高中數(shù)學高考2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（遼寧卷）理科【解析版】

第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．(2013遼寧，理1)復(fù)數(shù)的模為()．A．B．C．D．2【答案】B【名師點睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念和運算，采用分母實數(shù)化先求或利用進行化解求解.本題屬于基礎(chǔ)題，注意運算的準確性.2．(2013遼寧，理2)已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|x≤2}，則A∩B＝()．A．(0,1)B．(0,2]C．(1,2)D．(1,2]【答案】D【解析】0＜log4x＜1?log41＜log4x＜log44?1＜x＜4，即A＝{x|1＜x＜4}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．故選D.【名師點睛】本題考查集合的基本運算及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)、不等式、集合結(jié)合在一起綜合考查考生的基本數(shù)學素養(yǎng)，體現(xiàn)了高考命題“小題綜合化”的原則.本題屬于基礎(chǔ)題，注意基本概念的正確理解以及基本運算方法的準確性.3．(2013遼寧，理3)已知點A(1,3)，B(4，－1)，則與向量同方向的單位向量為()．A．B．C．D．【答案】A【解析】與同方向的單位向量為＝，故選A.【名師點睛】本題考查單位向量概念及平面向量的坐標運算,屬于基礎(chǔ)題，注意運算的準確性.4．(2013遼寧，理4)下面是關(guān)于公差d＞0的等差數(shù)列{an}的四個命題：p1：數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；p2：數(shù)列{nan}是遞增數(shù)列；p3：數(shù)列是遞增數(shù)列；p4：數(shù)列{an＋3nd}是遞增數(shù)列．其中的真命題為()．A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p4【答案】D【名師點睛】本題考查等差數(shù)列的概念及等差數(shù)列的單調(diào)性.要說明命題為真，應(yīng)加以證明，而要說明命題為假，則可以通過舉反例而達到解題目的.本題屬于基礎(chǔ)題，注意基本概念的正確理解以及解題方法的靈活運用.5．(2013遼寧，理5)某班的全體學生參加英語測試，成績的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人數(shù)是15，則該班的學生人數(shù)是()．A．45B．50C．55D．60【答案】B【解析】由頻率分布直方圖，低于60分的同學所占頻率為(0.005＋0.01)×20＝0.3，故該班的學生人數(shù)為＝50.故選B.【名師點睛】本題考查頻率分布直方圖及頻率組距等概念，解答本題的關(guān)鍵，是理解概念，細心計算.本題屬于基礎(chǔ)題，在考查概念的同時，考查考生識圖用圖的能力，是近幾年高考常見題型.6．(2013遼寧，理6)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若asinBcosC＋csinBcosA＝，且a＞b，則∠B＝()．A．B．C．D．【答案】A【名師點睛】本題考查了兩角和差的三角函數(shù)、正弦定理及已知三角函數(shù)值求角問題，在正確理解題意的情況下，準確變形是關(guān)鍵.解答本題的一個易錯點是忽視對角的范圍的討論，使解答陷入誤區(qū).本題是一道基礎(chǔ)題，重點考查兩角和差的三角函數(shù)、解三角形等基礎(chǔ)知識，同時考查考生的計算能力、思維的嚴密性及應(yīng)用數(shù)學知識解決問題的能力.7．(2013遼寧，理7)使(n∈N＋)的展開式中含有常數(shù)項的最小的n為()．A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】展開式中的第r＋1項為(3x)n－r＝，若展開式中含常數(shù)項，則存在n∈N＋，r∈N，使＝0，故最小的n值為5，故選B.【名師點睛】本題考查二項式定理及其通項公式及推理判斷能力，從近幾年高考對二項式定理的考查看，基本是以通項公式為解題的突破口，本題對有理指數(shù)冪的運算要求較高，容易出現(xiàn)計算不準而使解答陷入誤區(qū).本題是一道基礎(chǔ)題，重點考查二項式定理及其通項公式等基礎(chǔ)知識，同時考查考生的計算能力及推理判斷能力.8．(2013遼寧，理8)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入n＝10，則輸出S＝()．A．B．C．D．