圖形的相似壓軸題選

9/9圖形的相似難題選1.（2014?，第25題9分）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AB于點(diǎn)D，BC=10cm，AD=8cm．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在線段BC上以每秒3cm的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，垂直于AD的直線m從底邊BC出發(fā)，以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移，分別交AB、AC、AD于E、F、H，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P與直線m同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．（1）當(dāng)t=2時(shí)，連接DE、DF，求證：四邊形AEDF為菱形；（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，所形成的△PEF的面積存在最大值，當(dāng)△PEF的面積最大時(shí)，求線段BP的長(zhǎng)；（3）是否存在某一時(shí)刻t，使△PEF為直角三角形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)刻t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．考點(diǎn)：相似形綜合題．分析：（1）如答圖1所示，利用菱形的定義證明；（2）如答圖2所示，首先求出△PEF的面積的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解；（3）如答圖3所示，分三種情形，需要分類討論，分別求解．解答：（1）證明：當(dāng)t=2時(shí)，DH=AH=2，則H為AD的中點(diǎn)，如答圖1所示．又∵EF⊥AD，∴EF為AD的垂直平分線，∴AE=DE，AF=DF．∵AB=AC，AD⊥AB于點(diǎn)D，∴AD⊥BC，∠B=∠C．∴EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∴AE=AF=DE=DF，即四邊形AEDF為菱形．（2）解：如答圖2所示，由（1）知EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，即，解得：EF=10﹣t．S△PEF=EF?DH=（10﹣t）?2t=﹣t2+10t=﹣（t﹣2）2+10∴當(dāng)t=2秒時(shí)，S△PEF存在最大值，最大值為10，此時(shí)BP=3t=6．（3）解：存在．理由如下：①若點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)，如答圖3①所示，此時(shí)PE∥AD，PE=DH=2t，BP=3t．∵PE∥AD，∴，即，此比例式不成立，故此種情形不存在；②若點(diǎn)F為直角頂點(diǎn)，如答圖3②所示，此時(shí)PE∥AD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=10﹣3t．∵PF∥AD，∴，即，解得t=；③若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，如答圖3③所示．過點(diǎn)E作EM⊥BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)F作FN⊥BC于點(diǎn)N，則EM=FN=DH=2t，EM∥FN∥AD．∵EM∥AD，∴，即，解得BM=t，∴PM=BP﹣BM=3t﹣t=t．在Rt△EMP中，由勾股定理得：PE2=EM2+PM2=（2t）2+（t）2=t2．∵FN∥AD，∴，即，解得CN=t，∴PN=BC﹣BP﹣CN=10﹣3t﹣t=10﹣t．在Rt△FNP中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN2=（2t）2+（10﹣t）2=t2﹣85t+100．在Rt△PEF中，由勾股定理得：EF2=PE2+PF2，即：（10﹣t）2=（t2）+（t2﹣85t+100）化簡(jiǎn)得：t2﹣35t=0，解得：t=或t=0（舍去）∴t=．綜上所述，當(dāng)t=秒或t=秒時(shí)，△PEF為直角三角形．點(diǎn)評(píng)：本題是運(yùn)動(dòng)型綜合題，涉與動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)線兩種運(yùn)動(dòng)類型．第（1）問考查了菱形的定義；第（2）問考查了相似三角形、圖形面積與二次函數(shù)的極值；第（3）問考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想．2.(2014年資陽(yáng)，第23題11分)如圖，已知直線l1∥l2，線段AB在直線l1上，BC垂直于l1交l2于點(diǎn)C，且AB=BC，P是線段BC上異于兩端點(diǎn)的一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線分別交l2、l1于點(diǎn)D、E（點(diǎn)A、E位于點(diǎn)B的兩側(cè)），滿足BP=BE，連接AP、CE．（1）求證：△ABP≌△CBE；（2）連結(jié)AD、BD，BD與AP相交于點(diǎn)F．如圖2．①當(dāng)=2時(shí)，求證：AP⊥BD；②當(dāng)=n（n＞1）時(shí)，設(shè)△PAD的面積為S1，△PCE的面積為S2，求的值．考點(diǎn)： 相似形綜合題．