2021年人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第3章習(xí)題課件：《3.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程》(含答案)

第三章

§3.3拋物線1.掌握拋物線的定義及其焦點(diǎn)、準(zhǔn)線的概念.2.會(huì)求簡(jiǎn)單的拋物線方程.學(xué)習(xí)目標(biāo)XUEXIMUBIAO內(nèi)容索引知識(shí)梳理題型探究隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練1知識(shí)梳理PARTONE知識(shí)點(diǎn)一拋物線的定義1.定義：平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和一條定直線l(不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)

的點(diǎn)的軌跡.2.焦點(diǎn)：定點(diǎn)F.3.準(zhǔn)線：定直線l.距離相等思考拋物線的定義中，為什么要加條件l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F?答案若點(diǎn)F在直線l上，點(diǎn)的軌跡是過(guò)點(diǎn)F且垂直于直線l的直線.知識(shí)點(diǎn)二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程

___________________________

_____________________________y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)

___________________________

_____________________________x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)思考拋物線方程中p(p>0)的幾何意義是什么？答案p的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線.(

)2.拋物線的方程都是二次函數(shù).(

)3.拋物線y2＝2px(p＞0)中p是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.(

)4.方程x2＝2ay(a≠0)表示開(kāi)口向上的拋物線.(

)××√×2題型探究PARTTWO一、求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例1分別求符合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－3，－1)；解因?yàn)辄c(diǎn)(－3，－1)在第三象限，所以設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0).若拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－2px(p>0)，若拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－2py(p>0)，解對(duì)于直線方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，所以拋物線的焦點(diǎn)為(0，－3)或(4,0).(2)焦點(diǎn)為直線3x－4y－12＝0與坐標(biāo)軸的交點(diǎn).此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－12y；此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝16x.故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－12y或y2＝16x.反思感悟用待定系數(shù)法求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟注意：當(dāng)拋物線的類型沒(méi)有確定時(shí)，可設(shè)方程為y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，這樣可以減少討論情況的個(gè)數(shù).跟蹤訓(xùn)練1

(1)若拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，則p＝____，準(zhǔn)線方程為_(kāi)_______.2x＝－1解析因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，(2)求焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_________________.x2＝10y和x2＝－10y解析設(shè)方程為x2＝2my(m≠0)，由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5，知|m|＝5，m＝±5，所以滿足條件的拋物線有兩條，它們的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為x2＝10y和x2＝－10y.二、拋物線定義的應(yīng)用例2

(1)已知拋物線C：y2＝x的焦點(diǎn)為F，A(x0，y0)是C上一點(diǎn)，|AF|＝

x0，則x0等于A.1 B.2 C.4 D.8√(2)已知點(diǎn)P是拋物線y2＝2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值.解由拋物線的定義可知，拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于它到焦點(diǎn)的距離.由圖可知，延伸探究1.若將本例(2)中的點(diǎn)(0,2)改為點(diǎn)A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值.所以點(diǎn)A在拋物線內(nèi)部.則|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.解如圖，作PQ垂直于準(zhǔn)線l于點(diǎn)Q，|PA1|＋|PQ|＝|PA1|＋|PF|≥|A1F|min.即所求最小值為1.反思感悟拋物線定義的應(yīng)用實(shí)現(xiàn)距離轉(zhuǎn)化.根據(jù)拋物線的定義，拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，因此，由拋物線定義可以實(shí)現(xiàn)點(diǎn)點(diǎn)距與點(diǎn)線距的相互轉(zhuǎn)化，從而簡(jiǎn)化某些問(wèn)題.跟蹤訓(xùn)練2

(1)已知拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F1，若點(diǎn)A(2，－4)在拋物線上，則點(diǎn)A到焦點(diǎn)的距離為_(kāi)_____.4解析把點(diǎn)(2，－4)代入拋物線y2＝2px，得16＝4p，即p＝4，從而拋物線的焦點(diǎn)為(2,0).故點(diǎn)A到焦點(diǎn)的距離為4.(2)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，