【答案】A【名師點睛】本題考查算法與程序框圖及數(shù)列求和的“裂項相消法”，在理解條件分支結(jié)構(gòu)及算法功能的基礎(chǔ)上，關(guān)鍵是能想到化簡和式，通過“裂項”準確地加以計算.本題屬于基礎(chǔ)題，由于給定數(shù)據(jù)較小，降低了題目的難度.9．(2013遼寧，理9)已知點O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB為直角三角形，則必有()．A．b＝a3B．C．D．【答案】C【解析】若B為直角，則，即a2＋a3(a3－b)＝0，又a≠0，故；若A為直角，則，即b(a3－b)＝0，得b＝a3；若O為直角，則不可能．故b－a3＝0或b－a3－＝0，故選C.【名師點睛】本題考查平面向量的應(yīng)用、平面向量的數(shù)量積及平面向量的坐標運算.由于沒有明確三角形的哪個角是直角，故須利用分類討論思想加以探究.本題是一道能力題，屬于中等題，重點考查平面向量的應(yīng)用、平面向量的數(shù)量積及平面向量的坐標運算等基礎(chǔ)知識，同時考查考生的計算能力、分類討論思想及應(yīng)用數(shù)學知識解決問題的能力.10．(2013遼寧，理10)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球OA．B．C．D．【答案】C【名師點睛】本題考查直三棱柱、球的結(jié)構(gòu)特征以及組合體幾何量之間的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵，是通過添加輔助線，得到球的內(nèi)接長方體，利用長方體與其外接球的關(guān)系，計算得到球的半徑.本題屬于能力題，在考查直三棱柱、球的結(jié)構(gòu)特征以及組合體幾何量之間關(guān)系的同時，考查了考生的空間想象能力及運算能力.11．(2013遼寧，理11)已知函數(shù)f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.設(shè)H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的較大值，min{p，q}表示p，q中的較小值)．記H1(x)的最小值為A，H2(x)的最大值為B，則A－B＝()．A．16B．－16C．a(chǎn)2－2a－16D．a(chǎn)2＋2【答案】B【解析】∵f(x)－g(x)＝2x2－4ax＋2a2－8＝2[x－(a－2)][x－(a＋2)]，∴可求得H1(x)的最小值A(chǔ)＝f(a＋2)＝－4a－4，H2(x)的最大值B＝g(a－2)＝－4a＋12，∴A－B＝－16.故選B.【名師點睛】本題考查分段函數(shù)的概念及二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵，是正確理解新定義函數(shù)的意義，準確地寫出分段函數(shù)，并利用二次函數(shù)的性質(zhì)，確定函數(shù)的最值.解答本題的難點在于比較f(x)、g(x)的大小.本題屬于新定義問題，也是一道能力題，在考查函數(shù)基礎(chǔ)知識的同時，考查了考生的學習能力、運算能力及分類討論思想.12．(2013遼寧，理12)設(shè)函數(shù)f(x)滿足x2f′(x)＋2xf(x)＝，f(2)＝，則x＞0時，f(x)()．A．有極大值，無極小值B．有極小值，無極大值C．既有極大值又有極小值D．既無極大值也無極小值【答案】D【解析】令F(x)＝x2f(x)，則F′(x)＝x2f′(x)＋2xf(x)＝，F(xiàn)(2)＝4·f(2)＝.由x2f′(x)＋2xf(x)＝，得x2f′(x)＝－2xf(x)＝，∴f′(x)＝.令φ(x)＝ex－2F(x)，則φ′(x)＝ex－2F′(x)＝.∴φ(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，∴φ(x)的最小值為φ(2)＝e2－2F(2)＝0.∴φ(x)≥0.又x＞0，∴f′(x)≥0.∴f(x)在(0，＋∞)單調(diào)遞增．∴f(x)既無極大值也無極小值．故選D.【名師點睛】本題考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，解答本題的關(guān)鍵，是通過構(gòu)造函數(shù)F(x)＝x2f(x)，根據(jù)F′(x)＝x2f′(x)＋2xf(x)＝，得到f′(x)＝，進一步通過假設(shè)φ(x)＝ex－2F(x)，研究其單調(diào)性、最值，得出關(guān)于f(x)的結(jié)論本題屬于能力題，中等難度.在考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等基本方法的同時，考查了考生的邏輯推理能力、運算能力及轉(zhuǎn)化與化歸思想.第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題4分，滿分16分，將答案填在答題紙上）13．(2013遼寧，理13)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是__________．