第2節(jié) 古典概型(教師版-)

PAGE11第二節(jié)古典概型1．基本事件的特點(diǎn)(1)任何兩個(gè)基本事件是互斥的． (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．2．古典概型(1)定義：具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型．①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)．②每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等．(2)概率公式：P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的個(gè)數(shù),基本事件的總數(shù)).3.一個(gè)判定標(biāo)準(zhǔn)：試驗(yàn)結(jié)果有限且等可能．4.兩種方法(1)列舉法：適合于較簡(jiǎn)單的試驗(yàn)．(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求．另外在確定基本事件時(shí)，(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)與(2,1)不同；有時(shí)也可以看成是無序的，如(1,2)與(2,1)相同．題型一簡(jiǎn)單古典概型的概率例題【例1】從個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)中任取一個(gè)，其個(gè)位數(shù)為0的概率是()．A.eq\f(4,9)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,9)D.eq\f(1,9)【答案】D【解析】由個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)，則個(gè)位數(shù)與十位數(shù)分別為一奇一偶．若個(gè)位數(shù)為奇數(shù)時(shí)，這樣的兩位數(shù)共有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,4)＝20個(gè)；若個(gè)位數(shù)為偶數(shù)時(shí)，這樣的兩位數(shù)共有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,5)＝25個(gè)；于是，個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)共有20＋25＝45個(gè)．其中，個(gè)位數(shù)是0的有Ceq\o\al(1,5)×1＝5個(gè)．所求概率為eq\f(5,45)＝eq\f(1,9).【例2】某藝校在一天的6節(jié)課中隨機(jī)安排語文、數(shù)學(xué)、外語三門文化課和其他三門藝術(shù)課各1節(jié)，則在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為________(用數(shù)字作答)．【答案】eq\f(3,5)【解析】相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔一節(jié)藝術(shù)課，可以分兩類：第一類：文化課之間不排藝術(shù)課，設(shè)此事件為A，則P(A)＝eq\f(A\o\al(4,4)A\o\al(3,3),A\o\al(6,6))＝eq\f(1,5).第二類：文化課之間排藝術(shù)課，設(shè)此事件為B，①三節(jié)文化課之間有一節(jié)藝術(shù)課的排列情況總數(shù)為2Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3).②三節(jié)文化課中間有兩節(jié)不相鄰藝術(shù)課的排列總數(shù)為Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)，∴P(B)＝eq\f(2C\o\al(1,3)A\o\al(3,3)A\o\al(3,3)＋A\o\al(3,3)A\o\al(2,3)A\o\al(2,2),A\o\al(6,6))＝eq\f(2,5)，∴P＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)＝eq\f(3,5)練習(xí)題【練1】甲、乙、丙三名同學(xué)站成一排，甲站在中間的概率是()．A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(2,3)【答案】C【解析】甲、乙、丙三名同學(xué)站成一排共有6種站法，甲在中間共有2種站法，故甲站在中間的概率為eq\f(1,3).【練2】袋中共有6個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有1個(gè)紅球、2個(gè)白球和3個(gè)黑球，從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率等于()．A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)【答案】B【解析】從袋中任取兩球有Ceq\o\al(2,6)＝15種，滿足兩球顏色為一白一黑的有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)＝6種，概率等于eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).【練3】從數(shù)字1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)中，隨機(jī)抽取2個(gè)不同的數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)的和為偶數(shù)的概率是()．A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)【答案】B【解析】從5個(gè)數(shù)中任取2個(gè)不同的數(shù)有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共有10種．