專題16 平面向量數(shù)量積及其應(yīng)用（教師版）

專題16平面向量數(shù)量積及其應(yīng)用十年大數(shù)據(jù)*全景展示年份題號(hào)考點(diǎn)考查內(nèi)容2011課標(biāo)理10平面向量的綜合應(yīng)用利用平面向量數(shù)量積計(jì)算向量夾角與模問題及命題真假的判定文13平面向量數(shù)量積性質(zhì)的應(yīng)用利用平面向量數(shù)量積處理向量垂直問題2012課標(biāo)理13文15平面向量數(shù)量積性質(zhì)的應(yīng)用平面向量的定義及利用平面向量數(shù)量積處理向量模問題2013卷1理13文13平面向量數(shù)量積的概念及其幾何意義平面向量數(shù)量積的概念及運(yùn)算法則卷2理13文14平面向量數(shù)量積的概念及其幾何意義平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則2014卷1理15平面向量數(shù)量積的概念及其幾何意義中點(diǎn)公式的向量形式及向量的夾角的概念卷2文4理3平面向量數(shù)量積性質(zhì)的應(yīng)用利用平面向量數(shù)量積處理向量模問題2015卷1理5平面向量的綜合應(yīng)用主要與雙曲線結(jié)合考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算卷2文4平面向量數(shù)量積的概念及其幾何意義平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、平面向量數(shù)量積2016卷1理13平面向量數(shù)量積性質(zhì)的應(yīng)用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算及平面向量模公式卷2理3平面向量數(shù)量積性質(zhì)的應(yīng)用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算及利用平面向量數(shù)量積處理垂直問題卷3理3文3平面向量數(shù)量積的概念及其幾何意義平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及利用平面向量數(shù)量積求夾角卷1文13平面向量數(shù)量積性質(zhì)的應(yīng)用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算及利用平面向量數(shù)量積處理垂直問題2017卷1理13平面向量數(shù)量積性質(zhì)的應(yīng)用利用平面向量數(shù)量積計(jì)算模理2理12平面向量的綜合應(yīng)用與平面圖形有關(guān)的平面向量數(shù)量積的最值問題卷1文13平面向量數(shù)量積性質(zhì)的應(yīng)用利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及利用向量數(shù)量積處理垂直問題卷2文4平面向量數(shù)量積性質(zhì)的應(yīng)用利用平面向量數(shù)量積的模卷3理12平面向量的綜合應(yīng)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及圓的方程和三角函數(shù)的性質(zhì)卷3文13平面向量數(shù)量積性質(zhì)的應(yīng)用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算及利用平面向量數(shù)量積處理垂直問題2018卷2理4文4平面向量數(shù)量積的概念、幾何意義及其運(yùn)算律平面向量的數(shù)量積及其運(yùn)算律2019卷1理7文8平面向量數(shù)量積性質(zhì)的應(yīng)用平面向量數(shù)量積處理垂直與夾角問題卷2理3平面向量的綜合應(yīng)用平面向量的減法運(yùn)算、模公式、平面向量數(shù)量積卷3理13平面向量的綜合應(yīng)用平面向量數(shù)量積處理模與夾角問題卷3理13平面向量數(shù)量積性質(zhì)的應(yīng)用平面向量坐標(biāo)的模公式及夾角公式2020卷1理14平面向量數(shù)量積及其運(yùn)算向量模長的計(jì)算文14平面向量數(shù)量積的應(yīng)用平面向量垂直充要條件的坐標(biāo)形式，平面向量數(shù)量積的應(yīng)用卷2理13平面向量數(shù)量積的應(yīng)用向量夾角公式，應(yīng)用向量數(shù)量積處理垂直問題文15平面向量數(shù)量積定義及性質(zhì)平面向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算性質(zhì)，應(yīng)用平面向量數(shù)量積處理向量垂直卷3理6平面向量數(shù)量積及其運(yùn)算平面向量夾角公式，平面向量數(shù)量積的計(jì)算以及向量模長的計(jì)算大數(shù)據(jù)分析*預(yù)測(cè)高考考點(diǎn)出現(xiàn)頻率2021年預(yù)測(cè)考點(diǎn)51平面向量數(shù)量積的概念及其幾何意義7/242021年高考仍將重點(diǎn)單獨(dú)或與平面圖形等知識(shí)結(jié)合重點(diǎn)平面向量數(shù)量積的定義、性質(zhì)及應(yīng)用平面向量數(shù)量積計(jì)算夾角、模、垂直等問題，難度為基礎(chǔ)題、中檔題或難題，題型為選擇或填空．