2018-2019學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)選修1-2同步學(xué)案：第一章 2.2-2.4

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2.2獨(dú)立性檢驗(yàn)2。3獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想2.4獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解2×2列聯(lián)表，并會依據(jù)列聯(lián)表判斷兩個變量是否獨(dú)立。2。理解統(tǒng)計(jì)量χ2的意義和獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想．知識點(diǎn)一2×2列聯(lián)表思考某教育行政部門大力推行素質(zhì)教育，增加了高中生的課外活動時間，某校調(diào)查了學(xué)生的課外活動方式,結(jié)果整理成下表：體育文娛總計(jì)男生210230440女生60290350總計(jì)270520790如何判定“喜歡體育還是文娛與性別是否有聯(lián)系”？答案可通過表格與圖形進(jìn)行直觀分析,也可通過統(tǒng)計(jì)分析定量判斷．梳理設(shè)A，B為兩個變量,每一變量都可以取兩個值，得到表格.BAB1B2總計(jì)A1aba＋bA2cdc＋d總計(jì)a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d其中,a表示變量A取A1，且變量B取B1時的數(shù)據(jù),b表示變量A取A1，且變量B取B2時的數(shù)據(jù)；c表示變量A取A2，且變量B取B1時的數(shù)據(jù);d表示變量A取A2，且變量B取B2時的數(shù)據(jù)．上表在統(tǒng)計(jì)中稱為2×2列聯(lián)表．知識點(diǎn)二統(tǒng)計(jì)量χ2＝eq\f（nad－bc2，a＋bc＋da＋cb＋d).（其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量）知識點(diǎn)三獨(dú)立性檢驗(yàn)當(dāng)χ2≤2.706時，沒有充分的證據(jù)判定變量A,B有關(guān)聯(lián);當(dāng)χ2〉2.706時，有90％的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)；當(dāng)χ2〉3。841時，有95％的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)；當(dāng)χ2〉6。635時，有99%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)．1．列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)是兩個分類變量的頻數(shù)．（√）2．事件A與B的獨(dú)立性檢驗(yàn)無關(guān)，即兩個事件互不影響．（×)3．χ2是判斷事件A與B是否相關(guān)的統(tǒng)計(jì)量．(√)類型一2×2列聯(lián)表及其應(yīng)用例1（1）兩個變量X，Y，它們的取值分別為x1，x2和y1，y2，其列聯(lián)表為：YXy1y2總計(jì)x1aba＋bx2cdc＋d總計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d若兩個變量X,Y獨(dú)立，則下列結(jié)論：①ad≈bc；②eq\f（a，a＋b）≈eq\f(c,c＋d）；③eq\f(c＋d，a＋b＋c＋d）≈eq\f(b＋d，a＋b＋c＋d)；④eq\f(c＋a，a＋b＋c＋d)≈eq\f(b＋d,a＋b＋c＋d);⑤eq\f（a＋b＋c＋dad－bc，a＋bb＋da＋cc＋d)≈0。共中正確的序號是________．(2)甲、乙兩個班級進(jìn)行一門考試,按照學(xué)生考試成績優(yōu)秀和不優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績后,得到如下列聯(lián)表：成績班級優(yōu)秀不優(yōu)秀總計(jì)甲班103545乙班73845總計(jì)177390用頻率估計(jì)的方法可判斷成績與班級________關(guān)．（填“有"或“無")考點(diǎn)定性分析的兩類方法題點(diǎn)利用列聯(lián)表定性分析答案（1）①②⑤（2）無解析(1)因?yàn)樽兞縓,Y獨(dú)立，所以eq\f(a,a＋b＋c＋d)≈eq\f(a＋c，a＋b＋c＋d)×eq\f（a＋b,a＋b＋c＋d),化簡得ad≈bc,故①⑤正確；②式化簡得ad≈bc，故②正確．