【答案】16π－16【名師點睛】本題考查三視圖及幾何體的體積計算，解答本題的關(guān)鍵，是理解三視圖的畫法規(guī)則，明確所得幾何體的特征，確定得到計算體積所需要的幾何量.本題屬于基礎(chǔ)題，在考查三視圖及幾何體的幾何特征的同時，考查了考生的空間想象能力及運算能力，是一道較為常規(guī)的題型.14．(2013遼寧，理14)已知等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，Sn是{an}的前n項和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的兩個根，則S6＝__________.【答案】63【解析】因為x2－5x＋4＝0的兩根為1和4，又數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，所以a1＝1，a3＝4，所以q＝2.所以S6＝＝63.【名師點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的求和公式等，解答本題的關(guān)鍵，是利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及遞增數(shù)列，確定得到a1，a3，確定得到公比，進一步求得S6.本題是一道基礎(chǔ)題.在考查等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識的同時，考查考生的計算能力.本題是教科書及教輔材料常見題型，能使考生心理更穩(wěn)定，利于正常發(fā)揮.15．(2013遼寧，理15)已知橢圓C：(a＞b＞0)的左焦點為F，C與過原點的直線相交于A，B兩點，連接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，則C的離心率e＝__________.【答案】【名師點睛】本題考查橢圓的定義、橢圓的幾何性質(zhì)及余弦定理.確定橢圓或雙曲線的離心率，關(guān)鍵是從已知出發(fā)，結(jié)合定義確定得到的關(guān)系，本題中由橢圓的對稱性轉(zhuǎn)化應(yīng)用橢圓的定義，往往易被忽視.本題屬于小綜合題，也是一道能力題，在較全面考查橢圓的定義、橢圓的幾何性質(zhì)及余弦定理等基礎(chǔ)知識的同時，考查考生的計算能力及分析問題解決問題的能力.16．(2013遼寧，理16)為了考察某校各班參加課外書法小組的人數(shù)，從全校隨機抽取5個班級，把每個班級參加該小組的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù)．已知樣本平均數(shù)為7，樣本方差為4，且樣本數(shù)據(jù)互不相同，則樣本數(shù)據(jù)中的最大值為__________．【答案】10【解析】設(shè)5個班級的人數(shù)分別為x1，x2，x3，x4，x5，則，＝4，即5個整數(shù)平方和為20，由于樣本數(shù)據(jù)互不相同，所以最大的數(shù)比7大不能超過3，否則方差超過4，故最大值為10，最小值為4.【名師點睛】本題考查平均數(shù)、方差等概念，解答本題的關(guān)鍵，是理解概念，掌握公式，通過分析方差的結(jié)構(gòu)特點，確定樣本數(shù)據(jù)的最值.本題屬于能力題，在考查統(tǒng)計的基本概念的同時，考查考生的計算及邏輯思維能力.三、解答題（本大題共6小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17．(2013遼寧，理17)(本小題滿分12分)設(shè)向量a＝(，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈.(1)若|a|＝|b|，求x的值；(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．【答案】(1)；(2)(2)f(x)＝a·b＝·cosx＋sin2x，當時，取最大值1.所以f(x)的最大值為.【名師點睛】本題考查平面向量的模、平面向量的數(shù)量積、平面向量的坐標運算，以及和差倍半的三角函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì).解答本題的關(guān)鍵，是理解概念，掌握公式，熟練地進行數(shù)學式子變形.本題的易錯點是忽視角的范圍的討論而出現(xiàn)錯誤.本題屬于能力題，中等難度，在考查平面向量、三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識的同時，考查考生的計算及邏輯思維能力.18．(2013遼寧，理18)(本小題滿分12分)如圖，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上的點．(1)求證：平面PAC⊥平面PBC；(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角CPBA的余弦值．