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第三章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法3-1系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的性能指標(biāo)3-2一階系統(tǒng)的時(shí)域分析3-3二階系統(tǒng)的時(shí)域分析3-4高階系統(tǒng)的時(shí)域分析3-5線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析3-6線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算控制系統(tǒng)時(shí)域分析的概念和意義時(shí)域分析問題的提法：

如圖示線性系統(tǒng)，在輸入信號(hào)的作用下輸出為，基于分析得到的系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動(dòng)態(tài)性、穩(wěn)態(tài)性性能，稱為系統(tǒng)的時(shí)域分析問題。時(shí)域分析法是根據(jù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，直接解出控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)，依據(jù)響應(yīng)的表達(dá)式或響應(yīng)曲線來分析系統(tǒng)的性能，包括穩(wěn)定性能、動(dòng)態(tài)性能及穩(wěn)態(tài)性能，并找出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)與這些性能之間的關(guān)系。3-1系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的性能指標(biāo)典型輸入信號(hào)正弦函數(shù)1單位脈沖函數(shù)單位加速度函數(shù)單位斜坡（速度）函數(shù)單位階躍函數(shù)復(fù)域表達(dá)式時(shí)域表達(dá)式名稱系統(tǒng)性能指標(biāo)1、動(dòng)態(tài)過程與穩(wěn)態(tài)過程動(dòng)態(tài)過程又稱過渡過程，指系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下，系統(tǒng)輸出量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過程。根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)選擇的情況，動(dòng)態(tài)過程表現(xiàn)為：衰減、發(fā)散、等幅振蕩。

動(dòng)態(tài)過程提供穩(wěn)定性、響應(yīng)速度及阻尼情況信息穩(wěn)態(tài)過程指系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下，當(dāng)時(shí)間t

趨于無窮時(shí)，系統(tǒng)輸出量的表現(xiàn)方式，表征系統(tǒng)輸出量最終復(fù)現(xiàn)輸入量的程度。

穩(wěn)態(tài)過程提供穩(wěn)態(tài)穩(wěn)定性、誤差信息動(dòng)態(tài)過程衰減等幅振蕩發(fā)散2、動(dòng)態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)定是控制系統(tǒng)能夠運(yùn)行的首要條件，因此只有當(dāng)動(dòng)態(tài)過程收斂（衰減）時(shí)，研究系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能才有意義。動(dòng)態(tài)性能是指描述穩(wěn)定的系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下，動(dòng)態(tài)過程隨時(shí)間t的變化狀況的指標(biāo)。穩(wěn)態(tài)誤差是描述穩(wěn)態(tài)性能的一種性能指標(biāo)，是系統(tǒng)控制精度或抗擾動(dòng)能力的一種度量。系統(tǒng)在此作用下的動(dòng)態(tài)性能能夠滿足要求，其他函數(shù)作用下的動(dòng)態(tài)性能即可滿足要求th(∞)0.9h(∞)0.5h(∞)0.1h(∞)h(t)0td穩(wěn)態(tài)值延遲時(shí)間：響應(yīng)曲線第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的一半所需的時(shí)間。th(∞)0.9h(∞)0.5h(∞)0.1h(∞)h(t)0tdtr穩(wěn)態(tài)值上升時(shí)間：響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%，所需的時(shí)間。th(∞)0.9h(∞)0.5h(∞)0.1h(∞)h(t)0tdtrtp穩(wěn)態(tài)值峰值時(shí)間：響應(yīng)曲線達(dá)到第一個(gè)峰值所需要的時(shí)間。th(∞)0.9h(∞)0.5h(∞)0.1h(∞)h(t)0tdtrtp穩(wěn)態(tài)值超調(diào)量th(∞)0.9h(∞)0.5h(∞)0.1h(∞)h(t)0tdtrtp穩(wěn)態(tài)值超調(diào)量誤差帶：允許誤差±5％或±2%th(∞)0.9h(∞)0.5h(∞)0.1h(∞)h(t)0tdtrtp穩(wěn)態(tài)值超調(diào)量誤差帶：允許誤差±5％或±2%ts調(diào)節(jié)時(shí)間：響應(yīng)曲線達(dá)到并永遠(yuǎn)保持在一個(gè)允許誤差范圍內(nèi)，所需的最短時(shí)間。動(dòng)態(tài)性能延遲時(shí)間td：指響應(yīng)曲線第一次達(dá)到其終值的50％所需的時(shí)間；上升時(shí)間tr：指響應(yīng)從終值的10％上升到終值的90％所需的時(shí)間（對于有振蕩的系統(tǒng)，上升時(shí)間可定義為從零第一次上升到終值所需的時(shí)間）；峰值時(shí)間tp：指響應(yīng)超過其終值到達(dá)第一個(gè)峰值所需的時(shí)間；調(diào)節(jié)時(shí)間ts：指響應(yīng)到達(dá)并保持在終值的±5％或±2％內(nèi)所需的最短時(shí)間；動(dòng)態(tài)性能超調(diào)量：指響應(yīng)的最大偏離量h(tp)與終值h()的差與終值h()比的百分?jǐn)?shù)，即若h(tp)

