工學(xué)第二章-電磁場的基本規(guī)律課件

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第2章電磁場的基本規(guī)律1第2章電磁場的基本規(guī)律2

2.1電荷守恒定律2.2真空中靜電場的基本規(guī)律2.3真空中恒定磁場的基本規(guī)律2.4媒質(zhì)的電磁特性2.5電磁感應(yīng)定律2.6位移電流2.7麥克斯韋方程組2.8電磁場的邊界條件本章討論內(nèi)容22.1電荷守恒定律本章討論內(nèi)容32.1

電荷守恒定律本節(jié)討論的內(nèi)容：電荷模型、電流模型、電荷守恒定律

電磁場物理模型中的基本物理量可分為源量和場量兩大類。電荷電流電場磁場（運(yùn)動(dòng)）

源量為電荷q(r，t)和電流I(r，t)，分別用來描述產(chǎn)生電磁效應(yīng)的兩類場源。電荷是產(chǎn)生電場的源，電流是產(chǎn)生磁場的源。32.1電荷守恒定律本節(jié)討論的內(nèi)容：電荷模型、電流模型、電4?

電荷是物質(zhì)基本屬性之一。

?1897年英國科學(xué)家湯姆遜(J.J.Thomson)在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)了電子。

?1907－1913年間，美國科學(xué)家密立根(R.A.Miliken)通過油滴實(shí)驗(yàn)，精確測定電子電荷的量值為

e=1.60217733×10-19(單位：C)確認(rèn)了電荷量的量子化概念。換句話說，e是最小的電荷量，而任何帶電粒子所帶電荷都是e的整數(shù)倍。

?宏觀分析時(shí)，電荷常是數(shù)以億計(jì)的電子電荷e的組合，故可不考慮其量子化的事實(shí)，而認(rèn)為電荷量q可任意連續(xù)取值。2.1.1電荷與電荷密度4?電荷是物質(zhì)基本屬性之一。51.電荷體密度

單位：C/m3

(庫侖/米3

)

根據(jù)電荷密度的定義，如果已知某空間區(qū)域V中的電荷體密度，則區(qū)域V中的總電量q為

電荷連續(xù)分布于體積V內(nèi)，用電荷體密度來描述其分布

理想化實(shí)際帶電系統(tǒng)的電荷分布形態(tài)分為四種形式：點(diǎn)電荷、體分布電荷、面分布電荷、線分布電荷51.電荷體密度單位：C/m3(庫侖/6

若電荷分布在薄層上的情況，當(dāng)僅考慮薄層外，距薄層的距離要比薄層的厚度大得多處的電場，而不分析和計(jì)算該薄層內(nèi)的電場時(shí)，可將該薄層的厚度忽略，認(rèn)為電荷是面分布。面分布的電荷可用電荷面密度表示。

2.電荷面密度單位:C/m2

(庫侖/米2)

如果已知某空間曲面S上的電荷面密度，則該曲面上的總電量q為6若電荷分布在薄層上的情況，當(dāng)僅考慮薄層外7

在電荷分布在細(xì)線上的情況，當(dāng)僅考慮細(xì)線外，距細(xì)線的距離要比細(xì)線的直徑大得多處的電場，而不分析和計(jì)算線內(nèi)的電場時(shí)，可將線的直徑忽略，認(rèn)為電荷是線分布。

3.電荷線密度

如果已知某空間曲線上的電荷線密度，則該曲線上的總電量q為

單位:C/m(庫侖/米)7在電荷分布在細(xì)線上的情況，當(dāng)僅考慮細(xì)線外，距8

對于總電量為q的電荷集中在很小區(qū)域V的情況，當(dāng)不分析和計(jì)算該電荷所在的小區(qū)域中的電場，而僅需要分析和計(jì)算電場的區(qū)域又距離電荷區(qū)很遠(yuǎn)，即場點(diǎn)距源點(diǎn)的距離遠(yuǎn)大于電荷所在的源區(qū)的線度時(shí)，小體積V中的電荷可看作位于該區(qū)域中心、電量為q的點(diǎn)電荷。點(diǎn)電荷的電荷密度表示4.點(diǎn)電荷8對于總電量為q的電荷集中在很小區(qū)域V的情況92.1.2

電流與電流密度說明：電流通常是時(shí)間的函數(shù)，不隨時(shí)間變化的電流稱為恒定電流，用I表示。形成電流的條件：

存在可以自由移動(dòng)的電荷存在電場單位:A（安培）電流方向:正電荷的流動(dòng)方向電流——電荷的定向運(yùn)動(dòng)而形成，用i表示，其大小定義為：單位時(shí)間內(nèi)通過某一橫截面S的電荷量，即92.1.2電流與電流密度說明：電流通常是時(shí)間的函數(shù)，不10

電荷在某一體積內(nèi)定向運(yùn)動(dòng)所形成的電流稱為體電流，用電流密度矢量來描述。單位：A/m2。

一般情況下，在空間不同的點(diǎn)，電流的大小和方向往往是不同的。在電磁理論中，常用體電流、面電流和線電流來描述電流的分別狀態(tài)。

1.體電流

流過任意曲面S的電流為體電流密度矢量正電荷運(yùn)動(dòng)的方向10電荷在某一體積內(nèi)定向運(yùn)動(dòng)所形成的電流稱為體電流，112.面電流

電荷在一個(gè)厚度可以忽略的薄層內(nèi)定向運(yùn)動(dòng)所形成的電流稱為面電流，用面電流密度矢量來描述其分布面電流密度矢量d0單位：A/m。通過薄導(dǎo)體層上任意有向曲線

的電流為正電荷運(yùn)動(dòng)的方向線電流：電荷在一個(gè)橫截面積可以忽略的細(xì)線中做定向流動(dòng)所形成的電流，可認(rèn)為電流是集中在細(xì)導(dǎo)線的軸線上。電流元：長度元dl中流過電流I，將Idl稱為電流元。112.面電流電荷在一個(gè)厚度可以忽略的薄層內(nèi)定向122.1.3.

電荷守恒定律（電流連續(xù)性方程）電荷守恒定律:電荷既不能被創(chuàng)造，也不能被消滅，只能從物體的一部分轉(zhuǎn)移到另一部分，或者從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移到另一個(gè)物體。電流連續(xù)性方程積分形式微分形式電荷守恒定律：流出閉曲面S的電流等于體積V內(nèi)單位時(shí)間所減少的電荷量電荷守恒定律是電磁現(xiàn)象中的基本定律之一。微分形式的證明？122.1.3.電荷守恒定律（電流連續(xù)性方程）電荷守恒定律13設(shè)定閉合面S所限定的體積V不隨時(shí)間變化，則將積分形式中的全導(dǎo)數(shù)寫成偏導(dǎo)數(shù)又因?yàn)镾為任意取的閉合曲面，則其所包圍的體積V也是任意的。故：根據(jù)散度定理：電流連續(xù)性方程的微分形式13設(shè)定閉合面S所限定的體積V不隨時(shí)間變化，則將積分形式中的14恒定電流是無源場，電流線是連續(xù)的閉合曲線，既無起點(diǎn)也無終點(diǎn)恒定電流：這表明從任意閉合面?zhèn)鞒龅暮愣娏鳛?，或恒定電流是一個(gè)無散度的場。14恒定電流是無源場，電流線是連續(xù)的閉合曲線，既無起點(diǎn)也無終152.2真空中靜電場的基本規(guī)律1.