)，點(diǎn)P在拋物線y2＝8x上移動(dòng)，P到直線x＝－1的距離為d，則d＋|PA|的最小值為A.1 B.2 C.3 D.4√解析由題意知拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為F(2,0)，點(diǎn)P到準(zhǔn)線x＝－2的距離為d＋1，于是|PF|＝d＋1，所以d＋|PA|＝|PF|－1＋|PA|的最小值為|AF|－1＝4－1＝3.核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)建模HEXINSUYANGZHISHUXUEJIANMO拋物線的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題典例河上有一拋物線形拱橋，當(dāng)水面距拱橋頂5m時(shí)，水面寬為8m，一小船寬4m，高2m，載貨后船露出水面上的部分高0.75m，問(wèn)：水面上漲到與拋物線形拱橋拱頂相距多少m時(shí)，小船開(kāi)始不能通航？解如圖，以拱橋的拱頂為原點(diǎn)，以過(guò)拱頂且平行于水面的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，由題意可知，點(diǎn)B(4，－5)在拋物線上，當(dāng)船面兩側(cè)和拋物線接觸時(shí)，船開(kāi)始不能通航，設(shè)此時(shí)船面寬為AA′，則A(2，yA)，又知船面露出水面上的部分高為0.75m，所以h＝|yA|＋0.75＝2(m).所以水面上漲到與拋物線形拱橋拱頂相距2m時(shí)，小船開(kāi)始不能通航.素養(yǎng)提升首先確定與實(shí)際問(wèn)題相匹配的數(shù)學(xué)模型.此問(wèn)題中拱橋是拋物線型，故利用拋物線的有關(guān)知識(shí)解決此問(wèn)題，操作步驟為(1)建系：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.(2)假設(shè)：設(shè)出合適的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程.(3)計(jì)算：通過(guò)計(jì)算求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(4)求解：求出需要求出的量.(5)還原：還原到實(shí)際問(wèn)題中，從而解決實(shí)際問(wèn)題.3隨堂演練PARTTHREE1.設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x＝－2，則拋物線的方程是A.y2＝－8xB.y2＝8xC.y2＝－4xD.y2＝4x√123452.已知拋物線y＝2px2過(guò)點(diǎn)(1,4)，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為√12345解析由拋物線y＝2px2過(guò)點(diǎn)(1,4)，可得p＝2，√123454.一動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)(0,1)且與定直線l相切，圓心在拋物線x2＝4y上，則l的方程為√12345解析因?yàn)閯?dòng)圓過(guò)點(diǎn)(0,1)且與定直線l相切，所以動(dòng)圓圓心到點(diǎn)(0,1)的距離與它到定直線l的距離相等，又因?yàn)閯?dòng)圓圓心在拋物線x2＝4y上，且(0,1)為拋物線的焦點(diǎn)，所以l為拋物線的準(zhǔn)線，所以l：y＝－1.5.若拋物線y2＝－2px(p＞0)上有一點(diǎn)M，其橫坐標(biāo)為－9，它到焦點(diǎn)的距離為10，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為_(kāi)_________________.(－9,6)或(－9，－6)故拋物線方程為y2＝－4x.由點(diǎn)M(－9，y)在拋物線上，得y＝±6，故點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－9,6)或(－9，－6).123451.知識(shí)清單：(1)拋物線的定義.(2)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式.(3)拋物線定義的應(yīng)用.2.方法歸納：待定系數(shù)法、定義法、轉(zhuǎn)化化歸.3.常見(jiàn)誤區(qū)：混淆拋物線的焦點(diǎn)位置和方程形式.課堂小結(jié)KETANGXIAOJIE4課時(shí)對(duì)點(diǎn)練PARTFOUR解析拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－4y，則準(zhǔn)線方程為y＝1.√基礎(chǔ)鞏固123456789101112131415162.已知拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－1,1)，則該拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為A.(－1,0) B.(1,0) C.(0，－1) D.(0,1)√12345678910111213141516故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0).故選B.3.(多選)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4，－2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為A.y2＝x

