數(shù)值分析應(yīng)用

計(jì)

算

方

法數(shù)值分析NumericalAnalysis潘建瑜華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系科學(xué)計(jì)算科學(xué)計(jì)算ScientificComputing

(計(jì)算科學(xué)ComputationalScience)使用數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)與計(jì)算器的技術(shù)，借助計(jì)算機(jī)高速計(jì)算的能力，來解決現(xiàn)代科學(xué)、工程、經(jīng)濟(jì)或人文中的復(fù)雜問題狹義的科學(xué)計(jì)算是針對某些特定的數(shù)學(xué)問題，設(shè)計(jì)有效的計(jì)算方法來求解，因此即為數(shù)值計(jì)算/數(shù)值分析/計(jì)算方法科學(xué)計(jì)算是一門工具性、方法性、整合性的新學(xué)科，是各種科學(xué)與工程計(jì)算領(lǐng)域（如：氣象、地震、核能技術(shù)、石油探勘、航天工程、密碼解譯等）中不可缺少的工具計(jì)算數(shù)學(xué)是科學(xué)計(jì)算的核心與基礎(chǔ)科學(xué)計(jì)算已成為當(dāng)今科學(xué)研究的重要手段之一，是數(shù)學(xué)將觸角伸向其他學(xué)科的橋梁?？茖W(xué)計(jì)算隨著計(jì)算機(jī)的高速發(fā)展，數(shù)值計(jì)算方法已深入到各個(gè)科學(xué)研究領(lǐng)域，計(jì)算性交叉學(xué)科不斷涌現(xiàn)，如計(jì)算力學(xué)、計(jì)算物理、計(jì)算化學(xué)、計(jì)算生物學(xué)、計(jì)算經(jīng)濟(jì)學(xué)等科學(xué)計(jì)算使用計(jì)算機(jī)進(jìn)行科學(xué)計(jì)算、數(shù)據(jù)處理及分析已成為人類科技活動(dòng)的主要方法之一。熟練地使用計(jì)算機(jī)進(jìn)行科學(xué)計(jì)算，已成為科技工作者的一項(xiàng)基本技能

科學(xué)計(jì)算利用計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問題通常分下面幾個(gè)過程：實(shí)際問題數(shù)學(xué)模型數(shù)值方法程序設(shè)計(jì)上機(jī)實(shí)現(xiàn)應(yīng)用舉例問：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗。問上、中、下禾實(shí)一秉各幾何？

——《九章算術(shù)》例：一個(gè)古老的數(shù)學(xué)問題應(yīng)用舉例線性方程組數(shù)值求解——教材第五、六章應(yīng)用舉例例：人口預(yù)測表格中是我國1950年到2005年的人口數(shù)（見中國統(tǒng)計(jì)年鑒），試預(yù)測未來的人口數(shù)插值與曲線擬合——教材第二、三章年份人口(萬)1950551961955614651960662071965725381970829921975924201980987051985105851199011433199512112120001267432005130756應(yīng)用舉例例：鋁制波紋瓦的長度問題建筑上用的一種鋁制波紋瓦是由機(jī)器將一塊平整的鋁板壓制而成。假若要求波紋瓦長4英尺，每個(gè)波紋的高度(從中心線)為1英寸，且每個(gè)波紋以近似2

英寸為一個(gè)周期。求制做一塊波紋瓦所需鋁板的長度L。應(yīng)用舉例這個(gè)問題就是要求由函數(shù)

f(x)=sinx給定的曲線從x=0

到x=48

英寸間的弧長L，即:數(shù)值積分與數(shù)值微分——教材第四章上述積分為第二類橢圓積分，無法用普通方法來計(jì)算應(yīng)用舉例矩陣特征值計(jì)算——教材第八章例：Google

搜索引擎1998年創(chuàng)立，目前市值近2000億G:GoogleMatrix,“theworld’slargestmatrixcomputation”x:PageRankvector“The$25,000,000,000Eigenvector”——SIAMReview，2006Gx

=x,eTx

=1計(jì)算方法的任務(wù)計(jì)算方法/數(shù)值分析的任務(wù)設(shè)計(jì)求解各種實(shí)際問題的高效可靠的數(shù)值方法有效：易于在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)

可靠：收斂性穩(wěn)定性等有理論保證高效：盡可能地節(jié)省計(jì)算時(shí)間和存儲(chǔ)空間對于同一問題，不同的算法在計(jì)算性能上可能相差百萬倍或者更多！

對求得的數(shù)值解的精度進(jìn)行評估研究數(shù)值算法在計(jì)算機(jī)上的實(shí)現(xiàn)計(jì)算方法例：求解一個(gè)n

階線性方程組，如果使用Cramer法則，需要計(jì)算n+1個(gè)n

階行列式，在不計(jì)加減運(yùn)算情況下，至少需要n!(n2-1)

次乘除運(yùn)算。而使用高斯消去法，只需約2n3/3

次乘除運(yùn)算用每秒運(yùn)算30億次（主頻3.0G）的計(jì)算機(jī)求解時(shí)，大約需要10000年的時(shí)間當(dāng)n=20時(shí)，如果使用高斯消去法，不到一秒鐘就能完成數(shù)值方法特點(diǎn)數(shù)值方法的特點(diǎn)

方法是近似的，所以求出的解是有誤差的與計(jì)算機(jī)緊密結(jié)合：上機(jī)實(shí)現(xiàn)掌握一門語言：C語言或Fortran語言熟悉一種數(shù)學(xué)軟件：Matlab，Maple，MathCAD或Mathematica。課程信息數(shù)值分析（第五版）

教材：李慶揚(yáng)等編著，清華大學(xué)出版社，2008

上課時(shí)間：周二3、4，周四5、6(雙周)

參考資料

第三種科學(xué)方法：計(jì)算機(jī)時(shí)代的科學(xué)計(jì)算

石鐘慈著，清華大學(xué)出版社，院士科普書系，2000

科學(xué)計(jì)算導(dǎo)論（第2版）（英文影印版）

M.T.Heath著，清華大學(xué)出版社：McGraw-Hill，2001

現(xiàn)代科學(xué)計(jì)算

蔡大用，白峰杉，科學(xué)出版社，2000

數(shù)值線性代數(shù)

徐樹方等，北京大學(xué)出版社，2000

參考資料主要內(nèi)容插值法函數(shù)逼近數(shù)值積分和數(shù)值微分線性方程組的直接解法和迭代解法非線性方程（組）的數(shù)值求解矩陣特征值與特征向量的計(jì)算

常微分方程的數(shù)值解法所需知識(shí)微積分高等代數(shù)、線性代數(shù)常微分方程推薦：Matlab

編程所需知識(shí)考試方式期末80%

平時(shí)20%（平時(shí)作業(yè)，考勤）基本概念

解析解、精確解、真解、真值數(shù)值解、近似解數(shù)值算法：求問題的數(shù)值解的方法算法的可靠性包括：收斂性，穩(wěn)定性，誤差估計(jì)等算法的評價(jià)（優(yōu)劣）時(shí)間復(fù)雜度（計(jì)算機(jī)運(yùn)行時(shí)間）空間復(fù)雜度（所占用的計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)空間）邏輯復(fù)雜度（影響程序開發(fā)的周期以及維護(hù)的難易程度）數(shù)學(xué)軟件由于各種科學(xué)計(jì)算問題最后通常都?xì)w結(jié)為求解一些基本的問題，針對這些基本問題