庫侖（Coulomb）定律(1785年)

2.2.1.庫侖定律電場強(qiáng)度靜電場：由靜止電荷產(chǎn)生的電場重要特征：對位于電場中的電荷有電場力作用；電場強(qiáng)度矢量是描述電場的基本物理量真空中靜止點(diǎn)電荷q1對q2的作用力:

，滿足牛頓第三定律。

大小與兩電荷的電荷量成正比，與兩電荷距離的平方成反比；方向沿q1和q2連線方向，同性電荷相排斥，異性電荷相吸引；152.2真空中靜電場的基本規(guī)律1.庫侖（Coulo16電場力服從疊加原理

真空中的N個(gè)點(diǎn)電荷（分別位于）對點(diǎn)電荷（位于）的作用力為qq1q2q3q4q5q6q7表明，任何電荷都在自己周圍空間產(chǎn)生電場，而電場對于處在其中任何其它電荷都有作用力。16電場力服從疊加原理真空中的N個(gè)點(diǎn)電荷172.電場強(qiáng)度

空間某點(diǎn)的電場強(qiáng)度定義為置于該點(diǎn)的單位點(diǎn)電荷（又稱試驗(yàn)電荷）受到的作用力，即如果電荷是連續(xù)分布呢？

根據(jù)上述定義，真空中靜止點(diǎn)電荷q激發(fā)的電場為：——描述電場分布的基本物理量

電場強(qiáng)度矢量——試驗(yàn)正電荷單位：V/m（伏/米）172.電場強(qiáng)度 空間某點(diǎn)的電場強(qiáng)度定義為置于該點(diǎn)18體密度為的體分布電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度線密度為的線分布電荷的電場強(qiáng)度面密度為的面分布電荷的電場強(qiáng)度小體積元中的電荷產(chǎn)生的電場18體密度為的體分布電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度線密193.幾種典型電荷分布的電場強(qiáng)度

均勻帶電直線段的電場強(qiáng)度：

均勻帶電圓環(huán)軸線上的電場強(qiáng)度：（無限長）（有限長）均勻帶電圓環(huán)均勻帶電直線段193.幾種典型電荷分布的電場強(qiáng)度均勻帶電直線段的電場20

電偶極子的電場強(qiáng)度：——電偶極矩+q電偶極子zol－q電偶極子的場圖等位線電場線

電偶極子是由相距很近、帶等值異號(hào)的兩個(gè)點(diǎn)電荷組成的電荷系統(tǒng)，其遠(yuǎn)區(qū)電場強(qiáng)度為20電偶極子的電場強(qiáng)度：——電偶極矩+q電偶極子zol－q21

例2.2.2計(jì)算均勻帶電的環(huán)形薄圓盤軸線上任意點(diǎn)的電場強(qiáng)度。

解：如圖所示，環(huán)形薄圓盤的內(nèi)半徑為a、外半徑為b，電荷面密度為。在環(huán)形薄圓盤上取面積元

，其位置矢量為，它所帶的電量為。而薄圓盤軸線上的場點(diǎn)的位置矢量為，因此有P(0,0,z)brRyzx均勻帶電的環(huán)形薄圓盤dSa故由于21例2.2.2計(jì)算均勻帶電的環(huán)形薄222.2.2靜電場的散度與旋度1.靜電場的通量和散度右圖表示點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度，穿過以點(diǎn)電荷為心的球面S0，其電通量

在原點(diǎn)（r’=0處）R=r,積分相當(dāng)于的點(diǎn)積。從而，包圍S0作任意閉曲面S，穿過S0的電力線也必定全部穿過S，即穿過任意閉曲面通量的有效值相當(dāng)于在球面上的投影，上式推廣為222.2.2靜電場的散度與旋度1.靜電場的通量和散23表明，空間任意一點(diǎn)電場強(qiáng)度的散度與該處的電荷密度有關(guān)，靜電荷是靜電場的通量源。利用散度定理

S內(nèi)含N個(gè)點(diǎn)電荷或電荷體密度為時(shí)，得表明，電場強(qiáng)度矢量穿過閉合曲面S的通量等于該閉合曲面所包圍的總電荷與之比。導(dǎo)出：高斯定理積分形式高斯定理微分形式23表明，空間任意一點(diǎn)電場強(qiáng)度的散度與該處的電荷密度有關(guān)，靜242.靜電場的環(huán)量和旋度右圖表示點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度，沿著以點(diǎn)電荷為圓心的圓周線C0積分，則其環(huán)量積分相當(dāng)于的點(diǎn)積。包圍C0作任意閉曲線C，沿圓周線切線方向的電力線數(shù)全部為零，同樣電力線數(shù)沿任意閉曲線穿過的切線方向部分的代數(shù)和也必定為零，亦即沿任意閉曲線環(huán)量的有效值相當(dāng)于在圓周上的投影，上式推廣為242.靜電場的環(huán)量和旋度右圖表示點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度，沿25利用斯托克斯定理

導(dǎo)出：

表明在靜電場中，沿任意閉合路徑C的積分恒等于0。其物理意義是將單位正電荷沿靜電場中的任一個(gè)閉合路徑移動(dòng)一周，電場力不做功。表明靜電場是無旋場。靜電場的基本性質(zhì)（1）靜電場是由通量源、不是由旋渦源產(chǎn)生的場；（2）靜電場是有源無旋場。25利用斯托克斯定理

導(dǎo)出：26

當(dāng)電場分布具有一定對稱性的情況下，可以利用高斯定理計(jì)算電場強(qiáng)度。

3.利用高斯定理計(jì)算電場強(qiáng)度具有以下幾種對稱性的場可用高斯定理求解：

球?qū)ΨQ分布：包括均勻帶電的球面，球體和多層同心球殼等。均勻帶電球體帶電球殼多層同心球殼26當(dāng)電場分布具有一定對稱性的情況下，可以利用高斯定27

無限大平面電荷：如無限大的均勻帶電平面、平板等。

軸對稱分布：如無限長均勻帶電的直線，圓柱面，圓柱殼等。(a)(b)27無限大平面電荷：如無限大的均勻帶電平面、平板等。軸28

例2.2.3

求真空中均勻帶電球體的場強(qiáng)分布。已知球體半徑為a，電荷密度為0。

解：（1）球外某點(diǎn)的場強(qiáng)（2）求球體內(nèi)一點(diǎn)的場強(qiáng)ar0rrEa(r≥a)（r<a）28例2.2.3求真空中均勻帶電球體的場強(qiáng)分布。已292.3真空中恒定磁場的基本規(guī)律1.

安培力定律

安培對電流的磁效應(yīng)進(jìn)行了大量的實(shí)驗(yàn)研究，在1821～1825年之間，設(shè)計(jì)并完成了電流相互作用的精巧實(shí)驗(yàn)，得到了電流相互作用力公式，稱為安培力定律。

實(shí)驗(yàn)表明，真空中的載流回路C1對載流回路C2的作用力滿足牛頓第三定律

載流回路C2對載流回路C1的作用力安培力定律2.3.1安培力定律磁感應(yīng)強(qiáng)度

292.3真空中恒定磁場的基本規(guī)律1.安培力定律302、磁感應(yīng)強(qiáng)度

電流在其周圍空間中產(chǎn)生磁場，描述磁場分布的基本物理量是磁感應(yīng)強(qiáng)度，單位為T（特斯拉）。

磁場的重要特征是對場中的電流磁場力作用，載流回路C1對載流回路C2的作用力是回路C1中的電流I1產(chǎn)生的磁場對回路C2中的電流I2的作用力。

根據(jù)安培力定律，有其中電流I1在電流元

處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度302、磁感應(yīng)強(qiáng)度 電流在其周圍空間中產(chǎn)生31任意電流回路C產(chǎn)生的磁場感應(yīng)強(qiáng)度電流元產(chǎn)生的磁場感應(yīng)強(qiáng)度體電流產(chǎn)生的磁場感應(yīng)強(qiáng)度面電流產(chǎn)生的磁場感應(yīng)強(qiáng)度31任意電流回路C產(chǎn)生的磁場感應(yīng)強(qiáng)度電流元產(chǎn)生的323.幾種典型電流分布的磁感應(yīng)強(qiáng)度

載流直線段的磁感應(yīng)強(qiáng)度：

載流圓環(huán)軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度：（有限長）（無限長）載流直線段載流圓環(huán)323.幾種典型電流分布的磁感應(yīng)強(qiáng)度載流直線段的磁感33而場點(diǎn)P的位置矢量為

，故得

解：設(shè)圓環(huán)的半徑為a，流過的電流為I。為計(jì)算方便取線電流圓環(huán)位于xy平面上，則所求場點(diǎn)為P(0,0,z),如圖所示。采用圓柱坐標(biāo)系，圓環(huán)上的電流元為，其位置矢量為

例2.3.1計(jì)算線電流圓環(huán)軸線上任一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。載流圓環(huán)軸線上任一點(diǎn)P(0,0,z)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為33而場點(diǎn)P的位置矢量為，故得解：34可見，線電流圓環(huán)軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度只有軸向分量，這是因?yàn)閳A環(huán)上各對稱點(diǎn)處的電流元在場點(diǎn)P產(chǎn)生的磁場強(qiáng)度的徑向分量相互抵消。當(dāng)場點(diǎn)P遠(yuǎn)離圓環(huán)，即z>>a時(shí)，因，故由于，所以

在圓環(huán)的中心點(diǎn)上，z=0，磁感應(yīng)強(qiáng)度最大，即34可見，線電流圓環(huán)軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度只有軸向分量，這是因?yàn)?52.3.2恒定磁場的散度和旋度

1.

