專題04 求三角形周長(zhǎng)范圍及最值-【題型專項(xiàng)突破系列之解三角形】備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)大題保分專練(全國(guó)通用)(解析版)

專題04解三角形之求三角形周長(zhǎng)范圍及最值一、解答題(共30題)1．銳角△中，角，，的對(duì)邊分別為，，，面積.（1）求的值；（2）若，求△的周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】（1）（2）【分析】（1）由正弦定理的邊角關(guān)系、三角形面積公式可得，根據(jù)三角形內(nèi)角的性質(zhì)及和角正弦公式可得，即可得目標(biāo)式的值.（2）由題設(shè)及（1）的結(jié)論有且，討論、的大小結(jié)合余弦定理求的范圍，進(jìn)而可得△的周長(zhǎng)的取值范圍.（1）由題設(shè)，，即，∴，又，∴，∴，由，可得，即，∴.（2）由（1）及知：，∴，且，△為銳角三角形，當(dāng)為最大邊，，則，可得；當(dāng)為最大邊，，則，可得；綜上，.∴.2．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿足.（1）求A；（2）若，求周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理得，化簡(jiǎn)得，利用的范圍可得答案；（2）由正弦定理得，利用的范圍和三角函數(shù)的性質(zhì)可得答案.【詳解】（1）由正弦定理得，因?yàn)?，所以，所以，即，解得，因?yàn)?，所?（2）由正弦定理得，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所?3．已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．（1）求角的最大值．（2）若取（1）中最大值，，，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，求的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)，由余弦定理得到，結(jié)合基本不等式求解；（2）由（1）可知，結(jié)合，利用余弦定理得到，然后由的周長(zhǎng)為，利用基本不等式求解.【詳解】（1）∵，∴，∴，∴,．又∵，則，即．又∵，∴的最大值為．（2）由（1）可知，，則．又，∴．記的周長(zhǎng)為，則，．當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)或（不合題意，舍去）時(shí)取等號(hào)，∴當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，的值為．4．在中，角、、所對(duì)的邊分別是、、，．（1）求角：（2）若的周長(zhǎng)為10，求面積的最大值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由，利用三角函數(shù)的基本關(guān)系和兩角和的正弦公式，結(jié)合正弦定理求解；（2）由，結(jié)合余弦定理，再利用基本不等式求得的范圍，再代入三角形面積公式求解．【詳解】（1）由，又，所以，因?yàn)?故．（2）由已知可得，消去，可得，得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào)）解得（舍）或，故，，則面積的最大值為．5．在銳角三角形ABC中，分別為角A，B，C的對(duì)邊，且.(1)求角C；(2)若，求的周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)已知及正弦定理得到，再根據(jù)余弦定理可得到結(jié)果；（2）利用正弦定理將周長(zhǎng)表示關(guān)于內(nèi)角A的三角函數(shù)，最后根據(jù)銳角三角形中角的范圍及三角函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】(1)由已知及正弦定理可得，即，則，因?yàn)?，所以?2)因?yàn)?，，所以由正弦定理得，則，的周長(zhǎng)，在銳角三角形ABC中得，所以所以，所以，所以的周長(zhǎng)．6．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，（1）若還同時(shí)滿足下列四個(gè)條件中的三個(gè)：①，②，③，④的面積，請(qǐng)指出這三個(gè)條件，并說明理由；（2）若，求周長(zhǎng)L的取值范圍．【答案】（1）①③④，理由見解析；（2）(6,9]【分析】（1）首先條件變形，利用兩角差的正弦公式變形，求得，再判斷①②不能同時(shí)成立，最后根據(jù)③④判斷能同時(shí)成立的第三個(gè)條件；（2）首先利用正弦定理邊角互化，表示，，再利用三角函數(shù)恒等變形表示周長(zhǎng)，最后根據(jù)角B的范圍求周長(zhǎng)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，所以所以因?yàn)椋?