抽樣檢驗(yàn)之正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)

正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)一、試驗(yàn)設(shè)計(jì)的基本概念與正交表多因素試驗(yàn)遇到的最大困難是試驗(yàn)次數(shù)太多，若十個(gè)因素對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量有影響，每個(gè)因素取兩個(gè)不同狀態(tài)進(jìn)行比較，有210=1024、如果每個(gè)因素取三個(gè)不同狀態(tài)310=59049個(gè)不同的試驗(yàn)條件在多因素試驗(yàn)中，有人采用“單因素輪換法”，但是這種方法不一定能找到好的條件譬如：考察兩個(gè)因子，先固定A在A1，發(fā)現(xiàn)B3好，再固定B3，發(fā)現(xiàn)A1好，但是實(shí)際上好的條件是A2B2。 B1B2B3 A1505662 A2567060 A3546058因子與水平試驗(yàn)中要加以考察而改變狀態(tài)的因素稱為因子，常用大寫英文字母A、B、C…等表示。因子在試驗(yàn)中所取的狀態(tài)稱為水平。因子A的水平用代表因子的字母加下標(biāo)表示，記為A1，A2，…Ak.。在一次試驗(yàn)中每個(gè)因子總?cè)∫粋€(gè)特定的水平，稱各因子水平的一個(gè)組合為一個(gè)處理或一個(gè)試驗(yàn)條件。試驗(yàn)指標(biāo)與試驗(yàn)結(jié)果衡量試驗(yàn)條件好壞的特性（可以是質(zhì)量特性也 可以是產(chǎn)量特性或其它）稱為指標(biāo)，用y表示。由于y是一個(gè)隨機(jī)變量，因此可以假定它有如下的結(jié)構(gòu)式：y=μ+ε

其中μ是一個(gè)依賴于試驗(yàn)條件的常量，隨試驗(yàn)條件的變化而改變，ε是一個(gè)隨機(jī)變量，常假定它服從正態(tài)分布N（0,σ2）。正交表選擇部分條件進(jìn)行試驗(yàn)，再通過數(shù)據(jù)分析來尋找好的條件，這便是試驗(yàn)設(shè)計(jì)問題。通過少量的試驗(yàn)獲得較多的信息，達(dá)到試驗(yàn)的目的：發(fā)現(xiàn)那些因子對(duì)試驗(yàn)結(jié)果確有影響，因子的什么水平組合是最好的。利用正交表進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)的方法就是正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)?！癓”表示正交表，“9”是行數(shù)，在試驗(yàn)中表示試驗(yàn)的條件數(shù)，“4”是列數(shù)，在試驗(yàn)中表示可以安排的因子的最多個(gè)數(shù)，“3”是表的主體只有三個(gè)不同數(shù)字，在試驗(yàn)中表示每一因子可以取的水平數(shù)。

正交表具有正交性，這是指它有如下兩個(gè)特點(diǎn)：（1）每列中不同的數(shù)字重復(fù)次數(shù)相同。在表L9(34)中，每列有3個(gè)不同數(shù)字：1,2,3，每一個(gè)出現(xiàn)3次。（2）將任意兩列的同行數(shù)字看成一個(gè)數(shù)對(duì)，那么一切可能數(shù)對(duì)重復(fù)次數(shù)相同。在表L9(34)中，任意兩列有9種可能的數(shù)對(duì)：(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)每一對(duì)出現(xiàn)一次。（1））一一類類正正交交表表的的行行數(shù)數(shù)n，，列數(shù)數(shù)p，，水平平數(shù)數(shù)qn=qk,k=2,3,4,……,p=(n-1)/(q-1)如：：L4(23)，，L8(27)，，L16(215)，，L32(231)等這這類類正正交交表表可可以以考考察察因因子子間間交交互互作作用用（2））另另一一類類正正交交表表的的行行數(shù)數(shù)，，列列數(shù)數(shù)，，水水平平數(shù)數(shù)之之間間不不滿滿足足上上述述的的兩兩個(gè)個(gè)關(guān)關(guān)系系如：：L12(211)，，L18(37)，，L36(313)等常用用的的正正交交表表有有兩兩大大類類二、、無無交交互互作作用用的的正正交交設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)與與數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)分分析析試驗(yàn)驗(yàn)設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)一一般般有有四四個(gè)個(gè)步步驟驟：：1.