線性代數(shù)課件-第3講階行列式定義

第3n線性代數(shù)59主講 大 教 Jan Jan第3n高等數(shù)學(xué)138講（優(yōu)酷網(wǎng)線性代數(shù)59講（優(yōu)酷網(wǎng)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)70講 傳課 考研題評(píng)講 傳課 :@ Jan第3n及線性代數(shù)59講受 各地大學(xué)生的歡 件 課程的 望對(duì)你的學(xué)習(xí)有所幫助 現(xiàn)在我 的課望對(duì)你的學(xué)習(xí)有所幫助(聯(lián) 的著作權(quán)，切勿在網(wǎng)(聯(lián) Jan1.3n階行列式的定第3nDeterminantsofOrder第3n觀我的《高等數(shù)學(xué)》(全部138講 和《線性請(qǐng)?jiān)趦?yōu)酷網(wǎng)搜索我 + Jan第3n第1講二階行列式第2講三階行列n Jan第3n面兩講，為了方便地表示二元與三元性方程組的解，我們引入了二階與三階行式的概念和記號(hào)a11x1a12x2 x x

大學(xué)

1 x x1

x

a32

a33x3

Jan第3n為了研究n元線性方程組，我們需要將行列式的概念加以推廣，引入n階行列 我們來觀察二階和三階行列式的特點(diǎn) Jan a a

第3n

大 同列的元素的乘積的代數(shù)和(共2!=2項(xiàng))。其中每一項(xiàng)的第一個(gè)元素取自第1行(行標(biāo)1)，第2個(gè)元素取自第 標(biāo)為2)大順序從小到大排列的：12 Jan 第3n a a

沒有產(chǎn)生逆序。排列12的逆序數(shù)為偶數(shù)0，是偶排列a12a21帶負(fù)號(hào)，它的兩個(gè)數(shù)的列標(biāo)排列是了一個(gè)逆序(inversion)。湛 Jan 第3n

a a

a12a21帶負(fù)號(hào)排列21的逆序數(shù)為奇數(shù)1，是奇排列用記號(hào)τ(p1p2表示排列p1p2的逆序則τ(12)0τ(21) 二階行列式可寫成

大

Jan

第3n

a11a23a32a12a21a33 列的元素的乘積的代數(shù)和(共3!=6項(xiàng)) 大其中每一項(xiàng)的第一個(gè)元素取自第1行(行標(biāo)為素取自第3行(行標(biāo)為3)。川大學(xué)大 Jan 帶正號(hào)3項(xiàng)

第3naaa2 a大帶負(fù)號(hào)3

τ(123)=0τ(231)=2均為偶數(shù)、是偶排 τ(213)=1帶正號(hào)3帶負(fù)號(hào)3

第3nτ(123)=0τ(231)=2均為偶數(shù)、是偶排 均為奇數(shù)、是奇排因此行列式各項(xiàng)可以寫成：川大 1 2 3

Jan

第3n 1 2 3三階行列式可以寫成 大

aaa2a12a2 a大

2 2 3 Jan

nn2aij(ij=1,2,…,n，它們構(gòu)成一 大

1p

an

、不同列的n個(gè)元素各項(xiàng)所帶的正負(fù)號(hào)按以下方式確定 Jann n

第3n an

2 2

n

Jan

第3n n n

2 2

an

大排列的個(gè)數(shù)相等，都是n!/2個(gè)。故n階行列式的展開式中帶正號(hào)和帶負(fù)號(hào)的項(xiàng)各占一半，均為n!/2項(xiàng)。 大 Jan例如，4

第3n

a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43

它等于一切不、不同4個(gè)元素的乘積的代數(shù)和(共有4!=項(xiàng)。 (1)τ(p1p2p3p4)

2 3 4p1,p2,p3,注意：4階(或更高階)的行列式不能用對(duì) Jan14階行列

第3n

(1)τ(p1p2p3p4)

p1,p2,p3,

2 3 4 其中的 a12a2a 帶什么符號(hào)大τ(2431)121所以，該項(xiàng)帶正號(hào)

Jan

第3n

p

123

1p 寫出含有因

大的項(xiàng) 大(1)3 (1)4 τ(4123) τ(4213)31 Jan2計(jì)算下三角形行列式（斜邊為主對(duì)角線）

解行列式的一般

a1

只需考慮不為零的

大 大2行不能a21，故只a22同理3行，不能a31a32，故只能a33 Jan

a11a22 大

大a

因此唯一可能不為零的項(xiàng)

τ(12...n)

該項(xiàng)取正號(hào)：a11a22斜邊為主對(duì)角線斜邊為主對(duì)角線的下三角形行列式等于其角線上的元素的乘積第3n同理上三角形行列式（斜邊為主對(duì)角線） 0

a11a22大 Jan例

第3n 0

821(3) Jan第3n例3計(jì)算上三角形行列式（斜邊為次對(duì)角線

0

解行列式的一般項(xiàng)為apa2 第n列只能取可能不為零的a1n。 第n?1列不能取a1,n?1，故只能取a2,n?1。niai+1,n?i(i=0,2,n?1) Jan

第3n

大

a1na2,n1

a1na2,n1τ(n,n1...21)(n1)(n2)...21n(n2

Jan第3n

(1) 1532 0 Jan推論（同濟(jì)五版7

第3n主對(duì)角

λλ行列式

大行列式

λλ Jan第3n

Jan第3nn階行列式的等價(jià)定 Jan

第3n行順序定 an

nn

負(fù)號(hào)取決于列標(biāo)排列的奇偶性列標(biāo)是偶排列時(shí)，該項(xiàng)帶正號(hào)列標(biāo)是奇排列時(shí)，該項(xiàng)帶負(fù)號(hào)

Jan第3講階行列式的定義第3講階行列式的定義 行標(biāo)是偶排列時(shí)，該項(xiàng)帶正號(hào)行標(biāo)是奇排列時(shí)，該項(xiàng)帶負(fù)號(hào)

下一Jan第3講階行列式的定義第3講階行列式的定義

(1n

r r1r rrrrr1

是n階行列式中 及 大標(biāo)排列和列標(biāo)排列的奇偶性 行標(biāo)排列和列標(biāo)排列的奇偶性相同時(shí)(這時(shí)行標(biāo)列的逆序數(shù)與列標(biāo)排列的逆序數(shù)之和是偶數(shù))，該項(xiàng)帶號(hào)；否則帶負(fù)號(hào)(這時(shí)行標(biāo)排列的逆序數(shù)與列標(biāo)序數(shù)之和是奇數(shù)) 證明見下一 請(qǐng)?jiān)趦?yōu)酷網(wǎng)搜索我請(qǐng)?jiān)趦?yōu)酷網(wǎng)搜索我+：