高中數(shù)學(xué)高考2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（上海卷）理數(shù)試題精編版（解析版）

本試卷共有23道試題，滿分150分．考試時間120分鐘．一、填空題(本大題共有14題，滿分56分)考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得4分，否則一律得零分．1．【2013上海,理1】計(jì)算：＝______.【答案】2．【2013上海,理2】設(shè)m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是純虛數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則m＝______.【答案】－2【解析】m＝－2.【考點(diǎn)定位】復(fù)數(shù)概念【名師點(diǎn)睛】(1)復(fù)數(shù)的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的實(shí)部和虛部．若b＝0，則a＋bi為實(shí)數(shù)；若b≠0，則a＋bi為虛數(shù)；若a＝0且b≠0，則a＋bi為純虛數(shù)．(2)復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(4)復(fù)數(shù)的模：向量OZ→的模r叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).3．【2013上海,理3】若＝，則x＋y＝______.【答案】0【解析】x2＋y2＝－2xyx＋y＝0.【考點(diǎn)定位】行列式【名師點(diǎn)睛】行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的，，區(qū)別絕對值符號.4．【2013上海,理4】已知△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a、b、c.若3a2＋2ab＋3b2－3c2＝0，則角【答案】π－arccos5．【2013上海,理5】設(shè)常數(shù)a∈R.若的二項(xiàng)展開式中x7項(xiàng)的系數(shù)為－10，則a＝______.【答案】－2【解析】Tr＋1＝,2(5－r)－r＝7r＝1，故＝－10a＝－2.【考點(diǎn)定位】二項(xiàng)式定理【名師點(diǎn)睛】求二項(xiàng)展開式中的指定項(xiàng)，一般是利用通項(xiàng)公式進(jìn)行化簡通項(xiàng)公式后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項(xiàng)時，指數(shù)為零；求有理項(xiàng)時，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項(xiàng)數(shù)r＋1，代回通項(xiàng)公式即可．6．【2013上海,理6】方程＝3x－1的實(shí)數(shù)解為______．【答案】log34【解析】原方程整理后變?yōu)?2x－2·3x－8＝03x＝4x＝log34.【考點(diǎn)定位】指數(shù)方程【名師點(diǎn)睛】對可化為a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(a2x＋b·ax＋c≤0)的指數(shù)方程或不等式，常借助換元法解決．求解與指對數(shù)有關(guān)的復(fù)合方程問題，首先要熟知指對數(shù)式的定義域、值域、單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷，最終將問題歸結(jié)為內(nèi)層方程相關(guān)的問題加以解決．7．【2013上海,理7】在極坐標(biāo)系中，曲線ρ＝cosθ＋1與ρcosθ＝1的公共點(diǎn)到極點(diǎn)的距離為______．【答案】【解析】聯(lián)立方程組得ρ(ρ－1)＝1ρ＝，又ρ≥0，故所求為.【考點(diǎn)定位】極坐標(biāo)【名師點(diǎn)睛】設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)O與點(diǎn)M的距離|OM|叫做點(diǎn)M的極徑，記為ρ；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角θ叫做點(diǎn)M的極角，記為θ.有序數(shù)對(ρ，θ)叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記為M(ρ，θ)．8．【2013上海,理8】盒子中裝有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九個球，從中任意取出兩個，則這兩個球的編號之積為偶數(shù)的概率是______(結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示)．【答案】9．【2013上海,理9】設(shè)AB是橢圓Γ的長軸，在C在Γ上，且∠CBA＝.若AB＝4，BC＝，則Γ的兩個焦點(diǎn)之間的距離為______．【答案】【解析】(如圖)不妨設(shè)橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為＝1，于是可算得C(1,1)，得b2＝，2c＝.【考點(diǎn)定位】橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程【名師點(diǎn)睛】求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)定義法：根據(jù)橢圓定義，確定a2，b2的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置，直接寫出橢圓方程．(2)待定系數(shù)法：根據(jù)橢圓焦點(diǎn)是在x軸還是y軸上，設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件確定關(guān)于a，b，c的方程組，解出a2，b2，從而寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程10．【2013上海,理10】設(shè)非零常數(shù)d是等差數(shù)列x1，x2，…，x19的公差，隨機(jī)變量ξ等可能地取值x1，x2，…，x19，則方程Dξ＝______.