金融計(jì)量學(xué)ch10.教學(xué)教程課件電子教案

金融計(jì)量學(xué)復(fù)旦大學(xué)金融研究院張宗新第十章期權(quán)定價(jià)理論與實(shí)證[學(xué)習(xí)目標(biāo)]熟悉二叉樹模型及其在期權(quán)產(chǎn)品定價(jià)中的應(yīng)用；掌握Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型及其應(yīng)用；了解MonteCarlo模擬方法在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用。第一節(jié)二叉樹模型及其在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用第二節(jié)Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型在衍生產(chǎn)品定價(jià)中的應(yīng)用第三節(jié)MonteCarlo模擬在衍生產(chǎn)品定價(jià)中的應(yīng)用二叉樹模型及其在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用第二節(jié)二叉樹模型及其在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用一、二叉樹模型（BinomialTreeModel）介紹二叉樹期權(quán)定價(jià)模型假定，在每一期股票價(jià)格可以沿兩個(gè)方向——向上或向下——中的任何一個(gè)方向變動(dòng)。因此，可以將將時(shí)間T分為很多小的時(shí)間間隔,在一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)證券價(jià)格價(jià)格只有兩種運(yùn)動(dòng)可能：從開始的S上升到原來的u倍，即Su；或下降到原來的d倍，其中u>1，d<1(一般假定)。也就是說，股價(jià)上升或下降分別用u和d表示，而在每一個(gè),股票價(jià)格變化由S到Su或Sd.若價(jià)格上揚(yáng)的概率為p,那么下跌的概率為q=1-p。二、二叉樹在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)模型(BinomialOptionPricingModel，簡稱BOPM)是對(duì)期權(quán)進(jìn)行估價(jià)相對(duì)有效而簡單的方法，它是通過統(tǒng)計(jì)中的二項(xiàng)分布，假定只有兩種可能結(jié)果而推算出來的。BOPM建立的基礎(chǔ)假設(shè)主要有：(1)市場(chǎng)為無摩擦的完美市場(chǎng)（perfectmarket），即市場(chǎng)投資沒有交易成本，這意味著不支付稅負(fù)，沒有買賣價(jià)差（bid-ask-spread）、沒有經(jīng)紀(jì)商傭金（brokeragecommission）、信息對(duì)稱等等。(2)投資者是價(jià)格的接收者，投資者的交易行為不能顯著的影響價(jià)格。(3)允許以無風(fēng)險(xiǎn)利率借入和借出款項(xiàng)；(4)允許完全使用賣空所得款項(xiàng)；(5)未來股票的價(jià)格將是兩種可能值中的一種。二叉樹模型及其在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用下面，我們可以分六步驟對(duì)看漲期權(quán)的二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)模型進(jìn)行分析：第一步：分析股價(jià)的未來可能運(yùn)動(dòng)形態(tài)。第二步：列出期權(quán)的價(jià)格分布。第三步：構(gòu)建對(duì)沖投資組合。第四步：對(duì)保值比率進(jìn)行求解。第五步：用凈現(xiàn)值法（NPV）解出買入期權(quán)的價(jià)格。第六步，將單期擴(kuò)展之多期。二叉樹模型及其在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用三、二叉樹定價(jià)實(shí)例0123456100.0000133.4658178.1312237.7443317.3073423.4968565.2234

74.9256100.0000133.4658178.1312237.7443317.3073

56.138474.9256100.0000133.4658178.1312

42.062056.138474.9256100.0000

31.515242.062056.1384

23.612931.5152

17.6921各期標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格AssetPrice輸出表二叉樹模型及其在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用二叉樹模型及其在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用012345632.841955.919192.4178147.3775225.4218330.0670470.2234

