小升初暑期數(shù)學(xué)精編講義

幫邦教育—七年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班暑期講義姓名:_____________學(xué)校:_____________班級:_____________第一章有理數(shù)§1.有理數(shù)的相關(guān)概念整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù),有理數(shù)又可分為正有理數(shù),0和負(fù)有理數(shù).規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸.在數(shù)軸上表示的兩個數(shù),右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.正數(shù)都大于零,負(fù)數(shù)都小于零,正數(shù)大于負(fù)數(shù).只有符號不同的兩個數(shù)稱互為相反數(shù).例如和互為相反數(shù),即是的相反數(shù)；是的相反數(shù).在數(shù)軸上表示數(shù)的點與原點的距離叫做數(shù)的絕對值,記作.例如,在數(shù)軸上表示的點與原點的距離是5,所以的絕對值是5,記作.一個正數(shù)的絕對值是它本身；零的絕對值是零；一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù).這些根本概念以及它們的性質(zhì)是初中數(shù)學(xué)中?？嫉膬?nèi)容,必須牢固掌握.例1.峨眉山上某天的最高氣溫為12,最低氣溫為,那么這天的最高氣溫比最低氣溫高〔〕A.4B.8C.12D.16例2.以下說法正確的選項是〔〕A.一個有理數(shù)不是整數(shù)就是分?jǐn)?shù)B.正整數(shù)和負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù)C.正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)D.0不是有理數(shù)例3．?dāng)?shù)在數(shù)軸上的位置如圖,以下判斷正確的選項是〔〕A.B.C.D.例4.說出以下各數(shù)的相反數(shù)：16,－3,0,,0.001,,,.例5.如圖,假設(shè)數(shù)軸上的絕對值是的絕對值的3倍,那么數(shù)軸的原點在點.〔填“A〞、“B〞、“C〞或“D〞〕練習(xí)一1．有如下四個命題：①兩個符號相反的分?jǐn)?shù)之間至少有一個正整數(shù)；②兩個符號相反的分?jǐn)?shù)之間至少有一個負(fù)整數(shù)；③兩個符號相反的分?jǐn)?shù)之間至少有一個整數(shù)；④兩個符號相反的分?jǐn)?shù)之間至少有一個有理數(shù).其中真命題的個數(shù)為〔〕A.1B.2C.3D2.以下說服中正確的選項是〔〕A.正整數(shù)和負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)B.正數(shù)和負(fù)數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)C.整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)D.自然數(shù)和負(fù)數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)3.以下四個判斷中不正確的選項是A.在數(shù)軸上,關(guān)于原點對稱的兩個點所對應(yīng)的兩個有理數(shù)互為相反數(shù)B.兩個有理數(shù)互為相反數(shù),那么他們在數(shù)軸上對應(yīng)的兩個點關(guān)于原點對稱C.兩個有理數(shù)不等,那么他們的絕對值不等D.兩個有理數(shù)的絕對值不等,那么這兩個有理數(shù)不等4.下面四個命題中,正確的選項是()A.一切有理數(shù)的倒數(shù)還是有理數(shù)B.一切正有理數(shù)的相反數(shù)必是負(fù)有理數(shù)C.一切有理數(shù)的絕對值必是正有理數(shù)D.一切有理數(shù)的平方是正有理數(shù)5.在數(shù)軸上,點A對應(yīng)的數(shù)是－2006,點B對應(yīng)的數(shù)是＋17,那么A、B兩點的距離是〔〕A.1989B.1999C.2021D6.如下圖,圓的周長為4個單位長度,在圓的4等分點處標(biāo)上數(shù)字0,1,2,3.先讓圓周上數(shù)字0所對應(yīng)的點與數(shù)軸上的數(shù)－1所對應(yīng)的點重合,再讓數(shù)軸按逆時針方向繞在該圓上,那么數(shù)軸上的數(shù)－2006將與圓周上的數(shù)字重合.7.以下說法中錯誤的選項是〔〕A.所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示.B.