試試驗(yàn)驗(yàn)設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)2.進(jìn)進(jìn)行行試試驗(yàn)驗(yàn)獲獲得得試試驗(yàn)驗(yàn)結(jié)結(jié)果果3.數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)分分析析4.驗(yàn)驗(yàn)證證試試驗(yàn)驗(yàn)例1磁磁鼓鼓電電機(jī)機(jī)是是彩彩色色錄錄像像機(jī)機(jī)磁磁鼓鼓組組件件的的關(guān)關(guān)鍵鍵部部件件之之一一，，按按質(zhì)質(zhì)量量要要求求其其輸輸出出力力矩矩應(yīng)應(yīng)大大于于210g.cm。。某生生產(chǎn)產(chǎn)廠廠過過去去這這項(xiàng)項(xiàng)指指標(biāo)標(biāo)的的合合格格率率較較低低，，從從而而希希望望通通過過試試驗(yàn)驗(yàn)找找出出好好的的條條件件，，以以提提高高磁磁鼓鼓電電機(jī)機(jī)的的輸輸出出力力矩矩。。（一一））試試驗(yàn)驗(yàn)的的設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)在安安排排試試驗(yàn)驗(yàn)時(shí)時(shí)，，一一般般應(yīng)應(yīng)考考慮慮如如下下幾幾步步：：（1））明明確確試試驗(yàn)驗(yàn)?zāi)磕康牡?；；?））明明確確試試驗(yàn)驗(yàn)指指標(biāo)標(biāo)；；（3））確確定定因因子子與與水水平平；；（4））選選用用合合適適的的正正交交表表，，進(jìn)進(jìn)行行表表頭頭設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)，，列列出出試試驗(yàn)驗(yàn)計(jì)計(jì)劃劃。。在本本例例中中：：試驗(yàn)驗(yàn)?zāi)磕康牡模海禾崽岣吒叽糯殴墓碾婋姍C(jī)機(jī)的的輸輸出出力力矩矩試驗(yàn)驗(yàn)指指標(biāo)標(biāo)：：輸輸出出力力矩矩確定定因因子子與與水水平平：：選表表：：首首先先根根據(jù)據(jù)因因子子的的水水平平數(shù)數(shù)，，找找出出一一類類正正交交表表，，再再根根據(jù)據(jù)因因子子的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)確確定定具具體體的的表表，，把把因因子子放放到到表表的的列列上上去去，，稱稱為為表表頭頭設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)。。把放放因因子子的的列列中中的的數(shù)數(shù)字字改改為為因因子子的的真真實(shí)實(shí)水水平平，，便便成成為為一一張張?jiān)囋囼?yàn)驗(yàn)計(jì)計(jì)劃劃表表，，每每一一行行便便是是一一個(gè)個(gè)試試驗(yàn)驗(yàn)條條件件。。在正正交交設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)中中n個(gè)試試驗(yàn)驗(yàn)條條件件是是一一起起給給出出的的的的，，稱稱為為““整整體體設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)””，，并并且且均均勻勻分分布布在在試試驗(yàn)驗(yàn)空空間間中中。。9個(gè)個(gè)試試驗(yàn)驗(yàn)點(diǎn)點(diǎn)的的分分布布C3C2C1A1A2A3B1B2B3123456789（二二））做做試試驗(yàn)驗(yàn)，，并并記記錄錄試試驗(yàn)驗(yàn)結(jié)結(jié)果果在進(jìn)進(jìn)行行試試驗(yàn)驗(yàn)時(shí)時(shí)，，要要注注意意幾幾點(diǎn)點(diǎn)：：1.除除了了所所考考察察的的因因子子外外的的其其它它條條件件，，盡盡可可能能保保持持相相同同2.試試驗(yàn)驗(yàn)次次序序最最好好要要隨隨機(jī)機(jī)化化3.必必要要時(shí)時(shí)可可以以設(shè)設(shè)置置區(qū)區(qū)組組因因子子（三三））數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)分分析析1.