，即，所以?）還同時(shí)滿足條件①③④理由如下：若同時(shí)滿足條件①②則由正弦定理得，這不可能，所以不能同時(shí)滿足條件①②，所以同時(shí)滿足條件③④所以的面積所以與②矛盾所以還同時(shí)滿足條件①③④（2）在中，由正弦定理得：因?yàn)?，所以，所以因?yàn)?，所以，所以周長(zhǎng)L的取值范圍為.7．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且asinBbcosA+a＝bcosC+ccosB．（1）求A；（2）若a，點(diǎn)D在BC上，且AD⊥AC，當(dāng)△ABC的周長(zhǎng)取得最大值時(shí)，求BD的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用正弦定理邊化角后化簡(jiǎn)可得，進(jìn)而求得，即可得解；（2）利用余弦定理可得3=(b+c)2bc，進(jìn)而利用基本不等式可知b+c≤2，由此得出此時(shí)△ABC的周長(zhǎng)取得最大值，，進(jìn)而求得BD的長(zhǎng)，即可得解.【詳解】（1）∵，∴，∴，∴，∵B∈(0，π)，∴sinB≠0，∴，又A∈(0，π)，∴；（2）由（1）及，知3=b2+c2+bc，∴3=(b+c)2bc，從而，∴b+c≤2，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=1時(shí)取等號(hào)，即△ABC的周長(zhǎng)取得最大值，此時(shí)，∵AD⊥AC，∴，又b=1，∴，∴．8．在銳角△ABC中，，，（1）求角A；（2）求△ABC的周長(zhǎng)l的范圍.【答案】（1）.（2）【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角以及兩角和的正弦公式，可得，可得；（2）利用正弦定理將表示為的函數(shù)，根據(jù)銳角三角形得的范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象可得結(jié)果.【詳解】（1）∵，，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，，所?（2），所以,所以，，所以因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形，且，所以，解得，所以，所以，所以.9．若函數(shù)(，，)滿足下列條件：的圖像向左平移個(gè)單位時(shí)第一次和原圖像重合，對(duì)任意的都有成立.（1）求的解析式；（2）若銳角△的內(nèi)角滿足，且的對(duì)邊，求△的周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】（1）.（2）【分析】（1）根據(jù)已知條件求得的最小正周期，由此求得；根據(jù)求得以及，從而求得的解析式.（2）由求得，由此求得的取值范圍，利用正弦定理表示出，由此求得三角形周長(zhǎng)的表達(dá)式，利用三角函數(shù)值域的求法，求得的取值范圍.【詳解】（1）由題意可得：最小正周期，由，解得：，∵，∴，且，∴，，又∵，∴，∴.（2）∵，而∴，又∵，，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，，即周長(zhǎng).10．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若的周長(zhǎng)是否有最大值？如果有，求出這個(gè)最大值，如果沒有，請(qǐng)說明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）有最大值，最大值為3.【分析】（Ⅰ）利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理計(jì)算可得；（Ⅱ）由正弦定理可得，則，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】（Ⅰ）由得再由正弦定理得因此，又因?yàn)?，所?（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)有最大值，且最大值為3，理由如下：由正弦定理得，所以，所以.因?yàn)椋?，所以?dāng)即時(shí)，取到最大值2，所以的周長(zhǎng)有最大值，最大值為3.11．在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、.（1）若、、成等比數(shù)列，且，求的值；（2）若、、成等差數(shù)列，且，求的周長(zhǎng)的最大值.【答案】（1）；（2）6．【分析】（1）首先求出的值，再依據(jù)正弦定理及、、成等比數(shù)列得出，對(duì)化簡(jiǎn)代入即可；（2）由等差中項(xiàng)的性質(zhì)，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理得出，利用正弦定理表示出與，進(jìn)而表示出的周長(zhǎng)，由三角恒等變換，利用余弦函數(shù)的值域即可確定出周長(zhǎng)的最大值.