流體力學(xué)流體力學(xué)基本方程

關(guān)于流體力學(xué)流體力學(xué)基本方程第一頁，共九十三頁，2022年，8月28日為什么河道較窄的地方流速較大？思考1第二頁，共九十三頁，2022年，8月28日高樓頂層的水壓為什么較低？思考2第三頁，共九十三頁，2022年，8月28日自來水可以爬上幾十米的高樓，洪水為什么不能爬上幾米的岸邊山坡？思考3第四頁，共九十三頁，2022年，8月28日水流速度V2是多少？思考4第五頁，共九十三頁，2022年，8月28日§3-1描述流體運(yùn)動(dòng)的方法描述流體的運(yùn)動(dòng)的困難第六頁，共九十三頁，2022年，8月28日§3-1描述流體運(yùn)動(dòng)的方法描述流體的運(yùn)動(dòng)的困難第七頁，共九十三頁，2022年，8月28日§3-1描述流體運(yùn)動(dòng)的方法1.拉格朗日法：一.拉格朗日法與歐拉法：第八頁，共九十三頁，2022年，8月28日§3-1描述流體運(yùn)動(dòng)的方法1.拉格朗日法：設(shè)某質(zhì)點(diǎn)的軌跡為：x=x(a,b,c,t),y=y(a,b,c,t),z=z(a,b,c,t)。(a,b,c)為質(zhì)點(diǎn)的初始位置坐標(biāo)。研究每個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，并給出其運(yùn)動(dòng)軌跡。一.拉格朗日法與歐拉法：上式中用粗體字母表示矢量。第九頁，共九十三頁，2022年，8月28日§3-1描述流體運(yùn)動(dòng)的方法1.拉格朗日法：速度：加速度：研究每個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，并給出其運(yùn)動(dòng)軌跡。一.拉格朗日法與歐拉法：第十頁，共九十三頁，2022年，8月28日u=u(x,y,z,t)，v=v(x,y,z,t)，w=(x,y,z,t)研究流場空間中某個(gè)點(diǎn)的流動(dòng)參數(shù)，并給出這些參數(shù)的分布。2.歐拉法：§3-1描述流體運(yùn)動(dòng)的方法第十一頁，共九十三頁，2022年，8月28日2.歐拉法：§3-1描述流體運(yùn)動(dòng)的方法第十二頁，共九十三頁，2022年，8月28日§3-1描述流體運(yùn)動(dòng)的方法第十三頁，共九十三頁，2022年，8月28日§3-1描述流體運(yùn)動(dòng)的方法第十四頁，共九十三頁，2022年，8月28日上式中用粗體字母表示矢量。由速度分布求加速度：2.歐拉法：§3-1描述流體運(yùn)動(dòng)的方法u=u(x,y,z,t)，v=v(x,y,z,t)，w=(x,y,z,t)第十五頁，共九十三頁，2022年，8月28日由速度分布求加速度：

某質(zhì)點(diǎn)t

時(shí)刻位于（x,y,z），速度為：t+Δt

時(shí)刻位于(x+Δx,y+Δy,z+Δz,t+Δt),速度為：V0和V1的關(guān)系為：§3-1描述流體運(yùn)動(dòng)的方法(泰勒展開式)第十六頁，共九十三頁，2022年，8月28日加速度：而：注意到：因此：用粗體字母表示矢量，則：§3-1描述流體運(yùn)動(dòng)的方法第十七頁，共九十三頁，2022年，8月28日§3-1描述流體運(yùn)動(dòng)的方法第十八頁，共九十三頁，2022年，8月28日加速度的投影值：§3-1描述流體運(yùn)動(dòng)的方法第十九頁，共九十三頁，2022年，8月28日作業(yè)：P52-53，第19題、第21題。第二十頁，共九十三頁，2022年，8月28日1.恒定流（定常流動(dòng)）：2.非恒定流（非定常流動(dòng)）：流場中各點(diǎn)處的所有流動(dòng)參數(shù)均不隨時(shí)間而變化的流動(dòng)。流場中各點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)的所有流動(dòng)參數(shù)中只要有一個(gè)隨時(shí)間而變化，這樣的流動(dòng)就稱為非恒定流?！?-1描述流體運(yùn)動(dòng)的方法二.恒定流與非恒定流：第二十一頁，共九十三頁，2022年，8月28日跡線：給定質(zhì)點(diǎn)在一段連續(xù)時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡。§3-1描述流體運(yùn)動(dòng)的方法三.跡線和流線：第二十二頁，共九十三頁，2022年，8月28日