<h()，則響應(yīng)無超調(diào)。振蕩次數(shù)N：在調(diào)整時(shí)間ts內(nèi)系統(tǒng)響應(yīng)曲線的振蕩次數(shù)。3-2一階系統(tǒng)的時(shí)域分析一階系統(tǒng)是控制系統(tǒng)最簡單的形式，凡是由一個(gè)儲(chǔ)能元件和其它元件構(gòu)成的系統(tǒng)都是一階系統(tǒng)，以一階微分方程描述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。在控制系統(tǒng)中不乏其例，另外許多控制系統(tǒng)在一定的條件下也可以近似視為一階系統(tǒng)來處理，它是分析高階系統(tǒng)的基礎(chǔ)。3-2一階系統(tǒng)的時(shí)域分析1、一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型其中，T=RC為時(shí)間常數(shù)。2、一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)無振蕩無穩(wěn)態(tài)誤差初始斜率：1/T0.6320.8650.950.982一階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)：T(慣性、時(shí)間常數(shù))越小，響應(yīng)越快穩(wěn)態(tài)響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)2、一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)一階系統(tǒng)階躍響應(yīng)的特點(diǎn)：（1）過渡過程時(shí)間ts=3T（95％），ts=4T（98％）（2）上升時(shí)間tr≈2.2T（3）特征根s=－1/T，T越小，動(dòng)特性越好，穩(wěn)態(tài)特性也越好。2、一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)一階系統(tǒng)階躍響應(yīng)的特點(diǎn)：（4）這是一條指數(shù)曲線，處斜率最大，其值為1/T，若系統(tǒng)保持此變化速度，在t=T

