2021-2022學(xué)年天津?qū)幒涌h潘莊鎮(zhèn)潘莊中學(xué)高二數(shù)學(xué)文月考試卷含解析

2021-2022學(xué)年天津?qū)幒涌h潘莊鎮(zhèn)潘莊中學(xué)高二數(shù)學(xué)文月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足a=2bcosC，則△ABC的形狀為（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形參考答案：A【考點(diǎn)】三角形的形狀判斷．【分析】利用正弦定理以及三角形的內(nèi)角和，兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)a=2bcosC，求出B與C的關(guān)系，即可判斷三角形的形狀．【解答】解：a=2bcosC，由正弦定理可知，sinA=2sinBcosC，因?yàn)锳+B+C=π，所以sin（B+C）=2sinBcosC，所以sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，sin（B﹣C）=0，B﹣C=kπ，k∈Z，因?yàn)锳、B、C是三角形內(nèi)角，所以B=C．三角形是等腰三角形．故選：A．2.用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由“”等式兩邊需同乘一個(gè)代數(shù)式，它是（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】只需將和分別代入到原式中，得到以及，然后用后式除以前式，則可以得出結(jié)果.【詳解】由題意有，假設(shè)時(shí)，成立，則當(dāng)時(shí)，左邊右邊∴由數(shù)學(xué)歸納法可知上式成立∴顯然等式兩邊需同乘故選：D.【點(diǎn)睛】本題僅僅是考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用情況，要求學(xué)生會(huì)對(duì)復(fù)雜式子進(jìn)行變形，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)候能夠根據(jù)所設(shè)條件得出相關(guān)類似結(jié)論，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力要求較高，能具備相關(guān)推理思維，為中等難度題型.3.甲、乙兩名同學(xué)8次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)?nèi)缜o葉圖所示，1，2分別表示甲、乙兩名同學(xué)8次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)的平均數(shù)，s1，s2分別表示甲、乙兩名同學(xué)8次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差，則有（）A．1＞2，s1＜s2 B．1=2，s1＜s2 C．1=2，s1=s2 D．1＜2，s1＞s2參考答案：B【考點(diǎn)】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；莖葉圖．【分析】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，計(jì)算出甲、乙同學(xué)測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)與方差、標(biāo)準(zhǔn)差，即可得出結(jié)論【解答】解：由莖葉圖可知，甲的成績(jī)分別為：78，79，84，85，85，86，91，92，乙的成績(jī)分別為：77，78，83，85，85，87，92，93，所以=（78+79+84+85+85+86+91+92）=85，s12=[（78﹣85）2+（79﹣85）2+0+0+（86﹣85）2+（91﹣85）2+（92﹣85）2]=，2=（77+78+83+85+85+87+92+93）=85，s22=[（77﹣85）2+（78﹣85）2+0+0+（87﹣85）2+（92﹣85）2+（93﹣85）2]=，∴1=2，s1＜s2故選：B4.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F，且EF＝，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是

()A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱錐A－BEF的體積為定值D．△AEF的面積與△BEF的面積相等參考答案：D略5.設(shè)△ABC的三內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，sinA、sinB、sinC成等比數(shù)列，則這個(gè)三角形的形狀是（

）A．直角三角形

B.鈍角三角形C．等腰直角三角形

D．等邊三角形參考答案：D6.設(shè)函數(shù)的反函數(shù)是，則的值為（

）A．

B．

C．1

D．2參考答案：A7.(

)A． B．

C．

D．參考答案：D略8.函數(shù)的圖象如右圖，則的一組可能值為（A） （B）

（C）

（D）參考答案：D9.已知等差數(shù)列{}的前項(xiàng)和為，且，則(

)A．

B．

C．

D.參考答案：A略10.“命題為真命題”是“命題為真命題”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件參考答案：A【知識(shí)點(diǎn)】充分條件與必要條件【試題解析】因?yàn)橛蔀檎婷}，得p、q均為真命題，能推出真命題，但反之不成立，所以，是充分不必要條件