流線：§3-1描述流體運(yùn)動(dòng)的方法三.跡線和流線：第二十三頁，共九十三頁，2022年，8月28日§3-1描述流體運(yùn)動(dòng)的方法三.跡線和流線：第二十四頁，共九十三頁，2022年，8月28日流線和跡線的區(qū)別：§3-1描述流體運(yùn)動(dòng)的方法三.跡線和流線：第二十五頁，共九十三頁，2022年，8月28日流線微分方程：設(shè)流線微段為：該點(diǎn)的流體的速度為：因?yàn)椋汗蕛墒噶康淖鴺?biāo)分量對應(yīng)成比例：§3-1描述流體運(yùn)動(dòng)的方法第二十六頁，共九十三頁，2022年，8月28日1.流管：2.流束：3.元流：在流場中任一條封閉曲線（不是流線）上的每一點(diǎn)作流線，這些流線所圍成的管狀表面稱為流管。流管內(nèi)的一束運(yùn)動(dòng)流體稱為流束。如果流管的橫截面積為dA,這種流管稱為微流管,微流管內(nèi)的流束稱為元流。無數(shù)元流的總和稱為總流。4.總流：§3-1描述流體運(yùn)動(dòng)的方法四.流管、流束、元流、總流：第二十七頁，共九十三頁，2022年，8月28日過流斷面：與流線正交的橫斷面。平均流速：V=Q/A

對曲面A,（體積）流量Q：單位時(shí)間內(nèi)通過過流斷面的流體體積。§3-1描述流體運(yùn)動(dòng)的方法五.流量：第二十八頁，共九十三頁，2022年，8月28日1.均勻流與非均勻流：2.漸變流與急變流：在給定時(shí)刻，流場中各流線都是平行直線的流動(dòng)稱為均勻流；否之，則為非均勻流。在非均勻流中，各流線是接近于平行直線的流動(dòng)稱為漸變流（或稱緩變流）；否之，則為急變流。§3-1描述流體運(yùn)動(dòng)的方法六.均勻流、非均勻流、漸變流、急變流：第二十九頁，共九十三頁，2022年，8月28日§3-1描述流體運(yùn)動(dòng)的方法第三十頁，共九十三頁，2022年，8月28日§3-1描述流體運(yùn)動(dòng)的方法第三十一頁，共九十三頁，2022年，8月28日若流體的流動(dòng)參數(shù)是空間三個(gè)坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，這種流動(dòng)稱為三元流動(dòng)；若流動(dòng)參數(shù)是兩個(gè)坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，這種流動(dòng)稱為二元流動(dòng)；若流動(dòng)參數(shù)是一個(gè)坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，這種流動(dòng)稱為一元流動(dòng)?！?-1描述流體運(yùn)動(dòng)的方法七.一元流動(dòng)、二元流動(dòng)、三元流動(dòng)：第三十二頁，共九十三頁，2022年，8月28日§3-1描述流體運(yùn)動(dòng)的方法動(dòng)第三十三頁，共九十三頁，2022年，8月28日§3-1描述流體運(yùn)動(dòng)的方法第三十四頁，共九十三頁，2022年，8月28日求：t=0時(shí)，經(jīng)過點(diǎn)A（-1，-1）的流線方程。例1：已知：u=x+t，v=-y+t,w=0解：

t=0時(shí)，u=x，v=-y,w=0；代入流線微分方程：流線過點(diǎn)A（-1，-1）∴C=1§3-1描述流體運(yùn)動(dòng)的方法流線方程為：第三十五頁，共九十三頁，2022年，8月28日例2：已知某流場中流速分布為：u=-x，v=2y,w=5-z。求通過點(diǎn)(x,y,z)=(2,4,1)的流線方程。解：流線微分方程為：由上述兩式分別積分，并整理得：§3-1描述流體運(yùn)動(dòng)的方法第三十六頁，共九十三頁，2022年，8月28日即流線為曲面和平面的交線。將(x,y,z)=(2,4,1),代入①可確定c1和c2

