2022高考沖刺數(shù)學(xué)題源探究-立體幾何：空間向量及其運(yùn)算

空間向量及其運(yùn)算【考點(diǎn)梳理】1．空間向量的有關(guān)概念名稱概念表示零向量模為0的向量|a|＝0單位向量長(zhǎng)度(模)為1的向量|a|＝1相等向量方向相同且模相等的向量a＝b相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量為－a共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合a∥b共面向量平行于同一平面的向量a∥α，b∥α2.共線向量、共面向量定理和空間向量根本定理(1)共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb.(2)共面向量定理：如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面?存在惟一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空間向量根本定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底．3．空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律(1)數(shù)量積及相關(guān)概念①兩向量的夾角：兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，那么∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉，其范圍是0≤〈a，b〉≤π，假設(shè)〈a，b〉＝eq\f(π,2)，那么稱a與b互相垂直，記作a⊥b.②兩向量的數(shù)量積：空間兩個(gè)非零向量a，b，那么|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律①結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交換律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共線a＝λb(b≠0)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))夾角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))【教材改編】1．(選修2－1P89練習(xí)T2改編)如圖，E是正方體ABCD-A1B1C1D1上平面A1B1C1D1的中心，假設(shè)eq\o(AE,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(BC,\s\up6(→))＋zeq\o(BB1,\s\up6(→))，那么x＋y＋z等于()A．0 B．1C．2 \f(1,2)[答案]C[解析]eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))∴x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2)，z＝1，應(yīng)選C.2．(選修2－1P98A組T8改編)a＝(2,3,1)，b＝(－4,2，x)，且a⊥b，那么|bA．3eq\r(2) B．4eq\r(2)C．2eq\r(5) D．2eq\r(6)[答案]D[解析]∵a⊥b，∴a·b＝0.即2×(－4)＋3×2＋x＝0，∴x＝2.∴|b|＝eq\r(－42＋22＋22)＝2eq\r(6).應(yīng)選D.3．(選修2－1P92練習(xí)T3改編)如圖，線段AB，BD在平面α內(nèi)，BD⊥AB，AC⊥α.且AB＝BD＝1，CD＝eq\r(6)，那么CA的長(zhǎng)為()A．1 \r(2)\r(3) D．2[答案]D[解析]由題意得eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\r(6)，eq\o(CA,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))⊥eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BD,\s\up6(→)).∴|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＋2eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))，即6＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|2＋2，∴|eq\o(CA,\s\up6(→))|＝2，即CA的長(zhǎng)為2，應(yīng)選D.4．(選修2－1P92練習(xí)T1改編)如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB1⊥BC1，那么eq\f(AB,BB1)的值為()\f(\r(2),2) B．1\r(2) \r(3)[答案]C[解析]設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，且eq\o(AA1,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝60°，又設(shè)AB＝1，∴eq\o(AB1,\s\up6(→))＝a＋c.eq\o(BC1,\s\up6(→))＝eq\o(AC1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝－a＋b＋c.∵AB1⊥BC1，∴eq\o(AB1,\s\up6(→))·eq\o(BC1,\s\up6(→))＝0，即(a＋c)·(－a＋b＋c)＝0.∴－a2＋c2＋a·b＋c·b＝0，∴|c|2＋1×1×eq\f(1,2)－12＝0.∴|c|＝eq\f(\r(2),2)，∴eq\f(AB,BB1)＝eq\f(1,\f(\r(2),2))＝eq\r(2)，應(yīng)選C.5．(選修2－1P94練習(xí)T1改編)假設(shè)向量{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，向量m＝a＋b，n＝a－b，那么可以與m，n構(gòu)成空間另一個(gè)基底的向量是()A．a(chǎn) B．bC．c D．2[答案]C[解析]∵a＋b，a－b分別與a，b,2a∴它們分別與a＋b，a－b均不能構(gòu)成一組基底．