數(shù)軸上原點表示數(shù)0.C.數(shù)軸上點表示,從點出發(fā),沿數(shù)軸上移動2個單位長度到達點,那么點表示.D.在數(shù)軸上表示和的兩點之間的距離是5.8.以下說法正確的選項是〔〕A.有最大的整數(shù)B.有最小的負(fù)數(shù)C.有最大的正數(shù)D.有最小的正整數(shù)練習(xí)二1.如果n是大于1的偶數(shù),那么n一定小于它的A.相反數(shù)B.倒數(shù)C.絕對值D.平方2.Ifwehave.anda+6>O,thenthepointsinrealnumberaxis,givenbyaandb,canberepresentedas()(英漢詞典point：點．realnumberaxis：實數(shù)軸．represent：表示．)3.有理數(shù)a,b,c大小關(guān)系如圖,那么以下式子中一定成立的是A.a+b+c>0B.c>|a+b|C.|a-c|=|a|+cD.|b-c|>|c-a4.如果a+b+c=0,且|a|>|b|>|c|,那么以下說法中可能成立的是A.a,b是正數(shù),c<0B.a,c是正數(shù),b<0C.b,c是正數(shù),a<0D.a,c是負(fù)數(shù),b>05.如果,那么以下不等式中成立的是A.B.C.D.6.為有理數(shù),以下說法中正確的選項是A.為正數(shù)B.為負(fù)數(shù)C.為正數(shù)D.為正數(shù)7.假設(shè)a<b<0<c<d,那么以下四個結(jié)論中,正確的選項是()A.a+b+c+d一定是正數(shù)．B.d+c-a-b可能是負(fù)數(shù)．C.d-c-b-a一定是正數(shù)．D.c-d-b-a一定是正數(shù)．8.和互為相反數(shù),求的值.9.假設(shè)與互為相反數(shù),到原點的距離為3,求的值.10.,求的值.§2.有理數(shù)的運算－、知識提要1.整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù).2.有理數(shù)還可以這樣定義：形如(其中均為整數(shù),且)的數(shù)是有理數(shù).這種表達形式常被用來證明或判斷某個數(shù)是不是有理數(shù).3.有理數(shù)可以用數(shù)軸上的點表示.4.零是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界點；零不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù).5.如果兩個數(shù)的和為0,那么稱這兩個數(shù)互為相反數(shù).如果兩個數(shù)的積為1,那么稱這兩個數(shù)互為倒數(shù).6.有理數(shù)的運算法那么：(1)加法：兩數(shù)相加,同號的取原來的符號,并把絕對值相加；異號的取絕對值較大的加數(shù)的符號,并用較大的絕對值減去較小的絕對值,絕對值相等時,和為0；一個數(shù)與0相加,仍得這個數(shù).(2)減法：減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù).(3)乘法：兩數(shù)相乘,同號得正,異號得負(fù),并把絕對值相乘；一個數(shù)與0相乘,積為0.乘方：求個相同因數(shù)的積的運算稱為乘方,記為.(4)除法：除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù).整數(shù)的運算律對有理數(shù)的運算也適合.二、例題與練習(xí)例1.=____________.例2.____________.實踐練習(xí)：1.計算：.2.計算：.例3.用簡便方法計算__________.例4.=_________.實踐練習(xí)：1.計算：__________.2.計算：________.3.計算：________.例5.假設(shè),那么是()(A)正數(shù).(B)非正數(shù).(C)負(fù)數(shù).(D)非負(fù)數(shù).例6.假設(shè)是自然數(shù),并且有理數(shù)滿足,那么必有()(A).(B).(C).(D).實踐練習(xí)：1.2021個不全相等的有理數(shù)之和為零,那么這2021個有理數(shù)中()(A)至少有一個是零.(B)至少有1004個正數(shù).(C)至少有一個是負(fù)數(shù).(D)至多有2006個是負(fù)數(shù).2.有理數(shù)等于它的倒數(shù),有理數(shù)等于它的相反數(shù),那么等于()(A)0.(B)1.(C)－1.(D)2.練習(xí)三1.計算：________.2.計算：_________.3.計算：.4.______.5.的值的整數(shù)局部是_______.6.設(shè)是最小的自然數(shù),是最大負(fù)整數(shù),是絕對值最小的有理數(shù),那么___.7.