137085。由此看出，計算結果是相當精確的。例2.5已知f(x)=sinx的數(shù)值如表2-6的第2列，分別用Newton向前、向后插值公式求sin0.57891的近似值。華長生制作25解用Newton向前插值公式來計算f(10.40.389420.50.479430.090010.60.564640.085210.004800.70.644220.07958-0.00563-0.00083

xsinx△

△2△3表2-6解作差分表如表2-6，使用Newton向前差分公式x0=0.5,x1=0.6,x2=0.7,x=0.57891,h=0.1,則t=(x-x0)/h=0.7891,即sin0.57891≈0.54714。誤差為華長生制作260.40.38942若用Newton向后插值公式，則可取x0=0.4,x1=0.5,x2=0.6,x=0.57891,h=0.1,t=(x-x2)/h=-0.2109。于是即sin0.57891≈0.54707。誤差為華長生制作27若用Newton向后插值公式，則可取x0=0.4,x1=2.2.2Newton插值法2.2.3等距節(jié)點插值公式華長生制作282.2.2Newton插值法2.2.3等距節(jié)我們知道,Lagrange插值多項式的插值基函數(shù)為形式上太復雜,計算量很大,并且重復計算也很多由線性代數(shù)的知識可知,任何一個n次多項式都可以表示成共n+1個多項式的線性組合那么，是否可以將這n+1個多項式作為插值基函數(shù)呢？華長生制作29我們知道,Lagrange插值多項式的插值基函數(shù)為形式上太復顯然，多項式組線性無關，因此，可以作為插值基函數(shù)華長生制作30顯然，多項式組線性無關，因此，可以作為插值基函數(shù)華長生制作3有再繼續(xù)下去待定系數(shù)的形式將更復雜為此引入差商和差分的概念華長生制作31有再繼續(xù)下去待定系數(shù)的形式將更復雜為此引入差商和差分的概念華一、差商(均差)定義1.稱依此類推華長生制作32一、差商(均差)定義1.稱依此類推華長生制作5差商具有如下性質(請同學們自證)：顯然華長生制作33差商具有如下性質(請同學們自證)：顯然華長生制作6(2)差商具有對稱性,即任意調換節(jié)點的次序,差商的值不變?nèi)缬糜囗椀南嗤C明華長生制作34(2)差商具有對稱性,即任意調換節(jié)點的次序,差商的值不變差商的計算方法(表格法):規(guī)定函數(shù)值為零階差商差商表Chashang.m華長生制作35差商的計算方法(表格法):規(guī)定函數(shù)值為零階差商差商表Chasxif[xi]f[xi,xi+1]f[xi,xi+1,xi+2]f[xi,xi+1,xi+2,xi+2]002832751256216例1求f(xi)=x3在節(jié)點x=0,2,3,5,6上的各階差商值解:計算得如下表華長生制作36xif[xi]f[xi,xi+1]f[xi,xi+1,xi+二、Newton基本插值公式設插值多項式滿足插值條件則待定系數(shù)為華長生制作37二、Newton基本插值公式設插值多項式滿足插值條件則待定系稱定義3.由插值多項式的唯一性,Newton基本插值公式的余項為為k次多項式華長生制作38稱定義3.由插值多項式的唯一性,Newton基本插值公式的余因此可得下面推導余項的另外一種形式華長生制作39因此可得下面推導余項的另外一種形式華長生制作12因此一般Newton插值估計誤差的重要公式另外華長生制作40因此一般Newton插值另外華長生制作13kxkf(xk)一階差商二階差商三階差商四階差商0123412345147863301-1-1/3-2-3/2-1/61/24華長生制作41kxkf(xk)一階差商二階差商三階差商四階差商2.2.3等距節(jié)點插值公式定義.華長生制作422.2.3等距節(jié)點插值公式定義.華長生制作15依此類推可以證明如華長生制作43依此類推可以證明如華長生制作16差分表華長生制作44差分表華長生制作17在等距節(jié)點的前提下,差商與差分有如下關系華長生制作45在等距節(jié)點的前提下,差商與差分有如下關系華長生制作18依此類推華長生制作46依此類推華長生制作19由差商與向前差分的關系Newton插值基本公式為如果假設1.Newton向前(差分)插值公式華長生制作47由差商與向前差分的關系Newton插值基本公式為如果假設1.則插值公式化為其余項化為華長生制作48則插值公式化為其余項化為華長生制作21稱為Newton向前插值公式（又稱為表初公式）插值余項為華長生制作49稱為Newton向前插值公式（又稱為表初公式）插值余項為華長插值余項為根據(jù)向前差分和向后差分的關系如果假設可得Newton向后插值公式2.Newton向后(差分)插值公式華長生制作50插值余項為根據(jù)向前差分和向后差分的關系如果假設可得Newto

例4設x0=1.0,h=0.05,給出在處的函數(shù)值如表2-5的第3列，試用三次等距節(jié)點插值公式求f(1.01)和f(1.28)的近似值。

01.001.000000.0247011.051.024700.02411-0.0005921.101.048810.02357-0.00054-0.0000531.151.07238……

……

……41.201.095440.02307-0.00048-0.0000351.251.118030.02259-0.0004561.301.140170.02214表2-5華長生制作51例4設x0=1.0,h=0.05,給出解用Newton向前插值公式來計算f(1.01)的近似值。先構造與均差表相似的差分表，見表2-5得上半部分。由t=(x-x0)/h=0.2的得用Newton向后插值公式計算f(1.28)的近似值，可利用表2-5中的下半部分。由t=(x-x6)/h=-0.4，得事實上，f(1.01)和f(1.28)的真值分別為1.00498756和1.13137085。由此看出，計算結果是相當精確的。例2.5已知f(x)=sinx的數(shù)值如表2-6的第2列，分別用Newton向前、向后插值公式求sin0.57891的近似值。華長生制作52解用Newton向前插值公式來計算f(10.40.389420.50.479430.09