《垂徑定理》課件

垂徑定理垂徑定理？1、我們所學(xué)的圓是不是軸對(duì)稱圖形呢？圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它們的對(duì)稱軸.2、我們所學(xué)的圓是不是中心對(duì)稱圖形呢？圓是中心對(duì)稱圖形，圓心是對(duì)稱中心一、溫故知新？1、我們所學(xué)的圓是不是軸對(duì)稱圖形呢？圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過圓問題：你知道趙州橋嗎？它是1300多年前我國(guó)隋代建造的石拱橋，

是我國(guó)古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶．它的主橋是圓弧形，它的跨度(弧所對(duì)的弦的長(zhǎng))為37.4m，

拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.2m，你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？趙州橋主橋拱的半徑是多少？問題情境問題：你知道趙州橋嗎？它是1300多年前我國(guó)隋代建造的石拱如圖，AB是⊙O的一條弦，做直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E．（1）這個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和??？為什么？？思考·OABCDE活動(dòng)一（1）是軸對(duì)稱圖形．直徑CD所在的直線是它的對(duì)稱軸（2）線段：

AE=BE⌒⌒?。海粒茫剑拢茫粒模剑拢摹小邪褕A沿著直徑CD折疊時(shí)，CD兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，AE與BE重合，ＡＣ和ＢＣ

重合，ＡＤ和ＢＤ重合．⌒⌒⌒⌒如圖，AB是⊙O的一條弦，做直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E③AM=BM，由①CD是直徑②CD⊥AB可推得⌒⌒⑤AD=BD.⌒⌒④AC=BC，ＤＣＡＢＥＯ幾何語(yǔ)言表達(dá)垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。跘M=BM，由①CD是直徑②CD⊥AB可推得⌒⌒⑤下列圖形是否具備垂徑定理的條件？是不是是不是OEDCAB深化：下列圖形是否具備垂徑定理的條件？是不是是不是OEDCAB深化直徑ＣＤ平分弦ＡＢ，并且平分ＡＢ及ＡＣＢ⌒⌒·OABCDE即ＡＥ＝ＢＥＡＤ＝ＢＤ，ＡＣ＝ＢＣ⌒⌒⌒⌒垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧直徑ＣＤ平分弦ＡＢ，并且⌒⌒·OABCDE即ＡＥ＝ＢＥ⌒⌒垂徑定理的幾個(gè)基本圖形：CD過圓心CD⊥AB于EAE=BEAC=BCAD=BD垂徑定理的幾個(gè)基本圖形：CD過圓心CD⊥AB于EAE=BEA思考：平分弦（不是直徑）的直徑有什么性質(zhì)？思考：平分弦（不是直徑）的直徑有什么性質(zhì)？如圖:AB是⊙O的一條弦，直徑CD交AB于M，AM=BM垂徑定理的推論●OABCDM└連接OA，OB，則OA=OB.在△OAM和△OBM中，∵OA=OB，OM=OM，AM=BM∴△OAM≌△OBM.∴∠AMO=∠

BMO.∴CD⊥AB∵⊙O關(guān)于直徑CD對(duì)稱，∴當(dāng)圓沿著直徑CD對(duì)折時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，⌒⌒AC和BC重合，⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC，⌒⌒

AD=BD.平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.如圖:AB是⊙O的一條弦，直徑CD交AB于M，AM=BM垂徑（1）（4）（5）（2）（3）（1）（5）（2）（3）（4）討論（1）（3）（2）（4）（5）（1）（4）（2）（3）（5）（1）過圓心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所對(duì)優(yōu)弧（5）平分弦所對(duì)的劣?。?）（5）（3）（4）（1）（2）（5）（2）（4）（1）（3）（5）（2）（5）（1）（3）（4）（1）（2）（4）（4）（5）（1）（2）（3）●OABCDM└每條推論如何用語(yǔ)言表示？（1）（2）（1）（2）討論（1）（2）（1）（2）（1）過（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條?。?）…（5）…（6）…（7）…（8）…（9）…九條推論（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條根據(jù)垂徑定理與推論可知對(duì)于一個(gè)圓和一條直線來說.如果具備（1）過圓心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所對(duì)的優(yōu)?。?）平分弦所對(duì)的劣弧上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可以推出其他三個(gè)結(jié)論結(jié)論根據(jù)垂徑定理與推論可知對(duì)于一個(gè)圓和一條直線來說.如果具備（1一、判斷下列說法的正誤①平分弧的直徑必平分弧所對(duì)的弦②平分弦的直線必垂直弦③垂直于弦的直徑平分這條弦④平分弦的直徑垂直于這條弦⑤弦的垂直平分線是圓的直徑⑥平分弦所對(duì)的一條弧的直徑必垂直這條弦⑦在圓中，如果一條直線經(jīng)過圓心且平分弦，必平分此弦所對(duì)的?、喾謩e過弦的三等分點(diǎn)作弦的垂線，將弦所對(duì)的兩條弧分別三等分●OABCDM└一、判斷下列說法的正誤①平分弧的直徑必平分弧所對(duì)的弦②3．半徑為2cm的圓中，過半徑中點(diǎn)且垂直于這條半徑的弦長(zhǎng)是

