2023年北京市高考理科數(shù)學(xué)試題及答案2

2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)〔理〕第I卷選擇題〔共40分〕本大題共8小題，每題5分，共40分。在每題列出的4個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。集合，那么〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕2，在等比數(shù)列中，，公比.假設(shè)，那么〔A〕9〔B〕10〔C〕11〔D〕12正〔主〕視圖側(cè)〔左〕視圖正〔主〕視圖側(cè)〔左〕視圖〔A〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕4，8名學(xué)生和2位老師站成一排合影，2位老師不相鄰的排法總數(shù)為〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕5，極坐標(biāo)方程表示的圖形是〔A〕兩個(gè)圓〔B〕兩條直線〔C〕一個(gè)圓和一條射線〔D〕一條直線和一條射線6，為非零向量，“〞是“函數(shù)為一次函數(shù)〞的〔A〕充分而不必要條件〔B〕必要而不充分條件〔C〕充分必要條件〔D〕既不充分也不必要條件7，設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈，假設(shè)指數(shù)函數(shù)的圖象上存在區(qū)域D上的點(diǎn)，那么的取值范圍是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕8，如圖，正方體的棱長為2，動點(diǎn)E，F(xiàn)在棱上，動點(diǎn)P，Q分別在棱上，假設(shè)〔大于零〕，那么四面體的體積與都有關(guān)與有關(guān)，與無關(guān)與有關(guān)，與無關(guān)與有關(guān)，與無關(guān)第II卷〔共110分〕填空題：本大題共6小題，每題5分，共30分。9，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為______10，在中，假設(shè)，那么11，從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名同學(xué)，將他們的身高〔單位：厘米〕數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖〔如圖〕，由圖中數(shù)據(jù)可知.假設(shè)要從身高在三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項(xiàng)活動，那么從身高在內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為________.12，如圖，的弦的延長線交于點(diǎn)A，假設(shè)，那么13，雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)相同，那么雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為______；漸近線方程為_______.14，如圖放置的邊長為1的正方形沿x軸滾動，設(shè)頂點(diǎn)的軌跡方程是，那么函數(shù)的最小正周期為_____；在其兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的圖象與x軸所圍區(qū)域的面積為_______.說明：“正方形沿x軸滾動〞包括沿軸正方向和沿軸負(fù)方向滾動.沿軸正方向滾動指的是先以頂點(diǎn)A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)頂點(diǎn)落在軸上時(shí)，再以頂點(diǎn)B為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如此繼續(xù).類似地，正方形沿x軸負(fù)方向滾動.解答題。本大題共6小題，共80分。解容許寫出文字說明，演算步驟或證明過程。15，〔本小題共13分〕函數(shù)求的值；求的最大值和最小值.16，〔本小題共14分〕如圖，正方形和四邊形所在的平面互相垂直，，∥，(1)求證：∥平面；(2)求證：平面；(3)求二面角的大小.17，〔本小題共13分〕某同學(xué)參加3門課程的考試.假設(shè)該同學(xué)第一門課程取得的優(yōu)秀成績的概率為，第二、第三門課程取得優(yōu)秀成績的概率分別為，且不同課程是否取得優(yōu)秀成績相互獨(dú)立，記為該生取得優(yōu)秀成績的課程數(shù)，其分布列為0123Pab(1)求該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率；(2)求的值；(3)求數(shù)學(xué)期望.18，〔本小題共13分〕函數(shù).(1)當(dāng)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求的單調(diào)區(qū)間.19，〔本小題共14分〕在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O對稱，P是動點(diǎn)，且直線與的斜率之積等于.(1)求動點(diǎn)P的軌跡方程；(2)設(shè)直線和分別與直線交于點(diǎn)，問：是否存在點(diǎn)使得與的面積相等？假設(shè)存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說明理由.20，〔本小題共13分〕集合.對于，定義與的差為：A與B之間的距離為.(1)證明：，有，且；(2)證明：，三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)；設(shè)，中有個(gè)元素，記中所有兩元素間距離的平均值為.證明：參考答案選擇題BC．C．A．C．B．A．D．二、填空題9，〔-1，1〕.10，1。11，0.030，312，5，13，，14，4，三、解答題15〔I〕〔2〕因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，取最大值6；當(dāng)時(shí)，取最小值。16證明：〔I〕設(shè)AC與BD交于點(diǎn)G，因?yàn)镋F∥AG，且EF=1，AG=AC=1，所以四邊形AGEF為平行四邊形。所以AF∥EG。因?yàn)镋GP平面BDE，AF平面BDE，所以AF∥平面BDE?！睮I〕因?yàn)檎叫蜛BCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，且CE⊥AC，所以CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD。如圖，以C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz。那么C〔0，0，0〕，A〔，，0〕，D〔，0，0〕，E〔0，0，1〕，F(xiàn)〔，，1〕。所以=〔，，1〕，=〔0，－，１〕，＝〔－，0，１〕。所以·=0-1+1=0，·=－１＋０＋１＝０。所以CF⊥BE，CF⊥DE，所以CF⊥平面BDE〔III〕由〔II〕知，=〔，，1〕，是平面BDE的一個(gè)法向量，設(shè)平面ABE的法向量=〔x,y,z〕,那么·=0，·=0。即所以x=0，且z=y。令y=1，那么z=。所以n=〔〕，從而cos〔，〕=因?yàn)槎娼茿-BE-D為銳角，所以二面角A-BE-D為。17解：事件A，表示“該生第i門課程取得優(yōu)異成績〞，i=1,2,3。由題意可知〔I〕由于事件“該生至少有一門課程取得優(yōu)異成績〞與事件“〞是對立的，所以該生至少有一門課程取得優(yōu)秀成績的概率是〔II〕由題意可知，整理得pq=?！睮II〕由題意知，18解：〔I〕當(dāng)時(shí)，由于所以曲線處的切線方程為。即〔II〕當(dāng)時(shí)，因此在區(qū)間上，；在區(qū)間上，；所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，，得;因此，在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，；即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，.的遞增區(qū)間為當(dāng)時(shí)，由，得；因此，在區(qū)間和上，，在區(qū)間上，；即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為。19，解：〔1〕因點(diǎn)B與〔-1,1〕關(guān)于原點(diǎn)對稱，得B點(diǎn)坐標(biāo)為〔1，-1〕。設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，那么，由題意得，化簡得：。即P點(diǎn)軌跡為：〔2〕因，可得，又，假設(shè)，那么有，即設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，那么有：解得：，又因，解得。故存在點(diǎn)P使得與的面積相等，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為或20,解：〔1〕設(shè)因，故，即又當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有故〔2〕設(shè)記記，由第一問可知：即中1的個(gè)數(shù)為k，中1的個(gè)數(shù)為l，設(shè)t是使成立的i的個(gè)數(shù)，那么