時(shí)，輸出將達(dá)到穩(wěn)態(tài)值。而實(shí)際系統(tǒng)只能達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的0.632,經(jīng)過3T或4T的時(shí)間系統(tǒng)輸出響應(yīng)分別達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的0.95或0.98。（5）T反映了系統(tǒng)慣性，T越大，慣性越大，響應(yīng)越慢；反之，響應(yīng)越快。0.368/T3、一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)無穩(wěn)態(tài)誤差斜率：－1/T2瞬態(tài)響應(yīng)3、一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)零初始條件下，閉環(huán)傳函和脈沖響應(yīng)具有相同的動(dòng)態(tài)過程信息，故常求單位脈沖響應(yīng)，可得到被測系統(tǒng)的閉環(huán)傳函；工程上無法得到理想的單位脈沖，常用具有一定脈寬h和有限幅度的矩形脈動(dòng)函數(shù)代替，要求：h<0.1T.4、一階系統(tǒng)的單位斜坡（速度）響應(yīng)T4、一階系統(tǒng)的單位斜坡（速度）響應(yīng)輸出是與斜坡函數(shù)斜率相同，但滯后T的斜坡函數(shù)，存在穩(wěn)態(tài)誤差比較一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)和單位斜坡響應(yīng)初始斜率初始位置誤差斜率變化位置誤差變化穩(wěn)態(tài)誤差單位階躍響應(yīng)最大越來越小越來越小0單位斜坡響應(yīng)00越來越大越來越大T階躍響應(yīng)曲線中，輸出量和輸入量之間的位置誤差隨時(shí)間而減小，最后趨于零；初始狀態(tài)下，位置誤差最大，響應(yīng)曲線的初始斜率最大；斜坡響應(yīng)曲線中，輸出量和輸入量之間的位置誤差隨時(shí)間而增大，最后趨于常值T，T越小跟蹤準(zhǔn)確率越高；初始狀態(tài)下，初始位置和初始斜率為零。5、一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)一階系統(tǒng)無法跟蹤加速度信號(hào)觀察一下他們之間的導(dǎo)數(shù)關(guān)系？輸入信號(hào)輸出信號(hào)穩(wěn)態(tài)輸出穩(wěn)態(tài)誤差說明00無差跟蹤10無差跟蹤動(dòng)態(tài)性能有差跟蹤不能跟蹤輸入信號(hào)輸出信號(hào)穩(wěn)態(tài)輸出穩(wěn)態(tài)誤差說明00無差跟蹤10無差跟蹤動(dòng)態(tài)性能有差跟蹤不能跟蹤線性定常系統(tǒng)的一個(gè)重要特性：系統(tǒng)對輸入信號(hào)導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)等于系統(tǒng)對該輸入信號(hào)響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)。系統(tǒng)對輸入信號(hào)積分的響應(yīng)等于系統(tǒng)對該輸入信號(hào)響應(yīng)的積分，其積分常數(shù)由初始條件確定。此特性適用于任何階線性定常系統(tǒng)。3-3二階系統(tǒng)的時(shí)域分析可以用二階微分方程來描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。從物理上講，二階系統(tǒng)包含有二個(gè)獨(dú)立的儲(chǔ)能元件，經(jīng)常用到的儲(chǔ)能元件有電感、電容、彈簧、質(zhì)量塊等。典型二階系統(tǒng)實(shí)例：電學(xué)系統(tǒng)RLC網(wǎng)絡(luò)典型二階系統(tǒng)實(shí)例：力學(xué)系統(tǒng)----質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)3-3二階系統(tǒng)的時(shí)域分析1、二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型標(biāo)準(zhǔn)形式的二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖其中，為阻尼比，n為自然頻率（無阻尼振蕩頻率）。令：則二階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)式:－－無阻尼自然振蕩頻率（自然頻率）；

－－阻尼比RLC網(wǎng)絡(luò)：質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)：為例1、二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)取決于和n這兩個(gè)參數(shù)。二階系統(tǒng)特征根的性質(zhì)取決于值的取值范圍。根據(jù)值的取值范圍不同，特征根的分布情況有如下七種：二階系統(tǒng)特征方程無阻尼欠阻尼過阻尼臨界阻尼特征方程的解具有負(fù)實(shí)部，系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)含有衰減分量。無阻尼特征方程的解具有正實(shí)部，系統(tǒng)不穩(wěn)定。特征方程的解為一對共軛虛根，系統(tǒng)等幅振蕩。欠阻尼過阻尼臨界阻尼特征方程的解具有負(fù)實(shí)部，系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)含有衰減分量。2、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)1）欠阻尼情況（0<<1）——阻尼振蕩頻率其中，——衰減系數(shù)特點(diǎn)：無穩(wěn)態(tài)位置誤差；動(dòng)態(tài)過程存在衰減振蕩。延遲時(shí)間上升時(shí)間峰值時(shí)間2、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)1）欠阻尼情況（0<<1）或超調(diào)量一般地，取

=0.40.8，這時(shí)%=25.4%1.5%。調(diào)節(jié)時(shí)間2、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)1）欠阻尼情況（0<<1）超調(diào)量只與阻尼比有關(guān)注：各指標(biāo)間存在矛盾！由由例：已知下圖所示系統(tǒng)，超調(diào)量，峰值時(shí)間試確定系統(tǒng)參數(shù)和，并計(jì)算單位階躍響應(yīng)下的、和。解：2、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)2）臨界阻尼情況（=1）2、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)3）過阻尼情況（>1）2、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)延遲時(shí)間上升時(shí)間調(diào)節(jié)時(shí)間3）過阻尼情況（>1）2、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng)為平均值為1的正、余弦形式的等幅振蕩過程，其振蕩頻率為n。4）無阻尼情況（

