工科高等代數(shù)：第4章 矩陣的代數(shù)運(yùn)算1

第4章矩陣的代數(shù)運(yùn)算機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

第4章§4.1矩陣運(yùn)算的定義與運(yùn)算律§4.2矩陣乘法與線性變換§4.3逆矩陣§4.4初等方陣及應(yīng)用§4.5更多的例子§4.1矩陣運(yùn)算的定義與運(yùn)算律機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

第4章1.矩陣的線性運(yùn)算-加法

中矩陣和相加，得到的和是矩陣，它的第元等于的第元之和，即：具有的性質(zhì)：(1).交換律：(2).結(jié)合律：(3).零矩陣的性質(zhì)：矩陣的所有元素都為0，記作機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束注意:矩陣的線性運(yùn)算-乘法(矩陣的數(shù)乘)具有相同的行與列的矩陣，才能相加減由加法可以定義減法：且對(duì)任意都有(4).負(fù)元：對(duì)任意相乘得具有如下性質(zhì)：(3).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(1).(對(duì)數(shù)的加法的分配律)(2).(對(duì)矩陣加法的分配律)(4).解:在加法和數(shù)乘運(yùn)算下滿足線性空間的8條運(yùn)算律，它為線性空間.例

求數(shù)域上線性空間的維數(shù)并求一組基.記表示第個(gè)元素為1，其余元素為0的矩陣,這里機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束對(duì)任意一組即集合中的元素線性無(wú)關(guān).可以唯一地寫成的線性組合可見(jiàn)是的一組基，包含個(gè)元素，因此，的維數(shù)等于.□機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2、矩陣的乘法

定義：對(duì)任意正整數(shù)任意的數(shù)域，任意的矩陣可以相乘,得到的乘積它的第個(gè)元注意：(1).可以相乘的條件為：的列數(shù)與的行數(shù)相等.

(2).

的第行與的第列相乘得到的數(shù)為的第個(gè)元素.例1試用矩陣表示三維空間的內(nèi)積.解：在空間建立直角坐標(biāo)系，空間中兩個(gè)向量a1,a2的坐標(biāo)分別為X1=(x1,y1,z1),X2(x2,y2,z2),則例2.設(shè)A∈Fm×n,B∈Fp×q.給出發(fā)生下列情況的充分必要條件.矩陣A與B可以相乘，但B與A不能相乘.矩陣A與B可以相乘，B與A也能相乘，但乘積AB與BA不能相加.解:例3.設(shè)求(3).在矩陣乘法下，消去律不成立：注意:(所有元素是0的矩陣稱為零矩陣，記為O)(1).矩陣乘法的交換律不成立：(2).但是但矩陣的分塊運(yùn)算特別的A與βj的乘積就是AB的第j列，即我們還有一般地，在作矩陣的運(yùn)算時(shí)，可以用一些橫線和豎線將任一矩陣劃分成一些矩形小塊：分塊的方法是：想象用橫線把A的m行分成若干組，每組依次包含行，滿足；用豎線將A的n列分成若組，每組依次包含列，滿足

.則A被分成pq個(gè)小的矩陣這就稱為對(duì)矩陣A進(jìn)行了分塊(partitioning),進(jìn)行了分塊的矩陣A被稱為分塊矩陣(partitioningmatrix).

在進(jìn)行矩陣運(yùn)算時(shí)可以暫時(shí)將每一塊作為一個(gè)整體，看作一個(gè)元，將A看作由這些元組成的矩陣來(lái)進(jìn)行運(yùn)算.分塊矩陣的加法和數(shù)乘將兩個(gè)矩陣A，B相加，可以將A，B進(jìn)行同樣方式的分塊：使處于同一位置的塊的行數(shù)相等列數(shù)也相等。將A，B中處于同一位置的塊相加，得到的就是A+B的分塊形式.對(duì)任意的，還容易看出分塊矩陣的乘法將矩陣相乘，可以將A，B進(jìn)行分塊(4.2.3)其中A，B可以看作以它們的塊為元的矩陣來(lái)相乘得到分塊矩陣(4.2.4)其中我們來(lái)驗(yàn)證，這樣得到的C就等于AB.解:例4.設(shè)求矩陣乘法運(yùn)算律注意(1).可由的兩行分別乘得到，可由的兩列分別乘得到.(2).若且或那么(3).若則定義方陣的第元稱為方陣的對(duì)角元個(gè)對(duì)角元所在位置組成的一條線稱為方陣的主對(duì)角線.定義如果的所有非對(duì)角元都為0,稱為對(duì)角陣：(4.1.1)例5.設(shè)是階方陣,求解寫則即將的各行分別乘以就得到寫則即將的各列分別乘以就得到定義若稱對(duì)任意方陣有為標(biāo)量陣.(4.1.2)

定義稱為單位陣,有時(shí)寫成(4.1.3)對(duì)任意的矩陣有矩陣乘法滿足以下與數(shù)的乘法類似的性質(zhì)：(1).

