地震數(shù)字處理-1de wolf、薄板和屏近似

利用DeWolf近似和相屏傳播算子計算反向散射波基于DeWolf近似和相屏單程傳播，給出了一種在地面反射地震觀測中計算一次反射波或反向散射波的合成地震記錄的方法。具體實現(xiàn)時有兩種不同的算法：一種是直接利用MFSB近似，其中計算反向散射波的步長等于網(wǎng)格間隔，但計算正向傳播的步長使用遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于網(wǎng)格間隔的屏間隔；另一種是對正向和反向散射波的屏近似，這樣兩種步長都能采用屏間隔，從而大大提高了計算效率。

在復(fù)雜不均勻介質(zhì)（尤其是3-D介質(zhì)）中，快速模擬方法和算法是發(fā)展復(fù)雜構(gòu)造成像和反演方法、地震方法解釋和用于復(fù)雜構(gòu)造的關(guān)鍵。有限差分和有限元法從原理上能模擬在任意不均勻介質(zhì)中波的傳播，但計算工作量大、效率低。在大型3-D彈性波問題的情況下更是不可想象。下面我們給出了一種基于多次正向散射-單次反向散射（Multiple-forescatteringsingle-backscatteringMFSB）近似，即DeWolf近似，在地面反射地震觀測中計算反向散射場的新方法。為快速實現(xiàn)該方法，我們推出了雙域算法。當(dāng)不均勻體尺度大于地震主波長時，這一理論可進(jìn)一步通過薄板近似和屏散射近似得到合理近似和簡化。屏近似能減少計算工作量、提高計算效率。數(shù)值模型試算驗證了所提方法的有效性。一．多次正向散射-單次反向散射（MFSB）近似---DeWolf近似當(dāng)介質(zhì)體內(nèi)的不連續(xù)性不是很強(qiáng)或不均勻體的參數(shù)擾動不太大時，在不均勻體和諧振散射之間的混響通?？梢院雎圆挥嫛５蛏⑸涞睦奂有?yīng)一般不能忽略掉。實際上，對于大型不均勻體介質(zhì)或長傳播距離，多次散射對正演模擬和反問題來講是很重要的。在這種情況下，Born近似不滿足，但可應(yīng)用DeWolf近似。1．Lipmann-Schwinger方程從標(biāo)量波動方程出發(fā)（1）定義（2）得到（3）由地震疊加原理，令（4）那么，基于Green’s函數(shù)，有（5）其中，是背景介質(zhì)中的Green’s函數(shù)。上式就是Lipmann-Schwinger方程。2．散射序列的重新歸一化和DeWolf近似

Lipmann-Schwinger方程有一多次散射Born序列的標(biāo)準(zhǔn)解。廣泛應(yīng)用的Born近似是該序列的第一項。Born近似僅當(dāng)非勻質(zhì)體較弱和傳播距離較短時適用。在對多次散射序列重新歸一化后，DeWolf推出了MFSB近似：（6）其中，和分別是重新歸一化的多次正向散射場和Green’s函數(shù)。利用相屏算子可計算和。值得注意的是：DeWolf近似用重新歸一化的多次正向散射近似代替總的實際波場和自由空間的Green’s函數(shù)，優(yōu)于由Wu和Huang給出的近似，它是僅近似總的實際波場，而自由空間的Green’s函數(shù)保持不變。MFSB近似適用的條件是反向散射場遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于正向散射場。3．利用相屏傳播算子實現(xiàn)MFSB合成記錄利用（6）式可計算反向散射場（7）其中，是在深度z處接收器的水平位置。方程（7）利用相屏傳播算子可由數(shù)值法實現(xiàn)。為提高反向散射場的計算效率，在一薄板內(nèi)可使用局部Born近似。這意味著在薄板內(nèi)正向散射場可保持不擾動，可由常速介質(zhì)中的Green’s函數(shù)來替代。對方程（7）相對做Fourier變換，得到（8）其中，（9）

（10）這樣，（8）式變?yōu)椋海?1）其中，是薄板的底。注意，二維內(nèi)積分是2-DFourier變換。因此，可使用雙域技術(shù)進(jìn)行反向散射計算。計算散射場的流程可概括如下：

1.把每一薄板入口處的入射波場變換到波數(shù)域；

2.在波數(shù)域通過自由傳播，計算薄板內(nèi)的一次波場；

3.在薄板內(nèi)的每一深度處，把一次波反變換到空間域，通過介質(zhì)的作用計算反向散射場；4.把反向散射場變換到波數(shù)域，與加權(quán)算子相乘，然后自由傳播到薄板入口處。通過薄板的總反向散射場利用相屏傳播算子可傳播到地表面；5.在薄板出口計算正向散射場，并與一次波場相加得到總波場作為下一薄板入口處的入射波場；6.重復(fù)以上步驟；7.對所有反向散射波求和得到地表處的總散射波場。

二．薄板散射近似在MFSB近似下，我們可利用正向傳播方向上的行進(jìn)算法更新總波場。我們把整個介質(zhì)切成與傳播方向相垂直的若干薄板。對每一薄板符合弱散射條件，這樣每一薄板可應(yīng)用Born近似。對每一正向步長，把通過和