三角函數(shù)概念化簡和恒等變換 學(xué)案- 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考）

三角函數(shù)概念和化簡[考前必備]1．任意角的三角函數(shù)任意角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)時，sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．三個三角函數(shù)的初步性質(zhì)如下表：三角函數(shù)定義域第一象限符號第二象限符號第三象限符號第四象限符號sinαR＋＋－－cosαR＋－－＋tanα{α|α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}＋－＋－2．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商數(shù)關(guān)系：eq\f(sinα,cosα)＝tanα.3．下列各角的終邊與角α的終邊的關(guān)系角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－α圖示與角α終邊的關(guān)系相同關(guān)于原點(diǎn)對稱關(guān)于x軸對稱角π－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α圖示與角α終邊的關(guān)系關(guān)于y軸對稱關(guān)于直線y＝x對稱4.六組誘導(dǎo)公式組數(shù)一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sin_α－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α余弦cos_α－cos_αcos_α－cos_αsin_α－sin_α正切tan_αtan_α－tan_α－tan_α口訣函數(shù)名不變符號看象限函數(shù)名改變符號看象限5．兩角和與差的正弦、余弦和正切公式(1)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ．(2)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ．(3)tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)，tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)(α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z)，6．二倍角的正弦、余弦和正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα．(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．(3)tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)(α≠kπ＋eq\f(π,4)且α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z)．7．輔助角公式asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2)).8．公式的常見變形(1)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)；tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)．(2)sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)；cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)；sinαcosα＝eq\f(1,2)sin2α.[典型例題]題型一弧度制的應(yīng)用例1已知一扇形的圓心角為α(α>0)，所在圓的半徑為R.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧長及該弧所在的弓形的面積；(2)若扇形的周長是一定值C(C>0)，當(dāng)α為多少弧度時，該扇形有最大面積？[同步練習(xí)]1.（2020屆山東省煙臺市高三模擬）劉徽(約公元225年-295年)，魏晉期間偉大的數(shù)學(xué)家，中國古典數(shù)學(xué)理論的奠基人之一他在割圓術(shù)中提出的，“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，這可視為中國古代極限觀念的佳作，割圓術(shù)的核心思想是將一個圓的內(nèi)接正n邊形等分成n個等腰三角形(如圖所示)，當(dāng)n變得很大時，這n個等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積，運(yùn)用割圓術(shù)的思想，得到的近似值為（）A． B． C． D．2.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為：弧田面積＝eq\f(1,2)(弦×矢＋矢2)，弧田(如圖)由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.現(xiàn)有圓心角為eq\f(2π,3)，半徑等于4米的弧田，按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積約是()A.6平方米 B.9平方米C.12平方米 D.15平方米題型二三角函數(shù)的概念例2(1)已知角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y＝2x上，則cos2θ＝()A．－eq\f(4,5) B．－eq\f(3,5) C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)(2)若角α的終邊過點(diǎn)A(2，1)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－α))＝()A.－eq\f(2\r(5),5) B.－eq\f(\r(5),5) C.eq\f(\r(5),5) D.eq\f(2\r(5),5)[同步練習(xí)]1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α，β的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(4,5)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5)))，則cos(α＋β)的值為()A.－eq\f(24,25) B.－eq\f(7,25) C.0 D.eq\f(24,25)2.(1)設(shè)集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(k,2)·180°＋45°，k∈Z))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(k,4)·180°＋45°，k∈Z))，那么()A.M＝N B.M?NC.N?M D.M∩N＝?(2)已知角α的終邊在如圖所示陰影表示的范圍內(nèi)(不包括邊界)，則角α用集合可表示為________.3.