【詳解】（1），，、、成等比數(shù)列，，由正弦定理得，；（2），、、成等差數(shù)列，可得，即，，由正弦定理，即，，，，的周長(zhǎng)為，，，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)取到最大值.12．在中，．(1)求角的大??；(2)若，求的周長(zhǎng)的取值范圍．【答案】(1);(2).【解析】試題分析：(1)利用題意得到關(guān)于的方程，求得的值即可求得的大?。?2)利用題意結(jié)合(1)中的結(jié)論將寫成關(guān)于的三角函數(shù)，結(jié)合∠B的取值范圍即可求得周長(zhǎng)的取值范圍.試題解析：（1）因?yàn)椋?，所以，所以，又因?yàn)?，所?（2）因?yàn)椋?，，所以，，所以，因?yàn)椋?又因?yàn)?，所以，所?13．已知函數(shù)fx（1）求函數(shù)fx的最小正周期及在區(qū)間0,（2）在ΔABC中，∠A,∠B,∠C所對(duì)的邊分別是a,b,c,a=2，fA=?1【答案】（1）最小正周期為π，在區(qū)間[0,π2]上的最大值為0【解析】試題分析：（1）首先根據(jù)三角函數(shù)的恒等變換，變換成正弦型函數(shù)，然后求出函數(shù)的最小正周期和最值．（2）先根據(jù)上面的結(jié)論，求出A的值，再利用正弦定理求出三角形的周長(zhǎng)，最后根據(jù)取值范圍利用基本不等式或用三角函數(shù)可確定最值．試題解析：（1）∵f(x)=∴f(x)=sin最小正周期為π4分∵x∈[0,π2所以f(x)在區(qū)間[0,π（2）∵f(A)=?12,由余弦定理得,a即b+c≤4a2的周長(zhǎng)的最大值是6.12分法二：由f(A)=?12，得bsin∴b=43=2+4所以，當(dāng)B=π14．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，的平分線與交于點(diǎn)．（1）若，的面積為6，求的面積；（2）若，，求周長(zhǎng)的最小值．【答案】（1）9；（2）.【分析】(1)利用三角形角平分線結(jié)合三角形面積定理探求與的關(guān)系即可計(jì)算得解.(2)利用給定條件結(jié)合三角形面積定理可得，再借助余弦定理并構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)最小值即可作答.（1）因是的角平分線，即，于是得，即，，所以的面積為9.（2）由(1)知，又，則有，又，則，由余弦定理得，設(shè)的周長(zhǎng)為，則有，因，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，從而有，令，則，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，即當(dāng)時(shí)，，則有，即周長(zhǎng)的最小值為.15．的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，已知．（1）求；（2）若是銳角三角形，，求周長(zhǎng)的取值范圍．【答案】（1）（2）【分析】(1)利用正弦定理和三角恒等變換即可求解；(2)結(jié)合已知條件利用正弦定理表示出，再利用三角恒等變換求值即可.（1）由正弦定理得，，在中，，故，∴，∴，，從而，，∵，∴；（2）由正弦定理得，，，其中為的外接圓半徑，故，因?yàn)槭卿J角三角形，，，即且，故，，所以，從而，故，故三角形周長(zhǎng)的取值范圍為．16．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，.，均為銳角，且滿足.（1）證明：是直角三角形；（2）若面積為，求的周長(zhǎng)的最小值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】(1)利用正弦定理邊化角，再用和角的正弦公式變形等式，然后借助反證法即可得解；(2)由給定條件結(jié)合(1)的結(jié)論可得bc=16，再利用勾股定理并借助配方法即可得解.【詳解】(1)在中，由正弦定理及得，而，于是得，假設(shè)不是直角三角形，而，均為銳角，則，即或，當(dāng)時(shí)，，則，同理，因此，與矛盾，當(dāng)時(shí)，，則，同理，則有，與矛盾，從而得假設(shè)不成立，則有，所以是直角三角形；(2)由(1)知，是直角三角形，，則，解得，即的周長(zhǎng)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，所以的周長(zhǎng)的最小值是.17．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，為的面積，.（1）求角的大??；（2）若，，求周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用三角形的面積公式及向量的數(shù)量積可得角的正切值，結(jié)合的范圍即可得解；（2）由（1）及已知求出的取值范圍，再由正弦定理及正弦函數(shù)的性質(zhì)求出的取值范圍即得.【詳解】（1）在中，因，則，即，而，得，所以角的大小為；（2）由知，于是得為鈍角，又，則，由正弦定理得，則，，則，而，即，則，于是得，，所以周長(zhǎng)的取值范圍為.18．