=0）2、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能總結(jié)動(dòng)態(tài)性能取決于阻尼比

和自然頻率n；振蕩性取決于阻尼比

，且越小振蕩性越強(qiáng)；在無振蕩（1）時(shí)，以

=1時(shí)的響應(yīng)速度最快，且具有最短的上升時(shí)間；系統(tǒng)的快速性和平穩(wěn)性之間存在矛盾。3、二階系統(tǒng)的單位斜坡（速度）響應(yīng)1）欠阻尼情況（0<

<1）3、二階系統(tǒng)的單位斜坡（速度）響應(yīng)2）臨界阻尼情況（

=1）3、二階系統(tǒng)的單位斜坡（速度）響應(yīng)結(jié)論：二階系統(tǒng)跟蹤單位速度響應(yīng)，其穩(wěn)態(tài)誤差為3）過阻尼情況（

>1）4、二階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)無法跟蹤例：控制系統(tǒng)輸入放大器增益求：系統(tǒng)誤差響應(yīng)及性能指標(biāo)解：系統(tǒng)開環(huán)傳函因此二階系統(tǒng)跟蹤單位速度響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差均為階躍信號(hào)響應(yīng)曲線KAζωn延遲時(shí)間td上升時(shí)間tr調(diào)節(jié)時(shí)間ts峰值時(shí)間tp超調(diào)量斜坡輸入穩(wěn)態(tài)誤差θess13.52.18.20.30--0.203------0.512000.5531.60.040.100.2030.1513%0.03515000.286.60.010.020.2030.0453%0.0046結(jié)論：KA↑，θess↓,但惡化了動(dòng)態(tài)性能，超調(diào)增大。因此：ζ不宜太大，ωn希望足夠大斜坡信號(hào)響應(yīng)曲線5、二階系統(tǒng)性能的改善比例-微分（PD）控制系統(tǒng)輸出量同時(shí)受誤差信號(hào)及其速率的雙重作用。PD控制的定性分析比例-微分（PD）控制n不變仿真示例：仿真示例：0.0115.62.6351.810.19.72.5151.850.5-1.495-仿真示例：適當(dāng)選擇開環(huán)增益和微分器時(shí)間常數(shù)Td，即可減小系統(tǒng)在斜坡輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差，又可使系統(tǒng)在階躍輸入時(shí)有滿意的動(dòng)態(tài)性能比例-微分（PD）控制結(jié)論：比例-微分控制可以增大系統(tǒng)的阻尼，使階躍響應(yīng)的超調(diào)量下降，調(diào)節(jié)時(shí)間縮短，且不影響常值穩(wěn)態(tài)誤差及系統(tǒng)的自然頻率；適當(dāng)選擇開環(huán)增益和微分器時(shí)間常數(shù)Td，即可減小系統(tǒng)在斜坡輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差，又可使系統(tǒng)在階躍輸入時(shí)有滿意的動(dòng)態(tài)性能；因?yàn)殚_環(huán)增益：測速反饋控制PD測速反饋控制結(jié)論：測速反饋會(huì)降低系統(tǒng)的開環(huán)增益，從而加大系統(tǒng)在斜坡輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差，但不影響系統(tǒng)的自然頻率，并可增大系統(tǒng)的阻尼比。n不變仿真示例仿真示例測速反饋會(huì)降低系統(tǒng)的開環(huán)增益，從而加大系統(tǒng)在斜坡輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差，但不影響系統(tǒng)的自然頻率，并可增大系統(tǒng)的阻尼比比例-微分控制與測速反饋控制的比較PD控制對系統(tǒng)開環(huán)增益和自然頻率都沒有影響；測速反饋控制雖不影響自然頻率，但會(huì)降低開環(huán)增益，加大在斜坡輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差。PD控制對噪聲有明顯的放大作用，當(dāng)系統(tǒng)輸入端噪聲嚴(yán)重時(shí)，一般不宜選用；測速反饋控制對系統(tǒng)輸入端噪聲有濾波作用，使用場合比較廣泛。3-4高階系統(tǒng)的時(shí)域分析當(dāng)時(shí)，利用部分分式法閉環(huán)傳函單位階躍響應(yīng)結(jié)論高階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)，由一階系統(tǒng)和二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)組合而成；若高階系統(tǒng)極點(diǎn)均位于左半s開平面，則時(shí)間響應(yīng)中指數(shù)項(xiàng)均趨于零，系統(tǒng)穩(wěn)定，且穩(wěn)態(tài)輸出為A0。穩(wěn)定的高階系統(tǒng)，極點(diǎn)分布離虛軸越遠(yuǎn)的點(diǎn)，其響應(yīng)分量衰減越快。系統(tǒng)零點(diǎn)不決定系統(tǒng)穩(wěn)定性，但影響了系統(tǒng)響應(yīng)的形狀。影響系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的關(guān)鍵是系統(tǒng)的極點(diǎn)，在系統(tǒng)的所有極點(diǎn)中，又以距虛軸近和距實(shí)軸遠(yuǎn)的極點(diǎn)為重中之重。

閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)：閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)：所有閉環(huán)極點(diǎn)中，距虛軸最近的極點(diǎn)周圍沒有閉環(huán)零點(diǎn)，而其它閉環(huán)極點(diǎn)又遠(yuǎn)離虛軸，那么距虛軸最近的閉環(huán)極點(diǎn)所對應(yīng)的響應(yīng)分量，隨時(shí)間的推移衰減緩慢，在系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)過程中起主導(dǎo)作用；非主導(dǎo)極點(diǎn)：？。定義目的：工程實(shí)踐中，通常要求控制系統(tǒng)有較高的響應(yīng)速度且具有一定阻尼，還要克服非線性影響。高階系統(tǒng)增益常調(diào)整到具有一對閉環(huán)共軛主導(dǎo)極點(diǎn)，近似為二階系統(tǒng)，用其動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)來估計(jì)動(dòng)態(tài)性能；閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)：其它極點(diǎn)與該極點(diǎn)的距離較遠(yuǎn)，且距離虛軸的距離也較該極點(diǎn)遠(yuǎn)（否則，無法區(qū)分主次）。極點(diǎn)附近應(yīng)沒有零點(diǎn)（從數(shù)學(xué)表達(dá)式看，極點(diǎn)在分母，零點(diǎn)在分子，正好是相反的作用，相距較近時(shí)數(shù)學(xué)上可抵消，工程中作用也相反）。一個(gè)實(shí)際系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)可以是一個(gè)，兩個(gè)或數(shù)個(gè)（這要視具體系統(tǒng)的具體情況）。主導(dǎo)極點(diǎn)可以是實(shí)數(shù)，也可以是復(fù)數(shù)。

在判斷系統(tǒng)主導(dǎo)極點(diǎn)時(shí)有三點(diǎn)要注意：偶極子：若在某一極點(diǎn)的附近同時(shí)存在一個(gè)零點(diǎn)，而在該零、極點(diǎn)的附近又無其它的零點(diǎn)或極點(diǎn)。就稱這個(gè)極點(diǎn)和這個(gè)零點(diǎn)為一個(gè)偶極子對。零極點(diǎn)在傳遞函數(shù)中分別是分子和分母，工程實(shí)際中作用又相反，因此可近似地認(rèn)為作用相互抵消。在處理時(shí)特別要注意相應(yīng)的倍數(shù)關(guān)系。偶極子：若在某一極點(diǎn)的附近同時(shí)存在一個(gè)零點(diǎn)，而在該零、極點(diǎn)的附近又無其它的零點(diǎn)或極點(diǎn)。就稱這個(gè)極點(diǎn)和這個(gè)零點(diǎn)為一個(gè)偶極子對。偶極子：若在某一極點(diǎn)的附近同時(shí)存在一個(gè)零點(diǎn)，而在該零、極點(diǎn)的附近又無其它的零點(diǎn)或極點(diǎn)。就稱這個(gè)極點(diǎn)和這個(gè)零點(diǎn)為一個(gè)偶極子對。偶極子：若在某一極點(diǎn)的附近同時(shí)存在一個(gè)零點(diǎn)，而在該零、極點(diǎn)的附近又無其它的零點(diǎn)或極點(diǎn)。就稱這個(gè)極點(diǎn)和這個(gè)零點(diǎn)為一個(gè)偶極子對。主要結(jié)論閉環(huán)零點(diǎn)對系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響是：減小峰值時(shí)間，使系統(tǒng)響應(yīng)速度加快，超調(diào)量%增大，這表明閉環(huán)零點(diǎn)會(huì)減小系統(tǒng)阻尼，且這種作用將隨閉環(huán)零點(diǎn)接近虛軸而加劇。閉環(huán)非主導(dǎo)極點(diǎn)對系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響是：增大峰值時(shí)間，使系統(tǒng)響應(yīng)速度變緩，超調(diào)量%減小，這表明閉環(huán)非主導(dǎo)極點(diǎn)可以增大系統(tǒng)阻尼，且這種作用將隨閉環(huán)極點(diǎn)接近虛軸而加劇。偶極子：一對閉環(huán)零極點(diǎn)，若它們之間的距離較與其它零極點(diǎn)的距離相比，非常小，則它們對系統(tǒng)響應(yīng)的影響會(huì)相互削弱。3-5線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析1、穩(wěn)定性的基本概念