數(shù)軸上對應(yīng)是整數(shù)的點稱為整點,某數(shù)軸的單位長度是1厘米,假設(shè)在這個數(shù)軸上隨意畫出一條長為1995厘米的線段,那么線段蓋住的整點有______個.8.電子跳蚤落在數(shù)軸上的某點,第一步從向左跳1個單位到,第二步從向右跳2個單位到,第三步從向左跳3個單位到,第四步從向右跳4個單位到,…按以上規(guī)律跳了100步時,電子跳蚤落在數(shù)軸上的點所表示的數(shù)恰是20.08,那么電子跳蚤的初始位置點所表示的數(shù)是多少?§3.有理數(shù)的巧算知識要點：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù).有理數(shù)通常可以表示成分?jǐn)?shù)的形式,這里都是整數(shù),且互質(zhì).有理數(shù)運算是中學(xué)數(shù)學(xué)中一切運算的根底．它要求同學(xué)們在理解有理數(shù)的有關(guān)概念、法那么的根底上,能根據(jù)法那么、公式等正確、迅速地進行運算．不僅如此,還要善于根據(jù)題目條件,將推理與計算相結(jié)合,靈活巧妙地選擇合理的簡捷的算法解決問題,從而提高運算能力,開展思維的敏捷性與靈活性．四那么運算對有理數(shù)是封閉的,即任意兩個有理數(shù)相加、相減、相乘、相除〔除數(shù)不能為0〕,其結(jié)果還是有理數(shù).有理數(shù)可以比擬大小,任意兩個有理數(shù)之間都有無窮多個有理數(shù).有理數(shù)計算中常用到的一些等式如下：〔1〕；〔2〕；〔3〕〔4〕；〔5〕；〔6〕例1：計算：實踐練習(xí)：1、計算：2、計算：3、計算：例2.〔1〕計算：〔2〕計算：實踐練習(xí)：1、計算：2、計算：1－＋－＋－3、計算：例3.計算：實踐練習(xí)：1、計算：2、計算：3、計算：練習(xí)四1、計算：2、計算：3、計算：1－＋－＋－4、計算：5、計算：6、計算：7、計算：8、1999減去它的,再減去余下的,再減去余下的,…,依此類推,一直減去余下的,那么最后剩下的數(shù)是多少?第二章整式§1．單項式：1.單項式的概念由數(shù)與字母的乘積組成的代數(shù)式稱為單項式.單獨一個數(shù)或一個字母也是單項式,如a,5.判斷以下各代數(shù)式哪些是單項式?(1)；(2)abc；(3)b2；(4)－5ab2；(5)y；(6)－xy2；(7)－5.2.單項式系數(shù)和次數(shù)單項式是由數(shù)字因數(shù)和字母因數(shù)兩局部組成的.說出以下四個單項式a2h,2πr,abc,－m的系數(shù)和次數(shù).例1.判斷以下各代數(shù)式是否是單項式.如不是,請說明理由；如是,請指出它的系數(shù)和次數(shù).=1\*GB3①x＋1；=2\*GB3②；=3\*GB3③πr2；=4\*GB3④－a2b.例2.下面各題的判斷是否正確?=1\*GB3①－7xy2的系數(shù)是7；=2\*GB3②－x2y3與x3沒有系數(shù)；=3\*GB3③－ab3c2的次數(shù)是0＋3＋2；=4\*GB3④－a3的系數(shù)是－1；=5\*GB3⑤－32x2y3的次數(shù)是7；=6\*GB3⑥πr2h的系數(shù)是.注意：=1\*GB3①圓周率π是常數(shù)；=2\*GB3②當(dāng)一個單項式的系數(shù)是1或－1時,“1”通常省略不寫,如x2,－a2b等；=3\*GB3③單項式次數(shù)只與字母指數(shù)有關(guān).§2．多項式1．列代數(shù)式：(1)長方形的長與寬分別為a、b,那么長方形的周長是；(2)某班有男生x人,女生21人,那么這個班共有學(xué)生人_______；(3)圖中陰影局部的面積為_________；(4)雞兔同籠,雞a只,兔b只,那么共有頭個,腳只.2．觀察以上所得出的四個代數(shù)式與上節(jié)課所學(xué)單項式有何區(qū)別.(1)2(a＋b);(2)21＋x;(3)a＋b;(4)2a＋4b幾個單項式的和叫做多項式(polynomial).在多項式中,每個單項式叫做多項式的項(term).其中,不含字母的項,叫做常數(shù)項(constantterm).例如,多項式有三項,它們是,－2x,5.其中5是常數(shù)項.一個多項式含有幾項,就叫幾項式.多項式里,次數(shù)最高項的次數(shù),就是這個多項式的次數(shù).例如,多項式是一個二次三項式.單項式與多項式統(tǒng)稱整式(integralexpression).注意：(1)多項式的次數(shù)不是所有項的次數(shù)之和；多項式的次數(shù)為最高次項的次數(shù).(2)多項式的每一項都包括它前面的符號.例1.判斷：①多項式a3－a2ｂ＋ab2－b3的項為a3、a2ｂ、ab2、b3,次數(shù)為12；②多項式3n4－2n2＋1的次數(shù)為4,常數(shù)項為1.例2.指出以下多項式的項和次數(shù)：(1)3x－1＋3x2；(2)4x3＋2x－2y2.例3.指出以下多項式是幾次幾項式.(1)x3－x＋1；(2)x3－2x2y2＋3y2.例4.代數(shù)式3xn－(m－1)x＋1是關(guān)于x的三次二項式,求m、n的條件.