三角形三心的奧秘

三角形三心的奧秘第一頁，共30頁。商人想設(shè)一座加油站，距離附近的學(xué)校、游樂園、醫(yī)院都一樣近，請問聰明的商人，應(yīng)該將加油站設(shè)在哪里呢?

○學(xué)?！鹩螛穲@○醫(yī)院解答:設(shè)在外心處加油站第二頁，共30頁。外心1.外心的定義:ABCABCABC(綠)，

(藍(lán))，(紅)，三邊中垂線交點(diǎn)即為“外心”。o三角形三邊中垂線的交點(diǎn)稱為外心，常用字母O表示。(綠)，

第三頁，共30頁。2.外心的位置ABCABCABCABCABCABC銳角三角形

(在內(nèi)部)鈍角三角形

(在外部)直角三角形(在斜邊中點(diǎn))(1)依三角形角度類型的區(qū)別而有不同的位置。ABCABCABCABC第四頁，共30頁?！蜾J角△ABE的外心(圓O)在三角形的內(nèi)部?！蛑苯恰鰽BD的外心(圓O)在三角形的斜邊中點(diǎn)。◎鈍角△ABC的外心(圓O)在三角形的外部。(2)呈現(xiàn)在同一個圓中第五頁，共30頁。(1)外心到三頂點(diǎn)等距離。(2)若以外心為圓心，外心到三頂點(diǎn)的距離為半徑，可以畫出一個外接圓。(3)稱此點(diǎn)為“外心”，是因此點(diǎn)可畫出三角形的外接圓。(4)任意三角形皆可找到其外心與外接圓，且為唯一。(5)三角形ABC稱為圓O的圓內(nèi)接三角形。3.三角形的外心與外接圓

如圖(1)線段OA=線段OB=線段OC(2)圓O為△ABC的外接圓(3)O點(diǎn)為銳角△ABC的外心；△ABC為圓O的圓內(nèi)接三角形ABCOOO第六頁，共30頁。中垂線性質(zhì):(1)中垂線上任一點(diǎn)到此線段的兩端點(diǎn)等距離。(2)若有一點(diǎn)到某線段兩端點(diǎn)的距離相等，則此點(diǎn)會在該線段的中垂線上。(可用中垂線性質(zhì)證明)4.外心重要性質(zhì):外心到三頂點(diǎn)等距離。

P為中垂線上任一點(diǎn)第七頁，共30頁。5.三角形的外接圓與外心角度

ABCOABCOD(1)若∠A為銳角，∠BOC＝2∠A(2)若∠A為鈍角，∠BOC＝360°－2∠AO第八頁，共30頁。(1)三角形三邊中垂線的交點(diǎn)稱為外心(O)。(2)外心到三頂點(diǎn)等距。

(以外心為圓心，可畫出該三角形的外接圓)(3)直角三角形的外心在斜邊中點(diǎn)上，直角三角形的外接圓半徑R=1/2斜邊長(4)直角三角形中，若有一銳角是30

，則它所對的邊是斜邊之半。6.外心?？贾攸c(diǎn):第九頁，共30頁。按我(用GGB找外心)7.動手摺紙找外心

步驟1:摺出線段AB的中垂線。作法:將B點(diǎn)翻摺至A點(diǎn)，壓平后再展開，產(chǎn)生摺痕如圖示。第十頁，共30頁。步驟2:摺出線段BC的中垂線。作法:

將B點(diǎn)翻摺至C點(diǎn)，壓平后再展開，產(chǎn)生摺痕如圖示。第十一頁，共30頁。步驟3:摺出線段CA的中垂線。作法:

將C點(diǎn)翻摺至A點(diǎn)，壓平后再展開，產(chǎn)生摺痕如圖示。三條中垂線的交點(diǎn)即外心O第十二頁，共30頁。步驟4:比較OA，OB，OC三線段長度是否真的相同。第十三頁，共30頁。三角形三個內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)稱為三角形的內(nèi)心，常用字母I表示。ABCABCABC1.內(nèi)心的定義:內(nèi)心三內(nèi)角平分線交點(diǎn)即為“內(nèi)心”。I第十四頁，共30頁。2.內(nèi)心的位置:任意三角形的內(nèi)心均在三角形的內(nèi)部。ABCABC銳角三角形內(nèi)心ABCB