14.433226.927349.016286.2457144.3145222.3073

4.36319.167519.195640.036083.1312

0.45411.01022.24745.0000

000

00

0各期期權(quán)價(jià)格OptionValue輸出表Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用第二節(jié)Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用一、Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型1973年，美國芝加哥大學(xué)教授費(fèi)希爾·布萊克和邁倫·斯科爾斯發(fā)表了《期權(quán)定價(jià)和公司負(fù)債》一文，提出了有史以來的第一個(gè)期權(quán)定價(jià)模型，即布萊克-斯科爾期權(quán)定價(jià)模型（Black-ScholesOptionsPricingModel，BSOPM），在學(xué)術(shù)界和實(shí)務(wù)界引起了強(qiáng)烈的反響。Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型于1973年首次在《政治經(jīng)濟(jì)雜志》(JournalofPoliticalEconomy)發(fā)表。與此同時(shí)，默頓(Merton)也發(fā)現(xiàn)了同樣的公式及許多其它有關(guān)期權(quán)的有用結(jié)論，并將論文幾乎同時(shí)在不同刊物上發(fā)表。所以，期權(quán)定價(jià)模型亦可稱為布萊克—斯克爾斯—默頓定價(jià)模型。在此，我們重點(diǎn)介紹Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型。Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型有5個(gè)重要的假設(shè)：（1）金融資產(chǎn)收益率服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布；（2）在期權(quán)有效期內(nèi),無風(fēng)險(xiǎn)利率和金融資產(chǎn)收益率變量是恒定的；（3）市場(chǎng)無摩擦，即不存在稅收和交易成本；（4）金融資產(chǎn)在期權(quán)有效期內(nèi)無紅利及其它所得(該假設(shè)后被放棄)；（5）該期權(quán)是歐式期權(quán)，即在期權(quán)到期前不可執(zhí)行。Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用布萊克－斯科爾斯公式是基于期權(quán)可以完全消除股票投資組合的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的原理而導(dǎo)出的。布萊克和斯科爾斯假設(shè)：在沒有傭金費(fèi)用的條件下，為了達(dá)到利用期權(quán)的收益（或損失）沖抵股票損失（或收益）的目的，就必須經(jīng)常地對(duì)套期保值頭寸的期權(quán)與股票的比率進(jìn)行調(diào)整。由于這一頭寸理論上是沒有風(fēng)險(xiǎn)的，我們可以期望套期保值可以獲得無風(fēng)險(xiǎn)利率的收益，這一點(diǎn)與推導(dǎo)資本資產(chǎn)定價(jià)模型（CAPM）時(shí)的假設(shè)有些類似。如果無風(fēng)險(xiǎn)套期保值應(yīng)獲得無風(fēng)險(xiǎn)利率的收益，我們就可推知：套期保值的回報(bào)率等于短期的無風(fēng)險(xiǎn)利率時(shí)，期權(quán)的期權(quán)費(fèi)就是期權(quán)的公允價(jià)值。如果期權(quán)的價(jià)格高于或低于其公允價(jià)值，無風(fēng)險(xiǎn)的套期保值頭寸就將獲得不同于無風(fēng)險(xiǎn)利率的回報(bào)。因?yàn)檫@與均衡概念不相符，我們可以期望期權(quán)的價(jià)格將會(huì)經(jīng)過調(diào)整而逐漸趨向公允價(jià)值。利用這一概念，布萊克－斯科爾斯推導(dǎo)出了一個(gè)確定期權(quán)價(jià)格的明確公式，即：其中Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用從期權(quán)定價(jià)公式可以看出，看漲期權(quán)的價(jià)值主要取決于5個(gè)變量：股票價(jià)格、期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格、期權(quán)的到期時(shí)間、無風(fēng)險(xiǎn)利率和股票的價(jià)格波動(dòng)率。當(dāng)上述一個(gè)變量改變，而其他變量不變時(shí)，看漲期權(quán)的價(jià)值呈現(xiàn)如下特征：（1）標(biāo)的股票的價(jià)格越高，看漲期權(quán)的價(jià)值也就越高；（2）期權(quán)執(zhí)行價(jià)格越高，看漲期權(quán)的價(jià)值越低；（3）期權(quán)的到期時(shí)間越長，看漲期權(quán)的價(jià)值越高；（4）無風(fēng)險(xiǎn)利率越高，看漲期權(quán)的價(jià)值越高；（5）標(biāo)的股票的價(jià)格波動(dòng)率越大，看漲期權(quán)的價(jià)值越高。Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用（二）看漲期權(quán)與看跌期權(quán)的平價(jià)關(guān)系（Put-CallParity）Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型是看漲期權(quán)的定價(jià)公式，根據(jù)看漲期權(quán)與看跌期權(quán)的平價(jià)關(guān)系理論可以推導(dǎo)出看跌期權(quán)的定價(jià)公式。該理論是漢斯·斯托（HansStoll）提出的。其核心思想是看跌期權(quán)的價(jià)格、看漲期權(quán)的價(jià)格、標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)值以及無風(fēng)險(xiǎn)利率形成一個(gè)相互關(guān)聯(lián)的證券復(fù)合物。Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用假設(shè)某投資者借錢進(jìn)行投資，買入股票和一份看跌期權(quán)，同時(shí)賣出一份看漲期權(quán)，而且兩份期權(quán)都是實(shí)值期權(quán)。投資者將會(huì)持有該頭寸直到到期。這樣就會(huì)造成一個(gè)理論上完美的套期保值，而且銀行也愿意以無風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貸款（理論上）。套利的利潤應(yīng)該等于0，所以有：看漲期權(quán)/看跌期權(quán)平價(jià)模型可表示為Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用二、B-S期權(quán)定價(jià)的軟件實(shí)現(xiàn)由于BS公式是關(guān)于期權(quán)定價(jià)的連續(xù)時(shí)間公式，因此容易分析期權(quán)價(jià)格的敏感性，即可以利用BS公式求出的看漲期權(quán)的價(jià)格同看漲期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值進(jìn)行比較分析，分析兩者隨著股票價(jià)格變化的差異?？礉q期權(quán)的價(jià)格和內(nèi)在價(jià)值

Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用華夏上證50ETF期權(quán)的理論價(jià)格和實(shí)際價(jià)格

Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用S&P500指數(shù)期權(quán)的理論價(jià)格和實(shí)際價(jià)格

Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用三、波動(dòng)率與波動(dòng)率微笑1、歷史波動(dòng)率對(duì)于理想的歐式期權(quán)而言，BS期權(quán)定價(jià)模型僅依賴于五個(gè)參數(shù)：股票價(jià)格、期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格、期權(quán)的到期時(shí)間、無風(fēng)險(xiǎn)利率和股票的價(jià)格波動(dòng)率。在這些參數(shù)中，和由發(fā)行的金融合約的條款所定，和可從市場(chǎng)得到。唯一需要確定的參數(shù)就是波動(dòng)率。請(qǐng)注意，BS模型中波動(dòng)率是指在到的未來時(shí)期內(nèi)的標(biāo)的資產(chǎn)的波動(dòng)率。由于在現(xiàn)實(shí)金融市場(chǎng)上，證券價(jià)格的波動(dòng)是一個(gè)隨機(jī)過程，估計(jì)波動(dòng)率并不是一件簡單的事情。通常，有兩種方法可以對(duì)波動(dòng)率進(jìn)行估計(jì)，即歷史波動(dòng)率(historicalvolatility)與隱含波動(dòng)(impvolatility)。Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用（1）方差估計(jì)法計(jì)算方式如下：先計(jì)算出標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格S第i天的報(bào)酬ut，即ui=ln(Si/Si-1)，利用此前一段時(shí)間（可選擇3個(gè)月、半年）資產(chǎn)報(bào)酬數(shù)據(jù)，估計(jì)日?qǐng)?bào)酬的標(biāo)準(zhǔn)差。即：