恒定磁場的通量和散度右圖表示載流長直導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場，穿過以坐標(biāo)原點(diǎn)為心的球面S0，其磁通量積分相當(dāng)于的點(diǎn)積。上式可推廣到任意分布電流產(chǎn)生的磁場，穿過任意閉曲面S的通量也滿足352.3.2恒定磁場的散度和旋度1.恒定磁場的通量36上式看出，自由空間中磁感應(yīng)強(qiáng)度穿過任意閉曲面的磁通量為零，磁力線是無頭無尾的閉曲線。恒定磁場的磁通量形式為高斯定理積分形式。利用散度定理，導(dǎo)出上式看出自由空間中某點(diǎn)的恒定磁場無散度源。恒定磁場的散度的形式為高斯定理微分形式。36上式看出，自由空間中磁感應(yīng)強(qiáng)度穿過任意閉曲面的磁通量為零372.

恒定磁場的環(huán)量和旋度右圖表示載流長直導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場，沿著以坐標(biāo)原點(diǎn)為心的圓周線Cl積分，則其環(huán)量積分相當(dāng)于的點(diǎn)積。上式可推廣于任意分布電流的磁場沿環(huán)繞電流的任意閉曲線Cl積分，其環(huán)量372.恒定磁場的環(huán)量和旋度右圖表示載流長直導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場38利用斯托克斯定理導(dǎo)出看出恒定磁場是有旋場，穩(wěn)恒電流是恒定磁場的旋渦源。恒定磁場的基本性質(zhì)（1）恒定磁場不是由通量源，而是由旋渦源產(chǎn)生的；（2）恒定磁場是無源有旋場。38利用斯托克斯定理導(dǎo)出看出恒定磁場是有旋場，穩(wěn)恒電流是恒定靜電場和靜磁場小結(jié)：高斯定理表明：靜電場是有源場，電場線起始于正電荷，終止于負(fù)電荷。1.靜電場散度與高斯定理環(huán)路定理表明：靜電場是無旋場，是保守場，電場力做功與路徑關(guān)。2.靜電場旋度與環(huán)路定理3.

恒定磁場的散度與磁通連續(xù)性原理磁通連續(xù)性原理表明：恒定磁場是無源場，磁場線是無起點(diǎn)和終點(diǎn)的閉合曲線。安培環(huán)路定理表明：恒定磁場是有旋場，是非保守場、電流是場的旋渦源。4.恒定磁場的旋度與安培環(huán)路定理靜電場和靜磁場小結(jié)：高斯定理表明：靜電場是有源場，電場線起始402.4媒質(zhì)的電磁特性

1.電介質(zhì)的極化現(xiàn)象

電介質(zhì)的分子分為無極分子和有極分子。在電場作用下，介質(zhì)中無極分子的束縛電荷發(fā)生位移，有極分子的固有電偶極矩的取向趨于電場方向，這種現(xiàn)象稱為電介質(zhì)的極化。通常，無極分子的極化稱為位移極化，有極分子的極化稱為取向極化。2.4.1電介質(zhì)的極化電位移矢量無極分子有極分子無外加電場

媒質(zhì)對電磁場的響應(yīng)可分為三種情況：極化、磁化和傳導(dǎo)。

描述媒質(zhì)電磁特性的參數(shù)為：

介電常數(shù)、磁導(dǎo)率和電導(dǎo)率。無極分子有極分子有外加電場E402.4媒質(zhì)的電磁特性1.電介質(zhì)的極化現(xiàn)象412.極化強(qiáng)度矢量

極化強(qiáng)度矢量

是描述介質(zhì)極化程度的物理量，定義為

——分子的平均電偶極矩

的物理意義：單位體積內(nèi)分子電偶極矩的矢量和。

極化強(qiáng)度與電場強(qiáng)度有關(guān)，其關(guān)系一般比較復(fù)雜。在線性、各向同性的電介質(zhì)中，與電場強(qiáng)度成正比，即

——電介質(zhì)的電極化率

E412.極化強(qiáng)度矢量極化強(qiáng)度矢量是描述介質(zhì)極化程42

由于極化，正負(fù)電荷發(fā)生位移，在電介質(zhì)內(nèi)部可能出現(xiàn)凈余的極化電荷分布，同時(shí)在電介質(zhì)的表面上有面分布的極化電荷。3.極化電荷(1)

極化電荷體密度

在電介質(zhì)內(nèi)任意作一閉合面S，只有電偶極矩穿過S的分子對S內(nèi)的極化電荷有貢獻(xiàn)。由于負(fù)電荷位于斜柱體內(nèi)的電偶極矩才穿過小面元dS，因此dS對極化電荷的貢獻(xiàn)為S所圍的體積內(nèi)的極化電荷為E

S42由于極化，正負(fù)電荷發(fā)生位移，在電介質(zhì)內(nèi)部可能出43(2)

極化電荷面密度

緊貼電介質(zhì)表面取如圖所示的閉曲面，則穿過面積元的極化電荷為故得到電介質(zhì)表面的極化電荷面密度為43(2)極化電荷面密度緊貼電介質(zhì)表面取如圖所444.電位移矢量介質(zhì)中的高斯定理

介質(zhì)的極化過程包括兩個(gè)方面：外加電場的作用使介質(zhì)極化，產(chǎn)生極化電荷；極化電荷反過來激發(fā)電場，兩者相互制約，并達(dá)到平衡狀態(tài)。無論是自由電荷，還是極化電荷，它們都激發(fā)電場，服從同樣的庫侖定律和高斯定理。自由電荷和極化電荷共同激發(fā)的結(jié)果

介質(zhì)中的電場應(yīng)該是外加電場和極化電荷產(chǎn)生的電場的疊加，應(yīng)用高斯定理得到：444.電位移矢量介質(zhì)中的高斯定理 介質(zhì)的極化45任意閉合曲面電位移矢量D的通量等于該曲面包含自由電荷的代數(shù)和

小結(jié)：靜電場是有源無旋場，電介質(zhì)中的基本方程為

引入電位移矢量（單位為C/m2)將極化電荷體密度表達(dá)式代入，有則有

其積分形式為

（積分形式）

（微分形式），

45任意閉合曲面電位移矢量D的通量等于該曲面包含自由電荷46在這種情況下其中稱為介質(zhì)的介電常數(shù)，稱為介質(zhì)的相對介電常數(shù)（無量綱）。*

介質(zhì)有多種不同的分類方法，如：均勻和非均勻介質(zhì)各向同性和各向異性介質(zhì)時(shí)變和時(shí)不變介質(zhì)線性和非線性介質(zhì)確定性和隨機(jī)介質(zhì)5.電介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系

極化強(qiáng)度與電場強(qiáng)度之間的關(guān)系由介質(zhì)的性質(zhì)決定。對于線性各向同性介質(zhì)，

和

有簡單的線性關(guān)系46在這種情況下其中例：半徑為a，介電常數(shù)為?的球形電介質(zhì)內(nèi)地極化強(qiáng)度為

，式中的k為常數(shù)。（1）計(jì)算極化電荷體密度和面密度（2）計(jì)算電介質(zhì)球內(nèi)自由電荷體密度例：半徑為a，介電常數(shù)為?的球形電介質(zhì)內(nèi)地極化強(qiáng)度為482.4.2磁介質(zhì)的磁化磁場強(qiáng)度1.磁介質(zhì)的磁化

介質(zhì)中分子或原子內(nèi)的電子運(yùn)動(dòng)形成分子電流，形成分子磁矩?zé)o外加磁場外加磁場B

在外磁場作用下，分子磁矩定向排列，宏觀上顯示出磁性，這種現(xiàn)象稱為磁介質(zhì)的磁化。

無外磁場作用時(shí)，分子磁矩不規(guī)則排列，宏觀上不顯磁性。482.4.2磁介質(zhì)的磁化磁場強(qiáng)度1.磁介質(zhì)的磁49B2.磁化強(qiáng)度矢量