故通點(diǎn)(2,4,1)的流線方程為：§3-1描述流體運(yùn)動(dòng)的方法第三十七頁，共九十三頁，2022年，8月28日§3-2連續(xù)性方程1.系統(tǒng)與控制體：系統(tǒng)：控制體：包含確定不變的物質(zhì)的集合。一個(gè)空間固定體稱為控制體。一.積分形式的連續(xù)性方程：第三十八頁，共九十三頁，2022年，8月28日系統(tǒng)的流體質(zhì)量為：質(zhì)量守恒:系統(tǒng)的質(zhì)量在任何時(shí)刻都相等。2.連續(xù)性方程的推導(dǎo)：我們選取t時(shí)刻系統(tǒng)的體積τ和表面積A為控制體的體積和表面積?！?-2連續(xù)性方程第三十九頁，共九十三頁，2022年，8月28日§3-2連續(xù)性方程第四十頁，共九十三頁，2022年，8月28日因此：對于任一物理量φ（如動(dòng)量）：§3-2連續(xù)性方程φ——單位體積的某物理量。第四十一頁，共九十三頁，2022年，8月28日即：系統(tǒng)的任一物理量的總變化率等于控制體內(nèi)該物理量的時(shí)間變化率和該物理量通過控制體表面的凈流出率之和。由于質(zhì)量守恒，因此：此方程稱為積分形式的連續(xù)性方程。§3-2連續(xù)性方程第四十二頁，共九十三頁，2022年，8月28日定常流動(dòng)：一元流動(dòng)：ρ1V1A1=ρ2V2A2不可壓縮流體的一元流動(dòng)：V1A1=V2A2§3-2連續(xù)性方程第四十三頁，共九十三頁，2022年，8月28日二元流動(dòng)，取控制體如圖，長為dx,寬為dy。設(shè)控制體中心點(diǎn)的速度分別為u，v，密度為ρ。第一項(xiàng)為：§3-2連續(xù)性方程二.微分形式的連續(xù)性方程：第四十四頁，共九十三頁，2022年，8月28日考慮第二項(xiàng)：左側(cè)面流入質(zhì)量：右側(cè)面流出質(zhì)量：x方向凈流出的質(zhì)量為：§3-2連續(xù)性方程單位時(shí)間內(nèi)控制體表面的凈流出量。第四十五頁，共九十三頁，2022年，8月28日同理,單位時(shí)間內(nèi)y方向凈流出的質(zhì)量為：因此：即：三元流動(dòng)：§3-2連續(xù)性方程第四十六頁，共九十三頁，2022年，8月28日對于定常流動(dòng)（恒定流）：當(dāng)ρ=常數(shù)時(shí)（不可壓縮流體）：§3-2連續(xù)性方程第四十七頁，共九十三頁，2022年，8月28日作業(yè)：P106，第6題、第8題。第四十八頁，共九十三頁，2022年，8月28日§3-3流體運(yùn)動(dòng)的微分方程x方向：

