初中幾何習(xí)題集

第4章相交線與平行線4．1平面上兩條直線的位置關(guān)系4．相交與平行基礎(chǔ)題知識點(diǎn)1同一平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系1．在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線的位置關(guān)系是(C)A．平行B．相交C．平行或相交D．以上都不對2．下列圖形中，AB與CD不平行的是(D)3．同一平面內(nèi)不重合的兩條直線，其交點(diǎn)個數(shù)可能為1個或0個．知識點(diǎn)2平行線的概念及表示方法4．下列說法中，正確的是(D)A．在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)的兩條線段平行B．在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)的兩條射線平行C．沒有公共點(diǎn)的兩條直線互相平行D．互相平行的兩條直線沒有公共點(diǎn)5．下列表示平行的方法正確的是(D)A．a(chǎn)∥AB．AB∥cdC．A∥BD．a(chǎn)∥b6．如圖所示的正方體，用符號表示下列棱的位置關(guān)系：A1B1∥AB，AA1∥BB1，AD∥BC.知識點(diǎn)3平行線的基本事實(shí)及其推論7．如果a∥b，b∥c，那么a∥c，這個推理的依據(jù)是(D)A．等量代換B．平行線的定義C．經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行D．平行于同一條直線的兩條直線平行8．過一點(diǎn)畫已知直線的平行線(D)A．有且只有一條B．不存在C．有兩條D．不存在或有且只有一條9．在同一平面內(nèi)，直線l1，l2相交于點(diǎn)O，又l3∥l2，則直線l1和l3的位置關(guān)系是(B)A．平行B．相交C．不一定相交D．無法確定10．同一平面內(nèi)有三條直線，如果其中只有兩條平行，那么它們(C)A．沒有交點(diǎn)B．共有一個交點(diǎn)C．共有兩個交點(diǎn)D．共有三個交點(diǎn)11．在同一平面內(nèi)，一條直線與另兩條平行線的關(guān)系是(D)A．一定與兩條平行線都平行B．可能與兩條平行線中的一條平行、一條相交C．一定與兩條平行線相交D．與兩條平行線都平行或都相交12．如圖，如果CD∥AB，CE∥AB，那么C，D，E三點(diǎn)是否共線？你能說明理由嗎？解：共線．理由：因?yàn)檫^直線AB外一點(diǎn)C有且只有一條直線與AB平行，CD，CE都經(jīng)過點(diǎn)C且與AB平行，所以C，D，E三點(diǎn)共線．13．如圖，過點(diǎn)O′分別作AB，CD的平行線．解：如圖所示．中檔題14．觀察如圖所示的長方體，與棱AB平行的棱有(B)A．4條B．3條C．2條D．1條15．下列說法中正確的是(B)A．兩條相交的直線叫做平行線B．過直線外一點(diǎn)，只能畫出一條直線與已知直線平行C．如果a∥b，b∥c，那么a不與c平行D．兩條不平行的射線，在同一平面內(nèi)一定相交16．同一平面內(nèi)的兩條線段，下列說法正確的是(C)A．一定平行B．一定相交C．可以既不平行又不相交D．不平行就相交17．如圖，經(jīng)過直線a外一點(diǎn)O的4條直線中，與直線a相交的直線至少有(B)A．4條B．3條C．2條D．1條18．在同一平面內(nèi)，如果a∥c，a與b相交，b∥d，那么d與c的關(guān)系是相交．19．在同一平面內(nèi)不重合的兩條直線a，b，分別根據(jù)下列條件，寫出a，b的位置關(guān)系．(1)若它們沒有公共點(diǎn)，則a∥b；(2)若它們都平行于第三條直線，則a∥b；(3)若它們有且只有一個公共點(diǎn)，則a和b相交；(4)若過平面內(nèi)的不在a，b上的同一點(diǎn)畫它們的平行線，能畫出兩條，則a和b相交；(5)若過平面內(nèi)的不在a，b上的同一點(diǎn)畫它們的平行線，只能畫出一條，則a∥b．20．如圖所示，哪些線段是互相平行的？并用“∥”表示出來．解：AB∥IH，DE∥FG.21．小明在一塊如圖所示的平行四邊形木板上畫了一條與CD邊平行的線段EF，問AB與EF平行嗎？說說你的理由．解：平行．理由：平行于同一條直線的兩條直線平行．22．如圖，根據(jù)要求作圖．(1)過A作AE∥BC，交DC于點(diǎn)E；(2)過B作BF∥AD，交DC于點(diǎn)F；(3)過C作CG∥AD，交AB的延長線于點(diǎn)G；(4)過D作DH∥BC，交BA的延長線于點(diǎn)H.解：如圖所示．綜合題23．建筑工人要檢驗(yàn)墻壁是否垂直，如圖所示，可先在一條狹長的木板上畫一條直線a，使其平行于木板的一邊，再在線的上端O處釘一只釘子，掛一條鉛垂線OP，然后把板的一邊緊貼墻壁，這時若OP能跟a線重合，則墻壁便是豎直的，你能說出為什么嗎？解：因?yàn)榻?jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行，現(xiàn)在直線a和墻壁平行，若a和OP重合，則說明墻壁是豎直的．4．相交直線所成的角基礎(chǔ)題知識點(diǎn)1對頂角及其性質(zhì)1．下列圖形中，∠1與∠2是對頂角的是(D)2．(2022·安順)如圖，直線a，b相交于點(diǎn)O.如果∠1＋∠2＝60°，那么∠3是(A)A．150°B．120°C．60°D．30°3．如圖所示，直線AB，CD，EF相交于點(diǎn)O，則∠AOC的對頂角是∠BOD，∠AOD的對頂角是∠BOC．4．如圖所示，當(dāng)剪刀口∠AOB增大20°時，∠COD增大20°，其根據(jù)是對頂角相等．5．(2022·東營改編)如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，射線OM平分∠BOD.若∠AOC＝42°，則∠AOM等于159°．知識點(diǎn)2同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角6．(2022·河池)如圖，直線a，b被直線c所截，則∠1與∠2的位置關(guān)系是(A)A．同位角B．內(nèi)錯角C．同旁內(nèi)角D．鄰補(bǔ)角7．如圖，與∠1是內(nèi)錯角的是(B)A．∠2B．∠3C．∠4D．∠58．如圖，與∠1是同旁內(nèi)角的是(D)A．∠2B．∠3C．∠4D．∠59．如圖，直線AD，BE被直線BF和AC所截，則∠1的同位角和∠5的內(nèi)錯角分別是(B)A．∠4，∠2B．∠2，∠6C．∠5，∠4D．∠2，∠410．如圖，∠1和∠4是直線AB，CD被直線BE所截得的同位角；∠2和∠5是直線AB，CD被直線AC所截得的內(nèi)錯角；直線AC，BC被直線AB所截得的同旁內(nèi)角是∠4和∠5．易錯點(diǎn)未給出圖形，考慮不周全致錯11．兩條直線相交所成的四個角中，有兩個角分別是(2x－10)°和(110－x)°，則x＝40或80．中檔題12．【易錯易混】下列圖形中，∠1與∠2不是同位角的是(C)13．