2018-2019學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)選修4-5同步指導(dǎo)學(xué)案：第一章 不等關(guān)系與基本不等式 4 第1課時(shí)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§4不等式的證明第1課時(shí)比較法學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解比較法證明不等式的理論依據(jù).2.掌握利用比較法證明不等式的一般步驟。3。體會(huì)比較法所體現(xiàn)的轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法．知識(shí)點(diǎn)一求差比較法思考求差比較法的理論依據(jù)是什么？答案a＞b?a－b＞0；a＝b?a－b＝0；a＜b?a－b＜0.梳理求差比較法（1）求差比較法的理論依據(jù)：a－b＞0?a＞b；a－b＜0?a＜b；a－b＝0?a＝b。（2）求差比較法解題的一般步驟:①作差；②變形;③判斷符號(hào);④下結(jié)論．其中變形是解題的關(guān)鍵，變形的目的是為了能夠直接判定與0的大小，常用的方法：因式分解，配方，通分，分子或分母有理化等．知識(shí)點(diǎn)二求商比較法思考1對(duì)于兩個(gè)正數(shù)a，b,若eq\f(a，b）＞1，能夠判斷a,b的大小嗎?答案能，根據(jù)不等式的性質(zhì)知,eq\f（a,b）＞1?a＞b.思考2類比求差比較法，請(qǐng)談?wù)勄笊瘫容^法．答案對(duì)于正數(shù)a，b，eq\f(a,b)＞1?a＞b；eq\f（a，b)＝1?a＝b；eq\f(a,b）＜1?a＜b.梳理（1）求商比較法：若a＞0，b＞0，要證明a＞b，只要證明eq\f(a，b）＞1；要證明b＞a，只要證明eq\f(a,b）＜1。這種證明不等式的方法,叫作求商比較法．（2）求商比較法的理論依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)：①b＞0，若eq\f（a，b)＞1,則a＞b;若eq\f(a,b）＜1,則a＜b；②b＜0，若eq\f(a,b）＞1，則a＜b;若eq\f(a,b)＜1，則a＞b.（3)求商比較法解題的一般步驟：①判定a，b符號(hào);②求商;③變形整理;④判定與1的大小；⑤得出結(jié)論．類型一求差比較法證明不等式例1已知正數(shù)a,b，c成等比數(shù)列，求證：a2－b2＋c2≥(a－b＋c)2。證明因?yàn)檎龜?shù)a，b，c成等比數(shù)列,所以b2＝ac，b＝eq\r（ac)，又(a2－b2＋c2）－（a－b＋c)2＝a2－b2＋c2－a2－b2－c2＋2ab－2ac＋2bc＝2ab－4b2＋2bc＝2b(a－2b＋c)＝2b(eq\r(a）－eq\r（c））2≥0，所以a2－b2＋c2≥（a－b＋c）2.反思與感悟求差比較法的關(guān)鍵是作差后的變形，一般通過(guò)分解因式或?qū)⒉钍睫D(zhuǎn)化為積商式，以便與0比較大?。櫽?xùn)練1已知a≥1，求證：eq\r（a＋1）－eq\r(a)＜eq\r（a）－eq\r（a－1）.證明∵(eq\r(a＋1)－eq\r（a))－(eq\r（a）－eq\r(a－1)）＝eq\f(1，\r(a＋1)＋\r（a))－eq\f(1,\r(a)＋\r(a－1）)＝eq\f（\r(a－1）－\r（a＋1），\r(a＋1）＋\r（a）\r(a)＋\r(a－1)）＜0，∴eq\r（a＋1)－eq\r(a)＜eq\r（a)－eq\r(a－1).