課堂練習(xí)：①填空：－a2b－ab＋1是次項式,其中三次項系數(shù)是,二次項為,常數(shù)項為,寫出所有的項.②代數(shù)式2x2－mnx2＋y2是關(guān)于字母x、y的三次三項式,求m、n的條件.§3．多項式的升(降)冪排列請運用加法交換律,任意交換多項式x2＋x＋1中各項的位置,可以得到幾種不同的排列方式?在眾多的排列方式中,你認(rèn)為那幾種比擬整齊?1．升冪排列與降冪排列：有兩種排列x的指數(shù)是逐漸變大(或變小)的.我們把這種排列叫做升冪排列與降冪排列.例如：把多項式5x2＋3x－2x3－1按x的指數(shù)從大到小的順序排列,可以寫成－2x3＋5x2＋3x－1,這叫做這個多項式按字母x的降冪排列.假設(shè)按x的指數(shù)從小到大的順序排列,那么寫成－1＋3x＋5x2－2x3,這叫做這個多項式按字母x的升冪排列.例1.五個學(xué)生上前自己選一張卡片,根據(jù)老師要求排成一列,并把排列正確的式子寫下來.－11x7y5－35x3－11x7y5－35x3＋2y－7xy3＋3x2y2＋2y＋3x2y2－35x＋2y＋3x2y2－35x3例2.把多項式2πr－1＋3πr3－π2r2按r升冪排列.例3.把多項式a3－b3－3a2b＋3ab2重新排列(1)按a升冪排列；(2)按a降冪排列.想一想：觀察上面兩個排列,從字母b的角度看,它們又有何特點?例4.把多項式－1＋2πx2－x－x3y用適當(dāng)?shù)姆绞脚帕?例5.把多項式x4－y4＋3x3y－2xy2－5x2y3用適當(dāng)?shù)姆绞脚帕?(1)按字母x的升冪排列得：；(2)按字母y的升冪排列得：.小結(jié)：對一個多項式進行排列,這樣的寫法除了美觀之外,還會為今后的計算帶來方便.在排列時我們要注意:(1)重新排列多項式時,每一項一定要連同它的符號一起移動；原首項省略的“＋〞號交換到后面時要添上；(2)含有兩個或兩個以上字母的多項式,常常按照其中某一字母升冪排列或降冪排列.§4.同類項創(chuàng)設(shè)問題情境⑴、5個人+8個人=⑵、5只羊+8只羊=⑶、5個人+8只羊=觀察以下各單項式,把你認(rèn)為相同類型的式子歸為一類.8x2y,－mn2,5a,－x2y,7mn2,,9a,－,0,0.4mn2,,2xy2我們常常把具有相同特征的事物歸為一類.8x2y與－x2y可以歸為一類,2xy2與－可以歸為一類,－mn2、7mn2與0.4mn2可以歸為一類,5a與9a可以歸為一類,還有、0與也可以歸為一類.8x2y與－x2y只有系數(shù)不同,各自所含的字母都是x、y,并且x的指數(shù)都是2,y的指數(shù)都是1；同樣地,2xy2與－也只有系數(shù)不同,各自所含的字母都是x、y,并且x的指數(shù)都是1,y的指數(shù)都是2.像這樣,所含字母相同,并且相同字母的指數(shù)也分別相等的項叫做同類項(similarterms).另外,所有的常數(shù)項都是同類項.比方,前面提到的、0與也是同類項.例1.判斷以下說法是否正確,正確地在括號內(nèi)打“√〞,錯誤的打“×〞.(1)3x與3mx是同類項.()(2)2ab與－5ab是同類項.()(3)3x2y與－yx2是同類項.()(4)5ab2與－2ab2c是同類項.()(5)23與32是同類項.()例2.指出以下多項式中的同類項：(1)3x－2y＋1＋3y－2x－5；(2)3x2y－2xy2＋xy2－yx2.例3.k取何值時,3xky與－x2y是同類項?例4.假設(shè)把(s＋t)、(s－t)分別看作一個整體,指出下面式子中的同類項.(1)(s＋t)－(s－t)－(s＋t)＋(s－t)；(2)2(s－t)＋3(s－t)2－5(s－t)－8(s－t)2＋s－t.課堂練習(xí)：1.請寫出2ab2c32.假設(shè)2amb2m+3n與a2n－3b8的和仍是一個單項式,那么m與n的值分別是______§5.整式的加減為了搞好班會活動,李明和張強去購置一些水筆和軟面抄作為獎品.他們首先購置了15本軟面抄和20支水筆,經(jīng)過預(yù)算,發(fā)現(xiàn)這么多獎品不夠用,然后他們又去購置了6本軟面抄和5支水筆.問：①他們兩次共買了多少本軟面抄和多少支水筆?②假設(shè)設(shè)軟面抄的單價為每本x元,水筆的單價為每支y元,那么這次活動他們支出的總金額是多少元?可根據(jù)購置的時間次序列出代數(shù)式,也可根據(jù)購置物品的種類列出代數(shù)式,再運用加法的交換律與結(jié)合律將同類項結(jié)合在一起,將它們合并起來,化簡整個多項式,所的結(jié)果都為(21x＋25y)元.由此可得：把多項式中的同類項合并成一項,叫做合并同類項.合并同類項的法那么：把同類項的系數(shù)相加,所得的結(jié)果作為系數(shù),字母和字母指數(shù)保持不變.例1.找出多項式3x2y－4xy2－3＋5x2y＋2xy2＋5種的同類項,并合并同類項.例2.以下各題合并同類項的結(jié)果對不對?假設(shè)不對,請改正.(1)2x2＋3x2=5x4；(2)3x＋2y=5xy；(3)7x2－3x2=4；(4)9a2b－9ba2=0例3.