《一元二次不等式的應(yīng)用》示范公開課教案【高中數(shù)學(xué)必修第一冊北師大】

《一元二次不等式的應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1.能從實際情境中抽象出一元二次不等式.2.通過解一元二次不等式解決實際問題.教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：利用一元二次不等式解決實際問題.難點(diǎn)：從實際問題中抽象出一元二次不等式模型．教學(xué)過程教學(xué)過程一、新課導(dǎo)入溫故知新：同學(xué)們，我們在上節(jié)課學(xué)習(xí)了一元二次不等式及其解法，有圖像法和判別式法兩種方法，一般步驟為：（1）對不等式變形，使一端為零且二次項系數(shù)大于零；（2）計算相應(yīng)的判別式；（3）當(dāng)△≥0時，求出相應(yīng)的一元二次方程的根；（4）根據(jù)二次函數(shù)圖象寫出一元二次不等式的解集.想一想：同學(xué)們，了解了一元二次不等式的解法后，我們應(yīng)如何運(yùn)用呢？面對生活中一些常見的實際問題，你能否運(yùn)用一元二次不等式解決出來呢？答案：結(jié)合一元二次不等式及其解法，了解一元二次不等式的現(xiàn)實意義，把實際問題中的文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，解決實際問題.設(shè)計意圖：通過對舊知的復(fù)習(xí)，鞏固學(xué)生對一元二次不等式的求解基礎(chǔ)，并且引出新的課題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生在對新問題的挑戰(zhàn)中，進(jìn)一步深化數(shù)學(xué)建模思想，對這個強(qiáng)有力的學(xué)科工具的運(yùn)用方法更加靈活多變．三、應(yīng)用舉例例1：某農(nóng)家院有客房20間，日常每間客房日租金為80元，每天都客滿.該農(nóng)家院欲提高檔次，并提高租金.經(jīng)市場調(diào)研，每間客房日租金每增加10元，客房出租數(shù)就會減少1間.每間客房日租金不得超過130元，要使每天客房的租金總收入不低于1800元，該農(nóng)家院每間客房日租金提高的空間有多大?分析：首先將大問題轉(zhuǎn)化為幾個小問題，然后分步完成：（1）你能用含x的表達(dá)式分別表示租金提高空間、每間客房日租金提高值和租金總收入嗎?（2）租金總收入y與每間客房日租金提高的比例x的函數(shù)關(guān)系如何?（3）利用題目中所給的不等關(guān)系求解.解：設(shè)每間客房日租金提高x個10元，即每間客房日租金提高到(80+10x)元，則客房出租數(shù)減少x(x∈N)間，此時客房的租金總收入為(80+10x)(20-x)元.

又因為每天客房的租金總收人不低于1800元，所以

(80+10x)(20-x)≥1800.

化簡，得x2-12x+20≤0.

解得2≤x≤10.

由題意可知：每間客房日租金不得超過130元，即因此，x=2，3，4，5，該農(nóng)家院每間客房日租金提高的空間是20元，30元，40元，50元.想一想：遇到文字類的應(yīng)用題，我們應(yīng)該如何巧妙將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言呢？答案：遇到大篇幅的文字不要慌，善用分步思想將大問題轉(zhuǎn)化為小問題，首先用一個未知量表示多個未知量，然后列出未知量之間的關(guān)系表達(dá)式，求出結(jié)果.例2：為鼓勵大學(xué)畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，某市出臺了相關(guān)政策：由政府協(xié)調(diào)，本市企業(yè)按成本價提供產(chǎn)品給大學(xué)畢業(yè)生自主銷售，成本價與出廠價之間的差價由政府承擔(dān).大學(xué)畢業(yè)生袁陽按照相關(guān)政策投資銷售本市生產(chǎn)的一種新型節(jié)能燈，已知這種節(jié)能燈的成本價為每件10元，出廠價為每件12元，每月的銷售量y（單位：件）與銷售單價x（單位：元）之間的關(guān)系近似滿足一次函數(shù)：y=-10x+500.（1）設(shè)袁陽每月獲得的利潤為w（單位:元），寫出每月獲得的利潤w與銷售單價x的函數(shù)關(guān)系.

（2）物價部門規(guī)定，這種節(jié)能燈的銷售單價不得高于25元如果袁陽想要每月獲得的利潤不小于3000元，那么政府每個月為他承擔(dān)的總差價的取值范圍是多少?分析：選取合適的字母表示題中的未知數(shù)，用未知數(shù)表示出銷售利潤和銷售量，再代入題目中所給關(guān)系式求解.

解：(1)依題意可知每件的銷售利潤為(x-10)元，每月的銷售量為(-10x+500)件，所以每月獲得的利潤w與銷售單價x的函數(shù)關(guān)系為w=(x-10)(-10x+500).

(2)由每月獲得的利潤不小于3000元，得

(x-10)(-10x+500)≥3000.

化簡，得x2-60x+800≤0.

解得20≤x≤40.20≤x≤25.

設(shè)政府每個月為他承擔(dān)的總差價為p元，則

p=12-10-10x+500=-20x+1000.

由20≤x≤25，得500≤-20x+1000≤600.