磁化強(qiáng)度是描述磁介質(zhì)磁化程度的物理量，定義為單位體積中的分子磁矩的矢量和，即單位為A/m。49B2.磁化強(qiáng)度矢量磁化強(qiáng)度503.磁化電流

磁介質(zhì)被磁化后，在其內(nèi)部與表面上可能出現(xiàn)宏觀的電流分布，稱為磁化電流。

考察穿過任意圍線C所圍曲面S的電流。只有分子電流與圍線相交鏈的分子才對電流有貢獻(xiàn)。與線元dl相交鏈的分子，中心位于如圖所示的斜圓柱內(nèi)，所交鏈的電流BC穿過曲面S的磁化電流為（1）磁化電流體密度503.磁化電流磁介質(zhì)被磁化后，在其內(nèi)部與表面51由，即得到磁化電流體密度

在緊貼磁介質(zhì)表面取一長度元dl，與此交鏈的磁化電流為（2）磁化電流面密度則即的切向分量51由，即得到磁化電流體密度524.磁場強(qiáng)度介質(zhì)中安培環(huán)路定理

分別是傳導(dǎo)電流密度和磁化電流密度。

將極化電荷體密度表達(dá)式代入，有,即

外加磁場使介質(zhì)發(fā)生磁化，磁化導(dǎo)致磁化電流。磁化電流同樣也激發(fā)磁感應(yīng)強(qiáng)度，兩種相互作用達(dá)到平衡，介質(zhì)中的磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)是所有電流源激勵(lì)的結(jié)果：定義磁場強(qiáng)度為：524.磁場強(qiáng)度介質(zhì)中安培環(huán)路定理分53則得到介質(zhì)中的安培環(huán)路定理為：磁通連續(xù)性定理為小結(jié)：恒定磁場是有源無旋場，磁介質(zhì)中的基本方程為

（積分形式）

（微分形式）53則得到介質(zhì)中的安培環(huán)路定理為：磁通連續(xù)性定理為小結(jié)：恒定54其中，稱為介質(zhì)的磁化率（也稱為磁化系數(shù)）。這種情況下其中稱為介質(zhì)的磁導(dǎo)率，稱為介質(zhì)的相對磁導(dǎo)率（無量綱）。順磁質(zhì)抗磁質(zhì)鐵磁質(zhì)磁介質(zhì)的分類5.磁介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系

磁化強(qiáng)度

和磁場強(qiáng)度

之間的關(guān)系由磁介質(zhì)的物理性質(zhì)決定，對于線性各向同性介質(zhì)，與之間存在簡單的線性關(guān)系：54其中，稱為介質(zhì)的磁化率（也稱為磁化系數(shù)）。這種情55磁場強(qiáng)度磁化強(qiáng)度磁感應(yīng)強(qiáng)度

例2.4.1

有一磁導(dǎo)率為μ

，半徑為a的無限長導(dǎo)磁圓柱，其軸線處有無限長的線電流I，圓柱外是空氣（μ0），試求圓柱內(nèi)外的、和的分布。

解磁場為平行平面場,且具有軸對稱性，應(yīng)用安培環(huán)路定律，得55磁場強(qiáng)度磁化強(qiáng)度磁感應(yīng)強(qiáng)度例2.4.1例：內(nèi)、外半徑分別為的圓筒形磁介質(zhì)中，沿軸向有電流密度為的傳導(dǎo)電流。設(shè)磁介質(zhì)的磁導(dǎo)率為，求磁化電流分布。例：內(nèi)、外半徑分別為572.4.3媒質(zhì)的傳導(dǎo)特性

對于線性和各向同性導(dǎo)電媒質(zhì)，媒質(zhì)內(nèi)任一點(diǎn)的電流密度矢量J和電場強(qiáng)度E成正比，表示為這就是歐姆定律的微分形式。式中的比例系數(shù)稱為媒質(zhì)的電導(dǎo)率，單位是S/m（西門子/米）。晶格帶電粒子

存在可以自由移動(dòng)帶電粒子的介質(zhì)稱為導(dǎo)電媒質(zhì)。在外場作用下，導(dǎo)電媒質(zhì)中將形成定向移動(dòng)電流。

572.4.3媒質(zhì)的傳導(dǎo)特性對于線性和各向同性582.5電磁感應(yīng)定律和位移電流2.5.1電磁感應(yīng)定律

自從1820年奧斯特發(fā)現(xiàn)電流的磁效應(yīng)之后，人們開始研究相反的問題，即磁場能否產(chǎn)生電流。

1881年法拉弟發(fā)現(xiàn)，當(dāng)穿過導(dǎo)體回路的磁通量發(fā)生變化時(shí)，回路中就會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電流和電動(dòng)勢，且感應(yīng)電動(dòng)勢與磁通量的變化有密切關(guān)系，由此總結(jié)出了著明的法拉電磁感應(yīng)定律。

電磁感應(yīng)定律——揭示時(shí)變磁場產(chǎn)生電場

位移電流——揭示時(shí)變電場產(chǎn)生磁場

重要結(jié)論：在時(shí)變情況下，電場與磁場相互激勵(lì)，形成統(tǒng)一的電磁場。582.5電磁感應(yīng)定律和位移電流2.5.1電磁感應(yīng)定律59負(fù)號(hào)表示感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場總是阻止磁通量的變化。1.

法拉弟電磁感應(yīng)定律的表述

設(shè)任意導(dǎo)體回路C圍成的曲面為S，其單位法向矢量為，則穿過回路的磁通為

當(dāng)通過導(dǎo)體回路所圍面積的磁通量發(fā)生變化時(shí)，回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢in的大小等于磁通量的時(shí)間變化率的負(fù)值，方向是要阻止回路中磁通量的改變，即59負(fù)號(hào)表示感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場總是阻止磁通量的變化。1.法60

導(dǎo)體回路中有感應(yīng)電流，表明回路中存在感應(yīng)電場，回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢可表示為

感應(yīng)電場是由變化的磁場所激發(fā)的電場；感應(yīng)電場是有旋場；

感應(yīng)電場不僅存在于導(dǎo)體回路中，也存在于導(dǎo)體回路之外的空間；對空間中的任意回路（不一定是導(dǎo)體回路）C，都有因而有

對感應(yīng)電場的討論：60導(dǎo)體回路中有感應(yīng)電流，表明回路中存在感應(yīng)電場61相應(yīng)的微分形式為(1)

回路不變，磁場隨時(shí)間變化這就是推廣的法拉第電磁感應(yīng)定律。

若空間同時(shí)存在由電荷產(chǎn)生的電場,則總電場應(yīng)為與之和，即。由于，故有2.

引起回路中磁通變化的幾種情況：磁通量的變化由磁場隨時(shí)間變化引起，因此有61相應(yīng)的微分形式為(1)回路不變，磁場隨時(shí)間變化這就是62稱為動(dòng)生電動(dòng)勢，這就是發(fā)電機(jī)工作原理。(2)

導(dǎo)體回路在恒定磁場中運(yùn)動(dòng)(3)

回路在時(shí)變磁場中運(yùn)動(dòng)62稱為動(dòng)生電動(dòng)勢，這就是發(fā)電機(jī)工作原理。(2)導(dǎo)體63

（1），矩形回路靜止；xbaoyx均勻磁場中的矩形環(huán)L

（3），且矩形回路上的可滑動(dòng)導(dǎo)體L以勻速運(yùn)動(dòng)。

解：(1)均勻磁場

隨時(shí)間作簡諧變化，而回路靜止，因而回路內(nèi)的感應(yīng)電動(dòng)勢是由磁場變化產(chǎn)生的，故

例2.5.1長為a、寬為b的矩形環(huán)中有均勻磁場

垂直穿過，如圖所示。在以下三種情況下，求矩形環(huán)內(nèi)的感應(yīng)電動(dòng)勢。

（2），矩形回路的寬邊b=常數(shù)，但其長邊因可滑動(dòng)導(dǎo)體L以勻速運(yùn)動(dòng)而隨時(shí)間增大；63（1）64(3)矩形回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢是由磁場變化以及可滑動(dòng)導(dǎo)體L在磁場中運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，故得(2)均勻磁場