合并以下多項式中的同類項：(1)2a2b－3a2b＋0.5a2b；(2)a3－a2b＋ab2＋a2b－ab2＋b(3)5(x＋y)3－2(x－y)4－2(x＋y)3＋(y－x)4.例4.求多項式3x2＋4x－2x2－x＋x2－3x－1的值,其中x=－3.試一試：把x＝－3直接代入例4這個多項式,可以求出它的值嗎?與上面的解法比擬一下,哪個解法更簡便?例1．化簡以下各式：(1)8a+2b+〔5a－b〕；〔2〕〔5a－3b〕－3〔a2－2b〕．(2)計算：5xy2－[3xy2－〔4xy2－2x2y〕]+2x2y－xy2．[5xy2]小結(jié)去括號是代數(shù)式變形中的一種常用方法,去括號時,特別是括號前面是“－〞號時,括號連同括號前面的“－〞號去掉,括號里的各項都改變符號．去括號規(guī)律可以簡單記為“－〞變“＋〞不變,要變?nèi)甲儯?dāng)括號前帶有數(shù)字因數(shù)時,這個數(shù)字要乘以括號內(nèi)的每一項,切勿漏乘某些項．學(xué)生作總結(jié)后教師強調(diào)要求大家應(yīng)熟記法那么,并能根據(jù)法那么進行去括號運算.去括號法那么順口溜：去括號,看符號：是“+〞號,不變號；是“―〞號,全變號.不難發(fā)現(xiàn),去括號和合并同類項是整式加減的根底.因此,整式加減的一般步驟可以總結(jié)為：〔１〕如果有括號,那么先去括號.〔２〕如果有同類項,再合并同類項.例1.求整式x2―7x―2與―2x2+4x―1的差.練習(xí)：一個多項式加上―5x2―4x―3與―x2―3x,求這個多項式.例2.計算：―2y3+(3xy2―x2y)―2(xy2―y3).例3.化簡求值:(2x3―xyz)―2(x3―y3+xyz)+(xyz―2y3),其中x=1,y=2,z=―3.復(fù)習(xí)題1.找出以下代數(shù)式中的單項式、多項式和整式.,4xy,,,x2+x+,0,,m,―2.01×1052.指出以下單項式的系數(shù)、次數(shù)：ab,―x2,xy5,.3.指出多項式a3―a2b―ab2+b3―1是幾次幾項式,最高次項、常數(shù)項各是什么?4.化簡,并將結(jié)果按x的降冪排列：(1)(2x4―5x2―4x+1)―(3x3―5x2―3x)；(2)―［―(―x+)］―(x―1)；(3)―3(x2―2xy+y2)+(2x2―xy―2y2).5.化簡、求值：5ab―2［3ab―(4ab2+ab)］―5ab2,其中a=,b=―.6.一個多項式加上―2x3+4x2y+5y3后,得x3―x2y+3y3,求這個多項式,并求當(dāng)x=―,y=時,這個多項式的值.7．如果關(guān)于的兩個多項式與的次數(shù)相同,求的值.第三章一元一次方程§1.一元一次方程1.定義：方程：含有未知數(shù)的等式稱為方程.一元一次方程：方程中只含一個未知數(shù)〔元〕,并且未知數(shù)的指數(shù)是1〔次〕,未知數(shù)的系數(shù)不等于0,這樣的方程叫做一元一次方程.如,.解：解方程就是求出使方程等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值,這個值就是方程的解.2.等式的性質(zhì)：性質(zhì)1等式兩邊加〔或減〕同一個不為0的數(shù),結(jié)果仍相等.如果,那么.性質(zhì)2等式兩邊乘同一個數(shù),或除以同一個不為0的數(shù),結(jié)果仍相等.如果,那么.如果〔〕,那么.3.同解方程和方程的同解原理：(1)如果方程Ⅰ的解都是方程Ⅱ解,并且方程Ⅱ的解也都是方程Ⅰ的解,那么這兩個方程是同解方程.(2)方程同解原理Ⅰ：方程兩邊同時加上〔或減去同一個數(shù)或同一個整式〕,所得的方程與原方程是同解方程.方程同解原理Ⅱ：方程兩邊同時乘以〔或除以〕同一個不為0的數(shù),所得的方程與原方程是同解方程.方程同解原理Ⅲ：方程與或是同解方程.4.解一元一次方程的一般步驟：(1)去分母；(2)去括號；(3)移項；(4)合并同類項,化為最簡形式；(5)方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù).解一元一次方程沒有固定的步驟,去分母與去括號要因題而異,靈活掌握,但是,不管采取什么順序,都要保證正確地運用各種運算法那么以及同解原理,使得到的方程與原方程同解.5.一元一次方程的解由的值確定：(1)當(dāng)時,方程有唯一的解；(2)當(dāng)時,方程的解可為任意的有理數(shù)；(3)當(dāng)且時,方程無解.例1.利用等式的性質(zhì)解一元一次方程：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕.例2.檢驗以下各數(shù)是不是方程的解：〔1〕；〔2〕；〔3〕.實踐練習(xí)：1.解方程：〔1〕；〔2〕；〔3〕.2.解方程：.列簡易方程解決問題例3.根據(jù)以下條件列方程〔1〕的5倍比的2倍大12；〔2〕某數(shù)的比它的相反數(shù)小5.實踐練習(xí)：1.根據(jù)以下問題,列出方程,不必求解.〔1〕把假設(shè)干本書發(fā)給學(xué)生.