其中兩個(gè)數(shù)的和為偶數(shù)有：(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,5)，故所求概率為：P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).題型二古典概型與互斥、對(duì)立事件的概率綜合問題例題【例3】現(xiàn)有8名奧運(yùn)會(huì)志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通曉日語，B1，B2，B3通曉俄語，C1，C2通曉韓語．從中選出通曉日語、俄語和韓語的志愿者各1名，組成一個(gè)小組．(1)求A1被選中的概率；(2)求B1和C1不全被選中的概率．【解析】(1)從8人中選出日語、俄語和韓語志愿者各1名，共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＝18種，用M表示“A1恰被選中”這一事件，則包含的結(jié)果共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＝6種，因而P(M)＝eq\f(6,18)＝eq\f(1,3).(2)用N表示“B1，C1不全被選中”這一事件，則其對(duì)立事件eq\x\to(N)表示“B1，C1全被選中”這一事件，由于eq\x\to(N)包含Ceq\o\al(1,3)＝3個(gè)基本事件，所以P(eq\x\to(N))＝eq\f(3,18)＝eq\f(1,6)，由對(duì)立事件的概率公式得P(N)＝1－P(eq\x\to(N))＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).練習(xí)題【練4】在10件產(chǎn)品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，從這10件產(chǎn)品中任取3件，求：(1)取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率．【解析】(1)由于從10件產(chǎn)品中任取3件的結(jié)果數(shù)為Ceq\o\al(3,10)，從10件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k件一等品的結(jié)果數(shù)為Ceq\o\al(k,3)Ceq\o\al(3－k,7)，那么從10件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率為P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,3)C\o\al(3－k,7),C\o\al(3,10))，k＝0,1,2,3.所以隨機(jī)變量X的分布列是X0123Peq\f(7,24)eq\f(21,40)eq\f(7,40)eq\f(1,120)X的數(shù)學(xué)期望EX＝0×eq\f(7,24)＋1×eq\f(21,40)＋2×eq\f(7,40)＋3×eq\f(1,120)＝eq\f(9,10).設(shè)“取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)”為事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”為事件A1，“恰好取出2件一等品”為事件A2，“恰好取出3件一等品”為事件A3.由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1∪A2∪A3，而P(A1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,3),C\o\al(3,10))＝eq\f(3,40)，P(A2)＝P(X＝2)＝eq\f(7,40)，P(A3)＝P(X＝3)＝eq\f(1,120)，所以取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率為P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(3,40)＋eq\f(7,40)＋eq\f(1,120)＝eq\f(31,120).題型三古典概型與統(tǒng)計(jì)的綜合問題例題【例4】PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物.2012年2月29日，國家環(huán)保部發(fā)布了新修訂的《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》，其中空氣質(zhì)量等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)見下表：PM2.5日均值k(單位：微克)空氣質(zhì)量等級(jí)k≤35一級(jí)35<k≤75二級(jí)k>75超標(biāo)某環(huán)保部門為了解近期甲、乙兩居民區(qū)的空氣質(zhì)量狀況，在過去30天中分別隨機(jī)抽測(cè)了5天的PM2.5日均值作為樣本，樣本數(shù)據(jù)如莖葉圖所示(十位為莖，個(gè)位為葉)．(1)分別求出甲、乙兩居民區(qū)PM2.5日均值的樣本平均數(shù)，并由此判斷哪個(gè)小區(qū)的空氣質(zhì)量較好一些；(2)若從甲居民區(qū)這5天的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取2天的數(shù)據(jù)，求恰有1天空氣質(zhì)量超標(biāo)的概率．【解析】(1)甲居民區(qū)抽測(cè)的樣本數(shù)據(jù)分別是37,45,73,78,88；乙居民區(qū)抽測(cè)的樣本數(shù)據(jù)分別是32,48,65,67,80.故eq\x\to(x)甲＝eq\f(37＋45＋73＋78＋88,5)＝64.2，eq\x\to(x)乙＝eq\f(32＋48＋65＋67＋80,5)＝58.4.則eq\x\to(x)甲>eq\x\to(x)乙．由此可知，乙居民小區(qū)的空氣質(zhì)量要好一些．(2)由莖葉圖知，甲居民區(qū)5天中有3天空氣質(zhì)量未超標(biāo)，有2天空氣質(zhì)量超標(biāo)．記未超標(biāo)的3天的樣本數(shù)據(jù)為a，b，c，超標(biāo)的2天為m，n.則從5天中抽取2天的所有情況為：(a，b)，(a，c)，(a，m)，(a，n)，(b，c)，(b，m)，(b，n)，(c，m)，(c，n)，(m，n)，基本事件數(shù)為10.