(2）根據(jù)2×2列聯(lián)表得頻率表如下：成績班級優(yōu)秀不優(yōu)秀總計(jì)甲班eq\f（1，9）eq\f（7，18）eq\f(1,2）乙班eq\f(7,90）eq\f（19,45）eq\f(1,2)總計(jì)eq\f(17，90）eq\f(73,90）1由于eq\f（17，90）×eq\f（1，2）＝eq\f（17，180),而eq\f（1，9）＝eq\f（20，180)；eq\f（73,90）×eq\f(1,2）＝eq\f(73，180）,而eq\f（7，18)＝eq\f(70,180）;eq\f(17，90）×eq\f（1，2)＝eq\f（17,180)，而eq\f(7,90)＝eq\f(14，180）；eq\f（73,90)×eq\f（1,2)＝eq\f（73，180),而eq\f(19，45）＝eq\f（76,180）。這些頻率之間相差不大，可以認(rèn)為成績是否優(yōu)秀與班級沒有關(guān)系．反思與感悟(1)2×2列聯(lián)表X，Y對應(yīng)的數(shù)據(jù)是從總體中抽取樣本的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，所以即使X,Y獨(dú)立，ad－bc一般也不恰好等于零．（2）2×2列聯(lián)表中,｜ad－bc|越小，說明“X，Y獨(dú)立”正確的可能性越大;｜ad－bc｜越大，說明“X，Y有關(guān)聯(lián)"（即X,Y不獨(dú)立）正確的可能性越大．跟蹤訓(xùn)練1在列聯(lián)表中，相差越大，兩個變量之間的關(guān)系越強(qiáng)的兩個比值是()A。eq\f（a，a＋b）與eq\f（c，c＋d） B。eq\f（a，c＋d）與eq\f（c,a＋b)C.eq\f（a,a＋d)與eq\f（c,b＋c） D。eq\f(a,b＋d)與eq\f（c,a＋c)考點(diǎn)定性分析的兩類方法題點(diǎn)利用列聯(lián)表定性分析答案A解析eq\f（a，a＋b）和eq\f(c,c＋d）相差越大,說明ad與bc相差越大，兩個變量之間的關(guān)系越強(qiáng)．類型二利用χ2公式判斷兩變量的關(guān)系例2為研究時下的“韓劇熱”，對某班45位同學(xué)的爸爸、媽媽進(jìn)行了問卷調(diào)查，結(jié)果如下表所示.喜歡韓劇不喜歡韓劇總計(jì)媽媽311344爸爸152136總計(jì)463480試問：是否有99％以上的把握認(rèn)為“喜歡韓劇和性別有關(guān)系”？考點(diǎn)獨(dú)立性檢驗(yàn)及其基本思想題點(diǎn)獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法解由表中的數(shù)據(jù)，得χ2＝eq\f(80×31×21－15×132，44×36×46×34)≈6.715.因?yàn)?。715>6.635，所以有99%以上的把握認(rèn)為喜歡韓劇和性別有關(guān)系．反思與感悟解獨(dú)立性檢驗(yàn)問題的基本步驟跟蹤訓(xùn)練2某研究小組調(diào)查了在2～3級風(fēng)時的海上航行中男女乘客的暈船情況,共調(diào)查了71人，其中女性34人，男性37人．女性中有10人暈船，另外24人不暈船；男性中有12人暈船，另外25人不暈船．（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立2×2列聯(lián)表；（2）判斷暈船是否與性別有關(guān)系．考點(diǎn)獨(dú)立性檢驗(yàn)及其基本思想題點(diǎn)獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法解(1）2×2列聯(lián)表如下：暈船情況性別暈船不暈船總計(jì)女102434男122537總計(jì)224971（2)χ2＝eq\f（71×10×25－12×242,22×49×37×34)≈0。08.因?yàn)?。08<2。706,所以我們沒有理由說暈船與性別有關(guān)。1．已知變量X和Y的列聯(lián)表如下，則(）YXy1y2總計(jì)x1aba＋bx2cdc＋d總計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋dA.ad－bc越小，說明X與Y的關(guān)系越弱B．a(chǎn)d－bc越大,說明X與Y的關(guān)系越強(qiáng)C．(ad－bc）2越大,說明X與Y的關(guān)系越強(qiáng)D．（ad－bc)2越接近于0，說明X與Y的關(guān)系越強(qiáng)考點(diǎn)定性分析的兩類方法題點(diǎn)利用列聯(lián)表定性分析答案C解析χ2＝eq\f(nad－bc2，a＋bc＋da＋cb＋d)(其中n＝a＋b＋c＋d），若(ad－bc）2越大，則χ2越大,說明X與Y的關(guān)系越強(qiáng)．2．如果有95%的把握說事件A與B有關(guān)系,那么具體計(jì)算出的數(shù)據(jù)(）A．χ2>3。841 B．χ2〈3.841C．χ2>6。635 D．χ2<6.635考點(diǎn)獨(dú)立性檢驗(yàn)及其基本思想題點(diǎn)獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法答案A解析把χ2的值與臨界值比，從而確定A與B有關(guān)的可信程度．當(dāng)χ2〉6。635時，有99％的把握認(rèn)為A與B有關(guān)系;當(dāng)χ2〉3.841時，有95%的把握認(rèn)為A與B有關(guān)系；當(dāng)χ2〉2。