類型二求商比較法證明不等式例2已知a＞0，b＞0，求證：aabb≥證明因?yàn)閍abb＞0,＞0,所以當(dāng)a＝b時(shí)，顯然有＝1；當(dāng)a＞b＞0時(shí)，eq\f（a，b)＞1，eq\f(a－b,2)＞0，所以由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，＞1；當(dāng)b＞a＞0時(shí)，0＜eq\f(a,b）＜1，eq\f(a－b,2）＜0,所以由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，＞1.綜上可知，對(duì)任意正數(shù)a，b，都有aabb≥引申探究1．若a＞0，b＞0，求證：≥abba.證明因?yàn)閍bba＞0，＞0，所以所以當(dāng)a＝b時(shí)，顯然有＝1；當(dāng)a＞b＞0時(shí)，eq\f（a，b）＞1，eq\f(b－a，2）＜0,由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得＜eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（a，b)））0＝1;當(dāng)b＞a＞0時(shí)，0＜eq\f（a，b）＜1，eq\f（b－a，2）＞0,由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得＜eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（a，b))）0＝1，綜上可知，對(duì)任意a＞0,b＞0，都有abba≤.2．當(dāng)a＞0,b＞0時(shí),比較aabb與abba的大?。庥衫?和探究1知，aabb≥≥abba。反思與感悟求商比較法證明不等式的一般步驟（1）作商：將不等式左右兩邊的式子進(jìn)行作商．（2)變形：化簡(jiǎn)商式到最簡(jiǎn)形式．（3）判斷：判斷商與1的大小關(guān)系，也就是判斷商大于1或小于1或等于1.（4)得出結(jié)論．跟蹤訓(xùn)練2已知a＞0，b＞0，求證：eq\f(a,\r(b）)＋eq\f(b,\r（a))≥eq\r(a)＋eq\r（b).證明∵eq\f(\f(a，\r(b)）＋\f（b,\r（a)）,\r（a）＋\r（b)）＝eq\f（\f(a，\r(b))，\r(a）＋\r(b））＋eq\f（\f(b,\r(a)）,\r(a)＋\r（b））＝eq\f（a,\r(ab)＋b）＋eq\f(b,\r(ab)＋a）＝eq\f（a\r（ab)＋a2＋b\r(ab)＋b2,2ab＋a＋b\r(ab)）＝eq\f（a2＋b2＋a＋b\r(ab）,2ab＋a＋b\r（ab))。又∵a2＋b2≥2ab，∴eq\f(a2＋b2＋a＋b\r（ab）,2ab＋a＋b\r(ab)）≥eq\f（2ab＋a＋b\r(ab)，2ab＋a＋b\r（ab））＝1，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＞0時(shí)取等號(hào),∴eq\f(a,\r（b))＋eq\f(b，\r（a)）≥eq\r（a）＋eq\r(b).類型三比較法的應(yīng)用例3若a,b,m都是正數(shù)，并且a＜b,求證：eq\f(a＋m，b＋m)＞eq\f（a，b)(糖水不等式）．證明eq\f(a＋m，b＋m）－eq\f（a,b)＝eq\f(mb－a，bb＋m).∵a，b,m都是正數(shù)，且a＜b，∴b－a＞0,b(b＋m）＞0，∴eq\f(mb－a，bb＋m)＞0，即eq\f（a＋m,b＋m)－eq\f（a，b）＞0，∴eq\f（a＋m,b＋m)＞eq\f(a,b）.反思與感悟比較法理論上便于理解，實(shí)用時(shí)便于操作，故應(yīng)用比較廣泛．跟蹤訓(xùn)練3已知b，m1，m2都是正數(shù)，a＜b,m1＜m2，求證:eq\f（a＋m1,b＋m1）＜eq\f(a＋m2,b＋m2).證明eq\f（a＋m1，b＋m1)－eq\f（a＋m2,b＋m2）＝eq\f（a＋m1b＋m2－a＋m2b＋m1，b＋m1b＋m2)＝eq\f（am2＋bm1－am1－bm2，b＋m1b＋m2)＝eq\f(a－bm2－m1,b＋m1b＋m2)。