結(jié)合律證明設(shè)

則其中從而其中(4.1.4)另外，其中從而其中(4.1.5)比較以上兩式，即得結(jié)論.利用矩陣乘法可將線性方程組(4.1.6)寫成矩陣方程的形式，記矩陣稱為方程組(4.1.6)的系數(shù)矩陣.則按照矩陣乘法的法則，有因此，方程組(4.1.6)可寫成(4.1.7)(2).與數(shù)乘的結(jié)合律(3).乘法對(duì)于加法的分配律例6

求解記則于是由得例7設(shè)方陣A的秩為1，對(duì)角元之和為λ,求證：An=λn-1A.證明：rankA=1則其行向量組的極大線性無(wú)關(guān)組由一個(gè)非零向量β=(b1,…,bn)組成.A的每一行αi都是β的常數(shù)倍:αi=aiβ.于是注：方陣A對(duì)角元之和稱為A的跡，記作trA。方陣的多項(xiàng)式由矩陣的乘法可以定義方陣的各次冪：由矩陣乘法的結(jié)合律，對(duì)有設(shè)關(guān)于的多項(xiàng)式設(shè)是任一方陣，則設(shè)則例8.已知(1).求(2).當(dāng)時(shí)，求一個(gè)3階方陣使解(1).其中，(4.1.10)經(jīng)計(jì)算可知代入(4.1.10)得(2).當(dāng)時(shí)由于因此，符合要求.轉(zhuǎn)置與共軛定義將矩陣的行列互換得到矩陣，稱為的轉(zhuǎn)置矩陣，記作即的第元等于的第元.矩陣的轉(zhuǎn)置滿足如下運(yùn)算律：(1)

(2)

對(duì)階方陣(3)(4)

是任意數(shù).(5)證明(5)

：設(shè)則另外,其中,設(shè)則于是即(6)設(shè)分塊矩陣則A的轉(zhuǎn)置定義設(shè)是方陣，若則稱為對(duì)稱方陣.若就稱是反對(duì)稱方陣，也稱斜對(duì)稱方陣.例9.

設(shè)A是任意矩陣，求證:(1)AAT是對(duì)稱方陣;(2)任意方陣A可以寫成對(duì)稱方陣S與反對(duì)稱方陣K之和,即A=S+K.例

設(shè)是階反對(duì)稱矩陣，是維列向量.求證：證明由一個(gè)元組成，因此

即有定義的共軛矩陣為記作矩陣共軛的性質(zhì)(1)

(2)(3)(4)定義設(shè)若則稱為Hermite方陣.若就稱是反Hermite方陣.復(fù)矩陣A的共軛轉(zhuǎn)置記為A*則如下性質(zhì)成立:例

是復(fù)數(shù)域上的非零矩陣.求證：證明設(shè)則其中于是其中特別由于必存在某個(gè)元對(duì)應(yīng)的因此，§4.2矩陣乘法與線性變換機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

第4章例1

平面上建立了直角坐標(biāo)系,將平面上每個(gè)點(diǎn)P繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)角α到P’。試寫出由點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)計(jì)算P’的坐標(biāo)(x’,y’)的函數(shù)關(guān)系式.P(x,y)yxP’(x’,y’)QOE1E2F1NMCDα解：將OP旋轉(zhuǎn)90°得到OQ.則只要求出OQ的坐標(biāo)即可求出OP’坐標(biāo)。而OQ的坐標(biāo)為(-y,x),于是定義4.2.1設(shè)U，V是數(shù)域F上兩個(gè)線性空間。如果存在映射φ:U→V

，滿足條件

(1)φ

(α+β)=φ(α)+φ

(β)，α,β∈U

(2)φ(λα)=λφ(α)，α∈U，λ∈F

稱φ是U到V的線性映射.當(dāng)U=V稱φ是U上的線性變換.線性映射的簡(jiǎn)單性質(zhì)設(shè)A:U→V是線性映射.則

(1)A將零向量0UU變到零向量0VV，將

a的負(fù)向量-a變到A(a)的負(fù)向量：

A(0U)=0V

A(-a)=-A(a)

(2)

A保持線性組合關(guān)系式不變：

(3)

如果a1,…,ak線性相關(guān)，則A(a1),…,

A(ak)線性相關(guān).