如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，如果∠1比∠3的2倍還多30°，那么∠2的度數(shù)是(C)A．50°B．120°C．130°D．150°14．若∠1與∠2互補(bǔ)，∠2與∠3是對頂角，且∠3＝40°，則∠1的度數(shù)是140°．15．如圖所示．(1)與∠A是同位角的有哪些角？(2)與∠4是內(nèi)錯角的有哪些角？(3)與∠B是同旁內(nèi)角的有哪些角？解：(1)與∠A是同位角的有∠1和∠3.(2)與∠4是內(nèi)錯角的有∠1和∠3.(3)與∠B是同旁內(nèi)角的有∠1，∠A，∠BDE，∠BDF和∠C.16．(教材P78習(xí)題T5變式)(2022·婁底期末)如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OA平分∠EOC.(1)若∠EOC＝80°，求∠BOD的度數(shù)；(2)若∠EOC＝∠EOD，求∠BOD的度數(shù)．解：(1)因?yàn)镺A平分∠EOC，所以∠AOC＝eq\f(1,2)∠EOC＝eq\f(1,2)×80°＝40°.因?yàn)椤螦OC與∠BOD互為對頂角，所以∠BOD＝∠AOC＝40°.(2)設(shè)∠EOC＝∠EOD＝x°，由題意，得x＋x＝180，解得x＝90.所以∠EOC＝90°.所以∠AOC＝eq\f(1,2)∠EOC＝45°.所以∠BOD＝∠AOC＝45°.綜合題17．(教材P77練習(xí)T3變式)如圖，直線a與直線b，c相交，若∠1＝∠4，請說明下面三對角的大小關(guān)系(是相等還是互補(bǔ))，并說明理由．(1)∠2和∠3；(2)∠3和∠5；(3)∠5和∠6.解：(1)∠2和∠3相等．理由：因?yàn)椤?＝∠3，∠2＝∠4，又∠1＝∠4，所以∠2＝∠3.(2)∠3和∠5互補(bǔ)．理由：因?yàn)椤?＋∠5＝180°，又∠2＝∠3，所以∠3＋∠5＝180°.(3)∠5和∠6相等．理由：因?yàn)椤?＋∠6＝180°，∠3＋∠5＝180°，所以∠5＝∠6.同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的常見模型)【概述】兩條直線被第三條直線所截，形成了三線八角，所以同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，必然有一條邊在同一直線上．【模型展示】結(jié)構(gòu)特征圖形示例同位角特征1：同位角的圖形結(jié)構(gòu)形如字母“F”(或?qū)⑵涞怪?、翻折、旋轉(zhuǎn)后的形狀)特征2：位于共線邊同側(cè)，不共線邊同側(cè)如圖所示，各個圖形的∠1與∠2都是同位角內(nèi)錯角特征1：內(nèi)錯角的圖形結(jié)構(gòu)形如字母“Z”(或?qū)⑵涞怪?、翻折、旋轉(zhuǎn)后的形狀)特征2：位于共線邊異側(cè)，不共線邊異側(cè)如圖所示，各個圖形的∠1與∠2都是內(nèi)錯角同旁內(nèi)角特征1：同旁內(nèi)角的圖形結(jié)構(gòu)形如字母“U”(或?qū)⑵涞怪?、翻折、旋轉(zhuǎn)后的形狀)特征2：位于共線邊同側(cè)，不共線邊異側(cè)如圖所示，各個圖形的∠1與∠2都是同旁內(nèi)角【溫馨提示】同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角是一對具有某種特殊“位置關(guān)系”的角，與其“數(shù)量關(guān)系”無關(guān)．【針對訓(xùn)練】在如圖所示的八個角中，請寫出同位角有哪些，內(nèi)錯角有哪些，同旁內(nèi)角有哪些．解：∠1與∠7，∠2與∠8，∠4與∠6為同位角；∠3與∠4，∠1與∠5，∠2與∠6，∠4與∠8為內(nèi)錯角；∠1與∠6，∠2與∠5，∠2與∠4，∠4與∠5為同旁內(nèi)角．【方法指導(dǎo)】要在一個復(fù)雜的圖形中確定“三線八角”，需先在復(fù)雜的圖形中分離出“三線”，再根據(jù)角的位置關(guān)系來進(jìn)一步判斷．

4．2平移基礎(chǔ)題知識點(diǎn)1平移1．下列現(xiàn)象是平移的是(B)A．鬧鐘的鐘擺的運(yùn)動B．電梯從底樓上升到頂樓C．碟片在光驅(qū)中運(yùn)行D．衛(wèi)星繞地球運(yùn)動2．如圖，三角形DEF是由三角形ABC經(jīng)過平移得到的，則平移的距離是(A)A．線段BE的長度B．線段EC的長度C．線段BC的長度D．線段EF的長度3．如下的四幅圖案中，第四幅圖案可以由最左邊的圖案通過平移而得．eq\a\vs4\al()一二三四4．如圖，一只小金魚從右邊游到左邊，需向左游8格．知識點(diǎn)2平移的性質(zhì)5．下列說法錯誤的是(D)A．平移不改變圖形的形狀B．圖形經(jīng)過平移，新圖形與原圖形中的對應(yīng)線段，對應(yīng)角分別相等C．圖形平移后，連接各組對應(yīng)點(diǎn)的線段平行(或在同一條直線上)且相等D．平移可能改變圖形的大小6．如圖，已知CD由線段AB平移得到，下列結(jié)論錯誤的是(C)A．AB＝CDB．AD＝BCC．AB＝BCD．AD∥BC7．已知線段AB的長為5cm，把這條線段向左平移4cm后得到線段CD，則線段CD的長為5_cm．8．如圖，三角形ABC經(jīng)過平移得到三角形DEF，若∠BAC＝65°，則∠EDF＝65°．9．(2022·淄博)如圖，將△ABC沿BC方向平移至△DEF處．若EC＝2BE＝2，則CF的長為1．知識點(diǎn)3平移作圖10．下列平移作圖錯誤的是(C)ABCD11．在方格紙中，將三角形ABC向右平移3個單位長度得到三角形A1B1C1，畫出三角形A1B1C1.解：如圖，三角形A1B1C1即為所求．中檔題12．下列著名商標(biāo)設(shè)計(jì)中，與其他三個設(shè)計(jì)方法不同的一個是(A)ABCD13．如圖所示，共有3個方格塊，現(xiàn)在要把上面的方格塊與下面的兩個方格塊合成一個長方形的整體，則應(yīng)將上面的方格塊(C)A．向右平移1格，向下平移3格B．向右平移1格，向下平移4格C．向右平移2格，向下平移4格D．向右平移2格，向下平移3格14．下列圖形中，周長最長的是(B)15．(2022·青海)如圖，將周長為8的△ABC沿BC邊向右平移2個單位長度，得到△DEF，則四邊形ABFD的周長為12．16．某賓館在重新裝修后考慮在大廳內(nèi)的主樓梯上鋪設(shè)地毯，已知主樓梯寬為3m，其剖面如圖所示，那么至少需要購買地毯.17．(教材P85習(xí)題T4變式)為了慶祝北京成功申辦2022年冬奧會，小明利用網(wǎng)格設(shè)計(jì)了一個“火炬”圖案，請你幫幫他：(1)將“火炬”圖案先向右平移7格，再向上平移6格，畫出平移后的圖案；(2)如果圖中每個小正方形的邊長是1，求其中一個“火炬”圖案的面積．解：(1)所作圖形如圖．(2)由圖形可以數(shù)出“火炬”圖案包括個小正方形，且每個小正方形的面積為1，故火炬圖案的面積為.利用平移的性質(zhì)解決周長及面積問題的基本模型)【模型展示】①周長＝2(a＋b)②S空白＝(a－x)(b－x)③S空白＝a(b－x)④S陰影＝S四邊形ABEM【針對訓(xùn)練】1．