高三數(shù)學(xué)寒假課程第7講-三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)

第七講三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)【知識(shí)回顧】1.求三角函數(shù)的定義域?qū)嵸|(zhì)就是解三角不等式（組）．一般可用三角函數(shù)的圖象或三角函數(shù)線(xiàn)確定三角不等式的解．列三角不等式，既要考慮分式的分母不能為零；偶次方根被開(kāi)方數(shù)大于等于零；對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零及底數(shù)大于零且不等于1，又要考慮三角函數(shù)本身的定義域；2.求三角函數(shù)的值域的常用方法：①化為求代數(shù)函數(shù)的值域；②化為求的值域；③化為關(guān)于（或）的二次函數(shù)式；3.三角函數(shù)的周期問(wèn)題一般將函數(shù)式化為（其中為三角函數(shù)，）．4.為奇函數(shù)；函數(shù)為偶函數(shù)為偶函數(shù)；函數(shù)為奇函數(shù)5.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間可由解出，單調(diào)減區(qū)間可由解出；函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間可由解出，單調(diào)減區(qū)間可由解出.6.對(duì)稱(chēng)性:（1）函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸可由解出；對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)是方程的解，對(duì)稱(chēng)中心的縱坐標(biāo)為.（即整體代換法）（2）函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸可由解出；對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)是方程的解，對(duì)稱(chēng)中心的縱坐標(biāo)為.（即整體代換法）（3）函數(shù)對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)可由解出，對(duì)稱(chēng)中心的縱坐標(biāo)為，函數(shù)不具有軸對(duì)稱(chēng)性.【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一三角函數(shù)性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用例1、函數(shù)是 （）（A）最小正周期為的奇函數(shù) （B）最小正周期為的偶函數(shù)（C）最小正周期為的奇函數(shù) （D）最小正周期為的偶函數(shù)選題意圖：本題考查三角函數(shù)的周期性和奇偶性答案：C解析：因?yàn)閒（x）=2sinxcosx=sin2x，所以它的最小正周期為π，且為奇函數(shù)，選C.例2、下列函數(shù)中，周期為，且在上為減函數(shù)的是（）（A）（B）（C）（D）選題意圖：本題考查三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性答案：A解析：C、D中函數(shù)周期為2，所以錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為減函數(shù)，而函數(shù)為增函數(shù)，所以選A.變式訓(xùn)練：函數(shù)的最小正周期是.選題意圖：本題考查函數(shù)的周期性，屬于簡(jiǎn)單題.答案：解析：對(duì)解析式進(jìn)行降冪擴(kuò)角，轉(zhuǎn)化為，可知其最小正周期為，本題主要考查了二倍角余弦公式的靈活運(yùn)用.考點(diǎn)二三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例3、設(shè)函數(shù)，，，且以為最小正周期．（1）求；（2）求的解析式；（3）已知，求的值.選題意圖：本題考查三角函數(shù)的周期性，特殊三角函數(shù)值答案解析：（1）（2）（3）故.例4、已知函數(shù)，（1）求函數(shù)的最小正周期.（2）求函數(shù)的最大值及取最大值時(shí)x的集合.選題意圖：本題考查三角函數(shù)的周期性、三角函數(shù)的最值答案解析：（1）因?yàn)樗院瘮?shù)的最小正周期為.（2）由（1）知，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值.因此函數(shù)取最大值時(shí)的集合為.變式訓(xùn)練：已知函數(shù)．（1）若，求；（2）若，求的取值范圍．選題意圖：本題主要考查三角函數(shù)的公式化簡(jiǎn)與求值、三角函數(shù)的最值、范圍的求解問(wèn)題，在能力上主要考查運(yùn)算能力和數(shù)形結(jié)合能力.答案解析：（1），由得，，所以．（2）由（1）得，由得，所以，從而．【點(diǎn)評(píng)】三角函數(shù)的考查主要有：（1）化簡(jiǎn)求值；（2）三角函數(shù)圖象和性質(zhì)的考查；（3）三角函數(shù)圖象的變換；（4）三角形內(nèi)的三角函數(shù)問(wèn)題.考點(diǎn)三三角函數(shù)的圖象及其變換例5、“”是“”成立的（）（A）充分不必要條件.（B）必要不充分條件.（C）充分條件.（D）既不充分也不必要條件.選題意圖：本題考查正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)答案：A解析：，所以充分；但反之不成立，如例6、設(shè)，函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后與原圖象重合，則的最小值是（）（A）（B）（C）（D）3選題意圖：本題考查三角函數(shù)圖象的變換答案：選C.解析：由已知，周期例7、將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖象的函數(shù)解析式是（）（A）（B）（C）（D）選題意圖：本題考查三角函數(shù)圖象的變換答案：C解析：將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)圖象的解析式為y＝sin（x－），再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖象的函數(shù)解析式是.