正交試驗(yàn)方差分析

關(guān)于正交試驗(yàn)方差分析第一頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日

表6-1k個(gè)處理每個(gè)處理有n個(gè)觀測(cè)值的數(shù)據(jù)模式下一張

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第二頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日

表中表示第i個(gè)水平的第j個(gè)觀測(cè)值（i=1,2,…,k；j=1,2,…,n）；表示第i個(gè)水平n個(gè)觀測(cè)值的和；表示全部觀測(cè)值的總和；表示第i個(gè)水平的平均數(shù)；表示全部觀測(cè)值的總平均數(shù)；可以分解為下一張

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第三頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日(6-1)

表示第i個(gè)水平觀測(cè)值總體的平均數(shù)。為了看出各水平的影響大小，將再進(jìn)行分解，令

(6-2)(6-3)則

(6-4)

其中μ表示全試驗(yàn)觀測(cè)值總體的平均數(shù)；下一張

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第四頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日因?yàn)槠钇椒胶偷谖屙?yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日

其中所以（6-7）（6-7）式中，為組間偏差平方和，反映了各樣本平均值間的差異，記為SSt，即下一張

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第六頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日(6-7)式中，為組內(nèi)偏差平方和，反映了各水平下多次實(shí)驗(yàn)結(jié)果間的差異，記為SSe，即于是有

SST

=SSt+SSe

（6-8）這個(gè)關(guān)系式中三種平方和的簡(jiǎn)便計(jì)算公式如下：下一張

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第七頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日(6-9)

其中，C=/kn稱為矯正數(shù)。方差分析統(tǒng)計(jì)量

在計(jì)算總平方和時(shí)，資料中的各個(gè)觀測(cè)值要受這一條件的約束，故總自由度等于資料中觀測(cè)值的總個(gè)數(shù)減1，即kn-1?？傋杂啥扔洖閐fT，即dfT=kn-1。下一張

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第八頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日

在計(jì)算組間平方和時(shí)，各水平均數(shù)要受這一條件的約束，故組間自由度為水平數(shù)減1，即k-1。組間自由度記為dft，即dft=k-1。在計(jì)算組內(nèi)平方和時(shí)，要受k個(gè)條件的約束，即（i=1,2,…,k）。故組內(nèi)自由度為資料中觀測(cè)值的總個(gè)數(shù)減k，即kn-k

。組內(nèi)自由度記為dfe，即dfe=kn-k=k(n-1)。下一張

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第九頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日

因?yàn)樗?/p>

(6-10)

綜合以上各式得：

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第十頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日

各部分偏差平方和除以各自的自由度便得到總均方、組間均方和組內(nèi)均方，分別記為MST（或）、MSt（或）和MSe（或）。即（6-12）總均方一般不等于組間均方加組內(nèi)均方。下一張

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第十一頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量F=MSt/MSe根據(jù)顯著性水平，F(xiàn)<結(jié)論是肯定的，原假設(shè)成立；反之，不成立。第十二頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日【例6.4】5個(gè)不同品種豬的育肥試驗(yàn)，后期30天增重(kg)如表6-16所示。試比較品種間增重有無差異。表6-165個(gè)品種豬30天增重下一張

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第十三頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日

此例處理數(shù)k=5，各處理重復(fù)數(shù)不等。現(xiàn)對(duì)此試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行方差分析如下：

1、計(jì)算各項(xiàng)平方和與自由度

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第十四頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日下一張

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第十五頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日2、列出方差分析表，進(jìn)行F檢驗(yàn)臨界F值為：F0.05(4,20)=2.87，因?yàn)槠贩N間的F值5.99＞F0.05(4,20)，表明品種間差異極顯著。下一張

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第十六頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日

極差分析法簡(jiǎn)單明了，通俗易懂，計(jì)算工作量少便于推廣普及。但這種方法不能將試驗(yàn)中由于試驗(yàn)條件改變引起的數(shù)據(jù)波動(dòng)同試驗(yàn)誤差引起的數(shù)據(jù)波動(dòng)區(qū)分開來，也就是說，不能區(qū)分因素各水平間對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果的差異究竟是由于因素水平不同引起的，還是由于試驗(yàn)誤差引起的，無法估計(jì)試驗(yàn)誤差的大小。此外，各因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響大小無法給以精確的數(shù)量估計(jì)，不能提出一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)來判斷所考察因素作用是否顯著。為了彌補(bǔ)極差分析的缺陷，可采用方差分析。下一張

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3.2正交試驗(yàn)結(jié)果的方差分析第十七頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日