.8cmABOEABOEOABE1．半徑為4cm的⊙O中，弦AB=4cm，

那么圓心O到弦AB的距離是

.2．⊙O的直徑為10cm，圓心O到弦AB的距離為3cm，則弦AB的長(zhǎng)是

.二、填空：3．半徑為2cm的圓中，過半徑中點(diǎn)且8cmABOEABOEO●OABCD1.兩條弦在圓心的同側(cè)●OABCD2.兩條弦在圓心的兩側(cè)4、⊙O的半徑為10cm，弦AB∥CD，

AB=16，CD=12，則AB、CD間的距離是___.2cm或14cmEEF●OABCD1.兩條弦在圓心的同側(cè)●OABCD2.兩條弦在圓ABOED油的最大深度ED=OD－OE=200(mm)或者油的最大深度ED=OD+OE=450(mm).(1)

在直徑為650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，油面寬AB=600mm，求油的最大深度.OE=125(mm)(2)BAOED解：ABOED油的最大深度ED=OD－OE=200(mm)或者油練習(xí)練習(xí)《垂徑定理》課件1．如圖，在⊙O中，弦AB的長(zhǎng)為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑．·OABE再來！你行嗎？1．如圖，在⊙O中，弦AB的長(zhǎng)為8cm，圓心O到AB的距離為2：已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點(diǎn).求證：AC＝BD.證明：過O作OE⊥AB，垂足為E，則AE＝BE，CE＝DE.AE－CE＝BE－DE.

所以，AC＝BDE.ACDBO只需從圓心作一條與弦垂直的線段.就可以利用垂徑定理來解決有關(guān)問題了.2：已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小3、已知：⊙O中弦AB∥CD.求證：AC＝BD⌒⌒證明：作直徑MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.則AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直徑平分弦所對(duì)的弦）AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒.MCDABON夾在兩條平行弦間的弧相等.你能用一句話概括這個(gè)結(jié)論嗎？3、已知：⊙O中弦AB∥CD.⌒⌒證明：作直徑MN⊥AB.⌒小結(jié):解決有關(guān)弦的問題，經(jīng)常需要過圓心作弦的垂線、作垂直于弦的直徑、連結(jié)半徑等輔助線，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件..CDABOMNE.ACDBO.ABOC小結(jié):解決有關(guān)弦的問題，經(jīng)常需要過圓心作弦的問題：你知道趙州橋嗎？它是1300多年前我國(guó)隋代建造的石拱橋，

是我國(guó)古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶．它的主橋是圓弧形，它的跨度(弧所對(duì)的弦的長(zhǎng))為37.4m，

拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.2m，你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？趙州橋主橋拱的半徑是多少？問題情境問題：你知道趙州橋嗎？它是1300多年前我國(guó)隋代建造的石拱解得：R≈27．9（m）BODACR解決求趙州橋拱半徑的問題在Rt△OAD中，由勾股定理，得即R2=18.72+（R－7.2）2∴趙州橋的主橋拱半徑約為27.9m.OA2=AD2+OD2AB=37.4，CD=7.2，OD=OC－CD=R－7.2解：因?yàn)槿鐖D，用ＡＢ表示主橋拱，設(shè)ＡＢ所在圓的圓心為O，半徑為R．經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC，D為垂足，OC與AB相交于點(diǎn)D，根據(jù)前面的結(jié)論，D是AB的中點(diǎn)，C是ＡＢ的中點(diǎn)，CD就是拱高．⌒⌒⌒實(shí)踐應(yīng)用7.218.7解得：R≈27．9（m）BODACR解決求趙州橋拱半徑的問題體會(huì).分享說出你這節(jié)課的收獲和體驗(yàn)，讓大家與你一起分享?。?！體會(huì).分享說出你這節(jié)課的收獲和體驗(yàn)，讓大家與你一起分享?。?！圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對(duì)稱軸.垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.垂徑定理:在解決有關(guān)圓的問題時(shí)，可以利用垂徑定理將其轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.根據(jù)垂徑定理與推論可知對(duì)于一個(gè)圓和一條直線來說.如果具備（1）過圓心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所對(duì)的優(yōu)弧（5）平分弦所對(duì)的劣弧上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可以推出其他三個(gè)結(jié)論六、知識(shí)盤點(diǎn)圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對(duì)稱軸.垂直于弦垂徑定理垂徑定理？1、我們所學(xué)的圓是不是軸對(duì)稱圖形呢？圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它們的對(duì)稱軸.2、我們所學(xué)的圓是不是中心對(duì)稱圖形呢？圓是中心對(duì)稱圖形，圓心是對(duì)稱中心一、溫故知新？1、我們所學(xué)的圓是不是軸對(duì)稱圖形呢？圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過圓問題：你知道趙州橋嗎？它是1300多年前我國(guó)隋代建造的石拱橋，

是我國(guó)古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶．它的主橋是圓弧形，它的跨度(弧所對(duì)的弦的長(zhǎng))為37.4m，

拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.2m，你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？趙州橋主橋拱的半徑是多少？問題情境問題：你知道趙州橋嗎？它是1300多年前我國(guó)隋代建造的石拱如圖，AB是⊙O的一條弦，做直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E．（1）這個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和??？為什么？？思考·OABCDE活動(dòng)一（1）是軸對(duì)稱圖形．直徑CD所在的直線是它的對(duì)稱軸（2）線段：

AE=BE⌒⌒?。海粒茫剑拢?，ＡＤ＝ＢＤ⌒⌒把圓沿著直徑CD折疊時(shí)，CD兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，AE與BE重合，ＡＣ和ＢＣ

重合，ＡＤ和ＢＤ重合．⌒⌒⌒⌒如圖，AB是⊙O的一條弦，做直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E③AM=BM，由①CD是直徑②CD⊥AB可推得⌒⌒⑤AD=BD.⌒⌒④AC=BC，ＤＣＡＢＥＯ幾何語(yǔ)言表達(dá)垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。跘M=BM，由①CD是直徑②CD⊥AB可推得⌒⌒⑤下列圖形是否具備垂徑定理的條件？是不是是不是OEDCAB深化：下列圖形是否具備垂徑定理的條件？是不是是不是OEDCAB深化直徑ＣＤ平分弦ＡＢ，并且平分ＡＢ及ＡＣＢ⌒⌒·OABCDE即ＡＥ＝ＢＥＡＤ＝ＢＤ，ＡＣ＝ＢＣ⌒⌒⌒⌒垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧直徑ＣＤ平分弦ＡＢ，并且⌒⌒·OABCDE即ＡＥ＝ＢＥ⌒⌒垂徑定理的幾個(gè)基本圖形：CD過圓心CD⊥AB于EAE=BEAC=BCAD=BD垂徑定理的幾個(gè)基本圖形：CD過圓心CD⊥AB于EAE=BEA思考：平分弦（不是直徑）的直徑有什么性質(zhì)？思考：平分弦（不是直徑）的直徑有什么性質(zhì)？如圖:AB是⊙O的一條弦，直徑CD交AB于M，AM=BM垂徑定理的推論●OABCDM└連接OA，OB，則OA=OB.在△OAM和△OBM中，∵OA=OB，OM=OM，AM=BM∴△OAM≌△OBM.∴∠AMO=∠

BMO.∴CD⊥AB∵⊙O關(guān)于直徑CD對(duì)稱，∴當(dāng)圓沿著直徑CD對(duì)折時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，⌒⌒AC和BC重合，⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC，⌒⌒