因?yàn)閎＞0，m1＞0,m2＞0，所以（b＋m1）（b＋m2）＞0.又a＜b，m1＜m2,所以a－b＜0，m2－m1＞0，從而（a－b)(m2－m1)＜0.于是eq\f(a－bm2－m1，b＋m1b＋m2)＜0，所以eq\f（a＋m1,b＋m1)＜eq\f（a＋m2,b＋m2）.1．已知不等式:①x2＋3＞2x(x∈R＋）；②a5＋b5＞a3b2＋a2b3(a，b∈R＋)；③a2＋b2≥2(a－b－1)．其中正確的個(gè)數(shù)為（)A．0 B．1C．2 D．3答案C解析①x2＋3－2x＝(x－1)2＋2＞0，故①正確；②取a＝b＝1,則a5＋b5＝2，a3b2＋a2b3＝2，故②不正確；③a2＋b2－2(a－b－1）＝(a－1)2＋（b＋1)2≥0，故③正確．2.eq\f（1,a）＜1成立的充要條件是(）A．a(chǎn)＞1 B．a(chǎn)＜0C．a(chǎn)≠0 D．a(chǎn)＞1或a＜0答案D解析eq\f（1,a）＜1?eq\f(1，a)－1＜0?eq\f（1－a，a）＜0?a＜0或a＞1.3．若x，y∈R,記w＝x2＋3xy，u＝4xy－y2,則()A．w＞u B．w＜uC．w≥u D．無(wú)法確定答案C解析∵w－u＝x2－xy＋y2＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（x－\f(y，2)))2＋eq\f（3y2,4）≥0,∴w≥u.4．a(chǎn)，b都是正數(shù),P＝eq\f（\r（a)＋\r（b），\r（2）），Q＝eq\r(a＋b），則P，Q的大小關(guān)系是()A．P＞Q B．P＜QC．P≥Q D．P≤Q答案D解析∵a，b都是正數(shù)，∴P＞0，Q＞0，∴P2－Q2＝（eq\f(\r(a）＋\r（b),\r(2)））2－（eq\r（a＋b)）2＝eq\f（－\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\r（a)－\r(b）))2,2)≤0（當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào))．∴P2－Q2≤0,∴P≤Q。5．設(shè)a＞b＞0,求證：eq\f(a2－b2,a2＋b2)＞eq\f（a－b,a＋b）。證明方法一eq\f（a2－b2，a2＋b2）－eq\f（a－b,a＋b)＝eq\f(a－b[a＋b2－a2＋b2],a2＋b2a＋b）＝eq\f（2aba－b，a2＋b2a＋b）＞0，∴原不等式成立．方法二∵a＞b＞0,∴a2＞b2＞0?！嘧筮叄?，右邊＞0.∴eq\f（左邊，右邊)＝eq\f（a＋b2，a2＋b2）＝1＋eq\f（2ab，a2＋b2）＞1.∴原不等式成立．1．求差比較法證明不等式的技巧(1）求差比較法中，變形具有承上啟下的作用,變形的目的在于判斷差的符號(hào),而不用考慮差能否化簡(jiǎn)或值是多少．（2)變形所用的方法要具體情況具體分析，可以配方，可以因式分解，可以運(yùn)用一切有效的恒等變形的方法．(3）因式分解是常用的變形手段，為了便于判斷差式的符號(hào)，常將差式變形為一個(gè)常數(shù)，或幾個(gè)因式積的形式，當(dāng)所得的差式是某字母的二次三項(xiàng)式時(shí)，常用判別式法判斷符號(hào)．2．求商比較法適用證明的不等式的特點(diǎn)適合欲證的不等式兩端是乘積形式、冪指數(shù)的不等式或某些不同底數(shù)對(duì)數(shù)值的大小比較．一、選擇題1．設(shè)a，b∈R＋，且a≠b,若P＝eq\f(a2,b）＋eq\f(b2,a），Q＝a＋b，則(）A．P≥Q B．P＞QC．P≤Q D．P＜Q答案B解析P－Q＝eq\f(a2,b）＋eq\f（b2,a)－a－b＝eq\f（a2－b2,b)＋eq\f（b2－a2,a)＝eq\f（a＋ba－b2,ab).因?yàn)閍,b∈R＋，且a≠b，所以P－Q＞0。所以P>Q。2．