如圖，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，將三角形ABC沿AB方向平移AD的長度得到三角形DEF，已知EF＝8，BE＝3，CG＝3，則圖中陰影部分的面積是(B)4．3平行線的性質(zhì)基礎(chǔ)題知識點(diǎn)1兩直線平行，同位角相等1．(2022·桂林)如圖，直線a，b被直線c所截，a∥b，∠1＝50°，則∠2的度數(shù)是()A．40°B．50°C．60°D．70°2．如圖，AB∥CD，射線AE交CD于點(diǎn)F.若∠1＝115°，則∠2的度數(shù)是()A．55°B．65°C．75°D．85°3．如圖，直線AB∥CD，OG是∠EOB的平分線，∠EFD＝70°，則∠BOG的度數(shù)是()A．70°B．20°C．35°D．40°4．(2022·婁底)如圖，將直尺與三角尺疊放在一起，如果∠1＝28°，那么∠2的度數(shù)為()A．62°B．56°C．28°D．72°知識點(diǎn)2兩直線平行，內(nèi)錯角相等5．如圖，直線l1，l2被直線l3所截，且l1∥l2，則α＝()A．41°B．49°C．51°D．59°6．如圖，AB∥CD，如果∠B＝20°，那么∠C為()A．40°B．20°C．60°D．70°7．(2022·岳陽)如圖，已知BE平分∠ABC，且BE∥DC.若∠ABC＝50°，則∠C的度數(shù)是()A．20°B．25°C．30°D．50°8．(2022·盤錦)如圖，直線a∥b，△ABC的頂點(diǎn)A和C分別落在直線a和b上．若∠1＝60°，∠ACB＝40°，則∠2的度數(shù)是．知識點(diǎn)3兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)9．如圖所示，要在一條公路的兩側(cè)鋪設(shè)平行管道，已知一側(cè)鋪設(shè)的角度為120°，為使管道對接，另一側(cè)鋪設(shè)的角度大小應(yīng)為()A．120°B．100°C．80°D．60°10．如圖，直線AD∥BC.若∠1＝42°，∠BAC＝78°，則∠2的度數(shù)為()A．42°B．50°C．60°D．68°知識點(diǎn)4平行線的性質(zhì)的綜合運(yùn)用11．(2022·河南)如圖，l1∥l2，l3∥l4.若∠1＝70°，則∠2的度數(shù)為()A．100°B．110°C．120°D．130°12．如圖，AD∥CE，AB∥DC，∠ABE＝72°，求∠C，∠D的度數(shù)．13．如圖，AB∥CD，點(diǎn)P為CD上一點(diǎn)，PF是∠EPC的平分線．若∠1＝55°，則∠EPD的大小為()A．60°B．70°C．80°D．100°14．(2022·葫蘆島)一個零件的形狀如圖所示，AB∥DE，AD∥BC，∠CBD＝60°，∠BDE＝40°，則∠A的度數(shù)是()A．70°B．80°C．90°D．100°15．(2022·荊州)將一張長方形紙片折疊成如圖所示的圖形．若∠CAB＝30°，則∠ACB的度數(shù)是()A．45°B．55°C．65°D．75°16．如圖，若l1∥l2，l3∥l4，則圖中與∠1互補(bǔ)的角有()A．1個B．2個C．3個D．4個17．如圖，AB∥CD，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在CD上．如果∠CFE∶∠EFB＝3∶4，∠ABF＝40°，那么∠BEF的度數(shù)為．18．如圖，在三角形ABC中，DE∥AC，DF∥AB.試問：∠A＋∠B＋∠C＝180°這個結(jié)論成立嗎？為什么？19．(2022·宜昌)光線在不同介質(zhì)中傳播速度不同，從一種介質(zhì)射向另一種介質(zhì)時會發(fā)生折射．如圖，水面AB與水杯下沿CD平行，光線EF從水中射向空氣時發(fā)生折射，光線變成FH，點(diǎn)G在射線EF上，已知∠HFB＝20°，∠FED＝45°，求∠GFH的度數(shù)．20．(1)如圖，已知AB∥CD，EF∥MN，∠1＝115°，求∠2和∠4的度數(shù)；(2)本題隱含著一個規(guī)律，請你根據(jù)(1)的結(jié)果進(jìn)行歸納，試著用文字表述出來；(3)利用(2)的結(jié)論解答：如果兩個角的兩邊分別平行，其中一個角是另一個角的兩倍，求這兩個角的大?。?/p>

平行線的判定第1課時平行線的判定方法1基礎(chǔ)題知識點(diǎn)1同位角相等，兩直線平行1．如圖，∠1＝∠2，則下列結(jié)論正確的是()A．AD∥BCB．AB∥CDC．AD∥EFD．EF∥BC2．(教材P91“說一說”變式)如圖，給出了過直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線的方法，其依據(jù)是()A．同位角相等，兩直線平行B．兩直線平行，內(nèi)錯角相等C．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)D．兩直線平行，同位角相等3．如圖所示，∠1＝∠B，則下列說法正確的是()A．AB∥CDB．AC∥DEC．AB∥CD，AC∥DED．以上說法都不正確4．如圖，∠C＝110°，請?zhí)砑右粋€條件，使得AB∥CD，則符合要求的其中一個條件可以是．5．如圖，已知點(diǎn)B，C，E在同一直線上，且∠1＝∠B，那么∥．6．如圖，直線AB，CD分別與EF相交于點(diǎn)G，H，已知∠1＝70°，∠2＝70°，試說明：AB∥CD.知識點(diǎn)2平行線的判定方法1與性質(zhì)的綜合運(yùn)用7．如圖，已知∠1＝∠2，∠3＝80°，則∠4＝()A．80°B．70°C．60°D．50°8．如圖，直線a，b與直線c，d相交，若∠1＝∠2，∠3＝70°，則∠4的度數(shù)是()A．35°B．70°C．90°D．110°9．如圖，∠EAD＝∠B，∠D＝75°，則∠C＝．10．如圖，已知∠1＝∠3，CD∥EF，試說明：∠1＝∠4.11.如圖，已知AB∥DE，且有∠1＝∠2，∠3＝∠4，試說明：BC∥EF.中檔題12．已知∠1＝∠2，下列圖形能判定AB∥CD的是()ABCD13．如圖，若∠1＝∠2，則圖中與∠3相等的角有()A．1個B．2個C．3個D．4個14．如圖，直線a與直線b交于點(diǎn)A，與直線c交于點(diǎn)B，∠1＝120°，∠2＝40°.若使直線b與直線c平行，則可將直線b繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)()A．15°B．20°C．25°D．30°15．如圖，∠1＝∠2，∠2＝∠C，則圖中互相平行的直線有．16．如圖，已知∠1＝∠2＝∠3＝59°，則∠4＝．17．如圖，∠B＝∠E，AB∥DE，AB，EF相交于點(diǎn)M，那么BC∥EF嗎？18．如圖，已知AB∥DC，∠D＝125°，∠CBE＝55°，AD與BC平行嗎？為什么？19．(教材P95習(xí)題T3變式)如圖，直線AB，CD被直線GH所截，且∠AEG＝∠CFG，EM，F(xiàn)N分別平分∠AEG和∠CFG.試說明：EM∥FN.20．如圖，已知∠ADC＝∠EFC，∠3＝∠C，試說明：∠1＝∠2.

