專(zhuān)題48 運(yùn)用正、余弦定理研究三角形或多邊形（解析版）

專(zhuān)題48運(yùn)用正、余弦定理研究三角形或多邊形關(guān)于三角形或者多邊形中的邊角以及面積等問(wèn)題是三角函數(shù)模塊中重點(diǎn)考查的問(wèn)題，對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題涉及的知識(shí)點(diǎn)為正余弦定理，題目中往往給出多邊形，因此，就要根據(jù)題目所給的條件，標(biāo)出邊和角，合理的選擇三角形，盡量選擇邊和角都比較多的條件的三角形，然后運(yùn)用正余弦定理解決一、題型選講題型一、運(yùn)用正余弦定理研究三角形中的問(wèn)題例1、【2020年高考江蘇】在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求的值；（2）在邊BC上取一點(diǎn)D，使得，求的值．【解析】（1）在中，因?yàn)?，由余弦定理，得，所?在中，由正弦定理，得，所以（2）在中，因?yàn)?所以為鈍角，而,所以為銳角.故則.因?yàn)椋裕?從而變式1、（2021·山東高三三模）在中，角所對(duì)的邊分別為（1）若，點(diǎn)在邊上，，求的外接圓的面積；（2）若，求面積的最大值.【解析】（1）由得：，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，又，所以，，在中，由正弦定理得，所以，因?yàn)?，所以，在中，，由余弦定理得：設(shè)外接圓的半徑為，由可得：，所以外接圓的面積.（2）由（1）可知，又，由余弦定理可得：，即，因?yàn)?，所以，從而（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以面積，從而面積的最大值為.變式2、（2020屆山東省濰坊市高三上期末）在①;②這兩個(gè)條件中任選-一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，然后解答補(bǔ)充完整的題.在中，角的對(duì)邊分別為，已知，.(1)求;(2)如圖，為邊上一點(diǎn)，，求的面積【解析】若選擇條件①，則答案為:(1)在中，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所?(2)解法1:設(shè)，易知在中由余弦定理得:，解得.所以在中，所以，所以，所以解法2:因?yàn)?，所以，因?yàn)樗裕砸驗(yàn)闉殇J角，所以又所以所以若選擇條件②，則答案為:(1)因?yàn)椋?，由正弦定理得，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，則，所以.(2)同選擇①變式3、【2019年高考浙江卷】在中，，，，點(diǎn)在線段上，若，則___________，___________．【答案】，【解析】如圖，在中，由正弦定理有：，而，，，所以..題型二、運(yùn)用正余弦定理研究多邊形中的問(wèn)題例2、【2020年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)】如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開(kāi)圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cos∠FCB=______________.【答案】【解析】，，，由勾股定理得，同理得，，在中，，，，由余弦定理得，，在中，，，，由余弦定理得.故答案為：.變式1、（2021·江蘇南通市·高三期末）從①的面積；②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中進(jìn)行求解.如圖，在平面四邊形中，，，對(duì)角線平分，且____________________，求線段的長(zhǎng).注：如果選擇兩個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】4【解析】選①：由三角形面積公式得出，由余弦定理求出，，再由求出線段的長(zhǎng)；選②，過(guò)點(diǎn)作延長(zhǎng)線的垂線，垂足于，由為等腰直角三角形得出，最后結(jié)合角平分線的性質(zhì)得出線段的長(zhǎng).【詳解】選①，∴∴，.選②，過(guò)點(diǎn)作延長(zhǎng)線的垂線，垂足于因?yàn)?，所以，所以因?yàn)閷?duì)角線平分，所以所以變式2、（2021·河北唐山市高三三模）如圖所示，在梯形ABCD中，，，點(diǎn)E是AD上一點(diǎn)，，.（1）求的大??；（2）若的面積為，求BC.【答案】（1）∠BEC＝；（2）．【分析】（1）利用余弦定理將角化為邊，從而可得，故可求其大小.（2）設(shè)，由解直角三角形可得，根據(jù)面積可求的值，利用余弦定理可求的長(zhǎng).【解析】（1）∵∴，而為三角形內(nèi)角，故．（2）設(shè)，則，其中，∵DE＝2AE＝4，∴，，∵△BCE的面積，∴由已知得，∴，因?yàn)?，故，即，此時(shí)，，∴在△BCE中，由余弦定理得：，∴.變式3、（2021·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三模擬）如圖，已知四邊形中，（1）求BD長(zhǎng)度的最大值；（2）若面積是面積的6倍，求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）D點(diǎn)軌跡為以AC為直徑的半圓，圓心為AC中點(diǎn)E，所以BD最大值為BE加半徑1，由此即得結(jié)論；（2）設(shè)，，分別求出兩個(gè)三角形面積，由題意可求得．【解析】（1）D點(diǎn)軌跡為以AC為直徑的半圓，圓心為AC中點(diǎn)E，所以BD最大值為BE加半徑1，，，（2）設(shè)，，則，，，由題意，則，所以.則，解得.1、（2021·山東濱州市·高三二模）最大視角問(wèn)題是1471年德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒提出的幾何極值問(wèn)題，故最大視角問(wèn)題一般稱(chēng)為“米勒問(wèn)題”.如圖，樹(shù)頂A離地面a米，樹(shù)上另一點(diǎn)B離地面b米，在離地面米的C處看此樹(shù)，離此樹(shù)的水平距離為_(kāi)__________米時(shí)看A，B的視角最大.【答案】【解析】過(guò)C作，交AB于D，如圖所示：則，設(shè)，在中，，在中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以取最大值時(shí)，最大，所以當(dāng)離此樹(shù)的水平距離為米時(shí)看A，B的視角最大.故答案為：2、（2021·山東聊城市·高三三模）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，（1）求角B的大??；（2）已知點(diǎn)D滿(mǎn)足，且，若，，求AC．【解析】（1）∵A，B，C是三角形ABC的內(nèi)角，則，又，∴，即，整理得，∴或（舍），又，∴．（2）∵，可得，在△中，，∴，又，∴，，，由余弦定理有，∴．3、（2021·山東青島市·高三期末）在如圖所示的平面圖形中，，，，與交于點(diǎn)，若，θ∈（0，π6）.（1）用表示，；（2）求取最大值時(shí)的值.【解析】（1）由題知在中，由余弦定理知：，所以，且，在中，因?yàn)?，，所以，由正弦定理知：，所以，在中?（2）由（1）知：，，θ∈（0，π6所以，θ∈（0，π因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，即時(shí)，取最大值，所以，取最大值時(shí)，.4、（2021·江蘇南京市高三三模）已知四邊形中，與交于點(diǎn)，.（1）若，，求；（2）若，，求的面積.【解析】（1）在中，由正弦定理得,所以，因?yàn)?，所?（2）若，，在中，由余弦定理得，即，在中，由余弦定理得，即，兩式相加得，再代入求得，因?yàn)椋?，所?5、（2021·湖南長(zhǎng)沙市高三模擬）某市一濕地公園建設(shè)項(xiàng)目中，擬在如圖所示一片水域打造一個(gè)淺水灘，并在、、、四個(gè)位置建四座觀景臺(tái)，在凸四邊形中，千米．千米．

（1）用表示；（2）現(xiàn)要在、兩處連接一根水下直管道，已知，問(wèn)最少應(yīng)準(zhǔn)備多少千米管道（結(jié)果可用根式表示）．【答案】（1