考點(diǎn)52平面向量數(shù)量積性質(zhì)的應(yīng)用9/24考點(diǎn)53平面向量的綜合應(yīng)用8/24十年試題分類*探求規(guī)律考點(diǎn)51平面向量數(shù)量積的概念、其幾何意義及其運(yùn)算律1．（2020全國Ⅲ理6）已知向量滿足，則 （）A．B．C．D．【答案】D【思路導(dǎo)引】計(jì)算出、的值，利用平面向量數(shù)量積可計(jì)算出的值．【解析】，，，．，因此．故選D．2．（2020山東7）已知是邊長為的正六邊形內(nèi)的一點(diǎn)，則的取值范圍是 （）A．B．C．D．【答案】A【思路導(dǎo)引】首先根據(jù)題中所給的條件，結(jié)合正六邊形的特征，得到在方向上的投影的取值范圍是，利用向量數(shù)量積的定義式，求得結(jié)果．【解析】解法一：的模為2，根據(jù)正六邊形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范圍是，結(jié)合向量數(shù)量積的定義式，可知等于的模與在方向上的投影的乘積，所以的取值范圍是，故選：A．解法二：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，由題意知，，，，設(shè)，則，∵，∴，∴的取值范圍是．3．（2018?新課標(biāo)Ⅱ，理4）已知向量，滿足，，則A．4 B．3 C．2 D．0【答案】B【解析】向量，滿足，，則，故選．4．（2016新課標(biāo)，理3）已知向量，則ABC=(A)300(B)450(C)600(D)1200【答案】A【解析】由題意，得，所以，故選A．5．（2017北京）設(shè)，為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因?yàn)闉榉橇阆蛄浚缘某湟獥l件是．因?yàn)椋瑒t由可知的方向相反，，所以，所以“存在負(fù)數(shù)，使得”可推出“”；而可推出，但不一定推出的方向相反，從而不一定推得“存在負(fù)數(shù)，使得”，所以“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的充分而不必要條件．6．已知點(diǎn)、、、，則向量在方向上的投影為A． B． C． D．【答案】A【解析】7．（2011遼寧）已知向量，，，則A． B． C．6 D．12【答案】D【解析】∵，由，得，∴，解得．8．(2015山東)已知菱形ABCD的邊長為，，則＝A．B．C．D．【答案】D【解析】由菱形的邊長為，可知，．9．（2015四川）設(shè)四邊形為平行四邊形，，．若點(diǎn)滿足，，則（）A．20B．15C．9D．6【答案】C【解析】，所以====9，選C．10．（2014天津）已知菱形的邊長為2，，點(diǎn)分別在邊上，，．若，，則A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，所以，即①，同理可得②，?②得．11．（2012天津）在△ABC中，A=90°，AB=1，設(shè)點(diǎn)P，Q滿足，，．若，則（）A．B．C．D．2【答案】B【解析】如圖，設(shè)，則，又==，，∴===，即，選B．12．（2020全國Ⅰ文14）設(shè)向量，若，則．【答案】5【思路導(dǎo)引】根據(jù)向量垂直，結(jié)合題中所給的向量的坐標(biāo)，利用向量垂直的坐標(biāo)表示，求得結(jié)果．【解析】由可得，又∵，∴，即，故答案為：．13．（2020全國Ⅱ理13）已知單位向量的夾角為45°，與垂直，則__________．【答案】【思路導(dǎo)引】首先求得向量的數(shù)量積，然后結(jié)合向量垂直的充分必要條件即可求得實(shí)數(shù)k的值．【解析】由題意可得：，由向量垂直的充分必要條件可得：，即：，解得：，故答案為：．14．（2020全國Ⅰ理14）設(shè)為單位向量，且，則．【答案】【思路導(dǎo)引】整理已知可得：，再利用為單位向量即可求得，對(duì)變形可得：，問題得解．【解析】∵為單位向量，∴，∴，解得：，∴，故答案為：．15．（2019?新課標(biāo)Ⅲ，文13）已知向量，，則，．【答案】【解析】由題知，，，，，．16．（2014新課標(biāo)Ⅰ，理15）已知A，B，C是圓O上的三點(diǎn)，若，則與的夾角為．【答案】【解析】∵，∴O為線段BC中點(diǎn)，故BC為的直徑，∴，∴與的夾角為．17．