分析： （1）求出∠ABP=∠CBE，根據(jù)SAS推出即可；（2）①延長(zhǎng)AP交CE于點(diǎn)H，求出AP⊥CE，證出△CPD∽△BPE，推出DP=PE，求出平行四邊形BDCE，推出CE∥BD即可；②分別用S表示出△PAD和△PCE的面積，代入求出即可．解答： （1）證明：∵BC⊥直線l1，∴∠ABP=∠CBE，在△ABP和△CBE中∴△ABP≌△CBE（SAS）；（2）①證明：延長(zhǎng)AP交CE于點(diǎn)H，∵△ABP≌△CBE，∴∠PAB=∠ECB，∴∠PAB+∠AEE=∠ECB+∠AEH=90°，∴AP⊥CE，∵=2，即P為BC的中點(diǎn)，直線l1∥直線l2，∴△CPD∽△BPE，∴==，∴DP=PE，∴四邊形BDCE是平行四邊形，∴CE∥BD，∵AP⊥CE，∴AP⊥BD；②解：∵=N∴BC=n?BP，∴CP=（n﹣1）?BP，∵CD∥BE，∴△CPD∽△BPE，∴==n﹣1，即S2=（n﹣1）S，∵S△PAB=S△BCE=n?S，∴△PAE=（n+1）?S，∵==n﹣1，∴S1=（n+1）（n﹣1）?S，∴==n+1．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查了學(xué)生的推理能力，題目比較好，有一定的難度．3.（2014?，第24題10分）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒5cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每秒4cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜2），連接PQ．（1）若△BPQ與△ABC相似，求t的值；（2）連接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值；（3）試證明：PQ的中點(diǎn)在△ABC的一條中位線上．考點(diǎn)：相似形綜合題分析：（1）分兩種情況討論：①當(dāng)△BPQ∽△BAC時(shí)，=，當(dāng)△BPQ∽△BCA時(shí)，=，再根據(jù)BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入計(jì)算即可；（2）過P作PM⊥BC于點(diǎn)M，AQ，CP交于點(diǎn)N，則有PB=5t，PM=3t，MC=8﹣4t，根據(jù)△ACQ∽△CMP，得出=，代入計(jì)算即可；（3）作PE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，先得出DF=，再把QC=4t，PE=8﹣BM=8﹣4t代入求出DF，過BC的中點(diǎn)R作直線平行于AC，得出RC=DF，D在過R的中位線上，從而證出PQ的中點(diǎn)在△ABC的一條中位線上．解答：解：（1）①當(dāng)△BPQ∽△BAC時(shí)，∵=，BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，∴=，∴t=1；②當(dāng)△BPQ∽△BCA時(shí)，∵=，∴=，∴t=，∴t=1或時(shí)，△BPQ與△ABC相似；（2）如圖所示，過P作PM⊥BC于點(diǎn)M，AQ，CP交于點(diǎn)N，則有PB=5t，PM=3t，MC=8﹣4t，∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，∴∠NAC=∠PCM且∠ACQ=∠PMC=90°，∴△ACQ∽△CMP，∴=，∴=，解得：t=；（3）如圖，仍有PM⊥BC于點(diǎn)M，PQ的中點(diǎn)設(shè)為D點(diǎn)，再作PE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，∵∠ACB=90°，∴DF為梯形PECQ的中位線，∴DF=，∵QC=4t，PE=8﹣BM=8﹣4t，∴DF==4，∵BC=8，過BC的中點(diǎn)R作直線平行于AC，∴RC=DF=4成立，∴D在過R的中位線上，∴PQ的中點(diǎn)在△ABC的一條中位線上．點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似形綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形的判定與性質(zhì)、中位線的性質(zhì)等，關(guān)鍵是畫出圖形作出輔助線構(gòu)造相似三角形，注意分兩種情況討論．4．（2014?，第23題12分）閱讀理解：如圖①，在四邊形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E（點(diǎn)E不與A、B重合），分別連接ED、EC，可以把四邊形ABCD分成三個(gè)三角形，如果其中有兩個(gè)三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“相似點(diǎn)”；如果這三個(gè)三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“強(qiáng)相似點(diǎn)”．解決問題：（1）如圖①，∠A=∠B=∠DEC=45°，試判斷點(diǎn)E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)，并說明理由；（2）如圖②，在矩形ABCD中，A、B、C、D四點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格（網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1）的格點(diǎn)（即每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)）上，試在圖②中畫出矩形ABCD的邊AB上的強(qiáng)相似點(diǎn)；（3）如圖③，將矩形ABCD沿CM折疊，使點(diǎn)D落在AB邊上的點(diǎn)E處，若點(diǎn)E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，試探究AB與BC的數(shù)量關(guān)系．