B.y2＝8x C.y2＝－8x D.x2＝－8y√12345678910111213141516√解析當(dāng)開(kāi)口向右時(shí)，設(shè)拋物線方程為y2＝2p1x(p1>0)，則(－2)2＝8p1，當(dāng)開(kāi)口向下時(shí)，設(shè)拋物線方程為x2＝－2p2y(p2>0)，則42＝4p2，p2＝4，所以拋物線方程為x2＝－8y.√12345678910111213141516A.2 B.3 C.4 D.8√123456789101112131415166.已知雙曲線

－y2＝1的右焦點(diǎn)恰好是拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)，則m＝____.123456789101112131415163解析由題意得m＋1＝22，解得m＝3.7.在拋物線y2＝－12x上，與焦點(diǎn)的距離等于9的點(diǎn)的坐標(biāo)是_____________________________.12345678910111213141516解析由方程y2＝－12x，知焦點(diǎn)F(－3,0)，準(zhǔn)線l：x＝3.設(shè)所求點(diǎn)為P(x，y)，則由定義知|PF|＝3－x.8.已知拋物線C：4x＋ay2＝0恰好經(jīng)過(guò)圓M：(x－1)2＋(y－2)2＝1的圓心，則拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____，準(zhǔn)線方程為_(kāi)_______.12345678910111213141516(1,0)x＝－1解析圓M的圓心為(1,2)，代入4x＋ay2＝0得a＝－1，將拋物線C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得y2＝4x，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1.9.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，拋物線上一點(diǎn)M(m，－3)到焦點(diǎn)的距離為5，求m的值、拋物線方程和準(zhǔn)線方程.12345678910111213141516解方法一

如圖所示，設(shè)拋物線的方程為x2＝－2py(p>0)，即p＝4.所以拋物線方程為x2＝－8y，準(zhǔn)線方程為y＝2.∵M(jìn)(m，－3)在拋物線上，且|MF|＝5，123456789101112131415161234567891011121314151610.花壇水池中央有一噴泉，水管O′P＝1m，水從噴頭P噴出后呈拋物線狀，先向上至最高點(diǎn)后落下，若最高點(diǎn)距水面2m，點(diǎn)P距拋物線的對(duì)稱軸1m，則水池的直徑至少應(yīng)設(shè)計(jì)多少米？(精確到1m)12345678910111213141516解如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0).故得拋物線方程為x2＝－y.即水池的直徑至少應(yīng)設(shè)計(jì)為5m.1234567891011121314151611.已知拋物線y2＝4x上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離為5，則△PFO的面積為A.1 B.2 C.3 D.4√12345678910111213141516綜合運(yùn)用解析由題意，知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1.因?yàn)閽佄锞€y2＝4x上的一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為5，由拋物線的定義可知，點(diǎn)P到準(zhǔn)線x＝－1的距離是5，則點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4，所以P(4，±4)，解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又F(1,0).123456789101112131415166即x1＋x2＋x3＝3，13.已知拋物線y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)M(1，m)到其焦點(diǎn)的距離為5，雙曲線x2－

＝1的左頂點(diǎn)為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM垂直，則實(shí)數(shù)a＝_____.12345678910111213141516不妨取M(1,4)，又A(－1,0)，則直線AM的斜率為2，14.已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是____.2解析如圖所示，動(dòng)點(diǎn)P到l2：x＝－1的距離可轉(zhuǎn)化為到點(diǎn)F的距離，由圖可知，距離和的最小值，1234567891011121314151615.對(duì)標(biāo)準(zhǔn)形式的拋物線，給出下列條件：①焦點(diǎn)在y軸上；②焦點(diǎn)在x軸上；③拋物線上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6；④