(4)

如果A(a1),…,

A(ak)線性無(wú)關(guān)，則

a1,…,ak線性無(wú)關(guān).A(λ1a1+…+

λkak)=λ1A(a1)+…+

λkA(ak).例2

已知(1)求AB.(2)n是任意正整數(shù)，求An解：線性變換的矩陣?yán)?

是否存在R2×1上的線性變換σ將e1=(1,0)T,e2=(0,1)T分別映到(2,3)T,(4,5)T?如果存在，是否唯一？解：存在且唯一:σ:X→AX，其中引理4.2.1從Fn×1到Fm×1的線性變換σ:X→AX的矩陣A=(A1,…,An)的各列Aj=

σ(ej),分別等于各個(gè)自然基向量ej(1≤j≤n)在映射σ下的像.例4

設(shè)直角坐標(biāo)系中直線l由x軸

繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)角α得到.將平面點(diǎn)P的坐標(biāo)寫成列向量X=(x,y)T,P關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)P’的坐標(biāo)Y=(x’,y’)T,記為σ(X).如果已知σ:X→Y是R2×1上的線性變換，求(x’,y’)與(x,y)的函數(shù)關(guān)系式.lE’1yxOE1E2αE’2e2e1解：OE’1,OE’2為兩列組成的矩陣A就是σ的矩陣定理4.2.1略3線性映射的矩陣定義設(shè)U,V是數(shù)域F上有限維線性空間，分別取U的基M1={α1,…,αn}

和V的基M2={β1,…,βn}.對(duì)每個(gè)1≤j≤n,設(shè)U的基向量αj在σ下的像σ(αj

)在基M2下的坐標(biāo)為Aj=A是依次以A1,A2,…,An為各列組成的矩陣,即

σ(α1,…,αn)=(β1,…,βm)A則A稱為σ在基M1和M2下的矩陣.當(dāng)U=V時(shí)我們?nèi)1=M2={α1,…,αn},此時(shí)稱滿足條件

σ(α1,…,αn)=(α1,…,αn)A的矩陣A為線性變換σ在基M1下的矩陣.注：將U中的每個(gè)向量α用它在M1下的坐標(biāo)X代表,將V中每個(gè)向量β由它在基M2下的坐標(biāo)Y代表,這樣就將U用Fn×1代表、將V用Fm×1代表，則σ被表示為σ:Fn×1→Fm×1

(X→AX)

σ的作用通過(guò)它的矩陣A的左乘來(lái)實(shí)現(xiàn).我們將X→AX稱為σ在基M1,M2下的坐標(biāo)表示.定理4.2.1設(shè)τ:UV是數(shù)域F上有限維線性空間的映射.取U的基M1將U的向量用坐標(biāo)表示,取V的基M2將V的向量用坐標(biāo)表示.如果τ所引起的坐標(biāo)之間的映射可以通過(guò)某個(gè)矩陣A的左乘來(lái)實(shí)現(xiàn)：τ:X→AX則τ是線性映射，A是τ在基M1，M2下的矩陣.例2

設(shè)定義A在V中的左乘變換AL：V→V，X→AX.取V的基M={E11,E12,E21,E22},其中求AL在基M下的矩陣.解：在M下的坐標(biāo)為

.類似地有：坐標(biāo)分別為因此AL在基M下的矩陣為:例5

設(shè)直角坐標(biāo)系中直線l由x軸

繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)角α得到.試證：將平面點(diǎn)P的坐標(biāo)X對(duì)應(yīng)到它關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)P’的坐標(biāo)Y的變換σ:X→Y是R2×1上的線性變換.lA’yxOMM’Ae2BCB’C’例6在三維空間建立直角坐標(biāo)系，變換σ將每個(gè)點(diǎn)P繞Oz軸旋轉(zhuǎn)α到點(diǎn)P’.求P’(x’,y’,z’)與P(x,y,z)的函數(shù)關(guān)系式.解：e3保持不變：σ(e3)=e3=(0,0,1)T.e1,e2在Oxy平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)α:σ(e1)=(cos