為恒定磁場，而回路上的可滑動(dòng)導(dǎo)體以勻速運(yùn)動(dòng)，因而回路內(nèi)的感應(yīng)電動(dòng)勢全部是由導(dǎo)體L在磁場中運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，故得或64(3)矩形回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢是由磁65

（1）線圈靜止時(shí)的感應(yīng)電動(dòng)勢；

解:（1）線圈靜止時(shí)，感應(yīng)電動(dòng)勢是由時(shí)變磁場引起，故

（2）線圈以角速度ω

繞x軸旋轉(zhuǎn)時(shí)的感應(yīng)電動(dòng)勢。

例2.5.2在時(shí)變磁場中，放置有一個(gè)的矩形線圈。初始時(shí)刻，線圈平面的法向單位矢量與成α角，如圖所示。試求：xyzabB時(shí)變磁場中的矩形線圈65（1）線圈靜止時(shí)的感應(yīng)電動(dòng)勢；解:（1）66

假定時(shí)，則在時(shí)刻t時(shí)，與y軸的夾角，故

利用式計(jì)算

（2）線圈繞x軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，的指向?qū)㈦S時(shí)間變化。線圈內(nèi)的感應(yīng)電動(dòng)勢可以用兩種方法計(jì)算。66假定時(shí)，則67

在時(shí)變情況下，安培環(huán)路環(huán)路是否要發(fā)生變化？有什么變化？即問題：隨時(shí)間變化的磁場要產(chǎn)生電場，那么隨時(shí)間變化的電場是否會(huì)產(chǎn)生磁場？2.5.2位移電流

靜態(tài)情況下的電場基本方程在非靜態(tài)時(shí)發(fā)生了變化，即

這不僅是方程形式的變化，而是一個(gè)本質(zhì)的變化，其中包含了重要的物理事實(shí)，即時(shí)變磁場可以激發(fā)電場。（恒定磁場）（時(shí)變場）67在時(shí)變情況下，安培環(huán)路環(huán)路是否681.全電流定律而由非時(shí)變情況下，電荷分布隨時(shí)間變化，由電流連續(xù)性方程有

發(fā)生矛盾在時(shí)變的情況下不適用

解決辦法：對安培環(huán)路定理進(jìn)行修正由將修正為：矛盾解決時(shí)變電場會(huì)激發(fā)磁場681.全電流定律而由非時(shí)變情況下，電荷分布隨時(shí)間變69全電流定律：——

微分形式——

積分形式法拉第電磁感應(yīng)定律揭示了時(shí)變磁場產(chǎn)生電場；位移電流的假說，對安培環(huán)路定理進(jìn)行了修正，揭示了時(shí)變電場產(chǎn)生磁場。從而，全電流定律揭示不僅傳導(dǎo)電流激發(fā)磁場，變化的電場也可以激發(fā)磁場。它與變化的磁場激發(fā)電場形成自然界的一個(gè)對偶關(guān)系。69全電流定律：——微分形式——積分形式法拉第電磁感應(yīng)定702.位移電流密度電位移矢量隨時(shí)間的變化率，能像電流一樣產(chǎn)生磁場，故稱“位移電流”。注：在絕緣介質(zhì)中，無傳導(dǎo)電流，但有位移電流；在理想導(dǎo)體中，無位移電流，但有傳導(dǎo)電流；在一般介質(zhì)中，既有傳導(dǎo)電流，又有位移電流。位移電流只表示電場的變化率，與傳導(dǎo)電流不同，它不產(chǎn)生熱效應(yīng)。位移電流的引入是建立麥克斯韋方程組的至關(guān)重要的一步，它揭示了時(shí)變電場產(chǎn)生磁場這一重要的物理概念。702.位移電流密度電位移矢量隨時(shí)間的變化率，能像電流一71

例2.5.3海水的電導(dǎo)率為4S/m，相對介電常數(shù)為81，求頻率為1MHz時(shí)，位移電流振幅與傳導(dǎo)電流振幅的比值。

解：設(shè)電場隨時(shí)間作正弦變化，表示為則位移電流密度為其振幅值為傳導(dǎo)電流的振幅值為故71例2.5.3海水的電導(dǎo)率為4S/72

例2.5.4銅的電導(dǎo)率、相對介電常數(shù)。設(shè)銅中的傳導(dǎo)電流密度為。試證明：在無線電頻率范圍內(nèi)，銅中的位移電流與傳導(dǎo)電流相比是可以忽略的。而傳導(dǎo)電流密度的振幅值為通常所說的無線電頻率是指f=300MHz以下的頻率范圍，即使擴(kuò)展到極高頻段（f=30GHz～300GHz），從上面的關(guān)系式看出比值Jdm/Jm也是很小的，故可忽略銅中的位移電流。

解：銅中存在時(shí)變電磁場時(shí)，位移電流密度為位移電流密度的振幅值為72例2.5.4銅的電導(dǎo)率732.6麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組

——宏觀電磁現(xiàn)象所遵循的基本規(guī)律，是電磁場的基本方程2.6.1麥克斯韋方程組的積分形式：大范圍場與場源的關(guān)系732.6麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組——宏觀電磁742.6.2麥克斯韋方程組的微分形式：空間任意點(diǎn)場地變化規(guī)律麥克斯韋第一方程，表明傳導(dǎo)電流和變化的電場都能產(chǎn)生磁場麥克斯韋第二方程，表明變化的磁場產(chǎn)生電場麥克斯韋第三方程表明磁場是無源場，磁力線總是閉合曲線麥克斯韋第四方程，表明電荷產(chǎn)生電場742.6.2麥克斯韋方程組的微分形式：空間任意點(diǎn)場地變化752.6.3媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系

代入麥克斯韋方程組中，有：限定形式的麥克斯韋方程（均勻媒質(zhì)）各向同性線性媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系為752.6.3媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系代入麥克斯韋76時(shí)變電場的激發(fā)源除了電荷以外，還有變化的磁場；而時(shí)變磁場的激發(fā)源除了傳導(dǎo)電流以外，還有變化的電場。電場和磁場互為激發(fā)源，相互激發(fā)。時(shí)變電磁場的電場和磁場不再相互獨(dú)立，而是相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成一個(gè)整體——

電磁場。電場和磁場分別是電磁場的兩個(gè)分量。在離開輻射源（如天線）的無源空間中，電荷密度和電流密度矢量為零，電場和磁場仍然可以相互激發(fā)，從而在空間形成電磁振蕩并傳播，這就是電磁波。76時(shí)變電場的激發(fā)源除了電荷以外，還有變化的磁場；而時(shí)變磁場77在無源空間中，兩個(gè)旋度方程分別為

可以看到兩個(gè)方程的右邊相差一個(gè)負(fù)號(hào)，而正是這個(gè)負(fù)號(hào)使得電場和磁場構(gòu)成一個(gè)相互激勵(lì)又相互制約的關(guān)系。當(dāng)磁場減小時(shí)，電場的漩渦源為正，電場將增大；而當(dāng)電場增大時(shí)，使磁場增大，磁場增大反過來又使電場減小。77在無源空間中，兩個(gè)旋度方程分別為可78麥克斯韋方程組時(shí)變場靜態(tài)場緩變場迅變場電磁場(EM)準(zhǔn)靜電場(EQS)準(zhǔn)靜磁場(MQS)靜磁場(MS)小結(jié)：麥克斯韋方程適用范圍：一切宏觀電磁現(xiàn)象靜電場(ES)恒定電場(SS)78麥克斯韋方程組時(shí)變場靜態(tài)場緩變場迅變場電磁場準(zhǔn)靜電場準(zhǔn)靜79

解：(1)導(dǎo)線中的傳導(dǎo)電流為忽略邊緣效應(yīng)時(shí)，間距為d的兩平行板之間的電場為E=u/d

，則

例

2.6.1

正弦交流電壓源連接到平行板電容器的兩個(gè)極板上，如圖所示。(1)證明電容器兩極板間的位移電流與連接導(dǎo)線中的傳導(dǎo)電流相等；(2)求導(dǎo)線附近距離連接導(dǎo)線為r處的磁場強(qiáng)度。CPricu平行板電容器與交流電壓源相接79解：(1)導(dǎo)線中的傳導(dǎo)電流為忽略80與閉合線鉸鏈的只有導(dǎo)線中的傳導(dǎo)電流，故得(2)以r為半徑作閉合曲線C，由于連接導(dǎo)線本身的軸對稱性，使得沿閉合線的磁場相等，故式中的S0為極板的面積，而為平行板電容器的電容。則極板間的位移電流為80與閉合線鉸鏈的只有導(dǎo)線中的傳導(dǎo)電流81

例2.6.2在無源的電介質(zhì)中，若已知電場強(qiáng)度矢量，式中的E0為振幅、ω為角頻率、k為相位常數(shù)。試確定k與ω

之間所滿足的關(guān)系，并求出與相應(yīng)的其它場矢量。

解：是電磁場的場矢量，應(yīng)滿足麥克斯韋方程組。因此，利用麥克斯韋方程組可以確定k與ω

之間所滿足的關(guān)系，以及與相應(yīng)的其它場矢量。對時(shí)間

t積分，得81例2.6.2在無源82由以上各個(gè)場矢量都應(yīng)滿足麥克斯韋方程，將以上得到的H和D代入式82由以上各個(gè)場矢量都應(yīng)滿足麥克斯韋方程，將以上得到的H83

2.7電磁場的邊界條件

什么是電磁場的邊界條件?