第2課時平行線的判定方法2，3基礎(chǔ)題知識點(diǎn)1內(nèi)錯角相等，兩直線平行1．如圖，在四邊形ABCD中，若∠1＝∠2，則AD∥BC，理由是()A．兩直線平行，內(nèi)錯角相等B．兩直線平行，同位角相等C．內(nèi)錯角相等，兩直線平行 D．同位角相等，兩直線平行2．如圖，已知∠1＝∠2，則下列結(jié)論一定正確的是()A．∠3＝∠4B．AB∥CDC．AD∥BCD．∠B＝∠D3．如圖，AB，CD相交于點(diǎn)O，∠C＝∠1，∠D＝∠2，試說明：∠A＝∠B.知識點(diǎn)2同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行4．如圖，直線l1，l2被l3所截得的同旁內(nèi)角為α，β，要使l1∥l2，只需要()A．α＋β＝90°B．α＝βC．α＞βD．a(chǎn)＋β＝180°5．(教材P94練習(xí)T1變式)如圖，(1)如果∠C＝∠，那么DE∥BC；(2)如果∠B＋∠＝180°，那么DE∥BC.6．如圖，一個彎形管道ABCD的拐角∠ABC＝110°，∠BCD＝70°，這時說管道AB∥CD，是根據(jù)．7．如圖，已知∠A＝∠C，∠1與∠2互補(bǔ)，試說明：AB∥CD.知識點(diǎn)3平行線的判定方法2，3與性質(zhì)的綜合應(yīng)用8．如圖，∠1與∠2互補(bǔ)，∠3＝130°，則∠4的度數(shù)是()A．40°B．45°C．50°D．55°9．如圖，若∠1＝50°，∠C＝50°，∠2＝120°，則∠B＝()A．40°B．50°C．60°D．120°10．(2022·武漢)如圖，直線EF分別與直線AB，CD交于點(diǎn)E，平分∠BEF，F(xiàn)N平分∠CFE，且EM∥FN.試說明：AB∥CD.易錯點(diǎn)不能準(zhǔn)確識別截線與被截線，從而誤判兩直線平行11．如圖，下列能判定AB∥CD的條件有()①∠B＋∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5.A．1個B．2個C．3個D．4個中檔題12．(2022·郴州)如圖，直線a，b被直線c所截，下列條件中，不能判定a∥b的是()A．∠2＝∠4B．∠1＋∠4＝180°C．∠5＝∠4D．∠1＝∠313．如圖，在三角形ABC中，CD平分∠ACB，∠1＝∠2＝36°，則∠3＝．14．如圖，點(diǎn)E是AD延長線上一點(diǎn)，如果添加一個條件，使BC∥AD，則可添加的條件為．(任意添加一個符合題意的條件即可)15．(2022·邵陽邵東縣期末)如圖，已知∠B＋∠BCD＝180°，∠B＝∠D.試說明：∠E＝∠DFE.解：因?yàn)椤螧＋∠BCD＝180°(已知)，所以AB∥CD()．所以∠B＝()．又因?yàn)椤螧＝∠D(已知)，所以∠D＝()．所以AD∥BE()．所以∠E＝∠DFE()．16．如圖所示，已知直線a，b，c，d，e，且∠1＝∠2，∠3＋∠4＝180°，則a與c平行嗎？為什么？17．如圖，已知AB∥DE，∠1＝∠2，直線AE與DC平行嗎？為什么？綜合題18．如圖，已知∠HDC＋∠ABC＝180°，∠HFD＝∠BEG，∠H＝20°，求∠G的度數(shù)．

小專題(八)平行線中的“拐點(diǎn)”問題模型1M型【例1】如圖，已知AB∥CD，則∠B，∠BED，∠D之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由．【思路點(diǎn)撥】由已知條件知，AB∥CD，但圖形中沒有截這兩條平行線的第三條直線，因而不能直接用平行線的性質(zhì)解決．為此可構(gòu)造第三條直線，即過點(diǎn)E作EF∥AB，于是BE，DE就可以作為第三條直線了．【解答】∠BED＝∠B＋∠D.理由：過點(diǎn)E作EF∥AB，則EF∥CD.所以∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF.所以∠BED＝∠BEF＋∠DEF＝∠B＋∠D.變式當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到平行線的外側(cè)1．已知AB∥CD，點(diǎn)E為AB，CD之外任意一點(diǎn)．(1)如圖1，探究∠BED與∠B，∠D的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，探究∠CDE與∠B，∠BED的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．解：(1)∠B＝∠BED＋∠D.理由如下：過點(diǎn)E作EF∥AB，則AB∥CD∥EF.所以∠BEF＝∠B，∠D＝∠DEF.因?yàn)椤螧EF＝∠BED＋∠DEF，所以∠B＝∠BED＋∠D.(2)∠CDE＝∠B＋∠BED.理由如下：過點(diǎn)E作EF∥AB，則AB∥CD∥EF.所以∠B＋∠BEF＝180°，∠CDE＋∠DEF＝180°.又因?yàn)椤螪EF＝∠BEF－∠BED，所以∠CDE＋∠BEF－∠BED＝∠B＋∠BEF，即∠CDE＝∠B＋∠BED.拓展平行線間有多個拐點(diǎn)2．(1)如圖1中，AB∥CD，則∠E＋∠G與∠B＋∠F＋∠D有何關(guān)系？(2)在圖2中，若AB∥CD，又能得到什么結(jié)論？解：(1)∠BEF＋∠FGD＝∠B＋∠EFG＋∠D.理由：過點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別作EM∥AB，F(xiàn)N∥AB，GH∥AB，由AB∥CD，得AB∥EM∥FN∥GH∥CD.所以∠BEM＝∠B，∠MEF＝∠EFN，∠NFG＝∠FGH，∠HGD＝∠D.所以∠BEF＋∠FGD＝∠BEM＋∠MEF＋∠FGH＋∠HGD＝∠B＋∠EFN＋∠NFG＋∠D＝∠B＋∠EFG＋∠D.(2)在圖2中，有∠E1＋∠E2＋∠E3＋…＋∠En＝∠B＋∠F1＋∠F2＋…＋∠Fn－1＋∠D.如果出現(xiàn)多個拐點(diǎn)時，可以作多條平行線，從而將多拐點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為一個拐點(diǎn)問題來處理．M型最終的結(jié)論為：朝左的角之和等于朝右的角之和．模型2鉛筆型【例2】如圖，直線AB∥CD，∠B，∠BED，∠D之間有什么關(guān)系呢？為什么？【解答】∠B＋∠BED＋∠D＝360°.理由：過點(diǎn)E作EF∥AB.因?yàn)锳B∥CD，所以AB∥CD∥EF.所以∠B＋∠BEF＝180°，∠D＋∠DEF＝180°.所以∠B＋∠BEF＋∠D＋∠DEF＝360°，即∠B＋∠BED＋∠D＝360°.拓展平行線間有多個拐點(diǎn)3．