記“5天中抽取2天，恰有1天空氣質(zhì)量超標(biāo)”為事件A，可能結(jié)果為：(a，m)，(a，n)，(b，m)，(b，n)，(c，m)，(c，n)，基本事件數(shù)為6.則P(A)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).練習(xí)題【練5】某校從參加高三年級(jí)期中考試的學(xué)生中抽出50名學(xué)生，并統(tǒng)計(jì)了他們的數(shù)學(xué)成績(成績均為整數(shù)且滿分為100分)，數(shù)學(xué)成績分組及各組頻數(shù)如下：[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，14；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100)，4.(1)請(qǐng)把給出的樣本頻率分布表中的空格都填上；(2)估計(jì)成績?cè)?5分以上學(xué)生的比例；(3)為了幫助成績差的學(xué)生提高數(shù)學(xué)成績，學(xué)校決定成立“二幫一”小組，即從成績[90,100)中選兩位同學(xué)，共同幫助成績?cè)赱40,50)中的某一位同學(xué)．已知甲同學(xué)的成績?yōu)?2分，乙同學(xué)的成績?yōu)?5分，求甲、乙兩同學(xué)恰好被安排在同一小組的概率．樣本頻率分布表分組頻數(shù)頻率[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)合計(jì)【解析】(1)樣本的頻率分布表：分組頻數(shù)頻率[40,50)20.04[50,60)30.06[60,70)140.28[70,80)150.30[80,90)120.24[90,100)40.08合計(jì)501(2)估計(jì)成績?cè)?5分以上的有6＋4＝10人，估計(jì)成績?cè)?5分以上的學(xué)生比例為eq\f(10,50)＝eq\f(1,5).(3)[40,50)內(nèi)有2人，記為甲、A.[90,100)內(nèi)有4人，記為乙、B、C、D.則“二幫一”小組有以下12種分組辦法：(甲，乙，B)，(甲，乙，C)，(甲，乙，D)，(甲，B，C)，(甲，B，D)，(甲，C，D)，(A，乙，B)，(A，乙，C)，(A，乙，D)，(A，B，C)，(A，B，D)，(A，C，D)．其中甲、乙兩同學(xué)被分在同一小組有3種辦法：(甲，乙，B)，(甲，乙，C)，(甲，乙，D)．所以甲、乙兩同學(xué)恰好被安排在同一小組的概率為P＝eq\f(3,12)＝eq\f(1,4).題型四正難則反法求古典概型的概率例題【例5】有5本不同的書，其中語文書2本，數(shù)學(xué)書2本，物理書1本，若將其隨機(jī)地抽取并排擺放在書架的同一層上，則同一科目的書都不相鄰的概率是()．A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)【答案】B【解析】[一般解法]第一步先排語文書有Aeq\o\al(2,2)＝2(種)排法．第二步排物理書，分成兩類．一類是物理書放在語文書之間，有1種排法，這時(shí)數(shù)學(xué)書可從4個(gè)空中選兩個(gè)進(jìn)行排列，有Aeq\o\al(2,4)＝12(種)排法；一類是物理書不放在語文書之間有2種排法，再選一本數(shù)學(xué)書放在語文書之間有2種排法，另一本有3種排法．因此同一科目的書都不相鄰共有2×(12＋2×2×3)＝48(種)排法，而5本書全排列共有Aeq\o\al(5,5)＝120(種)，同一科目的書都不相鄰的概率是eq\f(48,120)＝eq\f(2,5).[優(yōu)美解法]語文、數(shù)學(xué)只有一科的兩本書相鄰，有2Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝48種擺放方法．語文、數(shù)學(xué)兩科的兩本書都相鄰，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝24種擺放方法．而五本不同的書排成一排總共有Aeq\o\al(5,5)＝120種擺放方法．故所求概率為1－eq\f(48＋24,120)＝eq\f(2,5)，故選B.練習(xí)題【練6】甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自獨(dú)立地加工同一種零件，已知甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為eq\f(1,4)，乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為eq\f(1,12)，甲、丙兩臺(tái)機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為eq\f(2,9).(1)分別求甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率；(2)從甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，求至少有一個(gè)是一等品的概率．【解析】(1)設(shè)A、B、C分別為“甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品”的事件．由題設(shè)條件，知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(PA·[1－PB]＝\f(1,4)，,PB·[1－PC]＝\f(1,12)，,PA·PC＝\f(2,9)，))解之得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(PA＝\f(1,3)，,PB＝\f(1,4)，,PC＝\f(2,3).))即甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率分別是eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，eq\f(2,3).