線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性：若線性控制系統(tǒng)在初始擾動(dòng)的影響下，其動(dòng)態(tài)過程隨時(shí)間的推移逐漸衰減并趨于零（原平衡工作點(diǎn)），則稱系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，簡稱穩(wěn)定；反之，若在初始擾動(dòng)影響下，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程隨時(shí)間的推移而發(fā)散，則稱系統(tǒng)不穩(wěn)定。穩(wěn)定的平衡點(diǎn)不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)穩(wěn)定區(qū)域穩(wěn)定性是系統(tǒng)在擾動(dòng)消失后，由初始偏差狀態(tài)恢復(fù)到原來平衡狀態(tài)的性能(自身具有的一種自恢復(fù)能力)。若系統(tǒng)能恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的，若不能恢復(fù)到原平衡狀態(tài)，且偏差越來越大，則稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。穩(wěn)定性是系統(tǒng)固有的特性，這種特性只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與外部輸入無關(guān)。

2、線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)當(dāng)r(t)=(t)時(shí)，R(s)=1，則其中：q+2r=n2、線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件其中：cj、dk、ek均為實(shí)數(shù)。當(dāng)t時(shí)，c(t)0的條件：線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件:閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根均具有負(fù)實(shí)部，或者說，閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)均嚴(yán)格位于左半s平面。3、勞斯(Routh)穩(wěn)定判據(jù)1）寫出系統(tǒng)閉環(huán)特征多項(xiàng)式（按s的降冪排列）2）判定穩(wěn)定的必要條件3）列勞斯表4）線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：

勞斯表中第一列各值為正。若勞斯表第一列中出現(xiàn)小于零的數(shù)值，則系統(tǒng)就不穩(wěn)定;且第一列各數(shù)符號(hào)的改變次數(shù)，代表特征方程的正實(shí)部根的數(shù)目。4、勞斯穩(wěn)定判據(jù)的特殊情況勞斯表中某行的第一列項(xiàng)為0，而其余各項(xiàng)不為0或不全為0。例：解決方法:用因子(s+a)乘以原特征方程，其中a可為任意正數(shù)，再對新的特征方程應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)。勞斯表中某行的第一列項(xiàng)為0，而其余各項(xiàng)不為0或不全為0。例：系統(tǒng)不穩(wěn)定，且有兩個(gè)正實(shí)部根。4、勞斯穩(wěn)定判據(jù)的特殊情況勞斯表中出現(xiàn)全0行。出現(xiàn)此種情況，原因是特征方程中存在一些絕對值相同但符號(hào)相異的特征根，如大小相等、符號(hào)相反的實(shí)根；一對共軛純虛根；對稱于實(shí)軸的兩對共軛復(fù)根。判斷方法：構(gòu)造輔助方程，通常為偶數(shù)，上述根均可由輔助方程求解得到。其它根，根據(jù)是否有符號(hào)改變判斷。4、勞斯穩(wěn)定判據(jù)的特殊情況勞斯表中出現(xiàn)全0行。