α,sinα,0)T,σ(e2)=(-sinα,cosα,0)T.因此

§4.3逆矩陣機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

第3章例

求2階方陣滿足條件解記法一將寫成將寫成則即解這兩個(gè)方程組，得法二將分別按行分塊寫成則原方程成為將看成普通數(shù),用矩陣消元法：于是矩陣等式將代入上式得到原方程的解法三直接將的具體數(shù)值代入后進(jìn)行消元：可逆矩陣的定義定義對(duì)于矩陣如果存在矩陣滿足條件且就稱可逆，并且稱是的逆.命題假如可逆，那么的逆是唯一的.證明設(shè)都是的逆，則因而引理可逆可逆,且

可逆時(shí)，記它的逆為由知例1求方陣A的逆，解：根據(jù)A的幾何意義，可以得例2求n階方陣P的逆，解：令A(yù)是任意m×n矩陣，則取于是取A=I就有PQ=QP=I，即矩陣可逆的條件引理可逆的各列線性無(wú)關(guān).推論可逆是方陣，且行列式證明設(shè)可逆.則的各列是個(gè)線性無(wú)關(guān)的維向量，因此又也可逆，則因而再由推論3.4.2可知方陣的行列式定義行列式等于0的方陣稱為奇異方陣.根據(jù)行列式的性質(zhì)可知令其中的第元為中第元的代數(shù)余子式.稱為的伴隨矩陣.例6易驗(yàn)證于是得到因此有下面的定理.引理4.3.3

可逆是方陣且當(dāng)時(shí)，此時(shí)，線性方程組有唯一解逆矩陣的算法由于的計(jì)算量比較大，尤其較大時(shí)，因此可用解矩陣求出則具體做法如下：對(duì)行列式不為0的方陣及任意求矩陣方程的解將此方程寫成(4.3.5)將行向量都看作“數(shù)”，把(4.3.5)當(dāng)作元一次方程組來(lái)解，用“增廣矩陣”(4.3.6)來(lái)代表方程組(4.3.5).由于一定可將經(jīng)過(guò)一系列初等行變換變成單位矩陣，變?yōu)橛谑?算法4.3.1(求矩陣方程AX=B的解)(A|B)(I|X)有限次初等行變換例3.

求方陣A的逆:解：例4.

求方陣的逆:(1)其中(2)(3)階方陣解

(1)(2)

解法1解法2記則由知(3)

解法1按照(2)中解法1:第一步將其余各行加到第1后第2至行乘便得行；第二步第1行乘以第三步其余各行減去第1行；第四步其余各行加到第1行，然解法2令則對(duì)任意常數(shù)有選取使則因此，例5(1)

求使解法1解法2因此另外,方程兩邊轉(zhuǎn)置,化為來(lái)解,同上得解：可逆矩陣的性質(zhì)性質(zhì)1

可逆的逆也逆，且性質(zhì)2

階方陣可逆它們的乘積可逆，且一般地，若可逆，則它們的成績(jī)可逆，且性質(zhì)3

設(shè)可逆，則性質(zhì)4

設(shè)可逆，則它的轉(zhuǎn)置可逆，且性質(zhì)5

設(shè)階方陣與階方陣可逆，則準(zhǔn)對(duì)角線可逆,且例7線性變換ρ：X→AX將α1=(2,1),

α2=(5,3)分別映到β1=(4,2),

β2=(-1,1).求A.解：依題意有由例5(1)得A例8設(shè)AX=b是n個(gè)方程組成的n元方程組，系數(shù)行列式Δ=|A|≠0.試求唯一解X的公式.解：∵Δ=|A|≠0∴A可逆，X=A-1b.而例

設(shè)且可逆.(1)

求證：與可逆,并求它們的逆.(2)

求證：可逆并求它的逆.證明(1)注意到對(duì)任意成立.特別，取可得因此類似地有(2)

我們有從而因此§4.4初等方陣及應(yīng)用機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

第4章的每個(gè)元作為一塊，進(jìn)行分塊運(yùn)算得將矩陣與相乘，的每一行作為一塊，寫成分塊形式可以將矩陣這說(shuō)明：的每一行都是的行的線性組合，的相應(yīng)的行提供。組合系數(shù)由機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束常用的矩陣的三類初等行變換：1.將某兩行互換位置。2.用中某個(gè)非零的數(shù)乘以某行。3.將某行的若干倍加到另一行。