（2013新課標(biāo)Ⅰ，理13文13）已知兩個(gè)單位向量a，b的夾角為60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c=0，則t=_____．【答案】2【解析】=====0，解得=．18．（2013新課標(biāo)Ⅱ，理13文14）已知正方形ABC的邊長為2，E為CD的中點(diǎn)，則=．【答案】2【解析】===4-2=2．19．（2011江蘇）已知，是夾角為的兩個(gè)單位向量，，，若，則的值為．【答案】【解析】由題意知，即，即，化簡可求得．20．（2017天津）在中，，，．若，，且，則的值為___________．【答案】【解析】，，則==，解得．21．（2014天津）已知菱形的邊長為，，點(diǎn)，分別在邊、上，，．若，則的值為________．【答案】【解析】因?yàn)椋庑蔚倪呴L為2，所以．因?yàn)?，由，所以，解得．考點(diǎn)52平面向量數(shù)量積性質(zhì)的應(yīng)用1．（2020全國Ⅱ文5）已知單位向量的夾角為60°，則在下列向量中，與垂直的是 （）A． B． C． D．【答案】D【思路導(dǎo)引】根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義、運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合兩平面向量垂直數(shù)量積為零這一性質(zhì)逐一判斷即可．【解析】由已知可得：．A：∵，∴本選項(xiàng)不符合題意；B：∵，∴本選項(xiàng)不符合題意；C：∵，∴本選項(xiàng)不符合題意；D：∵，∴本選項(xiàng)符合題意．故選D．2．（2019?新課標(biāo)Ⅰ，理7文8）已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，，，故選．3．（2017?新課標(biāo)Ⅱ，文4）設(shè)非零向量，滿足則A． B． C． D．【答案】A【解析】非零向量，滿足，，即，∴，，故選．4．（2016新課標(biāo)，理3）已知向量，且，則m=（）（A）－8（B）－6（C）6（D）8【答案】D【解析】由題知a+b=，所以==0，解得，故選D．5．（2014新課標(biāo)Ⅱ，理3文4）設(shè)向量滿足，，則（）A．1B．2C．3D．5【答案】A【解析】∵，，∴……①，……②．由①②得：，故選A．6．(2018北京)設(shè)，均為單位向量，則“”是“⊥”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】∵，∴，∴，又，∴，∴；反之也成立，故選C．7．（2016年山東）已知非零向量滿足，．若，則實(shí)數(shù)t的值為（）A．4 B．–4 C． D．–【答案】B【解析】由可得，即，所以．故選B．8．(2015重慶)若非零向量，滿足，且，則與的夾角為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意，即，所以，，，選A．9．（2015陜西）對(duì)任意向量，下列關(guān)系式中不恒成立的是A．B．C．D．【答案】B【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)向量、的夾角為，∵，∴A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，∵當(dāng)向量、反向時(shí)，，∴B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，由向量的平方等于向量模的平方可知，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可推導(dǎo)出，故D選項(xiàng)正確，綜上選B．10．（2015安徽）是邊長為的等邊三角形，已知向量，滿足，，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如圖由題意，，故，故錯(cuò)誤；，所以，又，所以，故錯(cuò)誤；設(shè)中點(diǎn)為，則，且，所以，故選D．11．(2014山東)已知向量．若向量的夾角為，則實(shí)數(shù)（）A． B．C．0 D．【答案】B【解析】由題意得，兩邊平方化簡得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．12．（2014重慶）已知向量，，，且，則實(shí)數(shù)A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，，所以=．解得，選C13．（2012陜西）設(shè)向量=（1，）與=（1，2）垂直，則等于A．B．C．0D．－1【答案】C【解析】正確的是C．14．（2012浙江）設(shè)，是兩個(gè)非零向量A．若，則B．若，則C．若，則存在實(shí)數(shù)，使得D．若存在實(shí)數(shù)，使得，則【答案】C【解析】因?yàn)?，，所以不垂直，A不正確，同理B也不正確；因?yàn)?，則，所以共線，故存在實(shí)數(shù)，使得，C正確；若，則，此時(shí)，所以D不正確．15．（2019?新課標(biāo)Ⅲ，理13）已知，為單位向量，且，若，則，．【答案】【解析】∵，，，，．16．（2017?新課標(biāo)Ⅰ，理13）已知向量，的夾角為，，，則．【答案】【解析】向量，的夾角為，且，，，．17．（2017?新課標(biāo)Ⅰ，文13）已知向量，，若向量與垂直，則．【答案】7【解析】向量，，，向量與垂直，，解得．18．（2017?新課標(biāo)Ⅲ，文13）已知向量，，且，則．【答案】2【解析】向量，，且，，解得．19．(2016新課標(biāo)，理13)設(shè)向量a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，則m=．【答案】-2【解析】由|a+b|2=|a|2+|b|2得，=0，所以，解得．20．（2016?新課標(biāo)Ⅰ，文13）設(shè)向量，，且，則．【答案】【解析】，，即，∴．21．（2012課標(biāo)，理13）已知向量，夾角為，且||=1，||=，則||=．【答案】．【解析】∵||=，平方得，即，解得||=或（舍）22．（2011新課標(biāo)，文13）已知與為兩個(gè)不共線的單位向量，為實(shí)數(shù)，若向量與向量垂直，則=．【答案】1【解析】∵與為兩個(gè)不共線的單位向量，∴||=1，||=1，且與夾角不為0也不為，∴，又∵向量與向量垂直，∴====0，∴=0，∴=1．23．(2017山東)已知，是互相垂直的單位向量，若與的夾角為，則實(shí)數(shù)的值是．【答案】【解析】，，，，解得：．24．（2015湖北）已知向量，，則．【答案】9【解析】因?yàn)?，，所以?5．（2014四川）平面向量，，（），且與的夾角等于與的夾角，則____________．【答案】2【解析1】，因?yàn)?，，所以，又，所以，?6．（2013北京）已知向量，夾角為，且，，則 ．【答案】【解析】27．（2012湖北）已知向量=（1，0），=（1，1），則（Ⅰ）與同向的單位向量的坐標(biāo)表示為____________；（Ⅱ）向量與向量夾角的余弦值為____________．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由，得．設(shè)與同向的單位向量為，則且，解得故．即與同向的單位向量的坐標(biāo)為．（Ⅱ）由，得．設(shè)向量與向量的夾角為，則．28．（2012安徽）若平面向量，滿足：；則的最小值是．【答案】【解析】，∴29．（2011安徽）已知向量滿足，且，，則與的夾角為．【答案】【解析】設(shè)與的夾角為，由題意有，所以，因此，所以．考點(diǎn)53平面向量的綜合應(yīng)用1．（2019?新課標(biāo)Ⅱ，理3）已知，，，則A． B． C．2 D．3【答案】C【解析】，，，，即，則，故選．2．（2017?新課標(biāo)Ⅱ，理12）已知是邊長為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是A． B． C． D．【答案】B【解析】建立如圖所示的坐標(biāo)系，以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則，，，設(shè)，則，，，則，當(dāng)，時(shí)，取得最小值，故選．3．（2017?新課標(biāo)Ⅲ，理12）在矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心且與相切的圓上．若，則的最大值為A．3 B． C． D．2【答案】A【解析】如圖：以為原點(diǎn)，以，所在的直線為，軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，，，，動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心且與相切的圓上，設(shè)圓的半徑為，，，，，，圓的方程為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，，，，，，，，其中，∵，∴，故的最大值為3，故選．4．（2015新課標(biāo)Ⅰ，理5）已知M（x0，y0）是雙曲線C：上的一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是C上的兩個(gè)焦點(diǎn)，若＜0，則y0的取值范圍是（）（A）（-，） （B）（-，）（C）（，）（D）（，）【答案】A【解析】由題知，，所以==，解得，故選A．5．（2011新課標(biāo)，理10）已知與均為單位向量，其中夾角為，有下列四個(gè)命題：∈[0，）：∈(，]：∈[0，）：∈(，]其中真命題是（A），(B)，(C)，(D)，【答案】A【解析】由得，，即＞，即=＞，∵∈[0，]，∴∈[0，），由得，，即＜，即=＜，∵∈[0，]，∴∈(，]，故選A．6．（2016年天津）已知是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，連接并延長到點(diǎn)，使得，則的值為A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，，∴，，，∴，故選B．7．（2014安徽）設(shè)為非零向量，，兩組向量和均由2個(gè)和2個(gè)排列而成，若所有可能取值中的最小值為，則與的夾角為A．B．C．D．0【答案】B【解析】設(shè)，若的表達(dá)式中有0個(gè)，則，記為，若的表達(dá)式中有2個(gè)，則，記為，若的表達(dá)式中有4個(gè)，則，記為，又，所以，，，∴，故，設(shè)的夾角為，則，即，又，所以．8．（2014浙江）設(shè)為兩個(gè)非零向量，的夾角，已知對(duì)任意實(shí)數(shù)，是最小值為1A．若確定，則唯一確定B．若確定，則唯一確定C．若確定，則唯一確定D．若確定，則唯一確定【答案】B【解析】由于，令，而是任意實(shí)數(shù)，所以可得的最小值為，即，則知若確定，則唯一確定．9．（2013福建）在四邊形中，，則該四邊形的面積為A． B． C．5 D．10【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所以四邊形的面積為，故選C．10．（2013浙江）設(shè)，是邊上一定點(diǎn)，滿足，且對(duì)于邊上任一點(diǎn)，恒有．則A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意，設(shè)，則，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，在上任取一點(diǎn)，設(shè)，則由數(shù)量積的幾何意義可得，，，于是恒成立，相當(dāng)于恒成立，整理得恒成立，只需即可，于是，因此我們得到，即是的中點(diǎn)，故△是等腰三角形，所以．11．（2013湖南）已知是單位向量，．若向量滿足，則的最大值為A． B．C．D．【答案】C【解析】建立平面直角坐標(biāo)系，令向量的坐標(biāo)，又設(shè)，代入得，又的最大值為圓上的動(dòng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值，即圓心(1，1)到原點(diǎn)的距離加圓的半徑，即．12．（2013重慶）在平面上，，，．若，則的取值范圍是A．B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)椤?，所以可以A為原點(diǎn)，分別以，所在直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)B1(a，0)，B2(0，b)，O(x，y)，則＝＋＝(a，b)，即P(a，b)．由||＝||＝1，得(x－a)2＋y2＝x2＋(y－b)2＝1，所以(x－a)2＝1－y2≥0，(y－b)2＝1－x2≥0，由||＜，得(x－a)2＋(y－b)2＜，即0≤1－x2＋1－y2＜，所以＜x2＋y2≤2，即，所以||的取值范圍是，故選D．13．(2018天津)如圖，在平面四邊形中，，，，．若點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為A． B． C． D．【答案】A【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，建立如圖的平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)樵谄矫嫠倪呅沃?，，，所以，，，設(shè)，，所以，，因?yàn)?，所以，即，解得，即，因?yàn)樵谏?，所以，由，得，即，因?yàn)?，，所?=，令，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．所以的最小值為，故選A．14．(2018浙江)已知，，是平面向量，是單位向量．若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是（）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】解法一設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，，由得，即，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，l為半徑的圓．因?yàn)榕c的夾角為，所以不妨令點(diǎn)在射線()上，如圖，數(shù)形結(jié)合可知．故選A．解法二由得．設(shè)，，，所以，，所以，取的中點(diǎn)為．則在以為圓心，為直徑的圓上，如圖，設(shè)，作射線，使得，所以=．故選A．15．（2017浙江）如圖，已知平面四邊形，，，，與交于點(diǎn)，記，，，則A．<< B．<< C．<< D．<<【答案】C【解析】如圖所示，四邊形是正方形，為正方形的對(duì)角線的交點(diǎn)，易得，而，∴與為鈍角，與為銳角．根據(jù)題意，∴，同理．做于，又．