【答案】30|d|【解析】Eξ＝x10，Dξ＝【考點(diǎn)定位】方差【名師點(diǎn)睛】s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]其中s為標(biāo)準(zhǔn)差，樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)11．【2013上海,理11】若cosxcosy＋sinxsiny＝，sin2x＋sin2y＝，則sin(x＋y)＝______.【答案】12．【2013上海,理12】設(shè)a為實(shí)常數(shù)，y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時，f(x)＝9x＋＋7.若f(x)≥a＋1對一切x≥0成立，則a的取值范圍為______．【答案】(－∞，]【解析】f(0)＝0，故0≥a＋1a≤－1；當(dāng)x＞0時，f(x)＝9x＋－7≥a＋1，即6|a|≥a＋8，又a≤－1，故a≤.【考點(diǎn)定位】函數(shù)奇偶性性質(zhì)，不等式恒成立【名師點(diǎn)睛】1.應(yīng)用函數(shù)奇偶性可解決的四類問題及解題方法(1)求函數(shù)值：將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解．(2)求解析式：將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于f(x)的方程(組)，從而得到f(x)的解析式．(3)求函數(shù)解析式中參數(shù)的值：利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)f(x)±f(－x)＝0得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對等性得參數(shù)的值或方程(組)，進(jìn)而得出參數(shù)的值．(4)畫函數(shù)圖像和判斷單調(diào)性：利用奇偶性可畫出另一對稱區(qū)間上的圖像及判斷另一區(qū)間上的單調(diào)性．2．不等式恒成立問題常轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，而函數(shù)最值問題常利用基本不等式來解決．13．【2013上海,理13】在xOy平面上，將兩個半圓弧(x－1)2＋y2＝1(x≥1)和(x－3)2＋y2＝1(x≥3)、兩條直線y＝1和y＝－1圍成的封閉圖形記為D，如圖中陰影部分．記D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體為Ω.過(0，y)(|y|≤1)作Ω的水平截面，所得截面面積為＋8π.試?yán)米鏁溤怼⒁粋€平放的圓柱和一個長方體，得出Ω的體積值為______．【答案】2π2＋16π14．【2013上海,理14】對區(qū)間I上有定義的函數(shù)g(x)，記g(I)＝{y|y＝g(x)，x∈I}．已知定義域?yàn)閇0,3]的函數(shù)y＝f(x)有反函數(shù)y＝f－1(x)，且f－1([0,1))＝[1,2)，f－1((2,4])＝[0,1)．若方程f(x)－x＝0有解x0，則x0＝______.【答案】2【解析】根據(jù)反函數(shù)定義，當(dāng)x∈[0,1)時，f(x)∈(2,4]；x∈[1,2)時，f(x)∈[0,1)，而y＝f(x)的定義域?yàn)閇0,3]，故當(dāng)x∈[2,3]時，f(x)的取值應(yīng)在集合(－∞，0)∪[1,2]∪(4，＋∞)，故若f(x0)＝x0，只有x0＝2.【考點(diǎn)定位】反函數(shù)【名師點(diǎn)睛】反函數(shù)與原函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵，一般有兩個處理方法，一是從原函數(shù)出發(fā)求其反函數(shù)，再求函數(shù)最大值，本題求反函數(shù)教困難；二是利用反函數(shù)定義域?qū)?yīng)原函數(shù)值域，反函數(shù)值域?qū)?yīng)原函數(shù)定義域，反函數(shù)與原函數(shù)對偶區(qū)間上單調(diào)性一致，求出對應(yīng)函數(shù)值.二、選擇題(本大題共有4題，滿分20分)每題有且只有一個正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分．15．【2013上海,理15】設(shè)常數(shù)a∈R，集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0}，B＝{x|x≥a－1}．若A∪B＝R，則a的取值范圍為()A．(－∞，2) B．(－∞，2]C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)【答案】B16．【2013上海,理16】錢大姐常說“便宜沒好貨”，她這句話的意思是：“不便宜”是“好貨”的()A．充分條件 B．必要條件C．充分必要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】B【解析】根據(jù)等價命題，便宜沒好貨，等價于，好貨不便宜，故選B.【考點(diǎn)定位】充要關(guān)系【名師點(diǎn)睛】判斷充分條件和必要條件的方法(1)命題判斷法：設(shè)“若p，則q”為原命題，那么：①原命題為真，逆命題為假時，p是q的充分不必要條件；②原命題為假，逆命題為真時，p是q的必要不充分條件；③原命題與逆命題都為真時，p是q的充要條件；④原命題與逆命題都為假時，p是q的既不充分也不必要條件．(2)集合判斷法：從集合的觀點(diǎn)看，建立命題p，q相應(yīng)的集合：p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，那么：①若A?B，則p是q的充分條件；若AB時，則p是q的充分不必要條件；②若B?A，則p是q的必要條件；若BA時，則p是q的必要不充分條件；③若A?B且B?A，即A＝B時，則p是q的充要條件．(3)等價轉(zhuǎn)化法：p是q的什么條件等價于非q是非p的什么條件．2．轉(zhuǎn)化與化歸思想由于互為逆否命題的兩個命題具有相同的真假性，因而當(dāng)判斷一個命題的真假比較困難時，可轉(zhuǎn)化為判斷它的逆否命題的真假．17．【2013上海,理17】在數(shù)列{an}中，an＝2n－1.若一個7行12列的矩陣的第i行第j列的元素cij＝ai·aj＋ai＋aj(i＝1,2，…，7；j＝1,2，…，12)，則該矩陣元素能取到的不同數(shù)值的個數(shù)為()A．18 B．28 C．48 D．6318．