(1)①如圖1，MA1∥NA2，則∠A1＋∠A2＝180度；②如圖2，MA1∥NA3，則∠A1＋∠A2＋∠A3＝360度；③如圖3，MA1∥NA4，則∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＝540度；④圖4，MA1∥NA5，則∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＋∠A5＝720度；從上述結(jié)論中你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？(2)如圖5，MA1∥NAn，則∠A1＋∠A2＋∠A3＋…＋∠An＝180(n－1)度．解：每增加一個角，度數(shù)增加180°.小專題(九)利用平行線的性質(zhì)求角度類型1直接利用平行線的性質(zhì)與判定求角度1．(2022·營口)如圖，AB∥CD，∠EFD＝64°，∠FEB的平分線EG交CD于點(diǎn)G，則∠GEB的度數(shù)為(D)A．66°B．56°C．68°D．58°2．(2022·濟(jì)寧)如圖，直線a，b被直線c，d所截．若∠1＝∠2，∠3＝125°，則∠4的度數(shù)是(C)A．65°B．60°C．55°D．75°3．(2022·天門)如圖，CD∥AB，點(diǎn)O在AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，則∠AOF的度數(shù)是(D)A．20°B．25°C．30°D．35°4．如圖，已知EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝80°，求∠AGD的度數(shù)．解：因?yàn)镋F∥AD，所以∠2＝∠3.因?yàn)椤?＝∠2，所以∠1＝∠3.所以AB∥DG.所以∠BAC＋∠AGD＝180°.因?yàn)椤螧AC＝80°，所以∠AGD＝100°.類型2借助學(xué)具的特征求角度5．(2022·棗莊)一副直角三角板如圖放置，點(diǎn)C在FD的延長線上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，則∠DBC的度數(shù)為(B)A．10°B．15°C．18°D．30°6．(2022·鄂州)如圖，一塊直角三角尺的一個頂點(diǎn)落在直尺的一邊上．若∠2＝35°，則∠1的度數(shù)為(B)A．45°B．55°C．65°D．75°類型3折疊問題中求角度7．如圖，把一個長方形紙片沿EF折疊后，點(diǎn)D，C分別落在D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，則∠AED′＝50°．8．如圖是一個四邊形紙片ABCD，∠B＝∠D＝90°，∠C＝130°.把紙片按如圖所示折疊，使點(diǎn)B落在AD邊上的B′點(diǎn)，AE是折痕，則∠AEB的度數(shù)是65°．9．(2022·張家界)如圖，∠AOB的一邊OA為平面鏡，∠AOB＝38°，一束光線(與水平線OB平行)從點(diǎn)C射入經(jīng)平面鏡反射后，反射光線落在OB上的點(diǎn)E處，則∠DEB的度數(shù)是76度．4．5垂線第1課時垂線基礎(chǔ)題知識點(diǎn)1垂線的概念1．如圖，AO⊥OB，垂足為O，OC平分∠AOB，則∠AOC的度數(shù)為(C)A．30°B．40°C．45°D．90°2．如圖，點(diǎn)O在直線AB上，且OC⊥OD，若∠DOB＝46°，則∠COA的大小是(B)A．34°B．44°C．54°D．64°3．如圖，已知OA⊥OB，OC⊥OD，則圖中∠1和∠2的關(guān)系是(C)A．互余B．互補(bǔ)C．相等D．以上都不對4．如圖，平面內(nèi)三條直線相交于點(diǎn)O，∠1＝30°，∠2＝60°，AB與CD的關(guān)系是(B)A．平行B．垂直C．重合D．以上均有可能5．如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，EO⊥AB于點(diǎn)O，∠EOD＝50°，則∠BOC的度數(shù)為140°．6．如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，EO⊥AB，垂足為O，OF平分∠BOD，∠BOF＝15°，求∠COE的度數(shù)．解：因?yàn)镺F平分∠BOD，∠BOF＝15°，所以∠BOD＝2∠BOF＝30°.又∠AOC＝∠BOD，所以∠AOC＝30°.因?yàn)镋O⊥AB，所以∠AOC＋∠COE＝90°.所以∠COE＝90°－∠AOC＝90°－30°＝60°.知識點(diǎn)2垂線與平行線7．如圖，直線a∥b，直線l與直線a，b分別相交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線l的垂線交直線b于點(diǎn)C.若∠1＝58°，則∠2的度數(shù)為(C)A．58°B．42°C．32°D．28°8．如圖，∠1＝∠2，DE⊥AB于點(diǎn)D，則BC與AB的位置關(guān)系是垂直．9．(2022·貴港港南區(qū)期末改編)如圖，AB∥CD，EP平分∠BEF，F(xiàn)P平分∠DFE，試說明：EP⊥FP.解：∠EPF＝90°.理由：過點(diǎn)P作PG∥AB，因?yàn)锳B∥CD(已知)，所以AB∥PG∥CD(平行于同一條直線的兩條直線平行)．所以∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BEF＋∠EFD＝180°(兩直線平行，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ))．又因?yàn)镋P平分∠BEF，F(xiàn)P平分∠EFD(已知)，所以∠1＝eq\f(1,2)∠BEF，∠4＝eq\f(1,2)∠EFD(角平分線的定義)．所以∠EPF＝∠2＋∠3＝∠1＋∠4＝eq\f(1,2)∠BEF＋eq\f(1,2)∠EFD＝eq\f(1,2)×180°＝90°.所以EP⊥FP(垂直定義)．易錯點(diǎn)未給出圖形，考慮不周全致錯10．已知OA⊥OC，過點(diǎn)O作射線OB，且∠AOB＝30°，則∠BOC的度數(shù)為120°或60°．中檔題11．如圖，a∥b，點(diǎn)B在直線a上，AB⊥BC.若∠1＝38°，則∠2的度數(shù)為(B)A．38°B．52°C．76°D．142°12．(2022·孝感)如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE⊥CD，垂足為O.若∠BOE＝40°，則∠AOC的度數(shù)為(B)A．40°B．50°C．60°D．140°13．