(2)記D為“從甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，至少有一個(gè)是一等品”的事件，則P(D)＝1－P(eq\x\to(D))＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(5,6)，故從甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，至少有一個(gè)是一等品的概率為eq\f(5,6)一、選擇題1．一對(duì)年輕夫婦和其兩歲的孩子做游戲，讓孩子把分別寫有“1”“3”“1”“4”的四張卡片隨機(jī)排成一行，若卡片按從左到右的順序排成“1314”，則孩子會(huì)得到父母的獎(jiǎng)勵(lì)，那么孩子受到獎(jiǎng)勵(lì)的概率為()．A.eq\f(1,12) B.eq\f(5,12) C.eq\f(7,12) D.eq\f(5,6)【答案】A【解析】由題意知，基本事件有eq\f(A\o\al(2,4),2)＝12個(gè)，滿足條件的基本事件就一個(gè)，故所求概率為P＝eq\f(1,12).2．一個(gè)袋子中有5個(gè)大小相同的球，其中有3個(gè)黑球與2個(gè)紅球，如果從中任取兩個(gè)球，則恰好取到兩個(gè)同色球的概率是 ()．A.eq\f(1,5) B.eq\f(3,10) C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,2)【答案】C【解析】基本事件有Ceq\o\al(2,5)＝10個(gè)，同色球的有Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,2)＝4個(gè)概率為eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).3．甲、乙兩人各寫一張賀年卡，隨意送給丙、丁兩人中的一人，則甲、乙將賀年卡送給同一人的概率是()．A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3) C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,5)【答案】A【解析】(甲送給丙，乙送給丁)，(甲送給丁，乙送給丙)，(甲、乙都送給丙)，(甲、乙都送給丁)，共四種情況，其中甲、乙將賀年卡送給同一人的情況有兩種，所以P＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).4．在一次班級(jí)聚會(huì)上，某班到會(huì)的女同學(xué)比男同學(xué)多6人，從這些同學(xué)中隨機(jī)挑選一人表演節(jié)目．若選到女同學(xué)的概率為eq\f(2,3)，則這班參加聚會(huì)的同學(xué)的人數(shù)為()．A．12 B．18 C．24 D．32【答案】B【解析】設(shè)女同學(xué)有x人，則該班到會(huì)的共有(2x－6)人，所以eq\f(x,2x－6)＝eq\f(2,3)，得x＝12，故該班參加聚會(huì)的同學(xué)有18人，故選B.甲、乙兩人喊拳，每人可以用手出0,5,10三種數(shù)字，每人則可喊0,5,10,15,20五種數(shù)字，當(dāng)兩人所出數(shù)字之和等于甲所喊數(shù)字時(shí)為甲勝，當(dāng)兩人所出數(shù)字之和等于乙所喊數(shù)字時(shí)為乙勝，若甲喊10，乙喊15時(shí)，則()．A．甲勝的概率大 B．乙勝的概率大C．甲、乙勝的概率一樣大D．不能確定【答案】A【解析】兩人共有9種出數(shù)的方法，其中和為10的方法有3種，和為15的方法有2種，故甲勝的概率要大，應(yīng)選A.6.將號(hào)碼分別為1,2,3,4的四個(gè)小球放入一個(gè)袋中，這些小球僅號(hào)碼不同，其余完全相同，甲從袋中摸出一個(gè)小球，其號(hào)碼為a，放回后，乙從此口袋中再摸出一個(gè)小球，其號(hào)碼為b，則使不等式a－2b＋4<0成立的事件發(fā)生的概率為()．A.eq\f(1,8) B.eq\f(3,16) C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,2)【答案】C【解析】由題意知(a，b)的所有可能結(jié)果有4×4＝16個(gè)．其中滿足a－2b＋4<0的有(1,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)，共4個(gè)，所以所求概率為eq\f(1,4).二、填空題7.在集合A＝{2,3}中隨機(jī)取一個(gè)元素m，在集合B＝{1,2,3}中隨機(jī)取一個(gè)元素n，得到點(diǎn)P(m，n)，則點(diǎn)P在圓x2＋y2＝9內(nèi)部的概率為________．【答案】eq\f(1,3)【解析】由題意得到的P(m，n)有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6個(gè)，在圓x2＋y2＝9的內(nèi)部的點(diǎn)有(2,1)，(2,2)，所以概率為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).8．連擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m和n，記向量a＝(m，n)與向量b＝(1，－1)的夾角為θ，則θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的概率是________．【答案】eq\f(7,12)【解析】∵m，n均為不大于6的正整數(shù)，∴當(dāng)點(diǎn)A(m，n)位于直線y＝x上及其下方第一象限的部分時(shí)，滿足θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的點(diǎn)A(m，n)有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21個(gè)，點(diǎn)A(m，n)的基本事件總數(shù)為6×6＝36，故所求概率為eq\f(21,36)＝eq\f(7,12).9．某同學(xué)同時(shí)擲兩顆骰子，得到點(diǎn)數(shù)分別為a，b，則雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的離心率e>eq\r(5)的概率是________．