max=F

x從理想流體中取出邊長分別為dx、dy和dz的微元平行六面體。設(shè)微元體中心點(diǎn)的速度分量為u、v和w，其壓強(qiáng)為p、密度為ρ。理想流體的動(dòng)壓強(qiáng)與液體的靜壓強(qiáng)的特性一致。一.理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程：第四十九頁，共九十三頁，2022年，8月28日同理：即：理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程又稱為歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程。不可壓縮粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程又稱為納維-斯托克斯方程，簡稱為N-S方程。§3-3流體運(yùn)動(dòng)的微分方程二.粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程（N-S方程）簡介：第五十頁，共九十三頁，2022年，8月28日N-S方程：在N-S方程中，若=0（理想流體），則N-S方程變?yōu)闅W拉運(yùn)動(dòng)微分方程?！?-3流體運(yùn)動(dòng)的微分方程第五十一頁，共九十三頁，2022年，8月28日§3-5伯努利方程一.理想流體沿流線s的伯努利方程：加速度：如果流動(dòng)恒定，則：考查理想流體沿流線s的運(yùn)動(dòng)方程：1.方程的推導(dǎo)：第五十二頁，共九十三頁，2022年，8月28日§3-5伯努利方程如果質(zhì)量力僅為重力：如果ρ為常數(shù)：積分得：沿流線積分第五十三頁，共九十三頁，2022年，8月28日或：位置水頭(Z)、壓強(qiáng)水頭(p/)與流速水頭(u2/2g)之和稱為總水頭（H）。這就是重力作用下，理想不可壓縮流體恒定流沿流線的伯努利方程。§3-5伯努利方程物理意義和幾何意義見第二章物理意義→單位重量的流體所具有的動(dòng)能幾何意義→流速水頭第五十四頁，共九十三頁，2022年，8月28日2.方程的物理意義和幾何意義：恒定元流伯努利方程的物理意義：理想、不可壓縮流體在重力場中作恒定流動(dòng)時(shí)，沿元流各斷面上機(jī)械能守恒。恒定元流伯努利方程的幾何意義：理想、不可壓縮流體在重力場中作恒定流動(dòng)時(shí)，沿元流各斷面上總水頭保持不變。由于元流的極限狀態(tài)就是流線，故沿流線的伯努利方程就是沿元流的伯努利方程?！?-5伯努利方程第五十五頁，共九十三頁，2022年，8月28日二.壓強(qiáng)沿流線法向的變化：§3-5伯努利方程第五十六頁，共九十三頁，2022年，8月28日漸變流和急變流的概念（復(fù)習(xí)）：如果某處的流線的曲率半徑非常大,則此處的流動(dòng)稱為漸變流；否則稱為急變流。這時(shí)沿流線的法向有：在漸變流斷面上有：§3-5伯努利方程第五十七頁，共九十三頁，2022年，8月28日理想流體沿流線的法向有：理想流體沿流線(或元流)的伯努利方程：微分形式的連續(xù)性方程：積分形式的連續(xù)性方程：理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程：第五十八頁，共九十三頁，2022年，8月28日三.理想流體總流的伯努利方程：研究總流在斷面1-1和2-2之間的部份。取其中某一元流，速度和斷面積分別為u1、dA1和u2、dA2。u1dA1=u2dA2

或dQ1=dQ2§3-5伯努利方程第五十九頁，共九十三頁，2022年，8月28日設(shè)兩斷面1-1和2-2處在漸變流中故：§3-5伯努利方程由于在漸變流斷面上有：令：式中：稱為動(dòng)能修正系數(shù)，與斷面速度分布有關(guān)。工程中其值約為，近似取為1。第六十頁，共九十三頁，2022年，8月28日理想流體恒定總流的伯努利方程中：