故答案為：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.直線和將單位圓分成長(zhǎng)度相等的四段弧，則________.參考答案：12.已知函數(shù)在區(qū)間（1,3）內(nèi)不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.參考答案：或【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)分成兩類，根據(jù)函數(shù)在內(nèi)不單調(diào)列不等式，解不等式求得的取值范圍.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，不符合題意.當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，函數(shù)的對(duì)稱軸為，要使在內(nèi)不單調(diào)，則需，即，解得或.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.13.已知二次函數(shù)y=a(a+1)x2－(2a+1)x+1，當(dāng)a=1，2，…，n，…時(shí)，其拋物線在x軸上截得的線段長(zhǎng)依次為d1,d2，…,dn,…,則d1+d2+…+dn=_____________參考答案：解析：當(dāng)a=n時(shí)y=n(n+1)x2－(2n+1)x+1由｜x1－x2｜=，得dn=，∴d1+d2+…+dn略14.橢圓+=1（a為定值，且a＞）的左焦點(diǎn)為F，直線x=m與橢圓交于點(diǎn)A，B，△FAB的周長(zhǎng)的最大值是12，則該橢圓的離心率是．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】先畫出圖象，結(jié)合圖象以及橢圓的定義求出△FAB的周長(zhǎng)的表達(dá)式，進(jìn)而求出何時(shí)周長(zhǎng)最大，即可求出橢圓的離心率．【解答】解：設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)E．如圖：由橢圓的定義得：△FAB的周長(zhǎng)為：AB+AF+BF=AB+（2a﹣AE）+（2a﹣BE）=4a+AB﹣AE﹣BE；∵AE+BE≥AB；∴AB﹣AE﹣BE≤0，當(dāng)AB過(guò)點(diǎn)E時(shí)取等號(hào)；∴△FAB的周長(zhǎng)：AB+AF+BF=4a+AB﹣AE﹣BE≤4a；∴△FAB的周長(zhǎng)的最大值是4a=12?a=3；∴e===．故答案：．15.已知△ABC的面積為，且b=2，c=，則

參考答案：或16.直線x+y﹣1=0的傾斜角是．參考答案：【考點(diǎn)】直線的傾斜角．【分析】設(shè)直線x+y﹣1=0的傾斜角為θ．由直線x+y﹣1=0化為y=﹣x+1，可得，即可得出．【解答】解：設(shè)直線x+y﹣1=0的傾斜角為θ．由直線x+y﹣1=0化為y=﹣x+1，∴，∵θ∈[0，π），∴．故答案為：．17.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第一象限內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取范圍是

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.(本題滿分16分)在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，．過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，直線與的交點(diǎn)為G．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求證：點(diǎn)G在一條定直線上．

參考答案：解(1)由橢圓兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，題設(shè)可知．-----------------2分因?yàn)?，即，所以．又因?yàn)椋裕?/p>

---------------------4分所以，所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

--------------------6分(2)解法一：由題意知，直線與直線的斜率存在，故設(shè)直線的方程為，直線的方程為．

--------------------------8分聯(lián)立方程組，消去y得，解得點(diǎn)．同理，解得點(diǎn).

----------------------12分由M，D，N三點(diǎn)共線，有，化簡(jiǎn)得．由題設(shè)可知與同號(hào)，所以．

--------------------------14分聯(lián)立方程組，解得交點(diǎn)．將代入點(diǎn)G的橫坐標(biāo)，得．所以，點(diǎn)G恒在定直線上．

--------16分解法二：顯然，直線MN的斜率為時(shí)不合題意．設(shè)直線MN的方程為．

令，解得或．當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線的方程為．聯(lián)立方程組，解得交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由對(duì)稱性可知交點(diǎn)．若點(diǎn)G恒在一條定直線上，則此定直線必為．

---------------------------------------10分下面證明對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，直線與直線的交點(diǎn)均在直線上．設(shè)．由點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，有，即．再由點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，有，即．所以，．①將，代入①式，化簡(jiǎn)得．②

----------------14分聯(lián)立方程組，消去得，從而有．將其代入②式，有成立．故當(dāng)m為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線與直線的交點(diǎn)G均在直線上．---------------------16分

19.求以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（﹣4，﹣2）的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．參考答案：【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】根據(jù)題意，由拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的坐標(biāo)，分析可得其圖象開口向下或向左，進(jìn)而分開口向下或向左2種情況討論，分別求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，要求的拋物線過(guò)點(diǎn)P（﹣4，﹣2），則其圖象過(guò)第三象限，其開口向下或向左，若開口向下，設(shè)其方程為x2=﹣2py，又由其過(guò)P（﹣4，﹣2），則有（﹣4）2=﹣2p×（﹣2），解可得p=﹣4，則其方程為x2=﹣8y，若開口向左，設(shè)其方程為y2=﹣2px，又由其過(guò)P（﹣4，﹣2），則有（﹣2）2=﹣2p×（﹣4），解可得p=﹣，則其方程為y2=﹣x，拋物線方程為x2=﹣8y或y2=﹣x．20.已知數(shù)列{an}滿足：a1=3，an=an﹣1+2n﹣1（n≥2，n∈N*）．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)；（Ⅱ）若bn=n（an﹣1）（n∈N*），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn；（Ⅲ）設(shè)cn=，Tn=2c1+22c2+…+2ncn（n∈N*），求證：Tn＜（n∈N*）．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)模型法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（I）利用“累加求和”即可得出；（Ⅱ）由（Ⅰ）及題設(shè)知：，利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出；（III）利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．【解答】（I）解：∵，∴當(dāng)n≥2時(shí)，an=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an﹣1﹣an﹣2）+（an﹣an﹣1）=；又，故．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）及題設(shè)知：，∴∴∴．（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）及題設(shè)知：，∴，∴即

，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了“累加求和”方法、“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．21.（本小題滿分12分）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求的值.參考答案：解：(Ⅰ)由正弦定理可