為什么要研究邊界條件?媒質(zhì)1媒質(zhì)2

如何討論邊界條件?

實(shí)際電磁場問題都是在一定的物理空間內(nèi)發(fā)生的，該空間中可能是由多種不同媒質(zhì)組成的。邊界條件就是不同媒質(zhì)的分界面上的電磁場矢量滿足的關(guān)系，是在不同媒質(zhì)分界面上電磁場的基本屬性。物理：由于在分界面兩側(cè)介質(zhì)的特性參數(shù)發(fā)生突變，場在界面兩側(cè)也發(fā)生突變。麥克斯韋方程組的微分形式在分界面兩側(cè)失去意義，必須采用邊界條件。數(shù)學(xué)：麥克斯韋方程組是微分方程組，其解是不確定的，邊界條件起定解的作用。

麥克斯韋方程組的積分形式在不同媒質(zhì)的分界面上仍然適用，由此可導(dǎo)出電磁場矢量在不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件。832.7電磁場的邊界條件什么是842.7.1

邊界條件一般表達(dá)式媒質(zhì)1媒質(zhì)2

分界面上的電荷面密度

分界面上的電流面密度842.7.1邊界條件一般表達(dá)式媒質(zhì)1媒質(zhì)2分界面上的85（1）電磁場量的切向邊界條件

在介質(zhì)分界面兩側(cè)，選取如圖所示的小環(huán)路，令Δh

→0，則由

邊界條件的推證

媒質(zhì)1媒質(zhì)2adcb而Δh

→0，可得又由為有限值，故有85（1）電磁場量的切向邊界條件在介質(zhì)分界面兩86故得或同理得或媒質(zhì)1媒質(zhì)2adcb86故得或同理得或媒質(zhì)1媒質(zhì)2adcb87（2）電磁場量的法向邊界條件令Δh→0，則由媒質(zhì)1媒質(zhì)2PS即同理，由

在兩種媒質(zhì)的交界面上任取一點(diǎn)P，作一個(gè)包圍點(diǎn)P的扁平圓柱曲面S，如圖表示。或或87（2）電磁場量的法向邊界條件令Δh→0，則由媒質(zhì)1媒質(zhì)88兩種理想介質(zhì)分界面上的邊界條件2.7.2

兩種常見的情況

在兩種理想介質(zhì)分界面上，通常沒有電荷和電流分布，即JS＝0、ρS＝0，故

的法向分量連續(xù)

的法向分量連續(xù)

的切向分量連續(xù)

的切向分量連續(xù)媒質(zhì)1媒質(zhì)2

的法向分量連續(xù)媒質(zhì)1媒質(zhì)2

的切向分量連續(xù)88兩種理想介質(zhì)分界面上的邊界條件2.7.2兩種常見的情892.理想導(dǎo)體表面上的邊界條件

理想導(dǎo)體表面上的邊界條件設(shè)媒質(zhì)2為理想導(dǎo)體，則E2、D2、H2、B2均為零，故

理想導(dǎo)體：電導(dǎo)率為無限大的導(dǎo)電媒質(zhì)

特征：電磁場不可能進(jìn)入理想導(dǎo)體內(nèi)理想導(dǎo)體理想導(dǎo)體表面上的電荷密度等于的法向分量理想導(dǎo)體表面上的法向分量為0理想導(dǎo)體表面上的切向分量為0理想導(dǎo)體表面上的電流密度等于的切向分量892.理想導(dǎo)體表面上的邊界條件理想導(dǎo)體表面上的邊界90

例2.7.1z<0的區(qū)域的媒質(zhì)參數(shù)為,z>0區(qū)域的媒質(zhì)參數(shù)為。若媒質(zhì)1中的電場強(qiáng)度為媒質(zhì)2中的電場強(qiáng)度為（1）試確定常數(shù)A的值;（2）求磁場強(qiáng)度和；（3）驗(yàn)證和滿足邊界條件。

解:（1）這是兩種電介質(zhì)的分界面，在分界面z=0處，有90例2.7.1z<0的區(qū)域的媒質(zhì)參91利用兩種電介質(zhì)分界面上電場強(qiáng)度的切向分量連續(xù)的邊界條件得到將上式對時(shí)間t積分，得

（2）由，有91利用兩種電介質(zhì)分界面上電場強(qiáng)度的切向分量連續(xù)的邊界條件得92可見，在z=0處，磁場強(qiáng)度的切向分量是連續(xù)的，因?yàn)樵诜纸缑嫔希▃=0）不存在面電流。（3）z=0時(shí)同樣，由，得92可見，在z=0處，磁場強(qiáng)度的切向分量是連續(xù)的，因?yàn)樵?3

例2.7.2如圖所示，1區(qū)的媒質(zhì)參數(shù)為,2區(qū)的媒質(zhì)參數(shù)為。若已知自由空間的電場強(qiáng)度為試問關(guān)于1區(qū)中的和能求得出嗎？

解根據(jù)邊界條件，只能求得邊界面z＝0處的和。由，有則得1區(qū)2區(qū)xyz電介質(zhì)與自由空間的分界面o93例2.7.2如圖所示，1區(qū)的媒質(zhì)參數(shù)94又由，有則得最后得到94又由95

解

（1）由,有試求:（1）磁場強(qiáng)度；（2）導(dǎo)體表面的電流密度。

例2.7.3

在兩導(dǎo)體平板（z=0和z=d）之間的空氣中，已知電場強(qiáng)度95解（1）由將上式對時(shí)間t

積分，得

（2）z=0處導(dǎo)體表面的電流密度為z=d處導(dǎo)體表面的電流密度為將上式對時(shí)間t積分，得（2）z=0處97

第2章電磁場的基本規(guī)律1第2章電磁場的基本規(guī)律98

2.1電荷守恒定律2.2真空中靜電場的基本規(guī)律2.3真空中恒定磁場的基本規(guī)律2.4媒質(zhì)的電磁特性2.5電磁感應(yīng)定律2.6位移電流2.7麥克斯韋方程組2.8電磁場的邊界條件本章討論內(nèi)容22.1電荷守恒定律本章討論內(nèi)容992.1

電荷守恒定律本節(jié)討論的內(nèi)容：電荷模型、電流模型、電荷守恒定律

電磁場物理模型中的基本物理量可分為源量和場量兩大類。電荷電流電場磁場（運(yùn)動(dòng)）

源量為電荷q(r，t)和電流I(r，t)，分別用來描述產(chǎn)生電磁效應(yīng)的兩類場源。電荷是產(chǎn)生電場的源，電流是產(chǎn)生磁場的源。32.1電荷守恒定律本節(jié)討論的內(nèi)容：電荷模型、電流模型、電100?