知識點(diǎn)：與一元二次不等式有關(guān)的實際應(yīng)用問題，經(jīng)常涉及物價、路程、產(chǎn)值、環(huán)保等最值問題，也可涉及角度、面積、體積、造價的最優(yōu)化問題．解答這類問題的關(guān)鍵是確立相應(yīng)的函數(shù)解析式，然后應(yīng)用函數(shù)、方程和不等式的有關(guān)知識加以綜合解答．操作步驟如下：（1）理解題意，搞清量與量之間的關(guān)系；（2）建立相應(yīng)的不等關(guān)系，把實際問題抽象為數(shù)學(xué)中的一元二次不等式問題；（3）解這個一元二次不等式，得到實際問題的解.設(shè)計意圖：我們主要針對常見的一元二次不等式及其解法的應(yīng)用進(jìn)行展開，其中較為重要的應(yīng)該是數(shù)學(xué)建模的能力以及把文字語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言的能力，因此在這一部分例題的選取中，都會出現(xiàn)體現(xiàn)上述能力的模塊，由此豐富學(xué)生的解題技巧，讓他們感知數(shù)學(xué)在實際生活中運(yùn)用的魅力所在.四、課堂練習(xí)1.恒利商廈九月份的銷售額為200萬元，十月份的銷售額下降了20%，商廈從十一月份起加強(qiáng)管理，改善經(jīng)營，使銷售額穩(wěn)步上升，要求十二月份的銷售額不少于193.6萬元，求這兩個月的平均增長率最少為多少.2.益群精品店以每件21元的價格購進(jìn)一批商品，該商品可以自行定價，若每件商品售價a元，則可賣出350-10a件，但物價局限定每件商品的利潤不得超過20%，商店計劃要至少盈利400元，最少進(jìn)貨多少件?每件商品應(yīng)最少定價多少?3.國家為了加強(qiáng)對煙酒生產(chǎn)的宏觀管理，實行征收附加稅政策.現(xiàn)知某種酒每瓶70元，不加附加稅時，每年大約產(chǎn)銷100萬瓶，若政府征收附加稅，每銷售100元要征稅k元(叫做稅率k%)，則每年的產(chǎn)銷量將減少10k萬瓶.要使每年在此項經(jīng)營中所收取附加稅金不少于112萬元，問h應(yīng)怎樣確定?4.求某摩托車生產(chǎn)企業(yè)，上年度投入的成本為1萬元/輛，出廠價為1.2萬元/輛，年銷售量為1000輛本年度為適應(yīng)市場需要，計劃提高產(chǎn)品檔次.若每輛車投入成本增加的比例

為x(0<x<1)，則出廠價相應(yīng)提高的比例業(yè)為0.75x，同時預(yù)計銷售量增加的比例為0.6x.已知年利潤=

(出廠價-投入成本)*年銷售量.為使本季度的年利潤比上年增加，投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍？5.某農(nóng)貿(mào)公司按每擔(dān)200元收購某農(nóng)產(chǎn)品，并按每100元納銳10元（又稱征稅率為10個百分點(diǎn)），計劃可收購a萬擔(dān)，政府為了鼓勵收購公司多收購這種農(nóng)產(chǎn)品，決定將征稅率降低x(x≠0)個百分點(diǎn)，預(yù)測收購量可增加2x個百分點(diǎn).

（1）寫出稅收y（萬元）與x的函數(shù)關(guān)系式;

（2）要使此項稅收在稅率調(diào)節(jié)后，不少于原計劃稅收的83.2%，試確定x的取值范圍.分析：重復(fù)上題步驟，將大問題轉(zhuǎn)化為幾個小問題，然后分步完成：（1）你能用含x的表達(dá)式分別表示投入的成本、出廠價和年銷售量嗎?（2）本年度的預(yù)期年利潤y與投入成本增加的比例x的函數(shù)關(guān)系如何?要得出預(yù)期年利潤y與投入成本增加的比例x的函數(shù)關(guān)系，我們首先要用含x的表達(dá)式分別表示投入的成本、出廠價和年銷售量，而后代入題目所給公式，即可求出一元二次函數(shù)關(guān)系表達(dá)式.參考答案：1.10％.解析：設(shè)這兩個月的平均增長率是x，則根據(jù)題意，得200193.6，即(1+x)2≥1.21，解這個方程，得x12.100件，25元.解析：根據(jù)題意，得(a-21)(350-10a)≥400，整理，得a2解這個方程，得a1≥25，a2≤31.因為21×答：至少需要進(jìn)貨100件，每件商品最低應(yīng)定價25元.3.2≤解析：設(shè)產(chǎn)銷量為每年x萬瓶，則銷售收人每年70x萬元，從中征收的稅金為70x×k%萬元，其中x=100-10k.由題意，得70(100-10k)k%≥1124.(0，3)解析：根據(jù)題意，提高產(chǎn)品檔次后得成本為1+x，出廠價為1.2(1+0.75x)

，年銷售量為1000(1+0.6x)，則預(yù)期年利潤y與投入成本增加的比例x的函數(shù)關(guān)系為y=1.21+0.75x-1-x×10001+0.6x=-60x2+20x+200(0<x<1)，所以為使若本年度的年利潤比上年有所增加，

則-60x5.0<x≤20.解析：（1）降低稅率后的稅率為(10-x)%，農(nóng)產(chǎn)品的收購量為a(1+2x%)萬擔(dān)，

收購總金額為200a(1+2x%)萬元.依題意:

y=200a(1+2x%)(10-x)%=1（2）原計劃稅收為200a×10%=20a(萬元).

依題意得a(100+2x)(10-x)≥20a×83.2%，

化簡得x2+40x-84≤0