經(jīng)過(guò)初等行變換后的矩陣的行都是變換前的矩陣的行的線性組合，由（4.4.1），從到的變換可以通過(guò)在的左邊乘以適當(dāng)?shù)木仃噥?lái)實(shí)現(xiàn)：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1

設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)腁，分別滿足下面的條件：1.將B的前兩行交換得到AB；2.將B的第1行乘λ得到AB；3.將B的第1行的λ倍加到第2行得到AB。解法1

1）機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束其余各行依次符合要求。其余各行依次為其余分量為0的數(shù)組向量），則（為第

分量為1，機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2）符合要求。3）符合要求。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解法2（1）對(duì)所有B

，將B的前兩行交換都得到AB。特別地，取B=I為單位矩陣，將I的前兩行互換得到AI=A因此機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束因此（2）將的第1行乘得到機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束（3）將I的第1行的λ倍加到第二行得到AI=A,因此問(wèn)：例1的方法和結(jié)果是否可以推廣到一般的初等行變換？機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定義4.4.1如下方陣稱為初等矩陣（elementarymatrix）：（1）機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2）機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3）機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

，和的運(yùn)算性質(zhì)：

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理4.4.1對(duì)矩陣B做初等行變換，效果相當(dāng)于對(duì)B左乘相應(yīng)的初等方陣：1.將的第行互換：。2.將的第行乘≠0：。3.將的第行的倍加到第行：。由定義4.4.1或定理4.4.1可得：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束下面考慮的每個(gè)元作為一塊，進(jìn)行分塊運(yùn)算得這說(shuō)明：的每一列都是的列的線性組合，的相應(yīng)的列提供。組合系數(shù)由機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理4.4.1′（1）（2）（3）機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束用矩陣消元法解線性方程組，對(duì)任一矩陣作初等行變換，可以將化為階梯形。如果同時(shí)使用初等行變換和初等列變換，可以將任一矩陣化到更簡(jiǎn)單的形式。而對(duì)進(jìn)行初等行變換和初等列變換，相當(dāng)于對(duì)左乘和右乘一系列初等方陣。定理4.4.3

任意的

都可以通過(guò)有限次初等行變換和初等列變換化為其中。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證明：如果l≠1，再將第1列和第l列互換，將非零元換到第(1,1)位置。經(jīng)過(guò)這樣的初等行變換和初等列變換，一定可以將A=(aij)m×n化為B=(bij)m×n，使a11≠0。如果

A=O，則A已經(jīng)是所需的形狀。設(shè)A=(aij)m×n≠O。其中必有元akl≠0。如果

a11=0，當(dāng)k≠1時(shí)將A的第1行與第k行互換，可將非零元akl換到第1行；機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束對(duì)，將的第1行的倍加到第行，第1列的倍加到第列，可以將中第2至第行的第1列元化為0，第2至第列的第1行化為0.再將第1行乘可以將第（1，1）元化為1。這樣就將化為了如下形式的矩陣其中是矩陣。如果

，則已經(jīng)是所需的形狀。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束設(shè)，重復(fù)以上步驟，對(duì)作初等行變換和初等列變換可以將化為其中是矩陣。這也就是對(duì)的第2至第行作初等行變換，對(duì)的第2至第列作初等列變換，將進(jìn)一步化為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束重復(fù)這個(gè)過(guò)程，最后可以得到形如（4.4.2）的矩陣這個(gè)矩陣的個(gè)非零行線性無(wú)關(guān)，組成行向量的極大線性無(wú)關(guān)組，因此秩為。而對(duì)矩陣進(jìn)行初等行變換和初等列變換不改變矩陣的秩，因此的秩也是，也就是：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束推論4.4.2對(duì)任意矩陣，用一系列的階初等方陣左乘，以及一系列初等方陣右乘，將化為其中。存在階可逆方陣和階可逆方陣使具有上述形式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證明：根據(jù)定理4.4.3，可以通過(guò)有限次初等行變換和有限次初等列變換化為所說(shuō)形狀。而每次初等行變換可以通過(guò)左乘某個(gè)初等方陣來(lái)實(shí)現(xiàn)，每次初等列變換可以通過(guò)右乘某個(gè)初等方陣來(lái)實(shí)現(xiàn)。因此可以左乘有限個(gè)初等方陣和右乘有限個(gè)初等方陣化為所說(shuō)形狀：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束令，，則