706時，有90％的握認(rèn)為A與B有關(guān)系；當(dāng)χ2≤2。706時，就沒有充分的證據(jù)認(rèn)為A與B有關(guān)系．故選A.3．在研究吸煙與患肺癌的關(guān)系中，通過收集數(shù)據(jù)、整理分析數(shù)據(jù)得到“吸煙與患肺癌有關(guān)系”的結(jié)論,并且有99％以上的把握認(rèn)為這個結(jié)論是成立的，則下列說法中正確的是()A．100個吸煙者中至少有99人患有肺癌B．1個人吸煙，那么這個人有99%的概率患有肺癌C．在100個吸煙者中一定有患有肺癌的人D．在100個吸煙者中可能一個患肺癌的人也沒有考點(diǎn)獨(dú)立性檢驗(yàn)及其基本思想題點(diǎn)獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想答案D解析獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)論是一個數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)量,它與實(shí)際問題中的確定性是存在差異的．4．為了判斷高三學(xué)生選修文科是否與性別有關(guān)，現(xiàn)隨機(jī)抽取50名學(xué)生，得到如下2×2列聯(lián)表：理科文科總計(jì)男131023女72027總計(jì)203050根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到χ2＝eq\f（50×13×20－10×72,23×27×20×30）≈4。844，則認(rèn)為選修文科與性別有關(guān)系出錯的可能性約為________．考點(diǎn)獨(dú)立性檢驗(yàn)及其基本思想題點(diǎn)獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法答案0。05解析由χ2公式計(jì)算得χ2≈4。844>3.841,故認(rèn)為選修文科與性別有關(guān)系出錯的可能性約為0.05。5．某省進(jìn)行高中新課程改革已經(jīng)四年了，為了解教師對新課程教學(xué)模式的使用情況,某一教育機(jī)構(gòu)對某學(xué)校的教師關(guān)于新課程教學(xué)模式的使用情況進(jìn)行了問卷調(diào)查,共調(diào)查了50人，其中有老教師20人，青年教師30人．老教師對新課程教學(xué)模式贊同的有10人，不贊同的有10人；青年教師對新課程教學(xué)模式贊同的有24人,不贊同的有6人．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個2×2列聯(lián)表；(2)判斷是否有99％的把握說明對新課程教學(xué)模式的贊同情況與教師年齡有關(guān)系．考點(diǎn)獨(dú)立性檢驗(yàn)及其基本思想題點(diǎn)獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法解（1）2×2列聯(lián)表如下所示:贊同不贊同總計(jì)老教師101020青年教師24630總計(jì)341650(2）假設(shè)“對新課程教學(xué)模式的贊同情況與教師年齡無關(guān)”．由公式，得χ2＝eq\f（50×10×6－24×102,34×16×20×30)≈4。963<6。635，所以沒有99％的把握認(rèn)為對新課程教學(xué)模式的贊同情況與教師年齡有關(guān)．1．獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想：先假設(shè)兩個事件無關(guān)，計(jì)算統(tǒng)計(jì)量χ2的值．若χ2值較大,則拒絕假設(shè),認(rèn)為兩個事件有關(guān)．2．獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟①畫列聯(lián)表．②計(jì)算χ2。③將得到的χ2值和臨界值比較，下結(jié)論．一、選擇題1．下面是一個2×2列聯(lián)表：y1y2總計(jì)x1a2168x272532總計(jì)54b100則表中a,b的值分別為（）A．94，96 B．52,50C．47，46 D．54,52考點(diǎn)分類變量與列聯(lián)表題點(diǎn)求列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)答案C解析a＝68－21＝47，b＝21＋25＝46.2．以下關(guān)于獨(dú)立性檢驗(yàn)的說法中，錯誤的是(）A．獨(dú)立性檢驗(yàn)依據(jù)小概率原理B．獨(dú)立性檢驗(yàn)得到的結(jié)論一定正確C．樣本不同，獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)論可能有差異D．獨(dú)立性檢驗(yàn)不是判斷兩個分類變量是否相關(guān)的唯一方法考點(diǎn)獨(dú)立性檢驗(yàn)及其基本思想題點(diǎn)獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想答案B解析獨(dú)立性檢驗(yàn)得到的結(jié)論不一定正確，如我們得出有90％的把握認(rèn)為A與B有關(guān)，只是說這種判斷的正確性為90%，具體問題中A與B可能有關(guān)，也可能無關(guān)，故選B.3．下面關(guān)于χ2的說法正確的是(）A．χ2在任意相互獨(dú)立的問題中都可以用于檢驗(yàn)有關(guān)還是無關(guān)B．χ2的值越大,兩個事件的相關(guān)性就越大C．χ2是用來判斷兩個變量是否相關(guān)的統(tǒng)計(jì)量，當(dāng)χ2的值很小時可以判定兩個變量不相關(guān)D．χ2＝eq\f（nad－bc,a＋bc＋da＋cb＋d)考點(diǎn)獨(dú)立性檢驗(yàn)及其基本思想題點(diǎn)獨(dú)立檢驗(yàn)的思想答案B解析χ2只適用于2×2列聯(lián)表問題，且χ2只能推斷兩個變量相關(guān)，但不能判斷兩個變量不相關(guān)．選項(xiàng)D中公式錯誤，分子上少了平方．故選B。4．利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來考察兩個分類變量X與Y是否有關(guān)系時,通過查閱下表來確定“X與Y有關(guān)系”的可信程度．如果χ2≥5.024，那么就有把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”的百分比為（）P（χ2≥k)0。500。400。250。150。100。050.0250。0100。0050。001k0。4550.7081。3232.0722.7063。8415。0246。6357。87910.828A。25％ B．75％C．2。5% D．97.5%考點(diǎn)獨(dú)立性檢驗(yàn)及其基本思想題點(diǎn)獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法答案D解析由表中數(shù)據(jù)可知，當(dāng)χ2≥5.024,P（χ2≥k)＝97.5%，故選D。5．在吸煙與患肺病這兩個變量的計(jì)算中,下列說法中:①若統(tǒng)計(jì)量χ2〉6。635，我們有99％的把握說吸煙與患肺病有關(guān)，則某人吸煙,那么他有99%的可能患有肺??；②若從統(tǒng)計(jì)中求出，有99％的把握說吸煙與患肺病有關(guān)，則在100個吸煙者中必有99個人患有肺病;③若從統(tǒng)計(jì)中求出有95％的把握說吸煙與患肺病有關(guān),是指有5％的可能性使得推斷錯誤．正確的個數(shù)為()A．0B．1C．2D．3考點(diǎn)獨(dú)立性檢驗(yàn)及其基本思想題點(diǎn)獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想答案B解析統(tǒng)計(jì)量χ2僅僅說明一個統(tǒng)計(jì)推斷,并不能說明個別案例或某些情況，從而③正確，故選B.6．高二第二學(xué)期期中考試，按照甲、乙兩個班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀和及格統(tǒng)計(jì)人數(shù)后，得到如下列聯(lián)表:優(yōu)秀及格總計(jì)甲班113445乙班83745總計(jì)197190則統(tǒng)計(jì)量χ2的值約為(）A．0.600B．0.828C．2。712D．6。004考點(diǎn)分類變量與列聯(lián)表題點(diǎn)答案A解析根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得統(tǒng)計(jì)量χ2＝eq\f(90×11×37－34×82,45×45×19×71）≈0.600.故選A.7．假設(shè)有兩個變量x和y，它們的值域分別為{x1,x2}和｛y1,y2｝，其2×2列聯(lián)表為:yxy1y2總計(jì)x1aba＋bx2cdc＋d總計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d對同一樣本，以下數(shù)據(jù)能說明x與y有關(guān)的可能性最大的一組是（）A．a(chǎn)＝5,b＝4，c＝3，d＝2B．a(chǎn)＝5,b＝3，c＝4，d＝2C．a(chǎn)＝2，b＝3，c＝4，d＝5D．a(chǎn)＝3,b＝2，c＝4，d＝5考點(diǎn)分類變量與列聯(lián)表題點(diǎn)求列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)答案D解析對于同一樣本,｜ad－bc|越小，說明x與y相關(guān)性越弱．而｜ad－bc｜越大,說明x與y相關(guān)性越強(qiáng),通過計(jì)算知，對于選項(xiàng)A，B，C都有|ad－bc｜＝｜10－12｜＝2.對于選項(xiàng)D，有|ad－bc｜＝|15－8|＝7.顯然7〉2，故選D.二、填空題8．在一項(xiàng)打鼾與患心臟病的調(diào)查中，共調(diào)查了1671人，經(jīng)過計(jì)算得χ2＝27.63，根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析,我們有理由認(rèn)為打鼾與患心臟病是________．(填“有關(guān)的”或“無關(guān)的”）考點(diǎn)獨(dú)立性檢驗(yàn)及其基本思想題點(diǎn)獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法答案有關(guān)的解析χ2＝27.63>6。635,有99%以上的把握認(rèn)為這兩個量是有關(guān)的．9．下表是某屆某校本科志愿報名時，對其中304名學(xué)生進(jìn)入高校時是否知道想學(xué)專業(yè)的調(diào)查表:知道想學(xué)專業(yè)不知道想學(xué)專業(yè)總計(jì)男生63117180女生4282124總計(jì)105199304根據(jù)表中數(shù)據(jù)，則下列說法正確的是________．①性別與知道想學(xué)專業(yè)有關(guān)；②性別與知道想學(xué)專業(yè)無關(guān)；③女生比男生更易知道所學(xué)專業(yè)．考點(diǎn)獨(dú)立性檢驗(yàn)及其基本思想題點(diǎn)獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法答案②解析χ2＝eq\f（304×63×82－42×1172，180×124×105×199)≈0.041，因?yàn)橹捣浅Ｐ?，所以性別與知道想學(xué)專業(yè)無關(guān)．10．有兩個變量x與y，其一組觀測值如下面的2×2列聯(lián)表所示:yxy1y2總計(jì)x1a20－a20x215－a30＋a45總計(jì)155065則正整數(shù)a的最小值為________時，有90％以上的把握認(rèn)為“x與y之間有關(guān)系”．考點(diǎn)獨(dú)立性檢驗(yàn)及其基本思想題點(diǎn)獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法答案1解析由題意χ2＝eq\f（65[a30＋a－20－a15－a］2，15×50×45×20)＝eq\f（1313a－602，90×60)〉2.706，易得a＝1滿足題意．三、解答題11．某旅行社為調(diào)查市民喜歡“人文景觀”景點(diǎn)是否與年齡有關(guān)，隨機(jī)抽取了55名市民,得到數(shù)據(jù)如下表所示：喜歡不喜歡總計(jì)大于40歲2052520歲至40歲102030總計(jì)302555臨界值有：P(χ2≥k)0。050.0100.005k3.846。6357.879（1）判斷是否有99。5%的把握認(rèn)為喜歡“人文景觀”景點(diǎn)與年齡有關(guān)？（2）用分層抽樣的方法從喜歡“人文景觀”景點(diǎn)的市民中隨機(jī)抽取6人作進(jìn)一步調(diào)查，將這6名市民作為一個樣本，從中任選2人，求恰有1位大于40歲的市民和1位20歲至40歲的市民的概率．考點(diǎn)獨(dú)立性檢驗(yàn)思想的應(yīng)用題點(diǎn)分類變量與統(tǒng)計(jì)、概率的綜合性問題解(1)由公式χ2＝eq\f（nad－bc2，a＋bc＋da＋cb＋d），得χ2≈11.978〉7。879,所以有99。5％以上的把握認(rèn)為喜歡“人文景觀"景點(diǎn)與年齡有關(guān)．（2)由題意知抽取的6人中大于40歲的市民有4個，20歲至40歲的市民有2個，分別記為B1，B2，B3，B4，C1，C2,從中任選2人的基本事件有（B1,B2），（B1,B3），（B1，B4），(B1，C1)，（B1,C2），（B2，B3），（B2，B4)，（B2，C1)，（B2，C2）,（B3，B4)，(B3，C1），（B3，C2），(B4，C1)，（B4，C2），(C1,C2），共15個，其中恰有1位大于40歲的市民和1位20歲至40歲的市民的事件有(B1，C1），（B1，C2),（B2，C1)，（B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(B4，C1），(B4，C2）,共8個，所以恰有1位大于40歲的市民和1位20歲至40歲的市民的概率為eq\f(8,15)。四、探究與拓展12．某一電視臺對年齡高于40歲和不高于40歲的人是否喜歡西班牙隊(duì)進(jìn)行調(diào)查，對高于40歲的調(diào)查了50人，不高于40歲的調(diào)查了50人，所得數(shù)據(jù)制成如下列聯(lián)表:不喜歡西班牙隊(duì)喜歡西班牙隊(duì)總計(jì)高于40歲pq50不高于40歲153550總計(jì)ab100若工作人員從所有統(tǒng)計(jì)結(jié)果中任取一個，取到喜歡西班牙隊(duì)的人的概率為eq\f(3,5），則有______的把握認(rèn)為年齡與西班牙隊(duì)的被喜歡程度有關(guān)．答案95%解析設(shè)“從所有人中任意抽取一個，取到喜歡西班牙的人”為事件A，由已知得P（A)＝eq\f(q＋35，100)＝eq\f(3,5)，所以p＝25，q＝25，a＝40，b＝60.χ2＝eq\f(100×25×35－25×152，40×60×50×50）＝eq\f(25，6)