已知a＞b＞－1，則eq\f(1，a＋1）與eq\f（1,b＋1）的大小關(guān)系為()A.eq\f(1,a＋1）＞eq\f(1,b＋1) B。eq\f（1,a＋1)＜eq\f（1，b＋1）C.eq\f（1，a＋1）≥eq\f(1,b＋1) D。eq\f(1，a＋1）≤eq\f（1，b＋1）答案B解析∵eq\f（1，a＋1)－eq\f（1，b＋1)＝eq\f(b－a，a＋1b＋1）＜0，∴eq\f（1,a＋1）＜eq\f（1，b＋1).3．已知a＞b＞0，c＞d＞0，m＝eq\r(ac)－eq\r（bd），n＝eq\r（a－bc－d)，則m與n的大小關(guān)系是()A．m＜n B．m＞nC．m≥n D．m≤n答案C解析m2－n2＝（ac－2eq\r（abcd)＋bd)－(ac＋bd－ad－bc)＝ad－2eq\r(abcd）＋bc＝（eq\r(ad)－eq\r（bc））2≥0,∴m2≥n2.又m＞0，n＞0,∴m≥n.4．當(dāng)a＜b＜0時(shí)，下列關(guān)系式中成立的是(）A.eq\r（a2)＜eq\r（b2) B．lgb2＜lga2C。eq\f（b，a）＞1 D.答案B解析方法一取特殊值a＝－4，b＝－1，則選項(xiàng)A，C，D不正確，選項(xiàng)B正確，故選B。方法二∵a＜b＜0，∴a2＞b2.而函數(shù)y＝lgx(x＞0)為增函數(shù),∴l(xiāng)gb2＜lga2，B項(xiàng)正確．5．已知a＞0，且a≠1，P＝loga（a3＋1），Q＝loga(a2＋1），則P，Q的大小關(guān)系是（)A．P＞Q B．P＜QC．P＝Q D．大小不確定答案A解析P－Q＝loga（a3＋1）－loga（a2＋1）＝logaeq\f（a3＋1,a2＋1).當(dāng)0＜a＜1時(shí),0＜a3＋1＜a2＋1，則0＜eq\f（a3＋1，a2＋1)＜1，∴l(xiāng)ogaeq\f（a3＋1，a2＋1)＞0，即P－Q＞0?！郟＞Q.當(dāng)a＞1時(shí)，a3＋1＞a2＋1＞0，eq\f（a3＋1,a2＋1）＞1,∴l(xiāng)ogaeq\f(a3＋1，a2＋1)＞0，即P－Q＞0.∴P＞Q.綜上可知，P＞Q.6．已知a＞b＞0且ab＝1，設(shè)c＝eq\f（2,a＋b）,P＝logca，N＝logcb，M＝logc（ab）,則()A．P＜M＜N B．M＜P＜NC．N＜P＜M D．P＜N＜M答案A解析令a＝2，b＝eq\f（1，2)，則c＝eq\f(2,a＋b)＝eq\f（4，5），則M＝logc(ab)＝0,P＝＜0，N＝＞0，∴P＜M＜N。二、填空題7．設(shè)a＞b＞c＞0,x＝eq\r（a2＋b＋c2)，y＝eq\r(b2＋c＋a2），z＝eq\r（c2＋a＋b2），則x,y,z的大小關(guān)系為________．答案x＜y＜z解析∵a＞b＞c＞0，∴x＞0，y＞0,z＞0.而x2－y2＝a2＋b2＋2bc＋c2－(b2＋c2＋2ac＋a2）＝2bc－2ac＝2c（b－a）＜0,∴x2＜y2，即x＜y；又y2－z2＝b2＋（c＋a)2－［c2＋(a＋b）2］＝2ac－2ab＝2a(c－b）＜0，∴y＜z.∴x＜y＜z。8．已知a＞0,0＜b＜1，a－b＞ab，則eq\r（1＋a）與eq\f（1，\r（1－b)）的大小關(guān)系是________．答案eq\r(1＋a）＞eq\f(1,\r（1－b))解析∵a＞0,0＜b＜1，a－b＞ab，∴（1＋a）(1－b)＝1＋a－b－ab＞1。從而eq\f（\r（1＋a)，\f(1,\r(1－b)))＝eq\r(1＋a1－b）＞1，∴eq\r(1＋a)＞eq\f（1,\r(1－b））.9．某家電廠家為了打開市場(chǎng)，促進(jìn)銷售，準(zhǔn)備對(duì)其生產(chǎn)的某種型號(hào)的彩電進(jìn)行降價(jià)銷售，現(xiàn)有四種降價(jià)方案:（1）先降價(jià)a％,再降價(jià)b%；(2)先降價(jià)b%,再降價(jià)a％；(3）先降價(jià)eq\f（a＋b，2）%，再降價(jià)eq\f(a＋b，2）%；（4)一次性降價(jià)（a＋b)％。