例：4、勞斯穩(wěn)定判據(jù)的特殊情況構(gòu)造輔助方程對變量s求導(dǎo)勞斯表中出現(xiàn)全0行。

例：4、勞斯穩(wěn)定判據(jù)的特殊情況構(gòu)造輔助方程對變量s求導(dǎo)勞斯表中出現(xiàn)全0行。

例：根據(jù)輔助方程4、勞斯穩(wěn)定判據(jù)的特殊情況輔助方程的次數(shù)通常為偶數(shù)，它表明特征方程中包含的數(shù)值相同但符號(hào)相反的根數(shù)。所有特征根：結(jié)論：不穩(wěn)定！例：

穩(wěn)定條件：給出使得系統(tǒng)穩(wěn)定的K的取值范圍。例：

當(dāng)構(gòu)造輔助方程：求導(dǎo)得穩(wěn)定條件：例：

當(dāng)：脈沖響應(yīng)：正弦信號(hào)！臨界穩(wěn)定?。。?！5、勞斯穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用1）判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性或確定系統(tǒng)穩(wěn)定的條件；2）確定系統(tǒng)特征根的范圍系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度：指系統(tǒng)特征根位置與虛軸之間的距離，距離越大，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能越好。通常在左半s平面上作一條s＝a(a>0)的垂線，而a是系統(tǒng)特征根位置與虛軸之間的最小給定距離，希望所有的根均位于此垂線的左側(cè)。用新變量s1

=

s+a

代入原系統(tǒng)特征方程，得到一個(gè)以s1為變量的新特征方程，對新特征方程應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)。1、誤差與穩(wěn)態(tài)誤差當(dāng)

H(s)

=

1（單位負(fù)反饋）時(shí)，E(s)=E(s)。3-6線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算輸入端定義：輸出端定義：1、誤差與穩(wěn)態(tài)誤差應(yīng)用拉氏終值定理的條件是：

sE(s)在s右半平面及除原點(diǎn)外的虛軸上解析。

即sE(s)的所有極點(diǎn)位于s左半平面（包括坐標(biāo)原點(diǎn)）。對于一個(gè)給定的穩(wěn)定系統(tǒng)，當(dāng)輸入信號(hào)形式一定時(shí)，系統(tǒng)是否存在穩(wěn)態(tài)誤差就取決于開環(huán)傳遞函數(shù)描述的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差開環(huán)傳遞函數(shù)穩(wěn)態(tài)誤差2、系統(tǒng)類型2、系統(tǒng)類型按ν的數(shù)值來劃分系統(tǒng)的類型：

ν=00型系統(tǒng)

ν=1Ⅰ型系統(tǒng)

ν=2Ⅱ型系統(tǒng)以此類推。影響穩(wěn)態(tài)誤差的因素是：系統(tǒng)型別、開環(huán)增益、輸入信號(hào)的形式和幅值。1）靜態(tài)位置誤差系數(shù)Kp在典型輸入r(t)=R1(t)時(shí)，3、靜態(tài)誤差系數(shù)定義靜態(tài)位置誤差系數(shù)：2）靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv在典型輸入r(t)=Rt時(shí)，3、靜態(tài)誤差系數(shù)定義靜態(tài)速度誤差系數(shù)：3）靜態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka在典型輸入r(t)=(R/2)t2時(shí)，3、靜態(tài)誤差系數(shù)定義靜態(tài)加速度誤差系數(shù)：系統(tǒng)靜態(tài)誤差系數(shù)與穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)型別靜態(tài)誤差系數(shù)穩(wěn)態(tài)誤差KpKvKa階躍輸入斜坡輸入加速度輸入0型K00∞∞Ⅰ型∞K00∞Ⅱ型∞∞K003、靜態(tài)誤差系數(shù)靜態(tài)誤差系數(shù)定量描述了系統(tǒng)跟蹤不同形式輸入信號(hào)（三種典型輸入信號(hào)）的能力，但求得的是系統(tǒng)的終值誤差，不能表示穩(wěn)態(tài)誤差隨時(shí)間的變化規(guī)律。采用高型別系統(tǒng)對提高系統(tǒng)的控制準(zhǔn)確度有利，但