已知角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)A(1，a)，B(2，b)，且cos2α＝eq\f(2,3)，則|a－b|＝()A.eq\f(1,5) B.eq\f(\r(5),5) C.eq\f(2\r(5),5) D.1題型三同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用例3已知α∈(0，)，2sin2α=cos2α+1，則sinα=A． B．C． D．例4已知tanα＝－3，則cos2α－sin2α＝()A.eq\f(4,5) B.－eq\f(4,5) C.eq\f(3,5) D.－eq\f(3,5)[同步練習(xí)]1．（2020?全國1卷）已知，且，則（）A. B.C. D.2．（1）已知eq\f(sinα＋3cosα,3cosα－sinα)＝5，則cos2α＋eq\f(1,2)sin2α＝()A.eq\f(3,5) B.－eq\f(3,5) C.－3 D.3（2）若3sinα＋cosα＝0，則eq\f(1,cos2α＋2sinαcosα)的值為()A.eq\f(10,3) B.eq\f(5,3) C.eq\f(2,3) D.－2題型四誘導(dǎo)公式的應(yīng)用例5(1)設(shè)f(α)＝eq\f(2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α,1＋sin2α＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))(1＋2sinα≠0)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6)))＝________.(2)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝a，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))的值是________．[同步練習(xí)]1．已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，則eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α－\f(3π,2)))·cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))·sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))·tan2(π－α)＝________.2．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(1,3)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α))＝________.3.在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于軸對稱．若，則=___________．題型五兩角和與差公式例6（2020?全國3卷）已知2tanθ–tan(θ+)=7，則tanθ=（）–2 B.–1 C.1 D.2例7已知cosα＝eq\f(1,7)，cos(α－β)＝eq\f(13,14)，若0＜β＜α＜eq\f(π,2)，則β＝________.例8若α，β均為鈍角，且(1－tanα)(1－tanβ)＝2，求α＋β.[同步練習(xí)]1．tan20°＋tan40°＋eq\r(3)tan20°·tan40°＝________.2.已知cosα＝eq\f(\r(5),5)，sin(α－β)＝eq\f(\r(10),10)，且α、β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).求：(1)cos(2α－β)的值；(2)β的值．3.已知△ABC中，tanB＋tanC＋eq\r(3)tanBtanC＝eq\r(3)，且eq\r(3)tanA＋eq\r(3)tanB＝tanAtanB－1，試判斷△ABC的形狀．題型六二倍角和輔助角公式例9（2020?江蘇卷）已知=，則的值是____.例10化簡：eq\f(（1＋sinα＋cosα）·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)－sin\f(α,2))),\r(2＋2cosα))(0<α<π)＝________.[同步練習(xí)]1.(1)cos20°·cos40°·cos80°；(2)tan70°·cos10°·(eq\r(3)tan20°－1).2.已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq\f(5,13)，0<x<eq\f(π,4)，求eq\f(cos2x,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x)))的值.題型七三角函數(shù)化簡綜合應(yīng)用例11已知tanα＝2.(1)求taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))的值；(2)求eq\f(sin2α,sin2α＋sinαcosα－cos2α－1)的值．[同步練習(xí)]1．若，則（）A、1B、2C、3D、4[課后練習(xí)]1．已知圓上的一段弧長等于該圓內(nèi)接正方形的邊長，則這段弧所對圓心角的弧度數(shù)為()A.eq\f(\r(2),4) B．eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2) D．2eq\r(2)2.已知θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，則2cosθ＋eq\r(1－2sinπ－θcosθ)＝()A．sinθ＋cosθB．sinθ－cosθC．cosθ－sinθD．3cosθ－sinθ3．(2020·福建三明模擬)已知cos(75°＋α)＝eq\f(1,3)，則sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是()A.eq\f(1,3) B．－eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D．－eq\f(2,3)4．(多選)在△ABC中，下列結(jié)論正確的是()A．sin(A＋B)＝sinCB．sineq\f(B＋C,2)＝coseq\f(A,2)C．tan(A＋B)＝－tanCeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C≠\f(π,2)))D．cos(A＋B)＝cosC5.(2020·成都市第二次診斷性檢測)若α，β都是銳角，且sinα＝eq\f(2\r(5),5)，sin(α－β)＝eq\f(\r(10),10)，則sinβ＝()A.eq\f(7\r(2),10)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,10)6．(多選)下列式子正確的有()A．sin15°＋cos15°＝eq\f(\r(6),2)B．cos75°＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)C．2eq\r(3)tan15°＋tan215°＝1D．tan12°＋tan33°＋tan12°tan33°＝17.(一題兩空)(2020·貴州黔東南一模改編)已知sinα＋3cosα＝－eq\r(10)，則tan2α＝________，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝__