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第一章集合一、元素與集合1．集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無序性．2．集合中元素與集合的關(guān)系：元素與集合之間的關(guān)系有屬于和不屬于兩種，表示符號(hào)為∈和?.3．常見集合的符號(hào)表示：集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集表示NN*或N＋ZQR4．集合的表示法：列舉法、描述法、韋恩圖．二、集合間的基本關(guān)系描述關(guān)系文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言集合間的基本關(guān)系相等集合A與集合B中的所有元素都相同A＝B子集A中任意一元素均為B中的元素A?B或B?A真子集A中任意一元素均為B中的元素，且B中至少有一個(gè)元素A中沒有AB或BA空集空集是任何集合的子集??B空集是任何非空集合的真子集?B(B≠?)三、集合的基本運(yùn)算集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集符號(hào)表示A∪BA∩B若全集為U，則集合A的補(bǔ)集為?UA圖形表示意義{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x?A}第二章函數(shù)第一節(jié)函數(shù)及其表示1．函數(shù)的概念(1)函數(shù)的定義：設(shè)A，B是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)；那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)．記作y＝f(x)，x∈A.(2)函數(shù)的定義域、值域：在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．顯然，值域是集合B的子集．(3)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系．(4)相等函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù)．2．函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有：解析法、圖象法、列表法．3．映射的概念設(shè)A，B是兩個(gè)非空的集合，如果按照某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么稱對(duì)應(yīng)f：A→B為集合A到集合B的一個(gè)映射．4．分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對(duì)于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)．分段函數(shù)雖然由幾部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù)．求函數(shù)的解析式函數(shù)解析式的求法(1)配湊法(2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))(3)換元法(4)方程思想：已知關(guān)于f(x)與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)[例](1)已知f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)，求f(x)的解析式；(2)已知f(x)是二次函數(shù)，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)．（3）若f(x)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，求f(x第二節(jié)函數(shù)的定義域和值域1．常見基本初等函數(shù)的定義域(1)分式函數(shù)中分母不等于零．(2)偶次根式函數(shù)被開方式大于或等于0.(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域均為R.(4)y＝ax，y＝sinx，y＝cosx，定義域均為R.(5)y＝tanx的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xx≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).(6)函數(shù)f(x)＝x0的定義域?yàn)閧x|x≠0}．(7)實(shí)際問題中的函數(shù)定義域，除了使函數(shù)的解析式有意義外，還要考慮實(shí)際問題對(duì)函數(shù)自變量的制約．(8)對(duì)抽象函數(shù)：①若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則函數(shù)f(g(x))的定義域由不等式a≤g(x)≤b求出；②若已知函數(shù)f(g(x))的定義域?yàn)閇a，b]，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a，b]時(shí)的值域．2．基本初等函數(shù)的值域(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.(3)y＝eq\f(k,x)(k≠0)的值域是{y|y≠0}．(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：當(dāng)a>0時(shí)，值域?yàn)?；?dāng)a<0時(shí)，值域?yàn)?(4)y＝ax(a>0且a≠1)的值域是{y|y>0}．(5)y＝logax(a>0且a≠1)的值域是R.(6)y＝sinx，y＝cosx的值域是[－1,1]．(7)y＝tanx的值域是R.求函數(shù)值域常用的方法(1)配方法，多適用于二次型或可轉(zhuǎn)化為二次型的函數(shù)．(2)換元法．(3)基本不等式法(4)單調(diào)性法(例(4))．(5)分離常數(shù)法第三節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值一、函數(shù)的單調(diào)性1．單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮.如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象逐漸上升自左向右看圖象逐漸下降2．單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．二、函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件①對(duì)于任意x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M①對(duì)于任意x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M結(jié)論M為最大值M為最小值[例1]證明函數(shù)f(x)＝2x－eq\f(1,x)在(－∞，0)上是增函數(shù)．[自主解答]設(shè)x1，x2是區(qū)間(－∞，0)上的任意兩個(gè)自變量的值，且x1<x2.則f(x1)＝2x1－eq\f(1,x1)，f(x2)＝2x2－eq\f(1,x2)，f(x1)－f(x2)＝因此f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，故f(x)在(－∞，0)上是函數(shù)．由題悟法定義法證單調(diào)性基本步驟為取值、作差、變形、判斷第四節(jié)函數(shù)的奇偶性及周期性一、函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱奇函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱1.奇、偶函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件；(2)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；反之亦然；(3)若奇函數(shù)f(x)在x＝0處有定義，則f(0)＝0；(4)利用奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可知，奇函數(shù)在原點(diǎn)兩側(cè)的對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；利用偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱可知，偶函數(shù)在原點(diǎn)兩側(cè)的對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反二、周期性1．周期函數(shù)對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期．2．最小正周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．二次函數(shù)1．二次函數(shù)的定義形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函數(shù)叫做二次函數(shù)．2．二次函數(shù)解析式的三種形式1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)頂點(diǎn)式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；(3)零點(diǎn)式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．3．二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)a>0a<0圖象圖象特點(diǎn)①對(duì)稱軸：x＝－eq\f(b,2a)；②頂點(diǎn)：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))性質(zhì)定義域x∈R值域y∈eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，))＋∞y∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))奇偶性b＝0時(shí)為偶函數(shù)，b≠0時(shí)既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)單調(diào)性x∈－∞，eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)))時(shí)遞減，x∈－eq\f(b,2a)，＋∞時(shí)遞增x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))時(shí)遞增，x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))時(shí)遞減第七節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)一、根式1．根式的概念根式的概念符號(hào)表示備注如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根n＞1且n∈N*當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)eq\r(n,a)零的n次方根是零當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)±eq\r(n,a)(a>0)負(fù)數(shù)沒有偶次方根2．兩個(gè)重要公式(1)eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，n為奇數(shù)，,|a|＝\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa≥0，,－aa＜0，))n為偶數(shù)；))(2)(eq\r(n,a))n＝a(注意a必須使eq\r(n,a)有意義)．二、有理數(shù)指數(shù)冪1．冪的有關(guān)概念2．有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)(1)正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；(2)負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,a\f(m,n))＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；(3)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．三、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)圖象0<a<1a>1圖象特征在x軸上方，過定點(diǎn)(0,1)性質(zhì)定義域R值域(0，＋∞)單調(diào)性減函數(shù)增函數(shù)函數(shù)值變化規(guī)律當(dāng)x>0時(shí)，y>1當(dāng)x<0時(shí)，y>1；當(dāng)x>0時(shí)，0<y<1當(dāng)x<0時(shí)，0<y<1；當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1第八節(jié)對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)1．對(duì)數(shù)的概念(1)對(duì)數(shù)的定義：如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．當(dāng)a＝10時(shí)叫常用對(duì)數(shù)．記作x＝lg_N，當(dāng)a＝e時(shí)叫自然對(duì)數(shù)，記作x＝ln_N.(2)對(duì)數(shù)的常用關(guān)系式(a，b，c，d均大于0且不等于1)：①loga1＝0.②logaa＝1.③對(duì)數(shù)恒等式：alogaN＝N.④換底公式：logab＝eq\f(logcb,logca).推廣logab＝eq\f(1,logba)，logab·logbc·logcd＝logad.(3)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①loga(M·N)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝eq\f(n,m)logaM.2．對(duì)數(shù)函數(shù)的概念(1)把y＝logax(a>0，a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，＋∞)．(2)函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)是指數(shù)函數(shù)y＝ax的反函數(shù)，函數(shù)y＝ax與y＝logax(a>0，a≠1)的圖象關(guān)于y＝x對(duì)稱．3．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)y＝logaxa>10<a<1圖象性質(zhì)定義域：(0，＋∞)值域：R過點(diǎn)(1,0)，即x＝1時(shí)，y＝0當(dāng)x>1時(shí)，y>0當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0當(dāng)x>1時(shí)，y<0當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0在(0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)一、常用冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)特征性質(zhì)y＝xy＝x2y＝x3y＝xeq\f(1,2)y＝x－1圖象定義域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增(－∞，0]減(0，＋∞)增增增(－∞，0)和(0，＋∞)減公共點(diǎn)(1,1)第九節(jié)函數(shù)與方程1．函數(shù)的零點(diǎn)(1)定義：對(duì)于函數(shù)y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)(x∈D)的零點(diǎn)．(2)函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程的根、函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)間的關(guān)系：方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)．(3)函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理)：如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象與x軸的交點(diǎn)(x1,0)，(x2,0)(x1,0)無交點(diǎn)零點(diǎn)個(gè)數(shù)兩個(gè)一個(gè)零個(gè)3.二分法對(duì)于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)·f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．第十節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用1．幾種常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)對(duì)數(shù)函數(shù)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)冪函數(shù)模型f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0，n≠0)2.三種增長(zhǎng)型函數(shù)模型的圖象與性質(zhì)函數(shù)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增長(zhǎng)速度越來越快越來越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而不同立體幾何第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖和直觀圖一、多面體的結(jié)構(gòu)特征多面體結(jié)構(gòu)特征棱柱有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)面的交線都平行且相等棱錐有一個(gè)面是多邊形，而其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形棱臺(tái)棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分二、旋轉(zhuǎn)體的形成幾何體旋轉(zhuǎn)圖形旋轉(zhuǎn)軸圓柱矩形任一邊所在的直線圓錐直角三角形一條直角邊所在的直線圓臺(tái)直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線球半圓直徑所在的直線三、簡(jiǎn)單組合體簡(jiǎn)單組合體的構(gòu)成有兩種基本形式：一種是由簡(jiǎn)單幾何體拼接而成；一種是由簡(jiǎn)單幾何體截去或挖去一部分而成，有多面體與多面體、多面體與旋轉(zhuǎn)體、旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合體．四、平行投影與直觀圖空間幾何體的直觀圖常用斜二測(cè)畫法來畫，其規(guī)則是：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话耄?、三視圖幾何體的三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的線．第二節(jié)空間幾何體的表面積和體積柱、錐、臺(tái)和球的側(cè)面積和體積面積體積圓柱S側(cè)＝2πrlV＝Sh＝πr2h圓錐S側(cè)＝πrlV＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)πr2eq\r(l2－r2)圓臺(tái)S側(cè)＝π(r1＋r2)lV＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上·S下))h＝eq\f(1,3)π(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＋r1r2)h直棱柱S側(cè)＝ChV＝Sh正棱錐S側(cè)＝eq\f(1,2)Ch′V＝eq\f(1,3)Sh正棱臺(tái)S側(cè)＝eq\f(1,2)(C＋C′)h′V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上·S下))h球S球面＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3第三節(jié)空間點(diǎn)、直線、平面間的位置關(guān)系一、平面的基本性質(zhì)名稱圖示文字表示符號(hào)表示公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α公理2過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面公理3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l二、空間直線的位置關(guān)系1．位置關(guān)系的分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；,平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；)),異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn).))2．平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．3．等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．4．異面直線所成的角(或夾角)(1)定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角．(2)范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).三、直線與平面的位置關(guān)系四、平面與平面的位置關(guān)系直線、平面平行的判定與性質(zhì)文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言直線與平面平行判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則直線與此平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α,b?α,b∥a))?a∥α直線與平面平行性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,a?β,α∩β＝b))?a∥b平面與平面平行判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α,b?α,a∩b＝P,a∥β,b∥β))?α∥β平面與平面平行性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b))?a∥b一、直線與平面垂直1．直線和平面垂直的定義直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直．直線、平面垂直的判定與性質(zhì)文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言直線與平面垂直判定定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b?α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))?l⊥α直線與平面垂直判定的推論如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直這個(gè)平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,a⊥α))?b⊥α直線與平面垂直的性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b平面與平面垂直的判定定理一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l?β,l⊥α))?α⊥β平面與平面垂直的性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l?β,α∩β＝a,l⊥a))?l⊥α平面解析幾何一、直線的傾斜角與斜率1．直線的傾斜角(1)定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫做這條直線的傾斜角．當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0°.(2)傾斜角的范圍為[0，π)_．2．直線的斜率(1)定義：一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝tan_α，傾斜角是90°的直線沒有斜率．(2)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式：經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(y1－y2,x1－x2).二、直線方程的形式及適用條件名稱幾何條件方程局限性點(diǎn)斜式過點(diǎn)(x0，y0)，斜率為ky－y0＝k(x－x0)不含垂直于x軸的直線斜截式斜率為k，縱截距為by＝kx＋b不含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式過兩點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，(x1≠x2，y1≠y2)eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線截距式在x軸、y軸上的截距分別為a，b(a，b≠0)eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不包括垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不全為0)三、兩條直線的位置關(guān)系斜截式一般式方程y＝k1x＋b1y＝k2x＋b2A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq\o\al(2,1)＋Beq\o\al(2,1)≠0)A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq\o\al(2,2)＋Beq\o\al(2,2)≠0)相交k1≠k2A1B2－A2B1≠0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當(dāng)A2B2≠0時(shí)，記為\f(A1,A2)≠\f(B1,B2)))垂直k1＝－eq\f(1,k2)或k1k2＝－1A1A2＋B1B2＝0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當(dāng)B1B2≠0時(shí)，記為\f(A1,B1)·\f(A2,B2)＝－1))平行k1＝k2且b1≠b2eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，B2C1－B1C2≠0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，A1C2－A2C1≠0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當(dāng)A2B2C2≠0時(shí)，記為\f(A1,A2)＝\f(B1,B2)≠\f(C1,C2)))重合k1＝k2且b1＝b2A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當(dāng)A2B2C2≠0時(shí)，記為\f(A1,A2)＝\f(B1,B2)＝\f(C1,C2)))四、兩條直線的交點(diǎn)設(shè)兩條直線的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0))的解，若方程組有唯一解，則兩條直線相交，此解就是交點(diǎn)坐標(biāo)；若方程組無解，則兩條直線無公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線平行；反之，亦成立．五、幾種距離1．兩點(diǎn)間的距離兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)間的距離公式：d(A，B)＝|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22).2．點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)P(x1，y1)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax1＋By1＋C|,\r(A2＋B2)).3．兩條平行線間的距離兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).六圓_的_方_程1．圓的定義及方程定義平面內(nèi)與定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡)標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圓心：(a，b)，半徑：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F圓心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半徑：eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)2．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)M(x0，y0)與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系：(1)若M(x0，y0)在圓外，則(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.(2)若M(x0，y0)在圓上，則(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圓內(nèi)，則(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.一、直線與圓的位置關(guān)系(圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r)相離相切相交圖形量化方程觀點(diǎn)Δ＜0Δ＝0Δ＞0幾何觀點(diǎn)d＞rd＝rd＜r二、圓與圓的位置關(guān)系(⊙O1、⊙O2半徑r1、r2，d＝|O1O2|)相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖形量化d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|三角函數(shù)第一節(jié)任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)1．任意角(1)角的分類：①按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角．②按終邊位置不同分為象限角和軸線角．(2)終邊相同的角：終邊與角α相同的角可寫成α＋k·360°(k∈Z)．(3)弧度制：①1弧度的角：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角．②規(guī)定：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零，|α|＝eq\f(l,r)，l是以角α作為圓心角時(shí)所對(duì)圓弧的長(zhǎng)，r為半徑．③用“弧度”做單位來度量角的制度叫做弧度制．比值eq\f(l,r)與所取的r的大小無關(guān)，僅與角的大小有關(guān)．④弧度與角度的換算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．⑤弧長(zhǎng)公式：l＝|α|r，扇形面積公式：S扇形＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2.2．任意角的三角函數(shù)(1)任意角的三角函數(shù)定義：設(shè)α是一個(gè)任意角，角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么角α的正弦、余弦、正切分別是：sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)，它們都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)．(2)三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào)口訣是：一全正、二正弦、三正切、四余弦．第二節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．(2)商數(shù)關(guān)系：tanα＝eq\f(sinα,cosα)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).2．六組誘導(dǎo)公式角函數(shù)2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sin_α－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α余弦cos_α－cos_αcos_α－cos_αsin_α－sin_α正切tan_αtan_α－tan_α－tan_α對(duì)于角“eq\f(kπ,2)±α”(k∈Z)的三角函數(shù)記憶口訣“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，“奇變偶不變”是指“當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，正弦變余弦，余弦變正弦；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)名不變”．“符號(hào)看象限”是指“在α的三角函數(shù)值前面加上當(dāng)α為銳角時(shí)，原函數(shù)值的符號(hào)”．第三節(jié)三角函數(shù)圖象與性質(zhì)1．周期函數(shù)(1)周期函數(shù)的定義：對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)．T叫做這個(gè)函數(shù)的周期．(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．2．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RReq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xx∈R且x≠))eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z值域[－1,1][－1,1]R單調(diào)性eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，\f(π,2)＋))2kπ](k∈Z)上遞增；eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，\f(3π,2)＋))2kπ](k∈Z)上遞減[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上遞增；[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上遞減eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，\f(π,2)＋))kπ)(k∈Z)上遞增最值x＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)時(shí)，ymax＝1；x＝－eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)時(shí)，ymin＝－1x＝2kπ(k∈Z)時(shí)，ymax＝1；x＝π＋2kπ(k∈Z)時(shí)，ymin＝－1奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對(duì)稱中心(kπ，0)(k∈Z)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋kπ，0))(k∈Z)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)對(duì)稱軸方程x＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)x＝kπ(k∈Z)周期2π2ππ第四節(jié)函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)的圖象及三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用一、y＝Asin(ωx＋φ)的有關(guān)概念y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一個(gè)振動(dòng)量時(shí)振幅周期頻率相位初相AT＝eq\f(2π,ω)f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)ωx＋φφ二、用五點(diǎn)法畫y＝Asin(ωx＋φ)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖用五點(diǎn)法畫y＝Asin(ωx＋φ)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí)，要找五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，如下表所示：x－eq\f(φ,ω)－eq\f(φ,ω)＋eq\f(π,2ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(3π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0三、函數(shù)y＝sinx的圖象變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)的圖象的步驟第五節(jié)兩角和與差的正弦、余弦和正切公式1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β；(2)cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β；(3)sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；(4)sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；(5)tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ).(6)tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)；2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sin_αcos_α；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).3．常用的公式變形(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)；(2)cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)；(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±\f(π,4))).第六節(jié)簡(jiǎn)單的三角恒等變換半角公式(不要求記憶)1．sin2eq\f(α,2)＝eq\f(1－cosα,2)；cos2eq\f(α,2)＝eq\f(1＋cosα,2)；tan2eq\f(α,2)＝eq\f(1－cosα,1＋cosα).2．sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))；coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))；taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα)).3．用sinα，cosα表示taneq\f(α,2).taneq\f(α,2)＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).第七節(jié)正弦定理和余弦定理1．正弦定理分類內(nèi)容定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R是△ABC外接圓的半徑)變形公式①a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C，②sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c，③sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)解決的問題①已知兩角和任一邊，求其他兩邊和另一角，②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角2．余弦定理分類內(nèi)容定理在△ABC中，有a2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝a2＋c2－2accos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C變形公式cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)解決的問題①已知三邊，求各角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角3．三角形中常用的面積公式(1)S＝eq\f(1,2)ah(h表示邊a上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)absinC；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑)．平面向量第一節(jié)平面向量的概念及其線性運(yùn)算一、向量的有關(guān)概念1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．2．零向量：長(zhǎng)度等于0的向量，其方向是任意的．3．單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線．5．相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量．6．相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量．二、向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：a＋b＝b＋a；(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫做a與b的差三角形法則三、向量的數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義1．定義：實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫向量的數(shù)乘，記作λa，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：①|(zhì)λa|＝|λ||a|；②當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0.2．運(yùn)算律：設(shè)λ，μ是兩個(gè)實(shí)數(shù)，則：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.四、共線向量定理：向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.第二節(jié)平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示一、平面向量基本定理及坐標(biāo)表示1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．2．平面向量的正交分解：把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．3．平面向量的坐標(biāo)表示(1)在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸，y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底．對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使a＝xi＋yj，把有序數(shù)對(duì)(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a＝(x，y)，其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)．(2)設(shè)＝xi＋yj，則向量的坐標(biāo)(x，y)就是終點(diǎn)A的坐標(biāo)，即若＝(x，y)，則A點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，反之亦成立．(O是坐標(biāo)原點(diǎn))二、平面向量坐標(biāo)運(yùn)算1．向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．2．向量坐標(biāo)的求法(1)若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)，||＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).三、平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.若a∥b?x1y2－x2y1＝0.第三節(jié)平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例一、兩個(gè)向量的夾角1．定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，作＝a，＝b，則∠AOB＝θ叫做向量a與b的夾角．2．范圍向量夾角θ的范圍是0°≤θ≤180°，a與b同向時(shí)，夾角θ＝0°；a與b反向時(shí)，夾角θ＝180°.3．向量垂直如果向量a與b的夾角是90°，則a與b垂直，記作a⊥b.二、平面向量數(shù)量積1．已知兩個(gè)非零向量a與b，則數(shù)量|a||b|·cosθ叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a與b的夾角．規(guī)定0·a＝0.當(dāng)a⊥b時(shí)，θ＝90°，這時(shí)a·b＝0.2．a(chǎn)·b的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．三、向量數(shù)量積的性質(zhì)1．如果e是單位向量，則a·e＝e·a.2．a(chǎn)⊥b?a·b＝0.3．a(chǎn)·a＝|a|2，|a|＝eq\r(a·a).4．cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(θ為a與b的夾角)5．|a·b|≤|a||b|.四、數(shù)量積的運(yùn)算律1．交換律：a·b＝b·a.2．分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.3．對(duì)λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．五、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，則：1．a(chǎn)·b＝a1b1＋a2b2.2．a(chǎn)⊥b?a1b1＋a2b2＝0.3．|a|＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)).4．cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2))).(θ為a與b的夾角)第一章集合一、元素與集合1．集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無序性．2．集合中元素與集合的關(guān)系：元素與集合之間的關(guān)系有屬于和不屬于兩種，表示符號(hào)為∈和?.3．常見集合的符號(hào)表示：集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集表示NN*或N＋ZQR4．集合的表示法：列舉法、描述法、韋恩圖．二、集合間的基本關(guān)系描述關(guān)系文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言集合間的基本關(guān)系相等集合A與集合B中的所有元素都相同A＝B子集A中任意一元素均為B中的元素A?B或B?A真子集A中任意一元素均為B中的元素，且B中至少有一個(gè)元素A中沒有AB或BA空集空集是任何集合的子集??B空集是任何非空集合的真子集?B(B≠?)三、集合的基本運(yùn)算集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集符號(hào)表示A∪BA∩B若全集為U，則集合A的補(bǔ)集為?UA圖形表示意義{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x?A}第二章函數(shù)第一節(jié)函數(shù)及其表示1．函數(shù)的概念(1)函數(shù)的定義：設(shè)A，B是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)；那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)．記作y＝f(x)，x∈A.(2)函數(shù)的定義域、值域：在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．顯然，值域是集合B的子集．(3)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系．(4)相等函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù)．2．函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有：解析法、圖象法、列表法．3．映射的概念設(shè)A，B是兩個(gè)非空的集合，如果按照某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么稱對(duì)應(yīng)f：A→B為集合A到集合B的一個(gè)映射．4．分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對(duì)于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)．分段函數(shù)雖然由幾部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù)．求函數(shù)的解析式函數(shù)解析式的求法(1)配湊法(2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))(3)換元法(4)方程思想：已知關(guān)于f(x)與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)[例](1)已知f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)，求f(x)的解析式；(2)已知f(x)是二次函數(shù)，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)．（3）若f(x)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，求f(x第二節(jié)函數(shù)的定義域和值域1．常見基本初等函數(shù)的定義域(1)分式函數(shù)中分母不等于零．(2)偶次根式函數(shù)被開方式大于或等于0.(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域均為R.(4)y＝ax，y＝sinx，y＝cosx，定義域均為R.(5)y＝tanx的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xx≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).(6)函數(shù)f(x)＝x0的定義域?yàn)閧x|x≠0}．(7)實(shí)際問題中的函數(shù)定義域，除了使函數(shù)的解析式有意義外，還要考慮實(shí)際問題對(duì)函數(shù)自變量的制約．(8)對(duì)抽象函數(shù)：①若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則函數(shù)f(g(x))的定義域由不等式a≤g(x)≤b求出；②若已知函數(shù)f(g(x))的定義域?yàn)閇a，b]，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a，b]時(shí)的值域．2．基本初等函數(shù)的值域(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.(3)y＝eq\f(k,x)(k≠0)的值域是{y|y≠0}．(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：當(dāng)a>0時(shí)，值域?yàn)椋划?dāng)a<0時(shí)，值域?yàn)?(4)y＝ax(a>0且a≠1)的值域是{y|y>0}．(5)y＝logax(a>0且a≠1)的值域是R.(6)y＝sinx，y＝cosx的值域是[－1,1]．(7)y＝tanx的值域是R.求函數(shù)值域常用的方法(1)配方法，多適用于二次型或可轉(zhuǎn)化為二次型的函數(shù)．(2)換元法．(3)基本不等式法(4)單調(diào)性法(例(4))．(5)分離常數(shù)法第三節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值一、函數(shù)的單調(diào)性1．單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮.如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象逐漸上升自左向右看圖象逐漸下降2．單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．二、函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件①對(duì)于任意x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M①對(duì)于任意x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M結(jié)論M為最大值M為最小值[例1]證明函數(shù)f(x)＝2x－eq\f(1,x)在(－∞，0)上是增函數(shù)．[自主解答]設(shè)x1，x2是區(qū)間(－∞，0)上的任意兩個(gè)自變量的值，且x1<x2.則f(x1)＝2x1－eq\f(1,x1)，f(x2)＝2x2－eq\f(1,x2)，f(x1)－f(x2)＝因此f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，故f(x)在(－∞，0)上是函數(shù)．由題悟法定義法證單調(diào)性基本步驟為取值、作差、變形、判斷第四節(jié)函數(shù)的奇偶性及周期性一、函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱奇函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱1.奇、偶函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件；(2)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；反之亦然；(3)若奇函數(shù)f(x)在x＝0處有定義，則f(0)＝0；(4)利用奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可知，奇函數(shù)在原點(diǎn)兩側(cè)的對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；利用偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱可知，偶函數(shù)在原點(diǎn)兩側(cè)的對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反二、周期性1．周期函數(shù)對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期．2．最小正周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．二次函數(shù)1．二次函數(shù)的定義形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函數(shù)叫做二次函數(shù)．2．二次函數(shù)解析式的三種形式1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)頂點(diǎn)式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；(3)零點(diǎn)式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．3．二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)a>0a<0圖象圖象特點(diǎn)①對(duì)稱軸：x＝－eq\f(b,2a)；②頂點(diǎn)：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))性質(zhì)定義域x∈R值域y∈eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，))＋∞y∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))奇偶性b＝0時(shí)為偶函數(shù)，b≠0時(shí)既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)單調(diào)性x∈－∞，eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)))時(shí)遞減，x∈－eq\f(b,2a)，＋∞時(shí)遞增x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))時(shí)遞增，x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))時(shí)遞減指數(shù)與指數(shù)函數(shù)一、根式1．根式的概念根式的概念符號(hào)表示備注如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根n＞1且n∈N*當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)eq\r(n,a)零的n次方根是零當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)±eq\r(n,a)(a>0)負(fù)數(shù)沒有偶次方根2．兩個(gè)重要公式(1)eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，n為奇數(shù)，,|a|＝\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa≥0，,－aa＜0，))n為偶數(shù)；))(2)(eq\r(n,a))n＝a(注意a必須使eq\r(n,a)有意義)．二、有理數(shù)指數(shù)冪1．冪的有關(guān)概念2．有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)(1)正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；(2)負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,a\f(m,n))＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；(3)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．三、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)圖象0<a<1a>1圖象特征在x軸上方，過定點(diǎn)(0,1)性質(zhì)定義域R值域(0，＋∞)單調(diào)性減函數(shù)增函數(shù)函數(shù)值變化規(guī)律當(dāng)x>0時(shí)，y>1當(dāng)x<0時(shí)，y>1；當(dāng)x>0時(shí)，0<y<1當(dāng)x<0時(shí)，0<y<1；當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)1．對(duì)數(shù)的概念(1)對(duì)數(shù)的定義：如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．當(dāng)a＝10時(shí)叫常用對(duì)數(shù)．記作x＝lg_N，當(dāng)a＝e時(shí)叫自然對(duì)數(shù)，記作x＝ln_N.(2)對(duì)數(shù)的常用關(guān)系式(a，b，c，d均大于0且不等于1)：①loga1＝0.②logaa＝1.③對(duì)數(shù)恒等式：alogaN＝N.④換底公式：logab＝eq\f(logcb,logca).推廣logab＝eq\f(1,logba)，logab·logbc·logcd＝logad.(3)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①loga(M·N)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝eq\f(n,m)logaM.2．對(duì)數(shù)函數(shù)的概念(1)把y＝logax(a>0，a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，＋∞)．(2)函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)是指數(shù)函數(shù)y＝ax的反函數(shù)，函數(shù)y＝ax與y＝logax(a>0，a≠1)的圖象關(guān)于y＝x對(duì)稱．3．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)y＝logaxa>10<a<1圖象性質(zhì)定義域：(0，＋∞)值域：R過點(diǎn)(1,0)，即x＝1時(shí)，y＝0當(dāng)x>1時(shí)，y>0當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0當(dāng)x>1時(shí)，y<0當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0在(0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)常用冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)特征性質(zhì)y＝xy＝x2y＝x3y＝xeq\f(1,2)y＝x－1圖象定義域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增(－∞，0]減(0，＋∞)增增增(－∞，0)和(0，＋∞)減公共點(diǎn)(1,1)函數(shù)與方程1．函數(shù)的零點(diǎn)(1)定義：對(duì)于函數(shù)y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)(x∈D)的零點(diǎn)．(2)函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程的根、函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)間的關(guān)系：方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)．(3)函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理)：如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象與x軸的交點(diǎn)(x1,0)，(x2,0)(x1,0)無交點(diǎn)零點(diǎn)個(gè)數(shù)兩個(gè)一個(gè)零個(gè)3.二分法對(duì)于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)·f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．等差數(shù)列一、等差數(shù)列的有關(guān)概念1．定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列．符號(hào)表示為an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù))．2．等差中項(xiàng)：數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是A＝eq\f(a＋b,2)，其中A叫做a，b的等差中項(xiàng)．二、等差數(shù)列的有關(guān)公式1．通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n－1)d.2．前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(a1＋ann,2).三、等差數(shù)列的性質(zhì)1．若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，{an}為等差數(shù)列，則am＋an＝ap＋aq.2．在等差數(shù)列{an}中，ak，a2k，a3k，a4k，…仍為等差數(shù)列，公差為kd.3．若{an}為等差數(shù)列，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍為等差數(shù)列，公差為n2d.4．等差數(shù)列的增減性：d>0時(shí)為遞增數(shù)列，且當(dāng)a1<0時(shí)前n項(xiàng)和Sn有最小值．d<0時(shí)為遞減數(shù)列，且當(dāng)a1>0時(shí)前n項(xiàng)和Sn有最大值．5．等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公差為d.若其前n項(xiàng)之和可以寫成Sn＝An2＋Bn，則A＝eq\f(d,2)，B＝a1－eq\f(d,2)，當(dāng)d≠0時(shí)它表示二次函數(shù)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝An2＋Bn是{an}成等差數(shù)列的充要條件．等比數(shù)列1．等比數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)(不為零)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達(dá)式為eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*，q為非零常數(shù))．(2)等比中項(xiàng)：如果a、G、b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)．即：G是a與b的等比中項(xiàng)?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝ab.2．等比數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項(xiàng)公式：an＝a1qn－1.(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))3．等比數(shù)列{an}的常用性質(zhì)(1)在等比數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，則am·an＝ap·aq＝aeq\o\al(2,r).特別地，a1an＝a2an－1＝a3an－2＝….(2)在公比為q的等比數(shù)列{an}中，數(shù)列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比數(shù)列，公比為qk；數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2man＝amqn－m.第六章不等式、推理與證明第一節(jié)不等關(guān)系與不等式1．實(shí)數(shù)大小順序與運(yùn)算性質(zhì)之間的關(guān)系a－b＞0?a＞b；a－b＝0?a＝b；a－b＜0?a＜b.2．不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容注意對(duì)稱性a>b?b<a?傳遞性a>b，b>c?a>c?可加性a>b?a＋c>b＋c?可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))?ac>bcc的符號(hào)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))?ac<bc同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))?a＋c>b＋d?