如果每人發(fā)4本,還剩下2本；如果每人發(fā)5本,還差5本.問共有多少學(xué)生?〔2〕某班50名學(xué)生準(zhǔn)備集體去看電影,電影票中有1.5元的和2元的,買電影票共花88元,問這兩種電影票應(yīng)各買多少?練習(xí)一1.解方程：〔1〕；〔2〕.2.假設(shè)關(guān)于的方程有無窮多個解,求的值.3.假設(shè)關(guān)于的方程的解是2,求的值.4.假設(shè)關(guān)于的方程的解是4,求的值.5.某地?fù)芴柹暇W(wǎng)有兩種收費方式,用戶可以任選其一.〔1〕計時制：0.05元/分；〔2〕包月制：50元/月.此外,每一種上網(wǎng)方式都得加收通信費0.02元/分,問用戶每月上網(wǎng)多少小時,這兩種收費方式所收費用一樣?請列出方程.6.小李去商店買練習(xí)本,回來后告訴同學(xué)：店主跟我說,如果多買一些就給我8折優(yōu)惠,我就買了20本,結(jié)果總共廉價了1.60元,你猜原來每本價格是多少?你能列出方程嗎?例4.某大型商場三個季度共銷售DVD2800臺,第一個季度銷售量是第二個季度的2倍,第三個季度銷售量是第一個季度的2倍,第一個季度這家商場銷售DVD多少臺?例5.某校高中一年級434名師生外出春游,已有3輛校車可乘坐84人,還需租用50座的客車多少輛?實踐練習(xí)：1.某工廠八月十五中秋節(jié)給工人發(fā)蘋果,如果每人分兩箱,那么剩余20箱,如果每人分3箱,那么還缺20箱,這個工廠有工人多少人?2.據(jù)某?城市晚報?報道,2004年2月16日,中國著名籃球明星姚明與麥當(dāng)勞公司正式簽約,姚明作為麥當(dāng)勞的形象代言人,三年共獲酬金1400萬美元,假設(shè)后一年的酬金是前一年的兩倍,并且不考慮稅金,那么姚明第一年應(yīng)得酬金為多少萬美元?例6.男女生有假設(shè)干人,男生與女生數(shù)之比為4:3,后來走了12名女生,這時男生人數(shù)恰好是女生的2倍,求原來的男生和女生人數(shù).實踐練習(xí)：1.,,求的值.2.一個三位數(shù)的三個數(shù)字和是15,十位數(shù)字是百位數(shù)字的2倍,個位數(shù)字比十位數(shù)字的2倍還多1,求這個三位數(shù).例7.甲、乙兩人騎自行車,同時從相距45千米的兩地相向而行,2小時相遇,甲比乙每小時多走2.5千米,求甲、乙每小時各走多少千米?實踐練習(xí)：1.一輪船在A,B兩港口之間航行,順?biāo)叫杏?小時,逆水航行比順?biāo)叫卸嘤?0分鐘,輪船在靜水中的速度是36千米/小時,問水流的速度是多少?例8.宋宋班上有40位同學(xué),他想在生日時請客,因此到超市花了17.5元買果凍和巧克力共40個,假設(shè)果凍每20個15元,巧克力每30個10元,求他買了多少個果凍?實踐練習(xí)：1.一個人用540盧布買了兩種布料共138俄尺,其中藍布料每俄尺3盧布,黑布料每俄尺5盧布,兩種布料各買了多少俄尺?2.某單位開展植樹活動,由一人植樹要80小時完成,現(xiàn)由一局部人先植樹5小時,由于單位有緊急事情,再增加2人,且必須在4小時之內(nèi)完成植樹任務(wù),這些人的工作效率相同,那么先安排了多少人植樹?練習(xí)二1.甲、乙兩站間的距離為365千米,一列慢車從甲站開往乙站,每小時行駛65千米；慢車行駛1小時后,另有一列快車從乙站開往甲站,每小時行駛85千米,快車行駛了幾小時后與慢車相遇?2.某種商品因換季準(zhǔn)備打折出售,如果按定價的七五折出售將賠25元,而按定價的九折出售將賺20元,問這種商品的定價是多少?3.聰聰?shù)较Ｍ麜陰屯瑢W(xué)們買書,售貨員主動告訴他,如果用20元錢辦“希望書店會員卡〞,將享受八折優(yōu)惠,請問在這次買書中,聰聰在什么情況下,辦會員卡與不辦會員卡一樣?當(dāng)聰聰買標(biāo)價共計200元的書時,怎么做合算,辦會員卡還是不辦會員卡?4.有一列數(shù)為1,4,7,…,它的第個數(shù)是多少?在這列數(shù)中取出三個連續(xù)數(shù),其和為48,問這三個數(shù)分別是多少?5.假設(shè)是關(guān)于的方程的解,解關(guān)于的方程.6.當(dāng)取什么整數(shù)時,關(guān)于的方程的解是正整數(shù)?7.某制衣廠接受一批服裝訂貨任務(wù),按方案天數(shù)進行生產(chǎn),如果每天平均生產(chǎn)20套服裝,就比訂貨任務(wù)少生產(chǎn)100套；如果每天生產(chǎn)23套衣服,就可以超過訂貨任務(wù)20套,問這批服裝的訂貨任務(wù)是多少套?原方案多少天完成?8.這里有一杯水,第一次倒出一半后又倒出10毫升；第二次倒出剩下的一半后又倒出10毫升,這時杯子空了,問杯子里原來有多少毫升水?§2.一元一次方程復(fù)習(xí)代數(shù)方程在初中代數(shù)中占有很重要的地位,而一元一次方程是代數(shù)方程中最根底的局部,高次方程及方程組往往化為一元一次方程組來求解.因此,掌握好這局部內(nèi)容,有助于我們學(xué)習(xí)一些復(fù)雜的方程.一.方程及一元一次方程的概念1.