【上課用】橢圓及其方程 新課講義 高二上學(xué)期數(shù)學(xué) 人教B版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

.5橢圓（新課）知識(shí)梳理定義及標(biāo)準(zhǔn)方程定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)之間的距離叫做焦距。符號(hào)表示：（）方程：（1）焦點(diǎn)在軸上：（2）焦點(diǎn)在軸上：簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)項(xiàng)目焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)頂點(diǎn)軸離心率關(guān)系通徑典例解析考點(diǎn)一：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程例1．求下列橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)，焦點(diǎn)在x軸上；(2)，橢圓過(guò)點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上；(3)，橢圓過(guò)點(diǎn)；(4)橢圓的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)和變式1：已知中心在原點(diǎn)的橢圓的右焦點(diǎn)為則的方程為()A.B.C.D.變式2：如果方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是()B.C.D.例2．已知是定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（）A．圓 B．直線 C．橢圓 D．線段變式1：已知，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)橢圓的焦點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，若，則________________.變式2:橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，過(guò)的直線交與兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為16，那么的方程為_(kāi)_________.考點(diǎn)二：橢圓的幾何性質(zhì)例3．橢圓則焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)____________，長(zhǎng)軸長(zhǎng)________，短軸長(zhǎng)_________.變式1：橢圓的焦距為4，則=()A.4B.8C.4或8D.12變式2：已知橢圓的短軸長(zhǎng)為6，離心率為，則橢圓的焦點(diǎn)到長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)的距離為()A.9B.1C.1或9D.以上都不對(duì)考點(diǎn)三：求離心率的值或范圍例4．過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)且與長(zhǎng)軸垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若是正三角形，則離心率為.變式1：橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為,焦距為，若直線與橢圓一個(gè)交點(diǎn)滿足,則該橢圓的離心率為.變式2．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，面積的最大值為，則橢圓的離心率為（）A． B．1 C． D．例5．已知橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A、B，左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，在線段AB上有且只有一個(gè)點(diǎn)P滿足PF1⊥PF2，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．變式1：已知是橢圓上一點(diǎn)，是其左右焦點(diǎn)。若存在點(diǎn)使得，求離心率的取值范圍。變式2．已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．考點(diǎn)四：焦點(diǎn)三角形問(wèn)題例6．點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，是橢圓的焦點(diǎn)，，則面積為.變式1：已知是以為焦點(diǎn)的橢圓上的一點(diǎn)，若，，則此橢圓的離心率為（）B.C.D.變式2：是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且，則的面積為（）A.B.C.D.考點(diǎn)五：中點(diǎn)弦問(wèn)題（點(diǎn)差法）例7．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn),若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則的方程為（）A．B．C． D．變式1：已知橢圓，以及橢圓內(nèi)一點(diǎn)，則以為中點(diǎn)的弦所在的直線斜率是（）A． B． C． D．變式2：橢圓與直線交于兩點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)與線段的中點(diǎn)的直線的斜率為，則的值為（）A． B． C． D．考點(diǎn)六：向量在橢圓中的應(yīng)用例8．已知橢圓的焦點(diǎn)為，，點(diǎn)在該橢圓上，且，則點(diǎn)到軸的距離為（）A． B． C． D．變式1：經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)右焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，交橢圓于、兩點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則等于（）A． B． C．或 D．變式2．已知橢圓的左頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，點(diǎn)為該橢圓上任意一點(diǎn).若該橢圓的上頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2，離心率，則的取值范圍是_________.鞏固練習(xí)1.設(shè)F,F是橢圓E：(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，P為直線x=上一點(diǎn)，△FPF是底角為30°的等腰三角形，則E的離心率為（）A.B.C.D.2.中心為（0,0），一個(gè)焦點(diǎn)為F（0,5）的橢圓，截直線y=3x-2所得弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則該橢圓方程是（）A.B.C.D.3.已知過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓（a＞b＞0）交于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的左焦點(diǎn)，AFBF,且AF=2BF，則橢圓的離心率為（）A.B.C.D.4.已知橢圓（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，點(diǎn)B在橢圓上，BFX軸，直線AB交y軸于點(diǎn)P，若=3,則橢圓的離心率是（）A.B.C.D.5.已知F,F為橢圓的兩焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓上，且則點(diǎn)M到x軸的距離為()ABCD6.已知橢圓:的左右焦點(diǎn)分別為，離心率為，過(guò)的直線交于兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為，則的方程為()A.B.C.D.7.橢圓的焦距為2，則()A.5或3B.8C.5D.168.已知△ABC的頂點(diǎn)B，C在橢圓上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則△ABC的周長(zhǎng)為9.橢圓的焦點(diǎn)為F,F，點(diǎn)P在橢圓上，若丨PF丨=2，則sin∠FPF=10.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，則()A.2B.3C.4D.911.若直線經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)，則該橢圓的離心率為()A.B.C.D.或12.已知，橢圓在x軸上的焦點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直，且該焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸上較近的頂點(diǎn)距離為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.13.設(shè)AB為過(guò)橢圓中心的弦，F(xiàn)1為左焦點(diǎn).求：△ABF1的最大面積.14.AB是過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F的弦，若AB的傾斜角為，求弦AB的長(zhǎng)15.設(shè)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的離心率為，并且橢圓與圓x-4x-2y+交于A,B兩點(diǎn),若線段AB的長(zhǎng)等于圓的直徑。（1）求直線AB的方程；（2）求橢圓的方程.16.在直角坐標(biāo)系中，△ABC兩個(gè)頂點(diǎn)C、A的坐標(biāo)分別為、，三個(gè)內(nèi)角A、B、C滿足.（1）求頂點(diǎn)B的軌跡方程；（2）過(guò)頂點(diǎn)C作傾斜角為θ的直線與頂點(diǎn)B的軌跡交于P、Q兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求△APQ面積S(θ)的最大值.17.如圖,橢圓=1(a>b>0)的上頂點(diǎn)為A,左頂點(diǎn)為B?F為右焦點(diǎn),過(guò)F作平行于AB的直線交橢圓于C?D兩點(diǎn),作平行四邊形OCED,E恰在橢圓上(1)求橢圓的離心率;(2)若平行四邊形OCED的面積為,求橢圓方程.18.已知直線l:6x-5y-28=0與橢圓c:(,且b為整數(shù))交于M?N兩點(diǎn),B為橢圓c短軸的上端點(diǎn),若△MBN的重心恰為橢圓的右焦點(diǎn)F.(1)求橢圓c的方程;(2)設(shè)橢圓c的左焦點(diǎn)為,問(wèn)在橢圓c上是否存在一點(diǎn)P,使得,并證明你的結(jié)論.19.已知直線y=-x+1與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)在直線l:x-2y=0上.（1）求此橢圓的離心率；（2）若橢圓的右焦點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)的在圓x2+y2=4上，求此橢圓的方程.2.5橢圓答案例1：（1）(2)（3）（4）變式1：D變式2：A例2：D變式1：8變式2：例3：2變式1：C變式2：C例4：變式1：變式2．A例5：D變式1：變式2：C例6：變式1：D