3.2.1正交試驗(yàn)結(jié)果的方差分析

方差分析基本思想是將數(shù)據(jù)的總偏差平方和分解成因素引起的偏差平方和和誤差引起的偏差平方和兩部分，構(gòu)造F統(tǒng)計(jì)量，作F檢驗(yàn)，即可判斷因素作用是否顯著。第十八頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日總偏差平方和＝各列因素偏差平方和+誤差偏差平方和（1）偏差平方和分解：（2）自由度分解：（3）方差：第十九頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日（4）構(gòu)造F統(tǒng)計(jì)量：（5）列方差分析表，作F檢驗(yàn)若計(jì)算出的F值F0>Fa，則拒絕原假設(shè)，認(rèn)為該因素或交互作用對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響；若F0?Fa，則認(rèn)為該因素或交互作用對(duì)試驗(yàn)結(jié)果無顯著影響。第二十頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日（6）正交試驗(yàn)方差分析說明由于進(jìn)行F檢驗(yàn)時(shí)，要用誤差偏差平方和SSe及其自由度dfe，因此，為進(jìn)行方差分析，所選正交表應(yīng)留出一定空列。當(dāng)無空列時(shí)，應(yīng)進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)，以估計(jì)試驗(yàn)誤差。誤差自由度一般不應(yīng)小于2，dfe很小，F(xiàn)檢驗(yàn)靈敏度很低，有時(shí)即使因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)有影響，用F檢驗(yàn)也判斷不出來。為了增大dfe，提高F檢驗(yàn)的靈敏度，在進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)之前，先將各因素和交互作用的方差與誤差方差比較，若MS因（MS交）<2MSe，可將這些因素或交互作用的偏差平方和、自由度并入誤差的偏差平方和、自由度，這樣使誤差的偏差平方和和自由度增大，提高了F檢驗(yàn)的靈敏度。第二十一頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日表頭設(shè)計(jì)AB……試驗(yàn)數(shù)據(jù)列號(hào)12…kxixi2試驗(yàn)號(hào)11………x1x1221………x2x22…………………nm………xnxn2K1jK11K12…K1kK2jK21K22…K2k……………KmjKm1Km2…KmkK1j2K112K122…K1k2K2j2K212K222K2k2……………Kmj2Km12Km22…Kmk2SSjSS1SS2…SSk表10-21Ln（mk）正交表及計(jì)算表格第二十二頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日總偏差平方和：列偏差平方和：

試驗(yàn)總次數(shù)為n，每個(gè)因素水平數(shù)為m個(gè)，每個(gè)水平作r次重復(fù)r＝n/m。當(dāng)m＝2時(shí)，第二十三頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日總自由度：因素自由度：第二十四頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日表10-20L9(34)正交表處理號(hào)第1列（A）第2列第3列第4列試驗(yàn)結(jié)果yi11111y121222y231333y342123y452231y562312y673132y783213y893321y9分析第1列因素時(shí)，其它列暫不考慮，將其看做條件因素。因素A第1水平3次重復(fù)測(cè)定值因素A第2水平3次重復(fù)測(cè)定值因素A第3水平3次重復(fù)測(cè)定值因素重復(fù)1重復(fù)2重復(fù)3A1y1y2y3A2y4y5y6A3y7y8y9單因素試驗(yàn)數(shù)據(jù)資料格式和y1+y2+y3K1y4+y5+y6K2y7+y8+y9K3第二十五頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日

3.2.2不考慮交互作用等水平正交試驗(yàn)方差分析

例：自溶酵母提取物是一種多用途食品配料。為探討啤酒酵母的最適自溶條件，安排三因素三水平正交試驗(yàn)。試驗(yàn)指標(biāo)為自溶液中蛋白質(zhì)含量（％）。試驗(yàn)因素水平表見表10-22，試驗(yàn)方案及結(jié)果分析見表10-23。試對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行方差分析。水平試驗(yàn)因素溫度（℃）ApH值B加酶量（％）C1506.52.02557.02.43587.52.8表10-22因素水平表第二十六頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日處理號(hào)ABC空列試驗(yàn)結(jié)果yi11（50）1（6.5）1（2.0）16.25212（7.0）2（2.4）24.97313（7.5）3（2.834.5442（55）1237.53522315.54623125.573（58）13211.48321310.9933218.95K1j15.7625.1822.6520.74K2j18.5721.4121.4521.87K3j31.2518.9921.4822.97K1j2248.38634.03513.02430.15K2j2344.84458.39460.10478.30K3j2976.56360.62461.39527.62表10-23試驗(yàn)方案及結(jié)果分析表第二十七頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日（1）計(jì)算計(jì)算各列各水平的K值計(jì)算各列各水平對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)之和K1j、K2j、K3j及其平方K1j2、K2j2、K3j2。計(jì)算各列偏差平方和及自由度同理，SSB=6.49，SSC=0.31SSe=0.83（空列）第二十八頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日自由度：dfA＝dfB＝dfC＝dfe＝3-1=2計(jì)算方差（2）顯著性檢驗(yàn)根據(jù)以上計(jì)算，進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，列出方差分析表，結(jié)果見表10-24變異來源平方和自由度均方F值Fa顯著水平A45.40222.7079.6F0.05(2,4)=6.94**B6.4923.2411.4F0.01(2,4)=18.0*C△0.3120.16誤差e0.8320.41誤差e△

1.1440.285總和53.03表10-24方差分析表第二十九頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日因素A高度顯著，因素B顯著，因素C不顯著。因素主次順序A-B-C。（3）優(yōu)化工藝條件的確定

本試驗(yàn)指標(biāo)越大越好。對(duì)因素A、B分析，確定優(yōu)水平為A3、B1；因素C的水平改變對(duì)試驗(yàn)結(jié)果幾乎無影響，從經(jīng)濟(jì)角度考慮，選C1。優(yōu)水平組合為A3B1C1。即溫度為58℃，pH值為6.5，加酶量為2.0%。第三十頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日

3.2.3考慮交互作用正交試驗(yàn)方差分析

例：用石墨爐原子吸收分光光度法測(cè)定食品中的鉛，為了提高測(cè)定靈敏度，希望吸光度越大越好，今欲研究影響吸光度的因素，確定最佳測(cè)定條件。（1）計(jì)算計(jì)算各列各水平對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)之和K1j、K2j及（K1j-K2j）；計(jì)算各列偏差平方和及自由度。第三十一頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日表10-25試驗(yàn)方案及結(jié)果分析表試驗(yàn)號(hào)ABA×BCA×CB×C空列吸光度111111112.42211122222.24312211222.66412222112.58521212122.36621221212.4722