概率論第一章1-2幾何概率

二幾何概率引例:大轉(zhuǎn)盤利用等可能性的概念成功地解決了古典概型的概率,不過古典概型要求試驗的樣本空間是個有限集.因此,對于結(jié)果無限而又有某種等可能性的場合一般可以通過幾何方法來解決.結(jié)論:幾何量之比.綠格面積圓面積圓心角周角在這類問題中,試驗的可能結(jié)果是某區(qū)域中的一個點,落在該區(qū)域任意位置都是等可能的.落在某子區(qū)域A的可能性與區(qū)域的測度Measure（長度、面積、體積等）成正比而與其位置及形狀無關(guān).設(shè)是可度量的（區(qū)間有長度,平面情形具有面積,空可能性是相同的.事件是的一個子區(qū)域,并且也是可以度量的,則事件A發(fā)生的概率為:間情形具有體積）,并進一步地假定每個樣本點出現(xiàn)的例1某碼頭只能?？恳恢淮?現(xiàn)已知某日會有兩只船解設(shè)甲船到達時刻為?？?小時,乙船情形⑴:乙船先到,甲船等待,則滿足情形⑵:甲船先到,乙船等待,則滿足到達且到達時間是在中任一時刻,已知一船需要停4小時,另一只需要停6小時,求一船需等待的概率.到達時刻為?？?小時.相應(yīng)的區(qū)域如圖所示:所以若以表示某船等待另一船這一事件,則即為圖中區(qū)域的面積,容易得到:從而,事件發(fā)生的概率為例2將一單位長度的小棍隨機折成3段.求能構(gòu)成三角形的概率.解:如果設(shè)截成的三段長度分別為x,y,z.則涉及三維,計算麻煩.設(shè)單位長度的小棍左右端點坐標分別為0,1兩截點坐標分別為x,y由對稱性不妨設(shè)則三段長度分別為由三角形兩邊之和大于第三邊得約束如下解得:比較面積得:11（,）例3蒲豐投針問題平面上畫著一些等距的平行線,間距為a.向此平面任意投擲一長度為

的針.試求此針與任一平行線相交的概率.解:以x表示針的中點到最近的平行線的距離

表示針與平行線的交角以頻率近似代替P得

可算得歷史資料,a折算為13.1415929180834080.833331901Lazzerini3.159548910300.751884Fox3.137382.56001.01860Morgan3.1596253250000.81850WolfπnN針線比年份實驗者貝特朗奇論:在單位圓內(nèi)隨機取一條弦,問其長度超過該圓內(nèi)接等邊三角形邊長的概率是多少?解法1以此端點做一個等邊三角形.顯然,只有穿過此三角形內(nèi)的弦才符合要求.而符合條件的弦的另一端正好占整個圓弧的1/3.并且,不論固定的那個端點在圓上的哪個位置,情況都是一樣的.所以結(jié)果為1/3.由于弦交圓于兩點.我們先固定弦的一個端點.解法2由于弦長只和圓心到它的距離有關(guān).所以固定圓內(nèi)一條半徑.當且僅當圓心到它的距離小于1/2才滿足條件.并且,不論固定的是哪條半徑,情況都是一樣的.所以結(jié)果為1/2.弦被其中點唯一確定.當且僅當其中點在半徑為1/2的圓解法3內(nèi)時才滿足條件.此小圓面積為大圓的1/4.所以結(jié)果為1/4.三個看似都有道理的解法卻得到了不同的結(jié)果,所以我們稱其為paradox.其實,這些結(jié)果都是對的.因為它們采用了不同的等可能性假定.上均勻分布.解法一假定弦的端點在圓上均勻分布.解法二假定半徑在圓內(nèi)均勻分布以及弦的中點在半徑解法三假定弦的中點在圓內(nèi)均勻分布.§1.3頻率與概率

設(shè)是隨機試驗,是樣本空間,是事件,設(shè)在N

次試驗中,事件出現(xiàn)的次數(shù)為n

次,則稱n為頻數(shù)稱為事件在次試驗中出現(xiàn)的頻率,記為即定義:

歷史上,有很多學(xué)者為了考察某些問題的概率而做了試驗者試驗次數(shù)正面出現(xiàn)次數(shù)頻率蒲豐404020480.5069K.皮爾遜1200060190.5016K.皮爾遜24000120120.5005大量的試驗,以觀察一些問題的實質(zhì).例如在拋硬幣試驗中,有這樣三組數(shù)據(jù):

通過這一組數(shù)據(jù)可以看到:當試驗的次數(shù)越大,則事件在次試驗中出現(xiàn)的頻率越接近某一個常數(shù),它反映了事件在大量重復(fù)試驗中出現(xiàn)的頻率具有一種穩(wěn)定性.由于事件發(fā)生的可能性大小與其頻率大小有如此密切的關(guān)系,加之頻率又有穩(wěn)定性,故而可通過頻率來定義概率.這就是:概率的統(tǒng)計定義:實際應(yīng)用中,往往就簡單地把頻率當概率用.發(fā)生的頻率隨著的增大將穩(wěn)定到某個常數(shù),就稱該常數(shù)為事件發(fā)生的概率,記為對于任何一個事件若事件在次重復(fù)試驗中所例1在拋硬幣試驗中，以表示出現(xiàn)正面朝上這一事件,則由上面的統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到事件發(fā)生的概率為例2為了設(shè)計某路口向左拐彎的汽車侯車道.在每天交1頻率601231420164等候天數(shù)總和6543210等候車輛數(shù)通最繁忙的時間（上午9時）在該路口觀察候車數(shù),共觀察了60天,得數(shù)據(jù)如下:試求某天上午9時在該路口至少有5輛汽車在等候左轉(zhuǎn)彎解設(shè)事件表示“至少有5輛汽車在等候左轉(zhuǎn)彎”這一故可近似地認為至少有5輛汽車在等候左轉(zhuǎn)彎的概率為的概率.事件,在60次觀察中,事件發(fā)生的頻率§1.4概率的公理化定義

概率的統(tǒng)計定義具有一定的應(yīng)用價值,但在理論上有嚴重的缺陷,也不利于一般概率問題的計算.古典概型和幾何概型的計算公式雖然解決了這兩種概型中事件的概率的計算問題,但并不是普遍適用的.下面我們引入概率的公理化定義,并導(dǎo)出基本的概率計算公式.先來看古典概率和幾何概率的共性:2、規(guī)范性

若為兩兩互不相容事件,則1、非負性3、有限可加性對于任一隨機事件,賦予唯一一個實數(shù)若滿足以下三條公理：設(shè)隨機試驗的樣本空間為公理3完全可加性(可列可加性)公理1非負性：公理2規(guī)范性：是一列兩兩互不相容的隨機事件則稱為事件A的概率

由定義,不難得到如下性質(zhì):性質(zhì)1證明:在公理3中取則所以又所以性質(zhì)2設(shè)為互不相容事件組,則有證明:在公理3中取則性質(zhì)3對立事件計算公式

證明:互斥,由性質(zhì)2由公理2得:且性質(zhì)4若則證明:由性質(zhì)2移項即得:由非負性即得:性質(zhì)5減法公式:證明:由性質(zhì)4注:此公式無任何條件限制.

設(shè)為任意兩個事件,則性質(zhì)6加法公式

現(xiàn)推導(dǎo)三個隨機事件的加法公式證明:由可加性和減法公式即得.再用一次加法公式以及分配律得將看作一個事件,由加法公式得再用一次加法公式并注意到整理即得由此可用數(shù)學(xué)歸納法證明一般加法公式:例1、設(shè)求解由加法公式得又:所以例2從1到9九個數(shù)字中有放回地取出個數(shù)字.求取出之數(shù)的乘積能被10整除的概率解：乘積能被10整除要求有5有偶數(shù)設(shè)A取到5,B取到偶數(shù),則所求為直接做不容易“沒有某些數(shù)字”很容易求因此從對立事件計算公式得：試證明:例3