數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的的直直觀觀分分析析（1））尋尋找找最最好好的的試試驗(yàn)驗(yàn)條條件件在A1水平平下下進(jìn)進(jìn)行行了了三三次次試試驗(yàn)驗(yàn)：：#1，，#2，，#3，，而而在在這這三三次次試試驗(yàn)驗(yàn)中中因因子子B的三三個(gè)個(gè)水水平平各各進(jìn)進(jìn)行行了了一一次次試試驗(yàn)驗(yàn)，，因因子子C的三三個(gè)個(gè)水水平平也也各各進(jìn)進(jìn)行行了了一一次次試試驗(yàn)驗(yàn)。。在A2水平平下下進(jìn)進(jìn)行行了了三三次次試試驗(yàn)驗(yàn)：：#4，，#5，，#6，，在在這這三三次次試試驗(yàn)驗(yàn)中中因因子子B與C的三三個(gè)個(gè)水水平平各各進(jìn)進(jìn)行行了了一一次次試試驗(yàn)驗(yàn)。。在A3水平平下下進(jìn)進(jìn)行行了了三三次次試試驗(yàn)驗(yàn)：：#7，，#8，，#9，，在在這這三三次次試試驗(yàn)驗(yàn)中中因因子子B與C的三三個(gè)個(gè)水水平平各各進(jìn)進(jìn)行行了了一一次次試試驗(yàn)驗(yàn)。。將全全部部試試驗(yàn)驗(yàn)分分成成三三個(gè)個(gè)組組，，那那么么這這這這三三組組數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)間間的的差差異異就就反反映映了了因因子子A的三三個(gè)個(gè)水水平平的的差差異異，，為為此此計(jì)計(jì)算算各各組組數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的的和和與與平平均均：：T1=y1+y2+y3=160+215+180=555,T2=y4+y5+y6=168+236+190=594,T3=y7+y8+y9=157+205+140=502,同理對(duì)因子子B與C將數(shù)據(jù)據(jù)分成成三組組分別別比較較所有計(jì)計(jì)算列列在下下面的的計(jì)算算表中中（2））各因因子對(duì)對(duì)指標(biāo)標(biāo)影響響程度度大小小的分分析極差的的大小小反映映了因因子水水平改改變時(shí)時(shí)對(duì)試試驗(yàn)結(jié)結(jié)果的的影響響大小小。這這里因因子的的極差差是指指各水水平平平均值值的最最大值值與最最小值值之差差，譬譬如對(duì)對(duì)因子子A來講：：RA=198－－167.3=30.7其它的的結(jié)果果也列列在上上表中中（3））各因因子不不同水水平對(duì)對(duì)指標(biāo)標(biāo)的影影響圖圖900110013001011

12708090160170180190200210220輸出力矩RARBRCA:充磁量B:定位角度C:定子線圈匝數(shù)因子各各水平平對(duì)輸輸出力力矩的的影響響由于正正交表表的特特點(diǎn)，，使試試驗(yàn)條條件均均勻分分布在在試驗(yàn)驗(yàn)空間間中，，因此此使數(shù)數(shù)據(jù)間間具有有整齊齊可比比性，，上述述的直直觀分分析可可以進(jìn)進(jìn)行。。但是是極差差大到到什么么程度度可以以認(rèn)為為水平平的差差異確確實(shí)是是有影影響的的呢？？2.數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的方方差分分析要把引引起數(shù)數(shù)據(jù)波波動(dòng)的的原因因進(jìn)行行分解解，數(shù)數(shù)據(jù)的的波動(dòng)動(dòng)可以以用偏偏差平平方和和來表表示。正交表表中第第j列的偏偏差平平方和和的計(jì)計(jì)算公公式：其中Tij為第j列第i水平的的數(shù)據(jù)據(jù)和，，T為數(shù)據(jù)據(jù)總和和，n為正交交表的的行數(shù)數(shù)，q為該列列的水水平數(shù)數(shù)。該該列表表頭是是哪個(gè)個(gè)因子子，則則該Sj即為該該因子子的偏偏差平平方和和，譬譬如SA=S1正交表表總的的偏差差平方方和為為：在這里里有：：表4.6例例4.1的方方差分分析表表3.最佳條條件的的選擇擇對(duì)顯著著因子子應(yīng)該該取最最好的的水平平對(duì)不顯顯著因因子的的水平平可以以任意意選取取，在在實(shí)際際中通通常從從降低低成本本、操操作方方便等等角度度加以以選擇擇。上面的的例子子中對(duì)對(duì)因子子A與B應(yīng)該選選擇A2B2，因子C可以任任選，，譬如如為節(jié)節(jié)約材材料可可選擇擇C1（四）驗(yàn)證證試驗(yàn)對(duì)A2B2C1進(jìn)行三次試試驗(yàn)，結(jié)果果為：234，240，220，平平均值為231.3此結(jié)果是是滿意的。。交互作用一個(gè)因子的的水平好壞壞或好壞的的程度受另另一因子水水平制約的的情況，稱稱為因子A與B的交互作用用。其直觀表示示如下面的的圖(b)與(c)所示。