【答案】eq\f(1,6)【解析】e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))>eq\r(5)，∴b>2a，符合b>2a的情況有：當(dāng)a＝1時(shí)，b＝3,4,5,6四種情況；當(dāng)a＝2時(shí)，b＝5,6兩種情況，總共有6種情況．則所求概率為eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).10．三位同學(xué)參加跳高、跳遠(yuǎn)、鉛球項(xiàng)目的比賽．若每人都選擇其中兩個(gè)項(xiàng)目，則有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同的概率是________(結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示)．【答案】eq\f(2,3)【解析】根據(jù)條件求出基本事件的個(gè)數(shù)，再利用古典概型的概率計(jì)算公式求解．因?yàn)槊咳硕紡娜齻€(gè)項(xiàng)目中選擇兩個(gè)，有(Ceq\o\al(2,3))3種選法，其中“有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同”的基本事件有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)個(gè)，故所求概率為eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,3)C\o\al(1,2),C\o\al(2,3)3)＝eq\f(2,3).三、解答題11．某地區(qū)有小學(xué)21所，中學(xué)14所，大學(xué)7所，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取6所學(xué)校對(duì)學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查．(1)求應(yīng)從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)中分別抽取的學(xué)校數(shù)目；(2)若從抽取的6所學(xué)校中隨機(jī)抽取2所學(xué)校做進(jìn)一步數(shù)據(jù)分析，①列出所有可能的抽取結(jié)果；②求抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)的概率．【解析】(1)由分層抽樣的定義知，從小學(xué)中抽取的學(xué)校數(shù)目為6×eq\f(21,21＋14＋7)＝3；從中學(xué)中抽取的學(xué)校數(shù)目為6×eq\f(14,21＋14＋7)＝2；從大學(xué)中抽取的學(xué)校數(shù)目為6×eq\f(7,21＋14＋7)＝1.故從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)中分別抽取的學(xué)校數(shù)目為3,2,1.(2)①在抽取到的6所學(xué)校中，3所小學(xué)分別記為A1，A2，A3,2所中學(xué)分別記為A4，A5,1所大學(xué)記為A6，則抽取2所學(xué)校的所有可能結(jié)果為(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共15種．②從6所學(xué)校中抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)(記為事件B)的所有可能結(jié)果為(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3種．所以P(B)＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).12.在某次測(cè)驗(yàn)中，有6位同學(xué)的平均成績?yōu)?5分．用xn表示編號(hào)為n(n＝1,2，…，6)的同學(xué)所得成績，且前5位同學(xué)的成績?nèi)缦拢壕幪?hào)n12345成績xn7076727072(1)求第6位同學(xué)的成績x6，及這6位同學(xué)成績的標(biāo)準(zhǔn)差s；(2)從前5位同學(xué)中，隨機(jī)地選2位同學(xué)，求恰有1位同學(xué)成績?cè)趨^(qū)間(68,75)中的概率．【解析】(1)∵這6位同學(xué)的平均成績?yōu)?5分，∴eq\f(1,6)(70＋76＋72＋70＋72＋x6)＝75，解得x6＝90，這6位同學(xué)成績的方差s2＝eq\f(1,6)×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，∴標(biāo)準(zhǔn)差s＝7.(2)從前5位同學(xué)中，隨機(jī)地選出2位同學(xué)的成績共有Ceq\o\al(2,5)＝10種，恰有1位同學(xué)成績?cè)趨^(qū)間(68,75)中的有：(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共4種，所求的概率為eq\f(4,10)＝0.4，即恰有1位同學(xué)成績?cè)趨^(qū)間(68,75)中的概率為0.4.13.袋內(nèi)裝有6個(gè)球，這些球依次被編號(hào)為1,2,3，…，6，設(shè)編號(hào)為n的球重n2－6n＋12(單位：克)，這些球等可能地從袋里取出(不受重量、編號(hào)的影響)．(1)從袋中任意取出一個(gè)球，求其重量大于其編號(hào)的概率；(2)如果不放回的任意取出2個(gè)球，求它們重量相等的概率．【解析】(1)若編號(hào)為n的球的重量大于其編號(hào)．則n2－6n＋12>n，即n2－7n＋12>0.解得n<3或n>4.∴n＝1,2,5,6.∴從袋中任意取出一個(gè)球，其重量大于其編號(hào)的概率P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).(2)不放回的任意取出2個(gè)球，這兩個(gè)球編號(hào)的所有可能情形共有Ceq\o\al(2,6)＝15種．設(shè)編號(hào)分別為m與n(m，n∈{1,2,3,4,5,6}，且m≠n)球的重量相等，則有m2－6m＋12＝n2－6n＋12，即有(m－n)(m＋n－6)＝0.∴m＝n(舍去)或m＋n＝6.滿足m＋n＝6的情形為(1,5)，(2,4)，共2種情形．由古典概型，所求事件的概率為eq\f(2,15).14．某省實(shí)