各項(xiàng)的物理意義和幾何意義分別與元流的伯努利方程中的相應(yīng)項(xiàng)的物理意義和幾何意義相同。§3-5伯努利方程第六十一頁，共九十三頁，2022年，8月28日四.粘性總流的伯努利方程：如圖：1-1斷面在上游，2-2斷面在下游。由于有粘性，機(jī)械能沿流程減少。實(shí)際流體具有粘性，在流動(dòng)過程中，摩擦阻力做功會(huì)消耗掉一部分機(jī)械能。設(shè)單位重量流體從總流的1-1斷面運(yùn)移至2-2斷面的機(jī)械能損失為hw1-2。則：§3-5伯努利方程第六十二頁，共九十三頁，2022年，8月28日水力坡度J：單位重量流體沿總流單位長度上的機(jī)械能損失。或：§3-5伯努利方程第六十三頁，共九十三頁，2022年，8月28日§3-6伯努利方程的應(yīng)用1.連續(xù)流體（液、氣）。2.流體均勻不可壓縮，=const.。3.恒定流。4.質(zhì)量力僅為重力。5.所取的兩個(gè)計(jì)算斷面為均勻流斷面或漸變流斷面（兩斷面間可以是急變流）。一.伯努利方程的應(yīng)用條件：第六十四頁，共九十三頁，2022年，8月28日單位重量流體從1-1斷面流至0-0斷面：單位重量流體從2-2斷面流至0-0斷面：二.有匯流（或分流）的伯努利方程：§3-6伯努利方程的應(yīng)用前提：過流斷面流速均勻第六十五頁，共九十三頁，2022年，8月28日水泵由進(jìn)水管1，出水管2，以及葉輪，渦殼等組成。水由進(jìn)水管進(jìn)入葉輪中心，流經(jīng)葉片之間的通道進(jìn)入渦殼，由于葉輪的高速旋轉(zhuǎn)，水流獲得能量，出口2-2斷面的壓力增高。p2>p1。1.有能量輸入：三.有能量輸入或輸出的伯努利方程：§3-6伯努利方程的應(yīng)用式中Hm為單位重量液體流經(jīng)水泵所獲得的機(jī)械能，也稱為水泵的揚(yáng)程。第六十六頁，共九十三頁，2022年，8月28日2.有能量輸出：這時(shí)的伯努利方程為：§3-6伯努利方程的應(yīng)用式中Hm為單位重量液體傳遞給水輪機(jī)的機(jī)械能，也稱為水輪機(jī)的工作水頭。第六十七頁，共九十三頁，2022年，8月28日作業(yè)：P107，第12題、第13題。第六十八頁，共九十三頁，2022年，8月28日四.總流伯努利方程的應(yīng)用舉例：1.定斷面：應(yīng)將計(jì)算斷面取在已知條件較多的均勻流或漸變流斷面上，并使伯努利方程包含所要求解的未知數(shù)。2.過流斷面上計(jì)算點(diǎn)的取定：原則上計(jì)算點(diǎn)可在均勻流或漸變流斷面上任取。但為了方便，管流的計(jì)算點(diǎn)應(yīng)取在管軸中心處；明渠流的計(jì)算點(diǎn)則應(yīng)取在自由表面上。3.定基準(zhǔn)面：兩過流斷面必須選取同一基準(zhǔn)面，常使Z≥0。4.方程中的動(dòng)壓強(qiáng)p1和p2既可為絕對壓強(qiáng)，也可為相對壓強(qiáng)。但p1和p2必須同為絕對壓強(qiáng)或同為相對壓強(qiáng)。5.分析和考慮兩過流斷面間的能量損失hw1-2。解題時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：§3-6伯努利方程的應(yīng)用第六十九頁，共九十三頁，2022年，8月28日例1.求小孔出流的流量：如圖，對斷面0-0和斷面1-1列伯努利方程，不計(jì)能量損失，有：上式中：A為小孔的面積，A為1-1斷面的面積。解：§3-6伯努利方程的應(yīng)用第七十頁，共九十三頁，2022年，8月28日例2.用文丘里流量計(jì)測定管道中的流量：如圖，在1-1及2-2斷面列伯努利方程，不計(jì)能量損失有：解：§3-6伯努利方程的應(yīng)用由于：故：又因?yàn)椋核裕旱谄呤豁?，共九十三頁?022年，8月28日：考慮能量損失及其它因素所加的系數(shù)（1）§3-6伯努利方程的應(yīng)用流量為：第七十二頁，共九十三頁，2022年，8月28日例3.用皮托管測流速：§3-6伯努利方程的應(yīng)用第七十三頁，共九十三頁，2022年，8月28日書上P80–81例3-10解：對1-1和2-2斷面列伯努利方程：水泵的有效功率：§3-6伯努利方程的應(yīng)用水泵抽水,已知:

Q=8.5×10-3m3/s,h=6.3m,hw=0.9m(水柱)。

求：水泵的有效功率P=？第七十四頁，共九十三頁，2022年，8月28日書上P81–82例3-11輸氣管入口，已知：ρ’=1000kg/m3，ρ=1.25kg/m3，d=0.4m，h=30mm。求：Q=?解：對0-0和1-1斷面列伯努利方程，不計(jì)損失：§3-6伯努利方程的應(yīng)用第七十五頁，共九十三頁，2022年，8月28日書上P83–84例3-14有一虹吸管，已知：d=0.1m,hWAC=2.12m，hWCB=3.51m,h=6.2m，H=4.85m。求：Q=?pa–pc=?解：1)對水池液面和管道出口斷面列伯努利方程：§3-6伯努利方程的應(yīng)用第七十六頁，共九十三頁，2022年，8月28日2)對水池液面和管道C斷面列伯努利方程：§3-6伯努利方程的應(yīng)用第七十七頁，共九十三頁，2022年，8月28日§3-7動(dòng)量方程及其應(yīng)用一.總流動(dòng)量方程的推導(dǎo)：質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量方程：質(zhì)點(diǎn)系（系統(tǒng)）的動(dòng)量方程：在§3-2中知：對于任一物理量φ（如動(dòng)量）有：即：第七十八頁，共九十三頁，2022年，8月28日對于恒定總流，有：若令：對于控制體不計(jì)粘性力：§3-7動(dòng)量方程及其應(yīng)用第七十九頁，共九十三頁，2022年，8月28日對于如圖所示的不可壓縮液體的恒定總流，有：兩斷面1-1和2-2為均勻流斷面或漸變流斷面。§3-7動(dòng)量方程及其應(yīng)用或：這里：第八十頁，共九十三頁，2022年，8月28日在求解實(shí)際問題時(shí)，一般采用直角坐標(biāo)系中的投影形式：動(dòng)量方程中的外力：包括質(zhì)量力(重力)和表面力。式中：稱為動(dòng)量修正系數(shù)，與斷面速度分布有關(guān)。工程中其值約為，近似取為1。不可壓液體恒定總流的動(dòng)量方程：§3-7動(dòng)量方程及其應(yīng)用物理意義：流出控制體動(dòng)量-流入控制體動(dòng)量=外力和第八十一頁，共九十三頁，2022年，8月28日二.總流動(dòng)量方程的應(yīng)用舉例：1.解題關(guān)鍵——正確地選取控制體。通常將控制面的一部分取在運(yùn)動(dòng)液體與固體的交界面（或液體與氣體的分界面）上，另一部分取在漸變流斷面上，并使控制面封閉。2.解題步驟：1）先利用連續(xù)性方程、伯努利方程等求出一些相關(guān)參數(shù)。2）選取漸變流斷面，確定控制體；并建立直角坐標(biāo)系。3）分析作用在控制體內(nèi)液體上的所有外力及漸變流斷面上的流速V；確定力和速度的方向，并將其在坐標(biāo)軸上投影。4）列動(dòng)量方程，并求解之。動(dòng)量方程一般用于求解液體作用在固體壁面上的力。§3-7動(dòng)量方程及其應(yīng)用第八十二頁，共九十三頁，2022年，8月28日確定射流對平板的沖擊力（1）：平板受力分析：左邊受動(dòng)水壓強(qiáng)p，右邊受大氣壓強(qiáng)pa。平板受到的射流的作用力T由相對壓強(qiáng)所引起。平板對射流的反作用力為F，有：F與T大小相等，方向相反。§3-7動(dòng)量方程及其應(yīng)用第八十三頁，共九十三頁，2022年，8月28日作業(yè)：P108，第18題

P110，第27題第八十四頁，共九十三頁，2