八年級數(shù)學下冊：18.2.3 第1課時 正方形的性質教案設計

18.2.3正方形第1課時正方形的性質條邊不相等，菱形的四個角不相等?故選掌握正方形的概念、性質，并會用它們進行有關的論證和計算；(重點)理解正方形與平行四邊形、矩形、菱形的聯(lián)系和區(qū)別.(難點)C.方法總結：正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的所有性質.［類型二】利用正方形的性質解決線段的計算或證明問題一、情境導入做一做：用一張長方形的紙片(如圖所示)折出一個正方形.學生在動手中對正方形產(chǎn)生感性認識，并感知正方形與矩形的關系.問題：什么樣的四邊形是正方形？二、合作探究探究點一：正方形的性質［類型一】特殊平行四邊形的性質的綜合菱形，矩形，正方形都具有的性質是()對角線相等且互相平分對角線相等且互相垂直平分對角線互相平分四條邊相等，四個角相等解析：選項A不正確，菱形的對角線不相等;選項B不正確，菱形的對角線不相等，矩形的對角線不互相垂直；選項C正確，三者均具有此性質；選項D不正確，矩形的四如圖所示，正方形ABCD的邊長為1,AC是對角線,AE平分ZBAC，EF丄AC于點F.求證：BE=CF；求BE的長.解析：(1)由角平分線的性質可得到BE二EF，再證明ACEF為等腰直角三角形，即可證BE=CF；(2)設BE二x，在ACEF中可表示出CE.由BC二1，可列出方程，即可求得BE.證明：???四邊形ABCD為正方形，:.ZB=90°.VEF丄AC，:.ZEFA=90°.VAE平分ZBAC,：?BE=EF.又TAC是正方形ABCD的對角線….AC平分ZBCD，:.ZACB=45°，???ZFEC=ZFCE=45°，???EF=FC，???BE=CF；解：設BE=x，則EF=CF=x，CE=1—x.在RtACEF中，由勾股定理可得CE=\；2x,?J2x=1—x，解得x=\'2—1，即

BE的長為＜2-1.方法總結：正方形被每條對角線分成兩個直角三角形，被兩條對角線分成四個等腰直角三角形，因此正方形的計算問題可以轉化到直角三角形和等腰直角三角形中去解決.［類型三】利用正方形的性質解決角的計算或證明問題ADA—4在正方形ABCD中，點F是邊AB上一點，連接DF,點E為DF的中點.連接BE在正方形ABCD中，點F是邊AB求證：△AEB^^DEC；當EB=BC時，求ZAFD的度數(shù).底角相等”求出ZBAE，然后根據(jù)“等邊對等角”可得zAFD二ZBAE.證明：在正方形ABCD中,AB=CD,ZBAD=ZADC=90°.V點E為DF中點，:.AE=EF=DE=2df,:.ZEAD=ZEDA.^ZBAE=ZBAD-ZEAD,ZCDE=ZADC-ZEDA,.ZBAE=ZCDE.在‘AB=CD,△AEB和ADEC中，1ZBAE=ZCDE,、AE=DE,???AAEB竺△DEC(SAS)；解：?「△AEB竺ADEC,..EB=EC.???EB=BC,???EB=BC=EC,???ABCE是等邊三角形，?ZEBC=60°,?ZABE=90°—60°=30°.?.?EB=BC=AB,???ZBAE=2X(180°-30°)=75°.又?AE=EF,???ZAFD=ZBAE=75°.方法總結：正方形是最特殊的平行四邊解析:(1)根據(jù)“正方形的四條邊都相等”可得ab=cd，根據(jù)“正方形每一個角形，在正方形中進行計算時，要注意計算出相關的角的度數(shù)，要注意分析圖形中有哪些都是直角”可得ZBAD二ZADC=90°，再相等的線段等.如圖，AE如圖，AE是正方形ABCD中根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可得AE二EF二DE二2df，根據(jù)“等邊對等角”可得ZEAD二ZEDA，再得出ZBAE二ZCDE，然后利用“SAS”證明即可；2)根據(jù)“全等三角形對應邊相等”可得EB二EC，再得出ABCE是等邊三角形.根據(jù)等邊三角形的性質可得ZEBC二60°，然后求出ZABE二30°.再根據(jù)“等腰三角形兩探究點二：正方形性質的綜合應用【類型一】利用正方形的性質解決線段的倍、分、和、差關系ZBAC的平分線，AE分別交BD、BC于F、AC、BD相交于O.求證：(1)BE=BF；(2)OF=|cE.

解析：(1)根據(jù)正方形的性質可求得/ABE二ZAOF二90°.由于AE是正方形ABCD中/BAC的平分線，根據(jù)“等角的余角相等”即可求得/AFO二/AEB.根據(jù)“對頂角相等”即可求得ZBFE=/AEB,BE二BF；(2)連接O和AE的中點G.根據(jù)三角形的中位線的性質即可證得OG//BC,OG二1CE.根據(jù)平行線的性質即可求得/OGF二/FEB,從而證得/OGF二/AFO,OG=OF，進而證得0F=2cE?證明：(1)7四邊形ABCD是正方形，:.AC丄BD,:./ABE=/AOF=90°,:./BAE+/AEB=/CAE+/AFO=90O.7AE是/BAC的平分線，：?/CAE=/BAE,:/AFO=/AEB.又7/AFO=/BFE,：?/BFE=/AEB,：?BE=BF；(2)連接O和AE的中點G.VAO=CO,AG=EG,：?OG//BC,OG=^CE,：./OGF=/FEB.7/AFO=/AEB,：?/OGF=/AFO,：OG=OF,：OF=1CE.方法總結：在正方形的條件下證明線段的關系，通常的方法是連接對角線構造垂直平分線，利用垂直平分線的性質、中位線定理、角平分線、等腰三角形等知識來證明，有時也利用全等三角形來解決.［類型二】有關正方形性質的綜合應用題如圖，正方形AFCE中，D是邊CE上一點，B是CF延長線上一點，且AB=AD,若四邊形ABCD的面積是24cm2.則AC長是用題cm.解析：???四邊形AFCE是正方形，：?AF二AE,/E二/AFC二/AFB二90°.在cm.[ad=ab,RtAAED和RtAAFB中，\[AE=AF,：?RtAAED9RtAAFB(HL),：?S“門二△AEDSaAFB.?S四邊形ABCD=24cm2，：S正方形AFCE=24cm2，:?AE二EC二2\；6cm.根據(jù)勾股定理得AC二(26)2+(26)2二4怕(cm).故答案為牛/3.方法總結：在解決與面積相關的問題時，可通過證三角形全等實現(xiàn)轉化，使不規(guī)則圖形的面積轉變成我們熟悉的圖形面積，從而解決問題.三、板書設計1.正方形的定義和性質四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形是正方形.對邊平行，四條邊都相等；四個角都是直角；對角線互相垂直、平分且相等，并且每一條