電荷是物質(zhì)基本屬性之一。

?1897年英國科學(xué)家湯姆遜(J.J.Thomson)在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)了電子。

?1907－1913年間，美國科學(xué)家密立根(R.A.Miliken)通過油滴實(shí)驗(yàn)，精確測定電子電荷的量值為

e=1.60217733×10-19(單位：C)確認(rèn)了電荷量的量子化概念。換句話說，e是最小的電荷量，而任何帶電粒子所帶電荷都是e的整數(shù)倍。

?宏觀分析時(shí)，電荷常是數(shù)以億計(jì)的電子電荷e的組合，故可不考慮其量子化的事實(shí)，而認(rèn)為電荷量q可任意連續(xù)取值。2.1.1電荷與電荷密度4?電荷是物質(zhì)基本屬性之一。1011.電荷體密度

單位：C/m3

(庫侖/米3

)

根據(jù)電荷密度的定義，如果已知某空間區(qū)域V中的電荷體密度，則區(qū)域V中的總電量q為

電荷連續(xù)分布于體積V內(nèi)，用電荷體密度來描述其分布

理想化實(shí)際帶電系統(tǒng)的電荷分布形態(tài)分為四種形式：點(diǎn)電荷、體分布電荷、面分布電荷、線分布電荷51.電荷體密度單位：C/m3(庫侖/102

若電荷分布在薄層上的情況，當(dāng)僅考慮薄層外，距薄層的距離要比薄層的厚度大得多處的電場，而不分析和計(jì)算該薄層內(nèi)的電場時(shí)，可將該薄層的厚度忽略，認(rèn)為電荷是面分布。面分布的電荷可用電荷面密度表示。

2.電荷面密度單位:C/m2

(庫侖/米2)

如果已知某空間曲面S上的電荷面密度，則該曲面上的總電量q為6若電荷分布在薄層上的情況，當(dāng)僅考慮薄層外103

在電荷分布在細(xì)線上的情況，當(dāng)僅考慮細(xì)線外，距細(xì)線的距離要比細(xì)線的直徑大得多處的電場，而不分析和計(jì)算線內(nèi)的電場時(shí)，可將線的直徑忽略，認(rèn)為電荷是線分布。

3.電荷線密度

如果已知某空間曲線上的電荷線密度，則該曲線上的總電量q為

單位:C/m(庫侖/米)7在電荷分布在細(xì)線上的情況，當(dāng)僅考慮細(xì)線外，距104

對于總電量為q的電荷集中在很小區(qū)域V的情況，當(dāng)不分析和計(jì)算該電荷所在的小區(qū)域中的電場，而僅需要分析和計(jì)算電場的區(qū)域又距離電荷區(qū)很遠(yuǎn)，即場點(diǎn)距源點(diǎn)的距離遠(yuǎn)大于電荷所在的源區(qū)的線度時(shí)，小體積V中的電荷可看作位于該區(qū)域中心、電量為q的點(diǎn)電荷。點(diǎn)電荷的電荷密度表示4.點(diǎn)電荷8對于總電量為q的電荷集中在很小區(qū)域V的情況1052.1.2

電流與電流密度說明：電流通常是時(shí)間的函數(shù)，不隨時(shí)間變化的電流稱為恒定電流，用I表示。形成電流的條件：

存在可以自由移動(dòng)的電荷存在電場單位:A（安培）電流方向:正電荷的流動(dòng)方向電流——電荷的定向運(yùn)動(dòng)而形成，用i表示，其大小定義為：單位時(shí)間內(nèi)通過某一橫截面S的電荷量，即92.1.2電流與電流密度說明：電流通常是時(shí)間的函數(shù)，不106

電荷在某一體積內(nèi)定向運(yùn)動(dòng)所形成的電流稱為體電流，用電流密度矢量來描述。單位：A/m2。

一般情況下，在空間不同的點(diǎn)，電流的大小和方向往往是不同的。在電磁理論中，常用體電流、面電流和線電流來描述電流的分別狀態(tài)。

1.體電流

流過任意曲面S的電流為體電流密度矢量正電荷運(yùn)動(dòng)的方向10電荷在某一體積內(nèi)定向運(yùn)動(dòng)所形成的電流稱為體電流，1072.面電流

電荷在一個(gè)厚度可以忽略的薄層內(nèi)定向運(yùn)動(dòng)所形成的電流稱為面電流，用面電流密度矢量來描述其分布面電流密度矢量d0單位：A/m。通過薄導(dǎo)體層上任意有向曲線

的電流為正電荷運(yùn)動(dòng)的方向線電流：電荷在一個(gè)橫截面積可以忽略的細(xì)線中做定向流動(dòng)所形成的電流，可認(rèn)為電流是集中在細(xì)導(dǎo)線的軸線上。電流元：長度元dl中流過電流I，將Idl稱為電流元。112.面電流電荷在一個(gè)厚度可以忽略的薄層內(nèi)定向1082.1.3.

電荷守恒定律（電流連續(xù)性方程）電荷守恒定律:電荷既不能被創(chuàng)造，也不能被消滅，只能從物體的一部分轉(zhuǎn)移到另一部分，或者從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移到另一個(gè)物體。電流連續(xù)性方程積分形式微分形式電荷守恒定律：流出閉曲面S的電流等于體積V內(nèi)單位時(shí)間所減少的電荷量電荷守恒定律是電磁現(xiàn)象中的基本定律之一。微分形式的證明？122.1.3.電荷守恒定律（電流連續(xù)性方程）電荷守恒定律109設(shè)定閉合面S所限定的體積V不隨時(shí)間變化，則將積分形式中的全導(dǎo)數(shù)寫成偏導(dǎo)數(shù)又因?yàn)镾為任意取的閉合曲面，則其所包圍的體積V也是任意的。故：根據(jù)散度定理：電流連續(xù)性方程的微分形式13設(shè)定閉合面S所限定的體積V不隨時(shí)間變化，則將積分形式中的110恒定電流是無源場，電流線是連續(xù)的閉合曲線，既無起點(diǎn)也無終點(diǎn)恒定電流：這表明從任意閉合面?zhèn)鞒龅暮愣娏鳛?，或恒定電流是一個(gè)無散度的場。14恒定電流是無源場，電流線是連續(xù)的閉合曲線，既無起點(diǎn)也無終1112.2真空中靜電場的基本規(guī)律1.

庫侖（Coulomb）定律(1785年)

2.2.1.庫侖定律電場強(qiáng)度靜電場：由靜止電荷產(chǎn)生的電場重要特征：對位于電場中的電荷有電場力作用；電場強(qiáng)度矢量是描述電場的基本物理量真空中靜止點(diǎn)電荷q1對q2的作用力:

，滿足牛頓第三定律。

大小與兩電荷的電荷量成正比，與兩電荷距離的平方成反比；方向沿q1和q2連線方向，同性電荷相排斥，異性電荷相吸引；152.2真空中靜電場的基本規(guī)律1.庫侖（Coulo112電場力服從疊加原理

真空中的N個(gè)點(diǎn)電荷（分別位于）對點(diǎn)電荷（位于）的作用力為qq1q2q3q4q5q6q7表明，任何電荷都在自己周圍空間產(chǎn)生電場，而電場對于處在其中任何其它電荷都有作用力。16電場力服從疊加原理真空中的N個(gè)點(diǎn)電荷1132.電場強(qiáng)度

空間某點(diǎn)的電場強(qiáng)度定義為置于該點(diǎn)的單位點(diǎn)電荷（又稱試驗(yàn)電荷）受到的作用力，即如果電荷是連續(xù)分布呢？

根據(jù)上述定義，真空中靜止點(diǎn)電荷q激發(fā)的電場為：——描述電場分布的基本物理量

電場強(qiáng)度矢量——試驗(yàn)正電荷單位：V/m（伏/米）172.電場強(qiáng)度 空間某點(diǎn)的電場強(qiáng)度定義為置于該點(diǎn)114體密度為的體分布電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度線密度為的線分布電荷的電場強(qiáng)度面密度為的面分布電荷的電場強(qiáng)度小體積元中的電荷產(chǎn)生的電場18體密度為的體分布電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度線密1153.幾種典型電荷分布的電場強(qiáng)度

均勻帶電直線段的電場強(qiáng)度：

均勻帶電圓環(huán)軸線上的電場強(qiáng)度：（無限長）（有限長）均勻帶電圓環(huán)均勻帶電直線段193.幾種典型電荷分布的電場強(qiáng)度均勻帶電直線段的電場116

電偶極子的電場強(qiáng)度：——電偶極矩+q電偶極子zol－q電偶極子的場圖等位線電場線

電偶極子是由相距很近、帶等值異號(hào)的兩個(gè)點(diǎn)電荷組成的電荷系統(tǒng)，其遠(yuǎn)區(qū)電場強(qiáng)度為20電偶極子的電場強(qiáng)度：——電偶極矩+q電偶極子zol－q117