變式訓(xùn)練1：如圖，質(zhì)點(diǎn)在半徑為2的圓周上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，其初始位置為（，），角速度為1，那么點(diǎn)到軸距離關(guān)于時(shí)間的函數(shù)圖象大致為（）答案：C解析：顯然，當(dāng)時(shí)，由已知得，故排除A、D，又因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)是按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，隨時(shí)間的變化質(zhì)點(diǎn)P到軸的距離先減小，再排除B，即得C．另解：根據(jù)已知條件得，再結(jié)合已知得質(zhì)點(diǎn)P到軸的距離關(guān)于時(shí)間的函數(shù)為，畫(huà)圖得C．變式訓(xùn)練2：已經(jīng)函數(shù)（Ⅰ）函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)怎樣變化得出？（Ⅱ）求函數(shù)的最小值，并求使用取得最小值的的集合.選題意圖：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換、圖象變換以及最值等基礎(chǔ)知識(shí)和運(yùn)算能力.答案解析：（1）所以要得到的圖象只需要把的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得的圖象向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度即可.（2）當(dāng)時(shí)，取得最小值.所以當(dāng)取得最小值時(shí)，對(duì)應(yīng)的的集合為考點(diǎn)四求三角函數(shù)的解析式例8、下圖是函數(shù)，在區(qū)間上的圖象，為了得到這個(gè)函數(shù)的圖象，只要將的圖象上所有的點(diǎn)（）（A）向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變（B）向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變（C）向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變（D）向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變選題意圖：本題考查正弦型三角函數(shù)的圖象變換、考查正弦型三角函數(shù)解析式的求法，考查識(shí)圖能力.答案：A解析：由給出的三角函數(shù)圖象知，A=1，，解得，又，所以，即原函數(shù)解析式為，所以只要將的圖象上所有的點(diǎn)先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變即可得到函數(shù)的圖象，選A.考點(diǎn)五向量與三角函數(shù)的綜合例9、已知向量，.（1）若，試判斷與能否平行？（2）若，求函數(shù)的最小值.選題意圖：本題考查向量的平行和數(shù)量積答案解析：（1）若與平行，則有，因?yàn)椋?，所以得，這與相矛盾，故與不能平行.（2）由于，又因?yàn)?，所以，于是，?dāng)，即時(shí)取等號(hào).故函數(shù)的最小值等于.例10、設(shè)函數(shù)，其中向量，，.（1）求函數(shù)的最大值和最小正周期；（2）將函數(shù)的圖象按向量平移，使平移后得到的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，求長(zhǎng)度最小的.選題意圖：本題考查向量的數(shù)量積、三角函數(shù)的性質(zhì).答案解析：（Ⅰ）由題意得，，所以，的最大值為2+，最小正周期是＝.（Ⅱ）由得，即x＝，k∈Z，于是，k∈Z.因?yàn)閗為整數(shù)，要使最小，則只有k＝1，此時(shí)即為所求.【課后作業(yè)】1.把函數(shù)y=cos2x+1的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），然后向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖像是（）2.已知，函數(shù)在上單調(diào)遞減.則的取值范圍是（） 3.函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢．[-2，2]B.[-，]C.[-1，1]D.[-，]4.設(shè)則“”是“為偶函數(shù)”的（）（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分與不必要條件5.已知向量，，設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，其中，為常數(shù)，且.（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期；（Ⅱ）若的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍.6.設(shè)函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)對(duì)任意，有，且當(dāng)時(shí)，，求函數(shù)在上的解析式.7．已知△ABC的面積為3，且滿(mǎn)足0≤≤6，設(shè)和的夾角為θ.（Ⅰ）求θ的取值范圍；（Ⅱ）求函數(shù)的最大值與最小值.8.如圖，函數(shù)，，（其中）的圖象與軸交于點(diǎn).（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）設(shè)P是圖象上的最高點(diǎn)，M、N是圖象與x軸的交點(diǎn)，求夾角的余弦值.9.已知函數(shù)（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期和圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的值域【參考答案】1.【答案】A【解析】據(jù)題設(shè)條件得到變化后的函數(shù)為，結(jié)合函數(shù)圖象可知選項(xiàng)A符合要求.故選A.2.【答案】A【解析】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，要使函數(shù)在上單調(diào)遞減，則有恒成立，則，即，所以，當(dāng)時(shí)，，又，所以有，解得，即，選A.3.【答案】B【解析】，，值域?yàn)閇-，].【點(diǎn)評(píng)】利用三角恒等變換把化成的形式，利用，求得的值域.4.【答案】A【解析】函數(shù)若為偶函數(shù)，則有，所以“”是“為偶函數(shù)”的充分不必要條件，選A.5.【解析】（Ⅰ）因?yàn)?由直線(xiàn)是圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，可得，所以，即．又，，所以，故.所以的最小正周期是.（Ⅱ）由的圖象過(guò)點(diǎn)，得，即，即.故，由，有，所以，得，故函數(shù)在上的取值范圍為.6.【解析】，（Ⅰ）函數(shù)的最小正周期（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，