6．(選修2－1P105例1改編)如下圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面為平行四邊形，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都為1，且兩兩夾角為60°.那么AC1\r(2) \r(3)C．2 \r(6)[答案]D[解析]記eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，那么|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，∴a·b＝b·c＝c·a＝eq\f(1,2).|eq\o(AC1,\s\up6(→))|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×(eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,2))＝6，∴|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝eq\r(6)，即AC1的長(zhǎng)為eq\r(6).7．(選修2－1P98A組T4改編)三棱錐S-ABC中，底面ABC為邊長(zhǎng)等于2的等邊三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直線AB與平面SBC\f(\r(3),4)\f(\r(5),4)\f(\r(7),4)\f(3,4)[答案]D[解析]以A為原點(diǎn)，分別以AB，AS所在直線為x軸、z軸建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，易知S(0,0,3)，B(2，0,0)，C(1，eq\r(3)，0)．設(shè)平面SBC的一個(gè)單位法向量為n＝(x，y，z)，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(BC,\s\up6(→))＝x，y，z·－1，\r(3)，0＝0，,n·\o(BS,\s\up6(→))＝x，y，z·－2，0，3＝0，))得n＝(eq\f(3,4)，eq\f(\r(3),4)，eq\f(1,2))，又eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,0,0)，∴當(dāng)α為AB與平面SBC所成的角時(shí)，sinα＝|cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，n〉|＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·n|,|\o(AB,\s\up6(→))||n|)＝eq\f(\f(3,2),2×1)＝eq\f(3,4).8．(選修2－1P98A組T5改編)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是A1B上的點(diǎn)，F(xiàn)是AC上的點(diǎn)，且A1E＝2EB，CF＝2AF，那么EF與平面A1B1[答案]平行[解析]取eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c為基底，易得eq\o(EF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)(a－b＋c)，而eq\o(DB1,\s\up6(→))＝a－b＋c，即eq\o(EF,\s\up6(→))∥eq\o(DB1,\s\up6(→))，故EF∥DB1，且EF?平面A1B1CD，DB1?平面A1B1CD，所以EF∥平面A1B1CD.9．(選修2－1P97練習(xí)T3改編)如圖，M、N分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB與BB1的中點(diǎn)．那么MC與D1N[答案]eq\f(2\r(5),15)[解析]建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，那么M(2,1,0)，C(0,2,0)，N(2,2,1)，D1(0,0,2)，∴eq\o(MC,\s\up6(→))＝(－2,1,0)，eq\o(ND1,\s\up6(→))＝(－2，－2,1)．∴cos〈eq\o(MC,\s\up6(→))，eq\o(ND1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(MC,\s\up6(→))·\o(ND1,\s\up6(→)),|\o(MC,\s\up6(→))|·|\o(ND1,\s\up6(→))|)＝eq\f(2,\r(5)×3)＝eq\f(2\r(5),15)，即MC與D1N所成角的余弦值為eq\f(2\r(5),15).10．(選修2－1P88思考改編)A、B、C是不共線三點(diǎn)，且P是平面ABC上一點(diǎn)，對(duì)于空間任一點(diǎn)O，均有eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋(sinθ)eq\o(OB,\s\up6(→))＋(cosθ)eq\o(OC,\s\up6(→))，那么sin2θ＝________.[答案]－eq\f(5,9)[解析]由題意得A、B、C、P四點(diǎn)共面，那么eq\f(1,3)＋sinθ＋cosθ＝1，即sinθ＋cosθ＝eq\f(2,3)，∴(sinθ＋cosθ)2＝eq\f(4,9)，sin2θ＝－eq\f(5,9).11.(選修2－1P114B組T3改編)如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是CB與CD上的動(dòng)點(diǎn)，滿足D1E⊥B1①EF∥B1D1；②E、F分別是CB與CD的中點(diǎn)；③BE＝CF；④EFmin＝eq\r(2)；⑤三棱錐C1-CEF的體積的最大值為eq\f(1,3).判斷上述結(jié)論的真假性．[解析]如下圖，以eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))為正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)E(x,2,0)，F(xiàn)(0，y,0)，那么D1(0,0,2)，B1(2,2,2)，∴eq\o(B1F,\s\up6(→))＝(－2，y－2，－2)，eq\o(D1E,\s\up6(→))＝(x,2，－2)，又∵eq\o(B1F,\s\up6(→