AD=BD.平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.如圖:AB是⊙O的一條弦，直徑CD交AB于M，AM=BM垂徑（1）（4）（5）（2）（3）（1）（5）（2）（3）（4）討論（1）（3）（2）（4）（5）（1）（4）（2）（3）（5）（1）過圓心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所對(duì)優(yōu)?。?）平分弦所對(duì)的劣?。?）（5）（3）（4）（1）（2）（5）（2）（4）（1）（3）（5）（2）（5）（1）（3）（4）（1）（2）（4）（4）（5）（1）（2）（3）●OABCDM└每條推論如何用語(yǔ)言表示？（1）（2）（1）（2）討論（1）（2）（1）（2）（1）過（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條?。?）…（5）…（6）…（7）…（8）…（9）…九條推論（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條根據(jù)垂徑定理與推論可知對(duì)于一個(gè)圓和一條直線來說.如果具備（1）過圓心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所對(duì)的優(yōu)?。?）平分弦所對(duì)的劣弧上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可以推出其他三個(gè)結(jié)論結(jié)論根據(jù)垂徑定理與推論可知對(duì)于一個(gè)圓和一條直線來說.如果具備（1一、判斷下列說法的正誤①平分弧的直徑必平分弧所對(duì)的弦②平分弦的直線必垂直弦③垂直于弦的直徑平分這條弦④平分弦的直徑垂直于這條弦⑤弦的垂直平分線是圓的直徑⑥平分弦所對(duì)的一條弧的直徑必垂直這條弦⑦在圓中，如果一條直線經(jīng)過圓心且平分弦，必平分此弦所對(duì)的?、喾謩e過弦的三等分點(diǎn)作弦的垂線，將弦所對(duì)的兩條弧分別三等分●OABCDM└一、判斷下列說法的正誤①平分弧的直徑必平分弧所對(duì)的弦②3．半徑為2cm的圓中，過半徑中點(diǎn)且垂直于這條半徑的弦長(zhǎng)是

.8cmABOEABOEOABE1．半徑為4cm的⊙O中，弦AB=4cm，

那么圓心O到弦AB的距離是

.2．⊙O的直徑為10cm，圓心O到弦AB的距離為3cm，則弦AB的長(zhǎng)是

.二、填空：3．半徑為2cm的圓中，過半徑中點(diǎn)且8cmABOEABOEO●OABCD1.兩條弦在圓心的同側(cè)●OABCD2.兩條弦在圓心的兩側(cè)4、⊙O的半徑為10cm，弦AB∥CD，

AB=16，CD=12，則AB、CD間的距離是___.2cm或14cmEEF●OABCD1.兩條弦在圓心的同側(cè)●OABCD2.兩條弦在圓ABOED油的最大深度ED=OD－OE=200(mm)或者油的最大深度ED=OD+OE=450(mm).(1)

在直徑為650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，油面寬AB=600mm，求油的最大深度.OE=125(mm)(2)BAOED解：ABOED油的最大深度ED=OD－OE=200(mm)或者油練習(xí)練習(xí)《垂徑定理》課件1．如圖，在⊙O中，弦AB的長(zhǎng)為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑．·OABE再來！你行嗎？1．如圖，在⊙O中，弦AB的長(zhǎng)為8cm，圓心O到AB的距離為2：已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點(diǎn).求證：AC＝BD.證明：過O作OE⊥AB，垂足為E，則AE＝BE，CE＝DE.AE－CE＝BE－DE.

所以，AC＝BDE.ACDBO只需從圓心作一條與弦垂直的線段.就可以利用垂徑定理來解決有關(guān)問題了.2：已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小3、已知：⊙O中弦AB∥CD.求證：AC＝BD⌒⌒證明：作直徑MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.則AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直徑平分弦所對(duì)的弦）AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒.MCDABON夾在兩條平行弦間的弧相等.你能用一句話概括這個(gè)結(jié)論嗎？3、已知：⊙O中弦AB∥CD.⌒⌒證明：作直徑MN⊥AB.⌒小結(jié):解決有關(guān)弦的問題，經(jīng)常需要過圓心作弦的垂線、作垂直于弦的直徑、連結(jié)半徑等輔助線，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件..CDABOMNE.ACDBO.ABOC小結(jié):