(教材P98練習(xí)T1變式)如圖，直線AB與直線CD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB，垂足為O，∠EOD＝eq\f(1,2)∠AOC，則∠BOC＝(D)A．150°B．140°C．130°D．120°14．(2022·樂山改編)如圖，E是直線CA上一點(diǎn)，∠FEA＝40°，射線EB平分∠CEF，GE⊥EF，則∠GEB＝20°．15．如圖，已知∠ADE＝∠B，F(xiàn)G⊥AB，∠EDC＝∠GFB，試說明：CD⊥AB.解：因?yàn)椤螦DE＝∠B，所以DE∥BC.所以∠EDC＝∠DCB.因?yàn)椤螮DC＝∠GFB，所以∠DCB＝∠GFB.所以FG∥CD.又因?yàn)镕G⊥AB，所以CD⊥AB.16．如圖所示，O是直線AB上一點(diǎn)，∠AOC＝eq\f(1,3)∠BOC，OC是∠AOD的平分線．(1)求∠COD的度數(shù)；(2)判斷OD與AB的位置關(guān)系，并說出理由．解：(1)因?yàn)椤螦OC＋∠BOC＝180°，∠AOC＝eq\f(1,3)∠BOC，所以eq\f(1,3)∠BOC＋∠BOC＝180°.解得∠BOC＝135°.所以∠AOC＝180°－∠BOC＝180°－135°＝45°.因?yàn)镺C是∠AOD的平分線，所以∠COD＝∠AOC＝45°.(2)OD⊥AB.理由：由(1)知∠AOC＝∠COD＝45°，所以∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝90°.所以O(shè)D⊥AB.綜合題17．(1)如圖，已知OA⊥OC，∠BOC＝30°，且OD，OE分別為∠AOB，∠BOC的平分線，請求出∠DOE度數(shù)；(2)如果把(1)中“∠BOC＝30°”改成“∠BOC＝x(0°＜x＜90°)”，其他條件都不變，則∠DOE度數(shù)變化嗎？請說明理由．解：(1)因?yàn)镺A⊥OC，所以∠AOC＝90°.所以∠AOB＝∠AOC＋∠BOC＝90°＋30°＝120°.因?yàn)镺D，OE分別為∠AOB，∠BOC的平分線，所以∠BOD＝eq\f(1,2)∠AOB＝60°，∠BOE＝eq\f(1,2)∠BOC＝15°.所以∠DOE＝∠BOD－∠BOE＝60°－15°＝45°.(2)∠DOE度數(shù)不變．理由：因?yàn)镺A⊥OC，所以∠AOC＝90°.所以∠AOB＝∠AOC＋∠BOC＝90°＋x.因?yàn)镺D，OE分別為∠AOB，∠BOC的平分線，所以∠BOD＝eq\f(1,2)∠AOB＝45°＋eq\f(x,2)，∠BOE＝eq\f(1,2)∠BOC＝eq\f(x,2).所以∠DOE＝∠BOD－∠BOE＝45°＋eq\f(x,2)－eq\f(x,2)＝45°.第2課時垂線段與點(diǎn)到直線的距離基礎(chǔ)題知識點(diǎn)1垂線、垂線段及其性質(zhì)1．如圖，已知ON⊥a，OM⊥a，可以推斷出OM與ON重合的理由是(D)A．兩點(diǎn)確定一條直線B．過一點(diǎn)只能作一條直線C．垂線段最短D．在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直2．(2022·河北)如圖，在平面內(nèi)作已知直線m的垂線，可作垂線的條數(shù)有(D)A．0條B．1條C．2條D．無數(shù)條3．如圖，在鐵路旁有一大型村莊李莊(用點(diǎn)O表示)，現(xiàn)要建一火車站，為了使李莊人到車站路程最短，請你在鐵路線上選一點(diǎn)來建火車站，應(yīng)建在(A)A．A點(diǎn)B．B點(diǎn)C．C點(diǎn)D．D點(diǎn)4．如圖，點(diǎn)P在直線l外，PB⊥l于點(diǎn)B，A為l上任意一點(diǎn)，則PA與PB的大小關(guān)系是(C)A．PA＞PBB．PA＜PBC．PA≥PBD．PA≤PB5．(2022·吉林)如圖，某單位要在河岸l上建一個水泵房引水到C處．他們的做法是：過點(diǎn)C作CD⊥l于點(diǎn)D，將水泵房建在了D處．這樣做最節(jié)省水管長度，其數(shù)學(xué)道理是垂線段最短．6．如圖，某人站在馬路的左側(cè)A點(diǎn)處，要到路的右側(cè)，怎樣走最近？為什么？如果他要到馬路對面的B點(diǎn)處，怎樣走最近？為什么？解：此人要走到馬路的右側(cè)，可沿A點(diǎn)到馬路右側(cè)的垂線段走，因?yàn)榇咕€段最短；要到馬路對面的B點(diǎn)處，可沿線段AB走，因?yàn)閮牲c(diǎn)之間，線段最短．知識點(diǎn)2點(diǎn)到直線的距離7．點(diǎn)到直線的距離是指(D)A．從直線外一點(diǎn)到這條直線的連線B．從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段C．從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線的長D．從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長8．下列圖形中，線段PQ的長表示點(diǎn)P到直線MN的距離的是(A)9．(2022·邵陽邵東縣期末)如圖，點(diǎn)P是直線a外的一點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C在直線a上，且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC，則下列語句不正確的是(C)A．線段PB的長是點(diǎn)P到直線a的距離B．PA，PB，PC三條線段中，PB最短C．線段AC的長是點(diǎn)A到直線PC的距離D．線段PC的長是點(diǎn)C到直線PA的距離10．點(diǎn)P是直線a外一點(diǎn)，PA⊥a，A為垂足，且PA＝2cm，則點(diǎn)P到直線a的距離是2cm.11．(教材P101練習(xí)T1變式)如圖，AC⊥BC，C為垂足，CD⊥AB，D為垂足，BC＝8，CD＝，BD＝，AD＝，AC＝6，那么點(diǎn)C到AB的距離是，點(diǎn)A到BC的距離是6，點(diǎn)B到CD的距離是．中檔題12．如圖，三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，點(diǎn)P是邊BC上的動點(diǎn)，則AP的長不可能是(A)A．B．3C．4D．513．已知直線AB，CB，l在同一平面內(nèi)，若AB⊥l，垂足為B，CB⊥l，垂足也為B，則符合題意的圖形可以是(C)ABCD14．觀察圖形，下列說法：①過點(diǎn)A有且只有一條直線AC垂直于直線l；②線段AB，AC，AD中，線段AC最短，因?yàn)閮牲c(diǎn)之間線段最短；③線段AB，AC，AD中，線段AC最短，根據(jù)是垂線段最短；④線段AC的長是點(diǎn)A到直線l的距離．正確的個數(shù)是(C)A．1B．2C．3D．415．(2022·邵陽隆回縣期末)如圖，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足為D，AC＝10，AB＝6，BC＝8，則點(diǎn)B到直線AC的距離為．16．如圖，說明如何量出點(diǎn)C到直線AB的距離，三名同學(xué)有不同的做法．甲同學(xué)：只要量出線段BC的長度即可；乙同學(xué)：過點(diǎn)C無法向直線AB作垂線，所以無法量出點(diǎn)C到直線AB的距離；丙同學(xué)：過點(diǎn)C作直線AB的垂線，垂線和直線AB不相交，所以不能量出點(diǎn)C到直線AB的距離．請你判斷對錯，若你不同意他們的做法，請你寫出正確的做法．解：不同意．正確做法：延長AB，過點(diǎn)C作CD⊥AB交AB的延長線于點(diǎn)D，則CD的長即為點(diǎn)C到直線AB的距離．17．如圖，AG⊥DE于點(diǎn)G，F(xiàn)G⊥BC于點(diǎn)F，DE∥BC且AG＝2cm，F(xiàn)G＝3cm，試求點(diǎn)A到BC的距離．解：因?yàn)镕G⊥BC，DE∥BC，所以FG⊥DE.因?yàn)锳G⊥DE，所以點(diǎn)A，F(xiàn)，G在同一直線上．又因?yàn)锳F＝AG＋FG＝2＋3＝5(cm)，所以點(diǎn)A到BC的距離為5cm.綜合題18．如圖，一輛汽車在直線形的公路AB上由A向B行駛，C，D是分別位于公路AB兩側(cè)的加油站．(1)設(shè)汽車行駛到公路AB上點(diǎn)M的位置時，距離加油站C最近；行駛到點(diǎn)N的位置時，距離加油站D最近，請?jiān)趫D中的公路上分別畫出點(diǎn)M，N的位置；(2)當(dāng)汽車從A出發(fā)向B行駛時，在公路AB的哪一段路上距離C，D兩加油站都越來越近？在哪一段路上距離加油站D越來越近，而離加油站C卻越來越遠(yuǎn)？解：(1)如圖所示．(2)在AM上時，離加油站C，D都越來越近；在MN上時，離加油站D越來越近，而離加油站C越來越遠(yuǎn)．

兩條平行線間的距離基礎(chǔ)題知識點(diǎn)1公垂線的概念及其性質(zhì)1．兩條平行線的公垂線段有(D)A．1條B．2條C．3條D．無數(shù)條2．如圖，直線AB∥CD，EF⊥AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，直線MN交AB，CD，EF于點(diǎn)M，N，O，則直線AB和CD之間的公垂線段是(B)A．線段MNB．線段EFC．線段OED．線段OF3．如圖，點(diǎn)A，B在直線l1上，點(diǎn)C，D在直線l2上，l1∥l2，CA⊥l1，BD⊥l2，AC＝6cm，則BD＝6cm.4．如圖，地面上一樣長的電線桿AB，CD與地面垂直，小明想知道兩根電線桿頂端A，C之間的距離，他沒有梯子，于是就測量了底端BD之間的距離，他認(rèn)為B，D之間的距離等于A，C之間的距離，你認(rèn)為對嗎？對(填“對”或“不對”)，依據(jù)是兩條平行線的所有公垂線段都相等．5．如圖，已知AB∥CD，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，請過點(diǎn)P作AB與CD的公垂線段．解：如圖，PE就是所求作的公垂線段．知識點(diǎn)2兩條平行線間的距離6．兩條平行線間的距離是指它們的(C)A．公垂線B．公垂線段C．公垂線段的長度D．以上都不對7．如圖，直線a∥b，則直線a，b之間的距離是(B)A．線段AB的長度B．線段CD的長度C．線段EF的長度D．線段GH的長度8．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AC與BD相交于點(diǎn)O，若S三角形ABD＝10cm2，則S三角形ACD為(A)A．10cm2 B．9cm2 C．8cm2 D．7cm29．如圖，a∥b，BC＝4，若三角形ABC的面積為6，則a與b之間的距離是3．10．如圖，直線a∥b，A，C是直線a上的兩點(diǎn)，B，D是直線b上的兩點(diǎn)，AB⊥b，若要使AB＝CD，可添加一個條件CD⊥b．11．如圖，DE⊥AB于點(diǎn)E，經(jīng)測量AD＝BC＝cm，DE＝與CD兩平行線間的距離是cm還是cm？為什么？點(diǎn)C到AB的距離是多少？解：cm，因?yàn)閮善叫芯€間的距離為公垂線段的長度．點(diǎn)C到AB的距離為cm.中檔題12．若a∥b，直線a上一點(diǎn)A到直線b的距離為3，則直線a與b之間的距離(A)A．等于3B．大于3C．不小于3D．小于313．如圖，AB⊥BC，CD⊥BC，AD∥BC，若AB＝3cm，AD＝4cm，則BC的長為(B)A．3cmB．4cmC．3cm或4cmD．不確定14．(教材P106練習(xí)T2變式)如圖，AB∥DC，ED∥BC，AE∥BD，那么圖中和三角形ABD面積相等的三角形(不包括三角形ABD)有(B)A．1個B．2個C．3個D．4個15．如圖，河的兩岸AB∥CD，現(xiàn)想在點(diǎn)M處建一座橋MN，并且使MN的長度最小，請?jiān)趫D中畫出點(diǎn)N的位置．解：如圖所示．16．(教材P105例題變式)已知直線a∥b∥c，a與b相距6cm，a與c相距為4cm，求b與c之間的距離是多少？解：①如圖1，當(dāng)a在b，c之間時，b與c之間距離為6＋4＝10(cm)；②如圖2，c在a，b之間時，b與c之間距離為6－4＝2(cm)．所以b與c之間的距離是2cm或10cm.圖1圖217．如圖，已知AD∥BC，AB∥EF，CD∥EG，且點(diǎn)E和點(diǎn)F，H，G分別在直線AD，BC上，EH平分∠FEG，∠A＝∠D，線段EH的長是否是兩條平行線AD，BC之間的距離？為什么？解：線段EH的長是兩條平行線AD，BC之間的距離．理由：因?yàn)锳B∥EF，CD∥EG，所以∠AEF＋∠A＝180°，∠DEG＋∠D＝180°.因?yàn)椤螦＝∠D，所以∠AEF＝∠DEG.因?yàn)镋H平分∠FEG，所以∠FEH＝∠GEH.所以∠AEF＋∠FEH＝eq\f(1,2)×180°＝90°，即∠AEH＝90°.所以EH⊥AD.又因?yàn)锳D∥BC，所以EH⊥BC.所以線段EH的長是兩條平行線AD，BC之間的距離．綜合題18．如圖，甲船從北岸碼頭A向南行駛，航速為36千米/時；乙船從南岸碼頭B向北行駛，航速為27千米/時．兩船均于7：15出發(fā)，兩岸平行，水面寬為千米，求兩船距離最近時的時刻．解：設(shè)x小時后兩船距離最近．如圖，當(dāng)EF⊥BD，AE＝DF時，兩船距離最近．根據(jù)題意，得36x＝－27x.解得x＝.0．3小時＝18分鐘，故兩船距離最近時的時刻為7：33.