含有未知數(shù)的等式叫做方程.2.只含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的次數(shù)是1的整式方程叫做一元一次方程.【例1】判斷以下那些式子是方程,那些是一元一次方程.(1);(2);(3);(4);(5);(6)(是常數(shù));(7);(8);(9).______________________是方程,____________________是一元一次方程.【例2】(1)是一元一次方程,那么_______________.(2)是一元一次方程,那么_______________.(3)假設(shè)關(guān)于的方程是一元一次方程,那么_______________,_________________.【思考1】是關(guān)于的一元一次方程,那么_______________.【思考2】在關(guān)于的方程中,解的情況:當(dāng)________時,方程有唯一解;當(dāng)________時,方程無解;當(dāng)________,________時,方程有無數(shù)個解.【例3】,那么代數(shù)式______________.【思考3】以下說法正確的選項是____________.(1)如果,那么;(2)如果,那么;(3)如果,那么;(4)如果,那么.二.解一元一次方程去括號→去分母→移項→合并同類項→系數(shù)化1【例4】解以下一元一次方程:(1);(2);(3);(4);(5)(6).【例5】有四個數(shù),其中三個數(shù)之和分別為,求此四個數(shù).【例6】,那么__________.【例7】假設(shè)關(guān)于的方程的解是整數(shù),那么___________________.強化練習(xí)：1.解方程：2.解方程：3.解方程：4、解關(guān)于的方程：5.解關(guān)于的方程：6.解關(guān)于的方程：7.關(guān)于的方程有無數(shù)多個解,試求的值.8關(guān)于的方程有無數(shù)多個解,試求的值.9.方程有兩個不同的解,試求的值.10.關(guān)于的方程的根是,求的值.11.關(guān)于的方程的解是,求的值.12.假設(shè)關(guān)于的方程的解為正整數(shù),求的值.13.關(guān)于的方程和是同解方程,求的值.14.關(guān)于的方程和是同解方程,求的值.15、關(guān)于的方程僅有正整數(shù)解,并且和關(guān)于的方程是同解方程,假設(shè),,求出這個方程可能的解.16.(1)解方程：(2)解方程：(3).解方程：(4).解方程：(5).解關(guān)于的方程：(6).解關(guān)于的方程：17.關(guān)于的方程無解,試求的值.18.關(guān)于的方程,分別求當(dāng)為何值時,方程：〔1〕有唯一解；〔2〕有無數(shù)多個解；〔3〕無解.19.假設(shè)是關(guān)于的方程的解,解關(guān)于的方程.20.當(dāng)取什么整數(shù)時,關(guān)于的方程的解是正整數(shù)?21.關(guān)于的方程和有相同的根,求的值§3.一元一次方程的應(yīng)用知識要點1.列出一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟是：〔1〕弄清題意和題目中的數(shù)、未知數(shù)及數(shù)量關(guān)系.用字母〔如〕表示題目中的一個未知數(shù).〔2〕找出能夠表示應(yīng)用題全部含義的一個相等關(guān)系.〔3〕根據(jù)這個相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式,從而列出方程.〔4〕解這個方程,求出未知數(shù)的值.〔5〕檢驗、寫出答案〔包括單位名稱〕.設(shè)未知數(shù)可分為直接設(shè)未知數(shù)、間接設(shè)未知數(shù)兩類.直接設(shè)未知數(shù)指題目中為什么就設(shè)什么.它多適用于要求的未知數(shù)只有一個的情況.間接設(shè)未知數(shù),顧名思義就是問東設(shè)西,迂回前進,如求整體時,可先設(shè)其某局部為；求局部時,又可設(shè)其整體為未知數(shù)；求速度時,先設(shè)路程為未知數(shù)；求工作時間時設(shè)工作效率為未知數(shù).解完方程后要檢驗方程的解作為應(yīng)用題的答案是否合理.2．幾類應(yīng)用題常用的策略〔1〕和、差、倍、分問題：抓住關(guān)鍵詞列方程.〔2〕形積變化問題：利用各種幾何圖形的面積、體積公式,列出相等關(guān)系.〔3〕行程問題〔i〕相遇〔相向〕問題：雙方所走路程之和=全部路程〔ii〕追及〔同向〕問題：如甲從相同出發(fā)點追及乙,那么相等關(guān)系一般是：甲所走路程＝乙所走路程.〔iii〕航行問題：注意航行速度與水〔風(fēng)〕速的關(guān)系：順?biāo)俣龋酱陟o水中的速度＋水流速度；逆水速度＝船在靜水中的速度－水流速度；行程中的根本關(guān)系是,其中表示距離,表示速度,表示時間.