【答案】(1)詳見解析；(2)(2)解法一：過C作CM∥AP，則CM⊥平面ABC.如圖，以點C為坐標原點，分別以直線CB，CA，CM為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系．因為AB＝2，AC＝1，所以BC＝.因為PA＝1，所以A(0,1,0)，B(，0,0)，P(0,1,1)．故＝(，0,0)，＝(0,1,1)．設(shè)平面BCP的法向量為n1＝(x，y，z)，則所以不妨令y＝1，則n1＝(0,1，－1)．因為＝(0,0,1)，＝(，－1,0)．設(shè)平面ABP的法向量為n2＝(x，y，z)，則所以不妨令x＝1，則n2＝(1，，0)，于是cos〈n1，n2〉＝.所以由題意可知二面角CPBA的余弦值為.在Rt△ABC中，由AB＝2，AC＝1，得BC＝，CM＝，BM＝，在Rt△PAB中，由AB＝2，PA＝1，得PB＝.因為Rt△BNM∽Rt△BAP，所以，故MN＝.又在Rt△CNM中，CN＝，故cos∠CNM＝.所以二面角CPBA的余弦值為.【名師點睛】本題考查了空間幾何體的特征及空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系及空間的角，從第一小題的證明看，起點低，背景為學生熟悉.證明過程中，關(guān)鍵是注意利用圓的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)垂直關(guān)系，進一步得到線面關(guān)系、面面關(guān)系.第二小題，則可以利用空間向量方法、幾何法分別加以處理，體現(xiàn)解題的靈活性.本題是一道能力題，屬于中等題，重點考查空間垂直關(guān)系、空間的角等基礎(chǔ)知識，同時考查考生的邏輯推理能力、空間想象能力、函數(shù)方程思想及應(yīng)用數(shù)學知識解決問題的能力.19．(2013遼寧，理19)(本小題滿分12分)現(xiàn)有10道題，其中6道甲類題，4道乙類題，張同學從中任取3道題解答．(1)求張同學至少取到1道乙類題的概率；(2)已知所取的3道題中有2道甲類題，1道乙類題．設(shè)張同學答對每道甲類題的概率都是，答對每道乙類題的概率都是，且各題答對與否相互獨立．用X表示張同學答對題的個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望．【答案】(1)；(2)X的分布列為：X0123P所以E(X)＝2.(2)X所有的可能取值為0,1,2,3.P(X＝0)＝；P(X＝1)＝；P(X＝2)＝；P(X＝3)＝.所以X的分布列為：X0123P所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.【名師點睛】本題考查對立事件的概率及隨機事件的分布列與數(shù)學期望，在正確理解題意的情況下，能準確確定基本事件的概率是關(guān)鍵.本題是一道應(yīng)用題，也是一道能力題，屬于中等題，較全面地考查了概率的基礎(chǔ)知識，同時考查考生的計算能力及應(yīng)用數(shù)學知識，解決實際問題的能力.20．(2013遼寧，理20)(本小題滿分12分)如圖，拋物線C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p＞0)．點M(x0，y0)在拋物線C2上，過M作C1的切線，切點為A，B(M為原點O時，A，B重合于O)．當x0＝1－時，切線MA的斜率為.(1)求p的值；(2)當M在C2上運動時，求線段AB中點N的軌跡方程(A，B重合于O時，中點為O)．【答案】(1)p＝2；(2)(2)設(shè)N(x，y)，A，B，x1≠x2，由N為線段AB中點知x＝，③.④切線MA，MB的方程為，⑤.⑥由⑤⑥得MA，MB的交點M(x0，y0)的坐標為，.因為點M(x0，y0)在C2上，即＝－4y0，所以.⑦由③④⑦得，x≠0.當x1＝x2時，A，B重合于原點O，AB中點N為O，坐標滿足.因此AB中點N的軌跡方程為.【名師點睛】本題考查了拋物線的標準方程及其幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系、中點坐標公式、軌跡方程的求法、導(dǎo)數(shù)的幾何意義等，本題的（I），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，確定切線斜率，建立關(guān)于的方程；（II）通過假設(shè)相關(guān)點的坐標，利用函數(shù)方程思想及點的坐標關(guān)系，通過“消元”得到軌跡方程，對考生復(fù)雜式子的變形能力及邏輯思維能力要求較高.本題易錯點是忽視對x1＝x2的討論，導(dǎo)致解的不完美.本題是一道能力題，屬于難題.在考查拋物線的標準方程及其幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系、中點坐標公式、軌跡方程的求法、導(dǎo)數(shù)的幾何意義等基礎(chǔ)知識的同時，考查考生的計算能力及轉(zhuǎn)化與化歸思想.