同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))?ac>bd?可乘方性a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)同正可開方性a>b>0?eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)第二節(jié)一元二次不等式及其解法一元二次不等式的解集二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根與一元二次不等式ax2＋bx＋c>0與ax2＋bx＋c<0的解集的關(guān)系，可歸納為：判別式Δ＝b2－4Δ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根有兩相異實(shí)根x＝x1或x＝x2有兩相同實(shí)根x＝x1無實(shí)根一元二次不等式的解集ax2＋bx＋c>0(a>0){x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}Rax2＋bx＋c<0(a>0){x|x1<x<x2}??若a<0時(shí)，可以先將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)，對(duì)照上表求解．[小題能否全取]1．(教材習(xí)題改編)不等式x(1－2x)＞0的解集是()第四節(jié)基本不等式一、基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)1．基本不等式成立的條件：a>0，b>0.2．等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)．二、幾個(gè)重要的不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同號(hào))．a(chǎn)b≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≤eq\f(a2＋b2,2)(a，b∈R)．三、算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為eq\f(a＋b,2)，幾何平均數(shù)為eq\r(ab)，基本不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．四、利用基本不等式求最值問題已知x>0，y>0，則：(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值是2eq\r(p).(簡(jiǎn)記：積定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值是eq\f(p2,4).(簡(jiǎn)記：和定積最大)第五節(jié)橢__圓[知識(shí)能否憶起]1．橢圓的定義平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2間的距離叫做橢圓的2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)條件2a＞2c，a2＝b2＋c2，a＞0，b＞0，圖形標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)范圍|x|≤a；|y|≤b|x|≤b；|y|≤a對(duì)稱性曲線關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱曲線關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱頂點(diǎn)長(zhǎng)軸頂點(diǎn)(±a,0)短軸頂點(diǎn)(0，±b)長(zhǎng)軸頂點(diǎn)(0，±a)短軸頂點(diǎn)(±b,0)焦點(diǎn)(±c,0)(0，±c)焦距|F1F2|＝2c(c2＝a2－b離心率e＝eq\f(c,a)∈(0,1)，其中c＝eq\r(a2－b2)通徑過焦點(diǎn)垂直于長(zhǎng)軸的弦叫通徑，其長(zhǎng)為eq\f(2b2,a)[小題能否全取]1．(教材習(xí)題改編)設(shè)P是橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1的點(diǎn)，若F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則|PF1|＋|PF2|等于()A．4 B．8C．6 D．18解析：選C依定義知|PF1|＋|PF2|＝2a2．(教材習(xí)題改編)方程eq\f(x2,5－m)＋eq\f(y2,m＋3)＝1表示橢圓，則m的范圍是()A．(－3,5) B．(－5,3)C．(－3,1)∪(1,5) D．(－5,1)∪(1,3)解析：選C由方程表示橢圓知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－m＞0，,m＋3＞0，,5－m≠m＋3，))解得－3＜m＜5且m≠1.3．(2012·淮南五校聯(lián)考)橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4＋k)＝1的離心率為eq\f(4,5)，則k的值為()A．－21 B．21C．－eq\f(19,25)或21 D.eq\f(19,25)或21解析：選C若a2＝9，b2＝4＋k，則c＝eq\r(5－k)，由eq\f(c,a)＝eq\f(4,5)，即eq\f(\r(5－k),3)＝eq\f(4,5)，得k＝－eq\f(19,25)；若a2＝4＋k，b2＝9，則c＝eq\r(k－5)，由eq\f(c,a)＝eq\f(4,5)，即eq\f(\r(k－5),\r(4＋k))＝eq\f(4,5)，解得k＝21.4．(教材習(xí)題改編)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，若其離心率為eq\f(1,2)，焦距為8.則該橢圓的方程是________．解析：∵2c＝8，∴c∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(4,a)＝eq\f(1,2)，故a＝8.又∵b2＝a2－c2＝48，∴橢圓的方程為eq\f(y2,64)＋eq\f(x2,48)＝1.答案：eq\f(y2,64)＋eq\f(x2,48)＝15．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且滿足|PF1|＝2|PF2|，∠PF1F2解析：在三角形PF1F2sin∠PF2F1＝1，即∠PF2F1＝eq\f(π,2)，設(shè)|PF2|＝1，則|PF1|＝2，|F2F1|＝eq\r(3)，所以離心率e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(\r(3),3).答案：eq\f(\r(3),3)1.橢圓的定義中應(yīng)注意常數(shù)大于|F1F2|.因?yàn)楫?dāng)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于|F1F2|時(shí)，其動(dòng)點(diǎn)軌跡就是線段F1F2；當(dāng)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和小于|F2．已知橢圓離心率求待定系數(shù)時(shí)要注意橢圓焦點(diǎn)位置的判斷，當(dāng)焦點(diǎn)位置不明確時(shí)，要分兩種情形討論．橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程典題導(dǎo)入[例1](2012·山東高考)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(3),2).雙曲線x2－y2＝1的漸近線與橢圓C有四個(gè)交點(diǎn)，以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程為()A.eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,2)＝1 B.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,6)＝1C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,5)＝1[自主解答]∵橢圓的離心率為eq\f(\r(3),2)，∴eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\f(\r(3),2)，∴a＝2b.故橢圓方程為x2＋4y2＝4b2.∵雙曲線x2－y2＝1的漸近線方程為x±y＝0，∴漸近線x±y＝0與橢圓x2＋4y2＝4b2在第一象限的交點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)b，\f(2\r(5),5)b))，∴由圓錐曲線的對(duì)稱性得四邊形在第一象限部分的面積為eq\f(2\r(5),5)b×eq\f(2\r(5),5)b＝4，∴b2＝5，即a2＝4b2＝20.故橢圓C的方程為eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,5)＝1.[答案]D本例中條件“雙曲線x2－y2＝1的漸近線與橢圓C有四個(gè)交點(diǎn)，以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16”變?yōu)椤按藱E圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于圓x2＋y2－2x－15＝0的半徑”問題不變．解：∵x2＋y2－2x－15＝0，∴(x－1)2＋y2＝16，∴r＝4，即2a＝4，a又eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，∴c＝eq\r(3)，∴b＝1，故橢圓方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.由題悟法1．解決與到焦點(diǎn)的距離有關(guān)的問題時(shí)，首先要考慮用定義來解題．2．橢圓方程的求法多用待定系數(shù)法，其步驟為：(1)定標(biāo)準(zhǔn)；(2)設(shè)方程；(3)找