∴，而，∴，而，∴，即，∴，選C．16．（2016四川）在平面內(nèi)，定點(diǎn)A，B，C，D滿足==，===2，動(dòng)點(diǎn)P，M滿足=1，=，則的最大值是A．B．C．D．【答案】B【解析】由知，為的外心．由==知為的內(nèi)心，所以為正三角形，易知其邊長為，取的中點(diǎn)，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以，則．故選B．17．（2015福建）已知，，，若點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最大值等于（）A．13B．15C．19D．21【答案】A【解析】以題意，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線為軸，所在的直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，所以點(diǎn)，，，所以==13（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），所以的最大值為13．故選A．18．（2015湖南）已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，且．若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最大值為（）A．6B．7C．8D．9【答案】B【解析】由題意得，AC為圓的直徑，故可設(shè)，，，∴，而，∴的最大值為，故選B．19．（2014安徽）在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量，，，點(diǎn)滿足．曲線，區(qū)域．若為兩段分離的曲線，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】設(shè)，則，，所以曲線C是單位元，區(qū)域?yàn)閳A環(huán)（如圖），∵，∴．20．（2012廣東）對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量α和β，定義．若平面向量滿足，與的夾角，且和都在集合中，則=（）A．B．1C．D．【答案】C【解析】首先觀察集合，從而分析和的范圍如下：因?yàn)椋?，而，且，可得，又∵中，∴，從而，∴，所以．且也在集合中，故有?1．（2011山東）設(shè)，，，是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點(diǎn)，若(∈)，(∈)，且，則稱，調(diào)和分割，，已知點(diǎn)，，(∈)調(diào)和分割點(diǎn)，，則下面說法正確的是A．可能是線段的中點(diǎn)B．可能是線段的中點(diǎn)C．，可能同時(shí)在線段上D．，不可能同時(shí)在線段的延長線上【答案】D【解析】根據(jù)已知得，即，從而得；，即，得，根據(jù)，得．線段的方程是，．若是線段的中點(diǎn)，則，代入，得．此等式不可能成立，故選項(xiàng)A的說法不成立；同理選項(xiàng)B的說法也不成立；若同時(shí)在線段上，則，，此時(shí)，，，若等號(hào)成立，則只能，根據(jù)定義，是兩個(gè)不同的點(diǎn)，故矛盾，故選項(xiàng)的說法也不正確，若同時(shí)在線段的延長線上，若，，則，與矛盾，若，則是負(fù)值，與矛盾，若，，則，，此時(shí)，與矛盾，故選項(xiàng)D的說法是正確的．22．（2020浙江17）設(shè)，為單位向量，滿足，，，設(shè)，的夾角為，則的最小值為▲．【答案】【思路導(dǎo)引】利用復(fù)數(shù)模的平方等于復(fù)數(shù)的平方化簡條件得，再根據(jù)向量夾角公式求函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求最值．【解析】，解得：，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，∴的最小值是，故答案為：．23．（2020北京13）已知正方形的邊長為，點(diǎn)滿足，則________；__________．【答案】，【解析】分別以為軸，軸建立直角坐標(biāo)系，則，，，．∵，∴，∴，∴，又∵，∴．24．（2020上海12）已知是平面內(nèi)兩兩互不相等的向量，滿足且（其中），則的最大值為．【答案】6【解析】根據(jù)條件不妨設(shè)，，，，當(dāng)，表示圓心為原點(diǎn)，半徑為1的圓；，表示圓心為原點(diǎn)，半徑為2的圓，如圖這兩個(gè)圓用紅色線表示；當(dāng)，表示圓心為，半徑為1的圓；，表示圓心為，半徑為2的圓，如圖這兩個(gè)圓用藍(lán)色線表示，由條件可知點(diǎn)既要在紅色曲線上，又要在藍(lán)色曲線上，由圖象可知，共有6個(gè)交點(diǎn)，即是最大值是6．故答案為：6．25．