直角三角形內(nèi)心ABCABCABC

鈍角三角形內(nèi)心第十五頁，共30頁。(1)內(nèi)心到三邊等距離。(2)若以內(nèi)心為圓心，內(nèi)心到三邊的距離為半徑，可以畫出一個內(nèi)切圓。(3)稱為“內(nèi)心”，是因此點(diǎn)可畫出三角形的內(nèi)切圓。(4)任意一個三角形，均可找到其內(nèi)心及內(nèi)切圓，且為唯一。3.三角形的內(nèi)心與內(nèi)切圓:第十六頁，共30頁。(可用角平分線性質(zhì)證明)4.內(nèi)心重要性質(zhì):內(nèi)心到三邊等距離。角平分線性質(zhì):(1)角平分在線的任一點(diǎn)到此角的兩邊等距離。(2)若有一點(diǎn)到某角的兩邊等距離，則此點(diǎn)會在該角的角平分在線。第十七頁，共30頁。6.內(nèi)心?？贾攸c(diǎn):(1)三角形三內(nèi)角平分線的交點(diǎn)稱為內(nèi)心(I)。(2)內(nèi)心到三角形的三邊等距。(3)△ABC面積＝1/2×△ABC周長×內(nèi)切圓半徑即A=1/2ιr(設(shè)ι為△ABC周長，r為內(nèi)切圓半徑)(4)直角三角形的內(nèi)切圓半徑r=1/2(兩股和－斜邊)。(5)第十八頁，共30頁。按我(用GGB找內(nèi)心)7.動手摺紙找內(nèi)心步驟1:摺出角A的角平分線。

(將AC邊摺疊到與AB邊重合)步驟2:摺出角B的角平分線。

(將BC邊摺疊到與BA邊重合)

最后攤開如圖示第十九頁，共30頁。步驟3:摺出角C的角平分線。

(將CB邊摺疊到與CA邊重合)攤開，并將三條角平分線的交點(diǎn)命名為I點(diǎn)第二十頁，共30頁。步驟4:從I點(diǎn)做出與三邊垂直的虛線，比較這三條虛線是否真的等長。第二十一頁，共30頁。小灰鼠買了一塊奶酪，想分享給弟弟(小藍(lán)鼠)，妹妹(小黃鼠)一起吃，牠該如何切割這塊奶酪，使得大家所分配到的大小都一樣呢?解答:沿著三中線切割成6塊，每人拿2塊。第二十二頁，共30頁。重心三角形三條中線的交點(diǎn)稱為重心，常用字母G表示。1.重心的定義:2.重心的位置:任何三角形的重心均在三角形的內(nèi)部。

銳角三角形ABCABCBC

直角三角形ABCABCABC

鈍角三角形ABCABCABC第二十三頁，共30頁。(1)無法由“重心”畫出圓，與外心可畫出外接圓，內(nèi)心可畫出內(nèi)切圓不同。(2)稱為“重心”，是因?yàn)樵擖c(diǎn)為此三角形的質(zhì)量中心，若用手指頂在重心位置，三角形會保持平衡，不會傾斜。(3)重心到頂點(diǎn)的距離為重心到對邊中點(diǎn)的兩倍。3.重心重要特性:第二十四頁，共30頁。按我(用GGB找重心)步驟1:摺出BC邊的中線

(頂點(diǎn)A與BC邊中點(diǎn)的連線)。4.動手摺紙找重心第二十五頁，共30頁。步驟2:摺出AC邊的中線。

(頂點(diǎn)B與AC邊中點(diǎn)的連線)

三中線交點(diǎn)即為重心G步驟3:摺出AB邊的中線

(頂點(diǎn)C與AB邊中點(diǎn)的連線)

第二十六頁，共30頁。ABCGDEF

三中線將原△分割成6塊等面積△△GAF面積＝△GAE面積＝△GBF面積＝△GBD面積＝△GCD面積＝△GCE面積。

重心與三頂點(diǎn)的連線，將原△分割成3塊等面積△△GAB面積＝△GBC面積＝△GAC面積ABCG重心的三塊積重心的六塊積第二十七頁，共30頁。5.重心?？贾攸c(diǎn):(1)三角形三中線的交點(diǎn)稱為重心(

G)。(2)重心到一頂