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知.（1）求B；（2）當(dāng)，求的周長(zhǎng)的最大值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)正弦定理進(jìn)行角化邊，然后根據(jù)余弦定理求解出的值，則的值可求；（2）根據(jù)余弦定理以及基本不等式求解出的最大值，由此可求解出周長(zhǎng)的最大值.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，所以且，所以，所以；?）因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，取等?hào)時(shí)，所以，所以的周長(zhǎng)的最大值為.19．已知在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足．（1）求角A的大小；（2）若△ABC為銳角三角形，a＝1，求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍．【答案】（1）；（2）（1+，3]．【分析】（1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)已知等式可得，可求范圍，，進(jìn)而可求的值．（2）由正弦定理與三角恒等變換，將周長(zhǎng)化為，根據(jù)角的取值范圍即可求出周長(zhǎng)的取值范圍．【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以，即，所以，整理可得，所以可得，因?yàn)?，可得，，所以，可得．?）由正弦定理，且，，所以，；所以．因?yàn)闉殇J角三角形，所以得，解得．所以，；即周長(zhǎng)的取值范圍是，．20．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，．（1）求角的大小；（2）若，求周長(zhǎng)的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用正弦定理進(jìn)行邊化角，然后根據(jù)兩角和的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)并求解出的值，由此求解出角的大??；（2）利用正弦定理把表示為對(duì)應(yīng)角的正弦形式，根據(jù)結(jié)合輔助角公式將周長(zhǎng)表示為關(guān)于角的正弦型函數(shù)形式，由此求解出正弦型函數(shù)的值域則周長(zhǎng)的取值范圍可知.【詳解】解：（1）解法一因?yàn)?，所以由正弦定理可得．又，所以，所以．因?yàn)?，所以，所以，又，所以．解法二因?yàn)?，所以由余弦定理可得，整理得，即，因?yàn)?，所以，所以，又，所以．?）因?yàn)?，，所以由正弦定理得，則，，故的周長(zhǎng)．易知，所以，因?yàn)樵跁r(shí)單調(diào)遞增，在時(shí)單調(diào)遞減，所以，則，所以，故周長(zhǎng)的取值范圍為．21．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.（1）求的值；（2）求的周長(zhǎng)的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理邊角互化，然后再利用余弦定理可計(jì)算得角；（2）由正弦定理可表示出，然后將三角形的周長(zhǎng)表示為角的三角函數(shù)，然后求解值域.【詳解】（1）由題意得，，，∴由正弦定理可得.又.（2）由及正弦定理得，..由得，，∴當(dāng)，即時(shí)，.22．從①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的問題中，并加以解答.問題：在中，分別為內(nèi)角的對(duì)邊，若，_________，求的周長(zhǎng)的最大值.注：若選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】答案見解析.【分析】若選條件①，由正弦定理、兩角和的余弦公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得的值，由此求得，利用余弦定理以及基本不等式求得的最大值，從而求得三角形的周長(zhǎng)的最大值.若選條件②，利用余弦定理求得的值，進(jìn)而求得，利用余弦定理以及基本不等式求得的最大值，從而求得三角形的周長(zhǎng)的最大值.若選條件③，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、余弦定理求得的值，進(jìn)而求得，利用余弦定理以及基本不等式求得的最大值，從而求得三角形的周長(zhǎng)的最大值.【詳解】若選條件①，由正弦定理得，因?yàn)椋?，所以，所以，整理得，所以，因?yàn)椋?因?yàn)?，由余弦定理得，所以，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以周長(zhǎng)的最大值為.