第一章第3節(jié)極限的運(yùn)算2

極限運(yùn)算法則定理設(shè)則(1)(2)(3)推論1如果存在,而為常數(shù),則即:常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面.推論2如果存在,而是正整數(shù),則注:法則(1)、(2)均可推廣到有限個(gè)函數(shù)的情形.極限運(yùn)算法則定理設(shè)則(1)(2)(3)推論1如果存在,而為常數(shù),則即:常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面.推論2如果存在,而是正整數(shù),則極限運(yùn)算法則定理設(shè)則(1)(2)(3)推論1如果存在,而為常數(shù),則即:常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面.推論2如果存在,而是正整數(shù),則極限運(yùn)算法則定理設(shè)則(1)(2)(3)推論1推論2極限運(yùn)算法則定理設(shè)則(1)(2)(3)其中推論1推論2注:上述定理給求極限帶來很大方便,但應(yīng)注意,用該定理的前提是被運(yùn)算的各個(gè)變量的極限必須存在,并且,在除法運(yùn)算中,還要求分母的極限不為零.完運(yùn)例1求解注：設(shè)則有完例2求解注：設(shè)且則有當(dāng)時(shí)，則商的法則不能應(yīng)用.完例3求解時(shí),分子和分母的極限都是零.此時(shí)應(yīng)先約去不為零的無窮小因子后再求極限.消去零因子法完例4計(jì)算解當(dāng)時(shí),不能直接使用商的極限運(yùn)算法則.但可采用分母有理化消去分母中趨向于零的因子.完定理2(復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則)設(shè)函數(shù)是由函數(shù)與函數(shù)復(fù)合而成,若則且在的某去心鄰域內(nèi)有注:若函數(shù)和滿足該定理的條件,則作代換可把求化為求其中定理2表明:完例5計(jì)算解令則函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù).因?yàn)榍視r(shí)所以完可視為由例6計(jì)算解令則且所以完(本文件空白，請(qǐng)自行建立)(本文件空白，請(qǐng)自行建立)例7解求完例8求解完例12解求原式完例10解下列運(yùn)算過程是否正確:這種運(yùn)算是錯(cuò)誤的.當(dāng)時(shí),本題所以不能應(yīng)用上述方法進(jìn)行計(jì)算.正確的作法如下.令則當(dāng)時(shí),例15解下列運(yùn)算過程是否正確:正確的作法如下.令則當(dāng)時(shí),例15解下列運(yùn)算過程是否正確:正確的作法如下.令則當(dāng)時(shí),于是完例11求解完利用單調(diào)有界準(zhǔn)則可以證明這個(gè)等式.等式右端的其值為2.718281828459045數(shù)是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要常數(shù),基本初等函數(shù)中的指數(shù)函數(shù)下表有助于讀者理解這個(gè)極限.以及自然對(duì)數(shù)中的底就是這個(gè)常數(shù).

1221010001000001000001000002.252.5942.7172.71812.718122.718128利用單調(diào)有界準(zhǔn)則可以證明這個(gè)等式.等式右端的數(shù)是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要常數(shù),其值為2.718281828459045基本初等函數(shù)中的指數(shù)函數(shù)以及自然對(duì)數(shù)中的底就是這個(gè)常數(shù).利用單調(diào)有界準(zhǔn)則可以證明這個(gè)等式.等式右端的數(shù)是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要常數(shù),其值為2.718281828459045基本初等函數(shù)中的指數(shù)函數(shù)以及自然對(duì)數(shù)中的底就是這個(gè)常數(shù).注:在實(shí)際應(yīng)用中,利用復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則,可將這個(gè)極限變形,例如,若則完例12解求完例13解求完例14求解令則時(shí),于是注:本例的結(jié)果今后常作為公式使用.完例15解求完例16解求完(本文件空白，請(qǐng)自行建立)連續(xù)復(fù)利設(shè)初始本金為(元),年利率為按復(fù)利付息,一年分次付息,則第年末的本利和為若利用二項(xiàng)展開式,有因而即一年計(jì)算次復(fù)利的本利復(fù)利的本利和要大,且復(fù)利計(jì)算次數(shù)愈頻繁,計(jì)算所得的本利和數(shù)額就愈大,和比一年計(jì)算一次但是也不會(huì)無限增大,連續(xù)復(fù)利即一年計(jì)算次復(fù)利的本利復(fù)利的本利和要大,且復(fù)利計(jì)算次數(shù)愈頻繁,計(jì)算所得的本利和數(shù)額就愈大,和比一年計(jì)算一次但是也不會(huì)無限增大,連續(xù)復(fù)利即一年計(jì)算次復(fù)利的本利復(fù)利的本利和要大,且復(fù)利計(jì)算次數(shù)愈頻繁,計(jì)算所得的本利和數(shù)額就愈大,和比一年計(jì)算一次但是也不會(huì)無限增大,因?yàn)樗?本金為按名義年利率不斷計(jì)算復(fù)利,則年后的本利和例17注:連續(xù)復(fù)利的計(jì)算公式在其它許多問題中也常有應(yīng)用如細(xì)胞分裂、樹木增長等問題.完例17一投資者欲用1000元投資5年,設(shè)年利率為試分別按單利、復(fù)利、每年按4次復(fù)利和連續(xù)復(fù)利付息方式計(jì)算,到第5年末,該投資者應(yīng)得的本利和解按單利計(jì)算(元).按復(fù)利計(jì)算(元).按每年計(jì)算復(fù)利4次計(jì)算解按單利計(jì)算(元).按復(fù)利計(jì)算(元).按每年計(jì)算復(fù)利4次計(jì)算解按單利計(jì)算(元).按復(fù)利計(jì)算(元).按每年計(jì)算復(fù)利4次計(jì)算(元).按連續(xù)復(fù)利計(jì)算(元).完1.完課堂練習(xí)2.求極限3.求極限求極限1.求極限解完練習(xí)解答2.求極限解完練習(xí)解答3.求極限解完練習(xí)解答內(nèi)容小結(jié)1.掌握極限的四則運(yùn)算法則設(shè)則2.會(huì)用復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法求極限內(nèi)容小結(jié)1.掌握極限的四則運(yùn)算法則2.會(huì)用復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法求極限內(nèi)容小結(jié)1.掌握極限的四則運(yùn)算法則2.會(huì)用復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法求極限其中3.了解極限存在準(zhǔn)則,掌握兩個(gè)重要極限及其應(yīng)用(1)(2