（2020天津15）如圖，在四邊形中，，，且，則實(shí)數(shù)的值為_________，若是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為_________．【答案】【思路導(dǎo)引】可得，利用平面向量數(shù)量積的定義求得的值，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)（其中），得出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求得的最小值．【解析】，，，，解得，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則（其中），，，，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值，故答案為：；．26．(2017浙江)已知向量，滿足，，則的最小值是，最大值是．【答案】4，【解析】設(shè)向量的夾角為，由余弦定理有：，，則，令，則，據(jù)此可得：，即的最小值是4，最大值是．27．（2015浙江）已知是空間單位向量，，若空間向量滿足，，且對(duì)于任意，，則____，_____，_____．【答案】12【解析】由題意可令，其中，由得，由，得，解得，，∴．28．(2014山東)在中，已知，當(dāng)時(shí)，的面積為．【答案】【解析】∵，∴由，得，故的面積為．29．（2014安徽）已知兩個(gè)不相等的非零向量，，兩組向量和均由2個(gè)和3個(gè)排列而成．記，表示所有可能取值中的最小值．則下列命題正確的是____（寫出所有正確命題的編號(hào)）．①有5個(gè)不同的值．②若則與無關(guān)．③若則與無關(guān)．④若，則．⑤若，，則與的夾角為．【答案】②④【解析】S有下列三種情況：，，∵，∴，若，則，與無關(guān)，②正確；若，則，與有關(guān)，③錯(cuò)誤；若，則，④正確；若，則∴，∴，⑤錯(cuò)誤．30．（2013山東）已知向量與的夾角，且||=3，||=2，若，且，則實(shí)數(shù)的值為_____．【答案】【解析】向量與的夾角為，且所以．由得，，即，所以，即，解得．31．（2013浙江）設(shè)，為單位向量，非零向量，，若，的夾角為，則的最大值等于________．【答案】2【解析】，所以的最大值為2．32．（2013天津）在平行四邊形ABCD中，AD=1，，E為CD的中點(diǎn)．若，則AB的長為．【答案】【解析】因?yàn)镋為CD的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)椋?，即，所以，解得?3．（2011浙江）若平面向量，滿足||=1，||≤1，且以向量，為鄰邊的平行四邊形的面積為，則與的夾角的取值范圍是．【答案】【解析】如圖，向量與在單位圓內(nèi)，因||=1，||≤1，且以向量，為鄰邊的平行四邊形的面積為，故以向量，為邊的三角形的面積為，故的終點(diǎn)在如圖的線段上（∥，且圓心到的距離為），因此夾角的取值范圍為．34．（2019江蘇12）如圖，在中，D是BC的中點(diǎn)，E在邊AB上，BE=2EA，AD與CE交于點(diǎn)．若，則的值是．【答案】【解析】設(shè)，∴=====，所以，解得，所以，，，因?yàn)?，所以，所以，所以?5．（2019浙江17）已知正方形的邊長為1，當(dāng)每個(gè)取遍時(shí)，的最小值是________，最大值是_______．【答案】【解析】正方形ABCD的邊長為1，可得QUOTEAB+AD=AC，QUOTEBD=AD-AB，QUOTEAB?AD=0，，由于QUOTE?i(i=1,?i(i=1,2，3，4，5，6)取遍QUOTE±1，可得QUOTEλ1-λ3+λ5-λ6=0，QUOTEλ2-λ4+λ5+λ6=0，可取QUOTEλ5=λ6=1，QUOTEλ1=λ3=1可得所求最小值為0；

由QUOTEλ1-λ3+λ5-λ6，QUOTEλ2-λ4+λ5+λ6，可取QUOTEλ2=1QUOTEλ5=λ6=1QUOTEλ1=1QUOTEλ3=-1可得所求最大值為QUOTE25．36．（2019天津理14）在四邊形中，，點(diǎn)在線段的延長線上，且，則．【答案】-1【解析】因?yàn)?，，，所以在等腰三角形中，?/p>

又，所以，所以，因?yàn)?，所以，又?/p>

所以．37．(2018上海)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，是軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為______．【答案】【解析】設(shè)，，所以=，當(dāng)時(shí)，取得最小值．38．（2017江蘇）在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)在圓：上，若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是．【答案】【解析】設(shè)，由，