若選條件②，因?yàn)?，所以，整理得，所以，因?yàn)?，所?因?yàn)椋捎嘞叶ɡ淼?，所以，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以周長(zhǎng)的最大值為.若選條件③，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所?因?yàn)椋捎嘞叶ɡ淼?，所以，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以周長(zhǎng)的最大值為.23．如圖所示，在四邊形ABCD中，.（1）求的大?。唬?）若，求周長(zhǎng)的最大值.【答案】（1）；（2）6.【分析】（1）根據(jù)，由，利用兩角差的正切公式求解；（2）利用正弦定理得到，則的周長(zhǎng)為，再根據(jù)，利用兩角和與差的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】（1）因?yàn)?，且，所以，，，因?yàn)?，所以；?）由正弦定理得，所以，所以的周長(zhǎng)為，，，，因?yàn)椋?，所以，所以的周長(zhǎng)的最大值為.24．已知平面四邊形中，，．（1）若，，，求；（2）若，的面積為，求四邊形周長(zhǎng)的最大值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先在和中分別利用余弦定理，得到和，再利用得到，即可求得；（2）先根據(jù)已知及三角形的面積公式得到，再利用余弦定理求得，然后令，，并利用余弦定理得到，最后利用基本不等式求得，即可得解．【詳解】（1）在中，由余弦定理得．在中，由余弦定理得．因?yàn)?，所以，即，得．?）由題意知，得．在中，由余弦定理得，所以．令，，在中，由余弦定理得，則，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．所以四邊形周長(zhǎng)的最大值為．25．在①，②，③.三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解決該問題.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足，.（1）求角C;（2）求周長(zhǎng)的取值范圍．【答案】（1）條件性選擇見解析，；（2）.【分析】（1）選①，，結(jié)合正弦定理及同角基本關(guān)系可求，進(jìn)而可求；選②，，結(jié)合二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)可求，進(jìn)而可求；選③，，結(jié)合三角形面積公式及向量數(shù)量積定義進(jìn)行化簡(jiǎn)求，進(jìn)而可求；（2）由余弦定理及基本不等式可求的范圍，然后結(jié)合三角形的兩邊之和大于第三邊即可求解．【詳解】解：（1）選①，，由正弦定理得，，因?yàn)椋?，即，由為三角形?nèi)角得，，選②，，，整理得，，由為三角形內(nèi)角得，，選③，，由三角形面積公式得，，故，由為三角形內(nèi)角得，，（2）因?yàn)?，由余弦定理得，，故，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，解得，，因?yàn)?，故．周長(zhǎng)的取值范圍，．26．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為已知（1）求的外接圓直徑；（2）求周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】（1）1；（2）.【分析】（1）由正弦定理將已知條件邊化角，從而求出角B，又，所以利用正弦定理即可求解的外接圓直徑；（2）由余弦定理，配湊得，結(jié)合基本不等式及三角形任意兩邊之和大于第三邊即可求解.【詳解】解：（1）由及正弦定理，得由知，，化簡(jiǎn)得，，又故，由正弦定理得，外接圓的直徑.（2）由（1）知，由余弦定理得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，，，即，又，故，，即的周長(zhǎng)的取值范圍為.27．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊為a，b，c，且．（1）求的值；（2）若的面積為，求的最小值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)題中條件，由正弦定理將原式化為，整理后結(jié)合余弦定理，即可得出結(jié)果；（2）由（1）先求出，根據(jù)三角形面積，得到，根據(jù)，利用基本不等式，即可求出最值.【詳解】（1）由，∵，所以，由正弦定理可得，則，由余弦定理可得：；（2）由，得∵，∴，由得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．即的最小值為．28．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.（1）求C的大小；（2）若，求周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】（1）；（2）