考點(diǎn)：相似形綜合題分析：（1）要證明點(diǎn)E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點(diǎn)，只要證明有一組三角形相似就行，很容易證明△ADE∽△BEC，所以問題得解．（2）以CD為直徑畫弧，取該弧與AB的一個(gè)交點(diǎn)即為所求；（3）因?yàn)辄c(diǎn)E是矩形ABCD的AB邊上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，所以就有相似三角形出現(xiàn)，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例，可以判斷出AE和BE的數(shù)量關(guān)系，從而可求出解．解答：解：（1）∵∠A=∠B=∠DEC=45°，∴∠AED+∠ADE=135°，∠AED+∠CEB=135°∴∠ADE=∠CEB，在△ADE和△BCE中，，∴△ADE∽△BCE，∴點(diǎn)E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)．（2）如圖所示：點(diǎn)E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)，（3）∵點(diǎn)E是四邊形ABCM的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，∴△AEM∽△BCE∽△ECM，∴∠BCE=∠ECM=∠AEM．由折疊可知：△ECM≌△DCM，∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，∴∠BCE=∠BCD=30°，BE=，在Rt△BCE中，tan∠BCE==tan30°=，∴．點(diǎn)評(píng)：本題是相似三角形綜合題，主要考查了相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，讀懂題目信息，理解全相似點(diǎn)的定義，判斷出∠CED=90°，從而確定作以CD為直徑的圓是解題的關(guān)鍵．5.（2014?，第28題，12分）已知矩形ABCD的一條邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處．（第6題圖）（1）如圖1，已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O，連結(jié)AP、OP、OA．①求證：△OCP∽△PDA；②若△OCP與△PDA的面積比為1：4，求邊AB的長(zhǎng)；（2）若圖1中的點(diǎn)P恰好是CD邊的中點(diǎn)，求∠OAB的度數(shù)；（3）如圖2，，擦去折痕AO、線段OP，連結(jié)BP．動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上（點(diǎn)M與點(diǎn)P、A不重合），動(dòng)點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上，且BN=PM，連結(jié)MN交PB于點(diǎn)F，作ME⊥BP于點(diǎn)E．試問當(dāng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)過程中，線段EF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若變化，說明理由；若不變，求出線段EF的長(zhǎng)度．考點(diǎn)：相似形綜合題；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；矩形的性質(zhì)；特殊角的三角函數(shù)值．專題：綜合題；動(dòng)點(diǎn)型；探究型．分析：（1）只需證明兩對(duì)對(duì)應(yīng)角分別相等即可證到兩個(gè)三角形相似，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出PC長(zhǎng)以與AP與OP的關(guān)系，然后在Rt△PCO中運(yùn)用勾股定理求出OP長(zhǎng)，從而求出AB長(zhǎng)．（2）由DP=DC=AB=AP與∠D=90°，利用三角函數(shù)即可求出∠DAP的度數(shù)，進(jìn)而求出∠OAB的度數(shù)．（3）由邊相等常常聯(lián)想到全等，但BN與PM所在的三角形并不全等，且這兩條線段的位置很不協(xié)調(diào)，可通過作平行線構(gòu)造全等，然后運(yùn)用三角形全等與等腰三角形的性質(zhì)即可推出EF是PB的一半，只需求出PB長(zhǎng)就可以求出EF長(zhǎng)．解答：解：（1）如圖1，①∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°．由折疊可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO．∠APO=∠B．∴∠APO=90°．∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠POC．∵∠D=∠C，∠APD=∠POC．∴△OCP∽△PDA．②∵△OCP與△PDA的面積比為1：4，∴====．∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP．∵AD=8，∴CP=4，BC=8．設(shè)OP=x，則OB=x，CO=8﹣x．