【2013上海,理18】在邊長為1的正六邊形ABCDEF中，記為A為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為a1、a2、a3、a4、a5；以D為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為d1、d2、d3、d4、d5.若m、M份別為(ai＋aj＋ak)·(dr＋ds＋dt)的最小值、最大值，其中{i，j，k}{1,2,3,4,5}，{r，s，t}{1,2,3,4,5}，則m、M滿足()A．m＝0，M＞0 B．m＜0，M＞0C．m＜0，M＝0 D．m＜0，M＜0【答案】D【解析】作圖驗(yàn)證知，只有＝＞0，其余均有≤0，故選D.【考點(diǎn)定位】新定義問題【名師點(diǎn)睛】新定義問題一般先考察對定義的理解，這時只需一一驗(yàn)證定義中各個條件即可.二是考查滿足新定義的函數(shù)的簡單應(yīng)用，如在某些條件下，滿足新定義的函數(shù)有某些新的性質(zhì)，這也是在新環(huán)境下研究“舊”性質(zhì)，此時需結(jié)合新函數(shù)的新性質(zhì)，探究“舊”性質(zhì).三是考查綜合分析能力，主要將新性質(zhì)有機(jī)應(yīng)用在“舊”性質(zhì)，創(chuàng)造性證明更新的性質(zhì).三、解答題(本大題共有5題，滿分74分)解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．19．【2013上海,理9】如圖，在長方體ABCD－A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝1，AA′＝1.證明直線BC′平行于平面D′AC，并求直線BC′到平面D′AC的距離．【答案】【考點(diǎn)定位】空間向量求線面距【名師點(diǎn)睛】利用空間向量數(shù)量積的變形公式求線面距，也可利用等體積法求線面距.利用待定系數(shù)法求平面法向量.20．【2013上海,理20】甲廠以x千克/小時的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求1≤x≤10)，每一小時可獲得的利潤是元．(1)要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時獲得的利潤不低于3000元，求x的取值范圍；(2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，問：甲廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度？并求此最大利潤．【答案】(1)3≤x≤10;(2)6千克/小時,最大利潤為457500元【考點(diǎn)定位】二次函數(shù)求最值【名師點(diǎn)睛】(1)數(shù)形結(jié)合是討論二次函數(shù)問題的基本方法．特別是涉及二次方程、二次不等式的時候常常要結(jié)合圖形尋找思路．(2)含字母系數(shù)的二次函數(shù)問題經(jīng)常使用的方法是分類討論．比如討論二次函數(shù)的對稱軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系，討論二次方程根的大小等．21．【2013上海,理21】已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx)，其中常數(shù)ω＞0.(1)若y＝f(x)在上單調(diào)遞增，求ω的取值范圍；(2)令ω＝2，將函數(shù)y＝f(x)的圖像向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數(shù)y＝g(x)的圖像．區(qū)間[a，b](a，b∈R，且a＜b)滿足：y＝g(x)在[a，b]上至少含有30個零點(diǎn)．在所有滿足上述條件的[a，b]中，求b－a的最小值．【答案】(1)0＜ω≤;(2)【考點(diǎn)定位】三角函數(shù)圖像與性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】1.函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性質(zhì)(1)奇偶性：φ＝kπ時，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)為奇函數(shù)；φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)時，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)為偶函數(shù)．(2)周期性：y＝Asin(ωx＋φ)存在周期性，其最小周期為T＝eq\f(2π,ω).(3)單調(diào)性：根據(jù)y＝sint和t＝ωx＋φ的單調(diào)性來研究，由－eq\f(π,2)＋2kπ≤ωx＋φ≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z得單調(diào)增區(qū)間；由eq\f(π,2)＋2kπ≤ωx＋φ≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z得單調(diào)減區(qū)間．(4)對稱性：利用y＝sinx的對稱中心為(kπ，0)(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求得x.利用y＝sinx的對稱軸為x＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)得其對稱軸．2.由函數(shù)y＝sinx的圖像變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖像的兩種方法22．【2013上海,理22】如圖，已知雙曲線C1：－y2＝1，曲線C2：|y|＝|x|＋1.P是平面內(nèi)一點(diǎn)，若存在過點(diǎn)P的直線與C1、C2都有公共點(diǎn)，則稱P為“C1C2型點(diǎn)”．(1)在正確證明C1的左焦點(diǎn)是“C1C2型點(diǎn)”(2)設(shè)直線y＝kx與C2有公共點(diǎn)，求證|k|＞1，進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“C1C2型點(diǎn)”(3)求證：圓x2＋y2＝內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1C2型點(diǎn)”．【答案】(1)x＝或y＝，其中|k|≥.(2)參考解析;(3)參考解析【解析】(1)C1的左焦點(diǎn)為，寫