〔4〕調(diào)配問題：其等量關(guān)系反映在調(diào)動前后的數(shù)量關(guān)系上.抓住“相等〞、“幾倍〞、“多〞、“少〞等詞語?？烧页鱿嗟汝P(guān)系.〔5〕按比例分配問題：假設(shè)兩個量之比是,那么可設(shè)其中一份為,兩量分別為,.〔6〕工程問題,根本數(shù)量關(guān)系是：工作量＝工作效率×工作時間.假設(shè)工作量未給出具體數(shù)量,那么常設(shè)為“1〞.〔7〕濃度配比問題：根本數(shù)量關(guān)系是：溶液重量＝溶質(zhì)重量＋溶劑重量、〔8〕商品銷售問題：利潤＝售價－進價、、售價＝標(biāo)價×銷售折扣〔9〕數(shù)字問題：注意區(qū)分“數(shù)〞和“數(shù)字〞兩個概念.多用間接設(shè)元的方式,設(shè)某一數(shù)位上的數(shù)字為,其他數(shù)位上數(shù)字用它的代數(shù)式表示.在數(shù)的表示中,注意各位上的數(shù)為10的冪的形式.列方程解應(yīng)用題是代數(shù)中的重要內(nèi)容之一,列出一元一次方程解應(yīng)用題是數(shù)學(xué)聯(lián)系實際解決實際問題邁出的重要一步.例1.一隊學(xué)生從甲地到乙地,速度為每小時8千米,當(dāng)行進2千米路后,通訊員奉命回到甲地取東西.他以每小時10千米的速度回甲地取了東西后,立即以同樣速度追趕隊伍,結(jié)果在距乙地3千米處追上隊伍.求甲、乙兩地的距離〔取東西的時間不計〕.實踐練習(xí)1.一個人騎自行車從甲地到乙地,如果每小時走10千米,下午1點鐘才能到達；如果每小時走15千米,上午11點鐘就能到達.要在中午12點鐘到達乙地,他每小時要走多少千米?2.甲、乙兩人從相距36千米的兩地相向而行.假設(shè)甲先出發(fā)2小時,那么在乙動身2.5小時后兩人相遇；假設(shè)乙先出發(fā)2小時,那么甲動身3小時后兩人相遇.求甲、乙兩人的速度.3.有一架飛機,最多能在空中連續(xù)飛行4小時,它在飛出與返回時的速度分別為950千米/時和850千米/時.問這架飛機最遠(yuǎn)飛出多少千米能返回〔答案只保存整數(shù)局部〕.例2.一條船往返于甲、乙兩港之間,由甲至乙是順?biāo)旭?由乙至甲是逆水行駛.船在靜水中的速度為每小時8千米,平時順行與逆行所用時間比為1:2.某天恰逢暴雨,水流速度變?yōu)樵瓉淼?倍,這條船往返共用9個小時,那么甲、乙兩港相距多少千米?實踐練習(xí)1.一只小船從甲地到乙地往返一次共用了2小時.回來時順?biāo)?比去時的速度每小時多行駛8千米,因此,第二小時比第一小時多行駛6千米.那么甲、乙兩地的距離是多少千米?例3.某商店一種商品的進價降低了8%,而售價保持不變,可使得商店的利潤提高10%,問原來的利潤率是百分之幾?實踐練習(xí)1.某商品的進價是1000元,標(biāo)價是1500元,商店要求以利潤率不低于5%的售價打折出售,售貨員最低可以打幾折出售此商品?2.某商品的售價為每件900元,為了參與市場競爭,商店按售價的九折再讓利40元銷售,此時仍可獲利10%,此商品的進價是多少元?例4.一個三位數(shù)三個數(shù)字和是24,十位數(shù)字比百位數(shù)字少2.如果這個三位數(shù)減去兩個數(shù)字都與百位數(shù)字相同的一個兩位數(shù)所得的數(shù)也是三位數(shù),而這個三位數(shù)三個數(shù)字的順序與原來三位數(shù)的數(shù)字的順序恰好相反,求原來的三位數(shù).實踐練習(xí)1.今有一個三位數(shù),其個位數(shù)字比百位數(shù)字多1,十位數(shù)字比百位數(shù)字的兩倍還多1,如將此三位數(shù)的各位數(shù)字重新排列,比可得到一個最大數(shù)和一個最小數(shù)〔仍是三位數(shù)〕,且最大數(shù)與最小數(shù)的差為原來三位數(shù),求這個三位數(shù).例5.我們在運動場上踢的足球大多是由許多小黑白塊的皮縫合而成的.小李和小王兩位同學(xué),在踢足球的休息之余數(shù)起足球上的黑、白塊的個數(shù),結(jié)果發(fā)現(xiàn)黑塊均呈五邊形,白塊均呈六邊形〔如圖〕.由于黑、白相間,小李好不容易才數(shù)清了黑塊共12塊,而小王數(shù)白塊時不是重復(fù)就是遺漏,無法數(shù)清白塊的個數(shù),你能幫助他解決這一問題嗎?實踐練習(xí)1.如圖為一個階梯的縱截面,一只老鼠沿長方形的兩邊的路線逃跑,一只貓同時沿階梯〔折線〕的路線去捉,結(jié)果在距離點1.5米的點處,貓捉住了老鼠.老鼠的速度是貓的,問：階梯的長度.課后練習(xí)1.從A地步行到B地,然后再返回原地,路上共花了3小時41分鐘,由A到B的道路先是上坡,中間是平地,然后是下坡.如果步行速度上坡是4千米/時,平地是5千米/時,下坡是6千米/時,AB的距離是9千米,問中間平地的路程有多少千米?2.小船運木材,逆流而上,在碼頭掉下一塊木材,10秒后,小船掉頭追木材〔掉頭時間不計〕,再經(jīng)過幾秒才能追上這塊木材?3.一塊長、寬、高分別為4厘米、3厘米、2厘米的