其中a＞0，b＞0，且a≠b，則上述四種方案中，降價(jià)幅度最小的是________．答案方案（3)解析設(shè)降價(jià)前彩電的價(jià)格為1,按四種方案降價(jià)后彩電的價(jià)格依次為x1，x2，x3，x4，則x1＝（1－a%）（1－b%)＝1－（a＋b)％＋a%·b%；x2＝（1－b％)（1－a％）＝x1；x3＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（1－\f（a＋b,2）％）)eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(1－\f(a＋b，2)％)）＝1－（a＋b)％＋eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（a％＋b%,2）)）2；x4＝1－(a＋b）％＜1－(a＋b）％＋a％·b％＝x1＝x2.又x3－x1＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(a%＋b％,2）))2－a%·b%＞0，∴x3＞x1＝x2＞x4.故降價(jià)幅度最小的是方案（3）．三、解答題10．設(shè)a，b為非負(fù)實(shí)數(shù)，求證：a3＋b3≥eq\r(ab)（a2＋b2)．證明由a，b是非負(fù)實(shí)數(shù)，作差得a3＋b3－eq\r（ab)（a2＋b2）＝a2eq\r(a）(eq\r(a）－eq\r(b））＋b2eq\r（b)(eq\r（b）－eq\r(a）)＝(eq\r(a)－eq\r(b））[（eq\r（a））5－(eq\r(b))5］．當(dāng)a≥b時(shí),eq\r(a)≥eq\r(b)，從而(eq\r(a））5≥（eq\r(b)）5，則（eq\r（a）－eq\r（b））[(eq\r（a）)5－(eq\r(b）)5］≥0；當(dāng)a＜b時(shí)，eq\r(a)＜eq\r（b)，從而（eq\r(a）)5＜(eq\r（b))5，則（eq\r(a）－eq\r(b))[（eq\r(a))5－(eq\r(b)）5]＞0，所以a3＋b3≥eq\r(ab）(a2＋b2）．11．設(shè)A＝eq\f（1,2a)＋eq\f（1，2b)，B＝eq\f（2,a＋b）（a＞0，b＞0)，試比較A，B的大?。庖?yàn)閑q\f(A，B）＝eq\f（\f（a＋b,2ab)，\f(2,a＋b））＝eq\f（a＋b，2ab)×eq\f（a＋b，2)＝eq\f（a＋b2,4ab)≥eq\f（4ab,4ab）＝1（當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立）．又因?yàn)锽＞0，所以A≥B.12．已知函數(shù)f（x）＝｜x－1|＋｜x＋1|，P為不等式f（x)＞4的解集．（1）求P；（2)證明：當(dāng)m，n∈P時(shí),|mn＋4｜＞2|m＋n|.(1）解f(x)＝｜x－1｜＋|x＋1｜＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≥1,，2，－1＜x＜1，，－2x，x≤－1.)）由f(x）＞4，得x＞2或x＜－2.所以不等式f（x)＞4的解集P＝｛x|x＞2或x＜－2｝．(2）證明由（1)可知｜m｜＞2,|n｜＞2，所以m2＞4，n2＞4，(mn＋4）2－4（m＋n)2＝(m2－4）（n2－4)＞0，所以(mn＋4)2＞4（m＋n)2，所以｜mn＋4｜＞2|m＋n｜。13．若實(shí)數(shù)x,y，m滿足｜x－m｜＜｜y－m|，則稱x比y接近m.對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a，b，證明：a2b＋ab2比a3＋b3接近2abeq\r（ab）。證明因?yàn)閍＞0，