在Rt△PCO中，∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8﹣x，∴x2=（8﹣x）2+42．解得：x=5．∴AB=AP=2OP=10．∴邊AB的長(zhǎng)為10．（2）如圖1，∵P是CD邊的中點(diǎn)，∴DP=DC．∵DC=AB，AB=AP，∴DP=AP．∵∠D=90°，∴sin∠DAP==．∴∠DAP=30°．∵∠DAB=90°，∠PAO=∠BAO，∠DAP=30°，∴∠OAB=30°．∴∠OAB的度數(shù)為30°．（3）作MQ∥AN，交PB于點(diǎn)Q，如圖2．∵AP=AB，MQ∥AN，∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP．∴∠APB=∠MQP．∴MP=MQ．∵M(jìn)P=MQ，ME⊥PQ，∴PE=EQ=PQ∵BN=PM，MP=MQ，∴BN=QM．∵M(jìn)Q∥AN，∴∠QMF=∠BNF．在△MFQ和△NFB中，．∴△MFQ≌△NFB．∴QF=BF．∴QF=QB．∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB．由（1）中的結(jié)論可得：PC=4，BC=8，∠C=90°．∴PB==4．∴EF=PB=2．∴在（1）的條件下，當(dāng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)過程中，線段EF的長(zhǎng)度不變，長(zhǎng)度為2．點(diǎn)評(píng)：本題是一道運(yùn)動(dòng)變化類的題目，考查了相似三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的性質(zhì)和判定、矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理、特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)，綜合性比較強(qiáng)，而添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解決最后一個(gè)問題的關(guān)鍵．6.（2014?濱州，第25題12分）如圖，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，OP交AC于點(diǎn)Q．（1）求證：△APQ∽△CDQ；（2）P點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)沿AB邊以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向B點(diǎn)移動(dòng)，移動(dòng)時(shí)間為t秒．①當(dāng)t為何值時(shí)，DP⊥AC？②設(shè)S△APQ+S△DCQ=y，寫出y與t之間的函數(shù)解析式，并探究P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到第幾秒到第幾秒之間時(shí)，y取得最小值．考點(diǎn)：相似形綜合題分析：（1）求證相似，證兩對(duì)角相等即可，因?yàn)槠叫?，易找，易證．（2）①當(dāng)垂直時(shí)，易得三角形相似，故有相似邊成比例，由題中已知矩形邊長(zhǎng)則AP長(zhǎng)已知，故t易知．②因?yàn)镾△APQ+S△DCQ=y，故求S△APQ和S△DCQ是解決問題的關(guān)鍵，觀察無固定組合規(guī)則圖象，則考慮作高分別求?。紤]兩高在同一直線上，且相加恰為10，故可由（1）相似結(jié)論得，高的比等于對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)比，設(shè)其中一高為h，即可求得，則易表示y=，注意要考慮t的取值．討論何時(shí)y最小，y=不是我們學(xué)過的函數(shù)類型，故無法用最值性質(zhì)來討論，回觀察題目問法為“探究P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到第幾秒到第幾秒之間時(shí)”，＜1＞并不是我們常規(guī)的在確定時(shí)間最小，＜2＞時(shí)間問的整數(shù)秒．故可考慮將所有可能的秒全部算出，再觀察數(shù)據(jù)探究函數(shù)的變化找結(jié)論．解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠QPA=∠QDC，∠QAP=∠QCD，∴△APQ∽△CDQ．（2）解：①當(dāng)DP⊥AC時(shí)，∠QCD+∠QDC=90°，∵∠ADQ+∠QCD=90°，∴∠DCA=∠ADP，∵∠ADC=∠DAP=90°，∴△ADC∽△PAD，∴=，∴，解得PA=5，∴t=5．②設(shè)△ADP的邊AP上的高h(yuǎn)，則△QDC的邊DC上的高為10﹣h．∵△APQ∽△CDQ，∴==，解得h=，∴10﹣h=，∴S△APQ==，S△DCQ==，∴y=S△APQ+S△DCQ=+=（0≤t≤20）．探究：t=0，y=100；t=1，y≈95.48；t=2，y≈91.82；t=3，y≈88.91；t=4，y≈86.67；t=5，y=85；t=6，y≈83.85；t=7，y≈83.15；t=8，y≈82.86；t=9，y≈82.93；t=10，y≈83.33；t=11，y≈84.03；t=12，y=85；t=13，y≈86.21；t=14，y≈87.65；t=15，y≈89.29；t=16，y≈91.11；t=17，y≈93.11；t=18，y≈95.26；t=19，y≈97.56；t=20，y=100；觀察數(shù)據(jù)知：當(dāng)0≤t≤8時(shí)，y隨t的增大而減?。划?dāng)9≤t≤20時(shí)，y隨t的增大而增大；故y在第8秒到