小專題(十)平行線中五種常見結(jié)論的判定類型1判定角相等1．如圖，AE平分∠DAC，AE∥BC，試說明：∠B＝∠C.解：因?yàn)锳E∥BC，所以∠1＝∠B，∠2＝∠C.因?yàn)锳E平分∠DAC，所以∠1＝∠2.所以∠B＝∠C.2．如圖，已知AB∥CD，AD∥BC.試說明：∠A＝∠C.解：因?yàn)锳B∥CD，所以∠A＋∠D＝180°.又因?yàn)锳D∥BC，所以∠D＋∠C＝180°.所以∠A＝∠C.3．如圖，已知∠1＝52°，∠2＝128°，∠C＝∠D.試說明：(1)BD∥CE；(2)∠A＝∠F.解：(1)因?yàn)椤?＝52°，∠2＝128°，所以∠1＋∠2＝180°.所以BD∥CE.(2)因?yàn)锽D∥CE，所以∠C＝∠ABD.又因?yàn)椤螩＝∠D，所以∠ABD＝∠D.所以AC∥DF.所以∠A＝∠F.類型2判定角平分線4．如圖，AD⊥BC于點(diǎn)D，EG⊥BC于點(diǎn)G，∠E＝∠1.試說明：AD平分∠BAC.解：因?yàn)锳D⊥BC，EG⊥BC，所以∠ADC＝∠EGC＝90°.所以AD∥EG.所以∠1＝∠2，∠E＝∠3.因?yàn)椤螮＝∠1，所以∠2＝∠3.所以AD平分∠BAC.類型3判定垂直5．已知：如圖，AC⊥BC，DM⊥BC于M，EF⊥AB于F，且∠1＝∠2.試說明：CD⊥AB.證明：因?yàn)锳C⊥BC，DM⊥BC，所以AC∥DM.所以∠2＝∠ACD.因?yàn)椤?＝∠2，所以∠1＝∠ACD.所以EF∥CD.因?yàn)镋F⊥AB，所以CD⊥AB.類型4判定平行6．如圖，已知∠B＝∠D，∠E＝∠F，判斷BC與AD的位置關(guān)系，并說明理由．解：BC∥AD，理由：因?yàn)椤螮＝∠F，所以BE∥FD.所以∠B＝∠BCF.又因?yàn)椤螧＝∠D，所以∠BCF＝∠D.所以BC∥AD.7．如圖，A，B，C三點(diǎn)在同一直線上，∠1＝∠2，∠3＝∠D，試判斷BD與CF的位置關(guān)系，并說明理由．解：BD∥CF.理由如下：因?yàn)椤?＝∠2，所以AD∥BF.所以∠D＝∠DBF.因?yàn)椤?＝∠D，所以∠3＝∠DBF.所以BD∥CF.8．如圖，AB∥CD，∠GDH＝∠1＋∠2.試說明：AB∥EF.解：因?yàn)锳B∥CD，所以∠1＝∠GDC.因?yàn)椤螱DH＝∠GDC＋∠CDH＝∠1＋∠2，所以∠CDH＝∠2.所以CD∥EF.所以AB∥EF.9．如圖，已知AB∥CD，∠1＋∠2＝180°.(1)請你判斷AD與CE的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若CE⊥AE于點(diǎn)E，∠2＝150°，試求∠FAB的度數(shù)．解：(1)AD∥CE.理由：因?yàn)锳B∥CD，所以∠1＝∠ADC.因?yàn)椤?＋∠2＝180°，所以∠ADC＋∠2＝180°.所以AD∥CE.(2)因?yàn)镃E⊥AE，所以∠AEC＝90°.因?yàn)锳D∥CE，所以∠DAF＝∠AEC＝90°.因?yàn)椤?＋∠2＝180°，且∠2＝150°，所以∠1＝30°.所以∠FAB＝∠DAF－∠1＝90°－30°＝60°.類型5說明兩角的和差關(guān)系10．已知E，F(xiàn)分別是AB，CD上的動點(diǎn)，P也為一動點(diǎn)．(1)如圖1，若AB∥CD，試說明：∠P＝∠BEP＋∠PFD；(2)如圖2，若∠P＝∠PFD－∠BEP，試說明：AB∥CD；(3)如圖3，AB∥CD，移動E，F(xiàn)，使∠EPF＝90°，作∠PEG＝∠BEP，則eq\f(∠AEG,∠PFD)＝2．解：(1)過點(diǎn)P作PG∥AB，則∠EPG＝∠BEP.因?yàn)锳B∥CD，所以PG∥CD.所以∠GPF＝∠PFD.所以∠EPF＝∠EPG＋∠FPG＝∠BEP＋∠PFD.(2)過點(diǎn)P作PQ∥AB，則∠QPE＝∠BEP.因?yàn)椤螮PF＝∠PFD－∠BEP，所以∠PFD＝∠EPF＋∠BEP＝∠EPF＋∠QPE＝∠FPQ.所以DC∥PQ.所以AB∥CD.

章末復(fù)習(xí)(四)相交線與平行線分點(diǎn)突破知識點(diǎn)1相交線1．如圖，與∠1是同位角的角