例2.2.2計(jì)算均勻帶電的環(huán)形薄圓盤軸線上任意點(diǎn)的電場強(qiáng)度。

解：如圖所示，環(huán)形薄圓盤的內(nèi)半徑為a、外半徑為b，電荷面密度為。在環(huán)形薄圓盤上取面積元

，其位置矢量為，它所帶的電量為。而薄圓盤軸線上的場點(diǎn)的位置矢量為，因此有P(0,0,z)brRyzx均勻帶電的環(huán)形薄圓盤dSa故由于21例2.2.2計(jì)算均勻帶電的環(huán)形薄1182.2.2靜電場的散度與旋度1.靜電場的通量和散度右圖表示點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度，穿過以點(diǎn)電荷為心的球面S0，其電通量

在原點(diǎn)（r’=0處）R=r,積分相當(dāng)于的點(diǎn)積。從而，包圍S0作任意閉曲面S，穿過S0的電力線也必定全部穿過S，即穿過任意閉曲面通量的有效值相當(dāng)于在球面上的投影，上式推廣為222.2.2靜電場的散度與旋度1.靜電場的通量和散119表明，空間任意一點(diǎn)電場強(qiáng)度的散度與該處的電荷密度有關(guān)，靜電荷是靜電場的通量源。利用散度定理

S內(nèi)含N個(gè)點(diǎn)電荷或電荷體密度為時(shí)，得表明，電場強(qiáng)度矢量穿過閉合曲面S的通量等于該閉合曲面所包圍的總電荷與之比。導(dǎo)出：高斯定理積分形式高斯定理微分形式23表明，空間任意一點(diǎn)電場強(qiáng)度的散度與該處的電荷密度有關(guān)，靜1202.靜電場的環(huán)量和旋度右圖表示點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度，沿著以點(diǎn)電荷為圓心的圓周線C0積分，則其環(huán)量積分相當(dāng)于的點(diǎn)積。包圍C0作任意閉曲線C，沿圓周線切線方向的電力線數(shù)全部為零，同樣電力線數(shù)沿任意閉曲線穿過的切線方向部分的代數(shù)和也必定為零，亦即沿任意閉曲線環(huán)量的有效值相當(dāng)于在圓周上的投影，上式推廣為242.靜電場的環(huán)量和旋度右圖表示點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度，沿121利用斯托克斯定理

導(dǎo)出：

表明在靜電場中，沿任意閉合路徑C的積分恒等于0。其物理意義是將單位正電荷沿靜電場中的任一個(gè)閉合路徑移動(dòng)一周，電場力不做功。表明靜電場是無旋場。靜電場的基本性質(zhì)（1）靜電場是由通量源、不是由旋渦源產(chǎn)生的場；（2）靜電場是有源無旋場。25利用斯托克斯定理

導(dǎo)出：122

當(dāng)電場分布具有一定對稱性的情況下，可以利用高斯定理計(jì)算電場強(qiáng)度。

3.利用高斯定理計(jì)算電場強(qiáng)度具有以下幾種對稱性的場可用高斯定理求解：

球?qū)ΨQ分布：包括均勻帶電的球面，球體和多層同心球殼等。均勻帶電球體帶電球殼多層同心球殼26當(dāng)電場分布具有一定對稱性的情況下，可以利用高斯定123

無限大平面電荷：如無限大的均勻帶電平面、平板等。

軸對稱分布：如無限長均勻帶電的直線，圓柱面，圓柱殼等。(a)(b)27無限大平面電荷：如無限大的均勻帶電平面、平板等。軸124

例2.2.3

求真空中均勻帶電球體的場強(qiáng)分布。已知球體半徑為a，電荷密度為0。

解：（1）球外某點(diǎn)的場強(qiáng)（2）求球體內(nèi)一點(diǎn)的場強(qiáng)ar0rrEa(r≥a)（r<a）28例2.2.3求真空中均勻帶電球體的場強(qiáng)分布。已1252.3真空中恒定磁場的基本規(guī)律1.

安培力定律

安培對電流的磁效應(yīng)進(jìn)行了大量的實(shí)驗(yàn)研究，在1821～1825年之間，設(shè)計(jì)并完成了電流相互作用的精巧實(shí)驗(yàn)，得到了電流相互作用力公式，稱為安培力定律。

實(shí)驗(yàn)表明，真空中的載流回路C1對載流回路C2的作用力滿足牛頓第三定律

載流回路C2對載流回路C1的作用力安培力定律2.3.1安培力定律磁感應(yīng)強(qiáng)度

292.3真空中恒定磁場的基本規(guī)律1.安培力定律1262、磁感應(yīng)強(qiáng)度

電流在其周圍空間中產(chǎn)生磁場，描述磁場分布的基本物理量是磁感應(yīng)強(qiáng)度，單位為T（特斯拉）。

磁場的重要特征是對場中的電流磁場力作用，載流回路C1對載流回路C2的作用力是回路C1中的電流I1產(chǎn)生的磁場對回路C2中的電流I2的作用力。

根據(jù)安培力定律，有其中電流I1在電流元

處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度302、磁感應(yīng)強(qiáng)度 電流在其周圍空間中產(chǎn)生127任意電流回路C產(chǎn)生的磁場感應(yīng)強(qiáng)度電流元產(chǎn)生的磁場感應(yīng)強(qiáng)度體電流產(chǎn)生的磁場感應(yīng)強(qiáng)度面電流產(chǎn)生的磁場感應(yīng)強(qiáng)度31任意電流回路C產(chǎn)生的磁場感應(yīng)強(qiáng)度電流元產(chǎn)生的1283.幾種典型電流分布的磁感應(yīng)強(qiáng)度

載流直線段的磁感應(yīng)強(qiáng)度：

載流圓環(huán)軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度：（有限長）（無限長）載流直線段載流圓環(huán)323.幾種典型電流分布的磁感應(yīng)強(qiáng)度載流直線段的磁感129而場點(diǎn)P的位置矢量為

，故得

解：設(shè)圓環(huán)的半徑為a，流過的電流為I。為計(jì)算方便取線電流圓環(huán)位于xy平面上，則所求場點(diǎn)為P(0,0,z),如圖所示。采用圓柱坐標(biāo)系，圓環(huán)上的電流元為，其位置矢量為

例2.3.1計(jì)算線電流圓環(huán)軸線上任一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。載流圓環(huán)軸線上任一點(diǎn)P(0,0,z)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為33而場點(diǎn)P的位置矢量為，故得解：130可見，線電流圓環(huán)軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度只有軸向分量，這是因?yàn)閳A環(huán)上各對稱點(diǎn)處的電流元在場點(diǎn)P產(chǎn)生的磁場強(qiáng)度的徑向分量相互抵消。當(dāng)場點(diǎn)P遠(yuǎn)離圓環(huán)，即z>>a時(shí)，因，故由于，所以

在圓環(huán)的中心點(diǎn)上，z=0，磁感應(yīng)強(qiáng)度最大，即34可見，線電流圓環(huán)軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度只有軸向分量，這是因?yàn)?312.3.2恒定磁場的散度和旋度

1.

恒定磁場的通量和散度右圖表示載流長直導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場，穿過以坐標(biāo)原點(diǎn)為心的球面S0，其磁通量積分相當(dāng)于的點(diǎn)積。上式可推廣到任意分布電流產(chǎn)生的磁場，穿過任意閉曲面S的通量也滿足352.3.2恒定磁場的散度和旋度1.恒定磁場的通量132上式看出，自由空間中磁感應(yīng)強(qiáng)度穿過任意閉曲面的磁通量為零，磁力線是無頭無尾的閉曲線。恒定磁場的磁通量形式為高斯定理積分形式。利用散度定理，導(dǎo)出上式看出自由空間中某點(diǎn)的恒定磁場無散度源。恒定磁場的散度的形式為高斯定理微分形式。36上式看出，自由空間中磁感應(yīng)強(qiáng)度穿過任意閉曲面的磁通量為零1332.

恒定磁場的環(huán)量和旋度右圖表示載流長直導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場，沿著以坐標(biāo)原點(diǎn)為心的圓周線Cl積分，則其環(huán)量積分相當(dāng)于的點(diǎn)積。上式可推廣于任意分布電流的