這里，為的算術(shù)平均。的標(biāo)準(zhǔn)差相當(dāng)于的估計(jì)值，其中為時(shí)間間隔長度（以年為計(jì)算單位）。Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用S&P500指數(shù)的歷史波動(dòng)率（2）GARCH(1,1)模型估計(jì)鞍鋼股份的波動(dòng)性（GARCH估計(jì)）Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用2、隱含波動(dòng)率確定波動(dòng)率的第二種方法是估計(jì)隱含波動(dòng)率。隱含波動(dòng)率是另外一種定義，假定：為當(dāng)前股票價(jià)格；K為執(zhí)行價(jià)格；T為到期時(shí)間；r為無風(fēng)險(xiǎn)利率；V為期權(quán)當(dāng)前的市場(chǎng)價(jià)格。利用上述參數(shù)，通過數(shù)值方法求解下式，可以得到隱含波動(dòng)率的值：其中，時(shí)間從到期日起以天計(jì)，且：Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用S&P500看漲指數(shù)期權(quán)的歷史波動(dòng)和隱含波動(dòng)

Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用3、波動(dòng)率微笑（VolatilitySmiles）應(yīng)用期權(quán)市場(chǎng)價(jià)格和BS公式推算出來的隱含波動(dòng)率具有以下兩個(gè)方向的變動(dòng)規(guī)律：一是“波動(dòng)率微笑”，即隱含波動(dòng)率會(huì)隨著期權(quán)執(zhí)行價(jià)格不同而不同。由于隱含波動(dòng)率是執(zhí)行價(jià)格和到期日的函數(shù)，特別地，當(dāng)執(zhí)行價(jià)格等于股票最初價(jià)格S0時(shí)，隱含波動(dòng)率最小，當(dāng)執(zhí)行價(jià)格偏離0時(shí)，隱含波動(dòng)率會(huì)增加，這種現(xiàn)象通常稱為“波動(dòng)率微笑”。在到期日延長時(shí)，隱含波動(dòng)率也會(huì)增加。也就是說，以同一產(chǎn)品為標(biāo)的，剩余期限固定的期權(quán)的隱含波動(dòng)率隨著其執(zhí)行價(jià)格的不同而變化，分別以執(zhí)行價(jià)格和隱含波動(dòng)率為坐標(biāo)軸得到的曲線為“波動(dòng)率微笑”。波動(dòng)率微笑存在經(jīng)驗(yàn)表明，BS定價(jià)模型所依賴的假設(shè)在現(xiàn)實(shí)金融市場(chǎng)中只能部分得到證實(shí)。Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用二是波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)（VolatilityTermStructure），即隱含波動(dòng)率會(huì)隨期權(quán)到期時(shí)間不同而變化。具體是指在其他條件不變時(shí)，平價(jià)期權(quán)所對(duì)應(yīng)的隱含波動(dòng)率隨到期日不同所表現(xiàn)出來的變化規(guī)律。一般來說，不同的標(biāo)的資產(chǎn)所表現(xiàn)出來的期限結(jié)構(gòu)具體形狀會(huì)有所不同，但它們大都具有以下兩個(gè)特點(diǎn)：（1）從長期來看，波動(dòng)率大多表現(xiàn)出均值回歸，即到期日接近時(shí)，隱含波動(dòng)率的變化較劇烈，隨著到期時(shí)間的延長，隱含波動(dòng)率將逐漸向歷史波動(dòng)率的平均值靠近。（2）波動(dòng)率微笑的形狀也受到期權(quán)到期時(shí)間的影響。一般而言，期權(quán)到期日越近，波動(dòng)率“微笑”就越顯著，到期日越長，不同價(jià)格的隱含波動(dòng)率差異越小，接近于常數(shù)。Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用四、期權(quán)的衍生物及其風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖1.德爾塔（）在任何確定的時(shí)間內(nèi)，衍生證券的價(jià)值是標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的函數(shù)。這個(gè)函數(shù)對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變化的敏感度用希臘字母德爾塔（Delta，）來描述。德爾塔（）是Black-Schols期權(quán)定價(jià)模型的一個(gè)重要衍生概念，在證券組合中對(duì)投資者具有重要意義。其公式表達(dá)為：

Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用在Black-Schols期權(quán)定價(jià)模型中，德爾塔（）的決定十分簡單：它就等于。德爾塔特性如下：（1）認(rèn)購權(quán)證的Delta一定為正值，認(rèn)沽權(quán)證的Delta一定為負(fù)值。這正負(fù)號(hào)表示期權(quán)價(jià)格和標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格之間的變動(dòng)關(guān)系。正號(hào)表示同向變動(dòng)，負(fù)號(hào)表示異向變動(dòng)；（2）Delta數(shù)值的范圍介于-1和+1之間。（3）平價(jià)期權(quán)的Delta數(shù)值約為0.5。Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用Delta中性組合對(duì)于價(jià)格低于理論價(jià)值的權(quán)證,還可以按比例購買股票+認(rèn)沽權(quán)證，構(gòu)造Delta中性組合,也就是買入波動(dòng)率,在股價(jià)向任何一方向變動(dòng)時(shí)，組合價(jià)值都將上升。但是，如果波動(dòng)率下降，則會(huì)影響到套期保值效果，隱含波動(dòng)率變動(dòng)會(huì)使得組合價(jià)值曲線發(fā)生位移，一旦權(quán)證的隱含波動(dòng)率下降，即使股價(jià)發(fā)生了較大變動(dòng)，組合價(jià)值仍會(huì)受到損失。Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用2.伽馬（）僅在標(biāo)的股票的價(jià)格只發(fā)生微小變動(dòng)時(shí)，德爾塔對(duì)沖才是有效的，因?yàn)樗豢紤]了一階導(dǎo)數(shù)。如果標(biāo)的股票價(jià)格可能發(fā)生較大的變化，那么，對(duì)沖組合就要考慮二階導(dǎo)數(shù)。于是，引入伽馬（Gamma，）的概念。伽馬度量的是衍生資產(chǎn)的凸性，伽馬度量的是期權(quán)價(jià)格曲線上該點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)。對(duì)于不支付紅利的歐式期權(quán)來說，存在：

Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用3.西塔()西塔(,Theta)是期權(quán)定價(jià)中的另一個(gè)重要參數(shù)。西塔()被定義為：

西塔度量的是衍生證券價(jià)值的變動(dòng)方向。如果時(shí)間增加，期權(quán)曲線將向右移動(dòng)。西塔正是度量的曲線的這種移動(dòng)。Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用4、維加（vega，）當(dāng)波動(dòng)率變化一個(gè)單位時(shí)（通常為1%），衍生證券的價(jià)值變化稱為維加（vega，）。用公式表達(dá)為：反映的是證券價(jià)格本身波動(dòng)對(duì)衍生證券價(jià)格的影響。若構(gòu)造的組合使值等于零，則該組合的價(jià)值不受波動(dòng)率變化的影響。按照BS期權(quán)定價(jià)公式，可以得到不支付紅利股票的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的表達(dá)式：Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用5、羅（）當(dāng)利率變化一個(gè)單位時(shí)（通常為1%），衍生證券的價(jià)值變化稱為羅（）。用公式表達(dá)為：

可見，反映的是衍生產(chǎn)品價(jià)格對(duì)利率變化的比率。按照BS期權(quán)定價(jià)公式，可以得到不支付紅利股票的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的表達(dá)式：Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用蒙特卡羅模擬在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用第三節(jié)蒙特卡羅模擬在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用一、蒙特卡羅模擬方法介紹蒙特卡羅模擬（MonteCarloSimulation）是一種通過模擬標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格隨機(jī)運(yùn)動(dòng)路徑得到權(quán)證價(jià)值期望值的數(shù)值方法，是一種應(yīng)用十分廣泛的金融衍生產(chǎn)品定價(jià)方法。如果股價(jià)運(yùn)動(dòng)服從伊藤過程，則當(dāng)然股價(jià)如果服從其他分布，只要給出