三、有交互互作用的正正交設(shè)計(jì)與與數(shù)據(jù)分析析兩個(gè)因子的的不同水平平搭配下的的得率60708090得率B1A1A2A1A2A1A2B2B1B1B2B2(a)(b)(c)（1）試驗(yàn)驗(yàn)的設(shè)計(jì)明確試驗(yàn)?zāi)磕康?；明確試驗(yàn)指指標(biāo)；確定試驗(yàn)中中所考慮的的因子與水水平，并確確定可能存存在并要考考察的交互互作用；選用合適的的正交表，，進(jìn)行表頭頭設(shè)計(jì)，列列出試驗(yàn)計(jì)計(jì)劃。例2為為提高某種種農(nóng)藥的收收率，需要要進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)。試驗(yàn)?zāi)康模海禾岣咿r(nóng)藥藥的收率試驗(yàn)指標(biāo)：：收率確定因子與與水平以及及所要考察察的交互作作用：還要考察因因子A與B的交互作用用選表：首先先根據(jù)因子子的水平數(shù)數(shù)，找出一一類正交表表再根據(jù)因子子的個(gè)數(shù)及及交互作用用個(gè)數(shù)確定定具體的表表。把因子放到到表的列上上去，但是是要先放有有交互作用用的兩個(gè)因因子，并利利用交互作作用表，標(biāo)標(biāo)出交互作作用所在列列，以便于于今后的數(shù)數(shù)據(jù)分析。。把放因子的的列中的數(shù)數(shù)字改為因因子的真實(shí)實(shí)水平，便便成為一張張?jiān)囼?yàn)計(jì)劃劃表表4.9L8（27）的交互作用用表表4.10試試驗(yàn)計(jì)劃劃（二）數(shù)據(jù)據(jù)分析1.數(shù)據(jù)據(jù)的方差分分析在二水平正正交表中一一列的偏差差平方和有有一個(gè)簡(jiǎn)單的的計(jì)算公式式：其中T1j、T2j分別是第j列一水平與與二水平數(shù)數(shù)據(jù)的和，，n是正交表的的行數(shù)。表4.11例例4.3的計(jì)算表表表4.12例例4.3的方差分分析表表4.13A×B的搭配表（三）避免免混雜現(xiàn)象象——表頭頭設(shè)計(jì)的一一個(gè)原則在進(jìn)行表頭頭設(shè)計(jì)時(shí)一一列上只能能放一個(gè)因因子或放一一個(gè)交互作作用。若在一列上上有兩個(gè)因因子或兩個(gè)個(gè)交互作用用或一個(gè)因因子一個(gè)交交互作用稱稱為混雜,混雜應(yīng)該該避免,否否則數(shù)據(jù)分分析要產(chǎn)生生問題。在用正交表表安排試驗(yàn)驗(yàn)時(shí)要求：：因子與所在在列的自由由度相等交互作用與與所占列的的自由度的的和相等所以二水平平因子應(yīng)該該用二水平平正交表，，三水平因因子應(yīng)該用用三水平正正交表。二水平因子子的交互作作用的自由由度為1，，所以在二二水平正交交表上占一一列。三水平因子子的交互作作用的自由由度為4，，所以在三三水平正交交表上占兩兩列。選擇正交表表時(shí)必須滿滿足下面一一個(gè)條件：：“所考察察的因子與與交互作用用自由度之之和≤n－1”，，其中n是正交表的的行數(shù)。不過在存在在交互作用用的場(chǎng)合，，這一條件件滿足時(shí)還還不一定能能用來安排排試驗(yàn)，所所以這是一一個(gè)必要條條件。例3給給出下列試試驗(yàn)的表頭頭設(shè)計(jì)：（1）A、B、C、D為二水平因因子，同時(shí)時(shí)考察交互互作用A×B，A×C（2）A、、B、C、、D為二水平因因子，同時(shí)時(shí)考察交互互作用A×B，C×D（3）A、、B、C、、D、E為三水平因因子，同時(shí)時(shí)考察交互互作用A×B它們分別要要用L8（27），L16（215），L27（313）解（1））由于因子子均為二水水平的，故故選用二水水平正交表表，又因子子與交互作作用的自由由度之和為為：fA+fB+fC+fD+fA×B+fA×C=1+1+1+1+1+1=6故所選正交交表的行數(shù)數(shù)應(yīng)滿足：：n≥6+1=7，所以選L8(27)，表頭設(shè)計(jì)如如下：（2）由于于因子均為為二水平的的，故仍選選用二水平平正交表，，又因子與與交互作用用的自由度度之和為6，故所選選正交表的的行數(shù)應(yīng)滿滿足：n≥6+1=7，但L8(27)無法安排這這四個(gè)因子子與兩個(gè)交交互作用，，因?yàn)椴还芄芩膫€(gè)因子子放在哪四四列上，兩兩個(gè)交互作作用或一個(gè)個(gè)因子與一一個(gè)交互作作用總會(huì)共共用一列，，從而產(chǎn)生生混雜，譬譬如：因此選用L16(215)，表頭設(shè)計(jì)如如下：（3）由于于因子均為為三水平的的，故選用用三水平正正交表，又又因子與交交互作用的的自由度之之和為：fA+fB+fC+fD+fE+fA×B=2+2+2+2+2+4=14故所選正