本題梯度設(shè)計較好，有較強的區(qū)分度，有利于優(yōu)生的選拔.21．(2013遼寧，理21)(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝(1＋x)e－2x，g(x)＝ax＋＋1＋2xcosx．當x∈[0,1]時，(1)求證：1－x≤f(x)≤；(2)若f(x)≥g(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)詳見解析；(2)(－∞，－3]要證x∈[0,1]時，(1＋x)e－2x≤，只需證明ex≥x＋1.記K(x)＝ex－x－1，則K′(x)＝ex－1，當x∈(0,1)時，K′(x)＞0，因此K(x)在[0,1]上是增函數(shù)，故K(x)≥K(0)＝0.所以f(x)≤，x∈[0,1]．綜上，1－x≤f(x)≤，x∈[0,1]．f(x)－g(x)≤＝＝，記I(x)＝，則I′(x)＝，當x∈(0,1)時，I′(x)＜0，故I(x)在[0,1]上是減函數(shù)，于是I(x)在[0,1]上的值域為[a＋1＋2cos1，a＋3]．因為當a＞－3時，a＋3＞0，所以存在x0∈(0,1)，使得I(x0)＞0，此時f(x0)＜g(x0)，即f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立．綜上，實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－3]．解法二：先證當x∈[0,1]時，1－x2≤cosx≤1－x2.記F(x)＝cosx－1＋x2，則F′(x)＝－sinx＋x.記G(x)＝－sinx＋x，則G′(x)＝－cosx＋1，當x∈(0,1)時，G′(x)＞0，于是G(x)在[0,1]上是增函數(shù)，因此當x∈(0,1)時，G(x)＞G(0)＝0，從而F(x)在[0,1]上是增函數(shù)．因此F(x)≥F(0)＝0，所以當x∈[0,1]時，1－x2≤cosx.同理可證，當x∈[0,1]時，cosx≤1－x2.綜上，當x∈[0,1]時，1－x2≤cosx≤1－x2.因為當x∈[0,1]時，f(x)－g(x)＝(1＋x)e－2x－≥＝－(a＋3)x.所以當a≤－3時，f(x)≥g(x)在[0,1]上恒成立．下面證明當a＞－3時，f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立．因為f(x)－g(x)＝(1＋x)e－2x－≤＝≤，所以存在x0∈(0,1)(例如x0取和中的較小值)滿足f(x0)＜g(x0)．即f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立．綜上，實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－3]．【名師點睛】本題考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)、不等式的證明、不等式恒成立問題的解法等，解答本題的主要困難是在進行不等式的轉(zhuǎn)化后，構(gòu)造函數(shù)，并進一步利用分類討論思想，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等.本題是一道能力題，屬于難題.在考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)、不等式的證明、不等式恒成立問題等基礎(chǔ)知識、基本方法的同時，考查考生的計算能力、應(yīng)用數(shù)學知識分析問題解決問題的能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想及分類討論思想.請考生在第22、23、24三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分。做答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)題號下方的方框涂黑。22．(2013遼寧，理22)(本小題滿分10分)選修4－1：幾何證明選講如圖，AB為O的直徑，直線CD與O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，連接AE，BE.證明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC.【答案】詳見解析(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共邊，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.類似可證：Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC.【名師點睛】本題考查圓的幾何性質(zhì)、三角形全等等相關(guān)知識，作為選學（考）內(nèi)容，對考生的要求并不高，主要是考查相關(guān)基礎(chǔ)知識