Chap2Sec3 線性方程組的迭代解法n

楊東武ydw_1978@126.com機(jī)電工程學(xué)院上節(jié)課內(nèi)容回顧1.解線性方程組的平方根法對(duì)系數(shù)矩陣A有什么要求？2.解線性方程組的改進(jìn)的平方根法對(duì)系數(shù)矩陣A有什么要求？3.用追趕法解三對(duì)角方程組Ax=b時(shí)，對(duì)系數(shù)矩陣A有哪些要求？線性方程組的迭代解法迭代法概述迭代法的構(gòu)造迭代法的分量形式松弛法迭代法的收斂性線性方程組的迭代解法迭代法概述迭代法的構(gòu)造迭代法的分量形式松弛法迭代法的收斂性直接法比較適用于中小型方程組。對(duì)高階方程組，即使系數(shù)矩陣是稀疏的，但在運(yùn)算中很難保持稀疏性，因而有存儲(chǔ)量大，程序復(fù)雜等不足.迭代法則能保持矩陣的稀疏性，具有計(jì)算簡(jiǎn)單，編制程序容易的優(yōu)點(diǎn)，并在許多情況下收斂較快。故能有效地解一些高階方程組。求解線性方程組的兩種基本方法思路將等價(jià)改寫(xiě)為形式，建立迭代。從初值出發(fā)，得到序列。研究?jī)?nèi)容：

如何建立迭代格式？

收斂速度？

向量序列的收斂條件？

誤差估計(jì)？線性方程組的迭代解法迭代法概述迭代法的構(gòu)造迭代法的分量形式松弛法迭代法的收斂性雅克比迭代矩陣高斯-塞德?tīng)柕趴吮鹊鶤=LUD高斯-塞德?tīng)柕仃嚲€性方程組的迭代解法迭代法概述迭代法的構(gòu)造迭代法的分量形式松弛法迭代法的收斂性方程式右邊所有元素均已知,因此的值很容易通過(guò)編程求解。編程求乘積之和時(shí)必須跳過(guò)系數(shù)矩陣的主對(duì)角線元素或者兩個(gè)一維數(shù)組對(duì)應(yīng)元素的乘積之和，程序設(shè)計(jì)較為簡(jiǎn)單或者若按順序求解時(shí)，每個(gè)方程式右邊所有元素均已知,因此的值很容易通過(guò)編程求解。編程技巧：與共用同一個(gè)數(shù)組。編程求乘積之和時(shí)必須跳過(guò)系數(shù)矩陣的主對(duì)角線元素或者兩個(gè)一維數(shù)組對(duì)應(yīng)元素的乘積之和，程序設(shè)計(jì)較為簡(jiǎn)單編程技巧：與使用同一數(shù)組或者線性方程組的迭代解法迭代法概述迭代法的構(gòu)造迭代法的分量形式松弛法迭代法的收斂性稱(chēng)作松弛因子。通過(guò)選取合適的來(lái)加速收斂，這就是松弛法。0<<1低松弛法1<<2(逐次)超松弛法稱(chēng)為逐次超松弛迭代法（簡(jiǎn)稱(chēng)SOR法）寫(xiě)成分量形式，有或者線性方程組的迭代解法迭代法概述迭代法的構(gòu)造迭代法的分量形式松弛法迭代法的收斂性定理2.5一般迭代法對(duì)任意的初始向量

和

都收斂的充要條件是迭代矩陣

的譜半徑小于1，即。以上判定條件的缺點(diǎn):對(duì)于大型矩陣而言,譜半徑的求取比較麻煩。定義2.1設(shè),如果矩陣A的元素滿足條件即矩陣A的每一行對(duì)角元素的絕對(duì)值都嚴(yán)格大于同行的其它元素的絕對(duì)值之和，則稱(chēng)A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣。定理2.6如果為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，則A為非奇異矩陣。定理2.7若線性方程組Ax=b的系數(shù)矩陣A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，則解此方程組的雅可比迭代法和高斯-塞德?tīng)柕ǘ际諗?。定?.8若線性方程組Ax=b的系數(shù)矩陣A為對(duì)稱(chēng)正定矩陣，則解此方程組的高斯-塞德?tīng)柕ㄊ諗?。定?.9若線性方程組Ax=b的系數(shù)矩陣A為對(duì)稱(chēng)正定矩陣，且0<<2，則解此方程組的超松弛迭代法(SOR法)收斂。定理2.10若解線性方程組Ax=b的SOR法收斂，則0<<2。有關(guān)線性方程組迭代解法的三點(diǎn)說(shuō)明：（1）迭代終止判定：（2）由于受到機(jī)器字長(zhǎng)的限制，舍入誤差不可避免，因此，迭代解法的收斂精度要求一般不宜小于或接近機(jī)器精度。（3）當(dāng)給定的方程組不滿足迭代法的收斂條件時(shí)，適當(dāng)調(diào)整方程組中方程的次序或作一定的線性組合，就可能得到滿足迭代法收斂條件的同解方程組。例題7請(qǐng)寫(xiě)出以下線性方程組的雅可比迭代矩陣和高斯-塞德?tīng)柕仃嚥⑴袛嗟ǖ氖諗啃?。例題8設(shè)有線性方程組試分析高斯-塞德?tīng)柕ń獯朔匠探M的收斂性。復(fù)數(shù)求模作業(yè)6請(qǐng)寫(xiě)出用雅可比迭代法和高斯-塞德?tīng)柕ǚ謩e求解以下線性方程組時(shí)所對(duì)應(yīng)的迭代矩陣，并判斷迭代法的收斂性。（課本P63頁(yè)習(xí)題9）上機(jī)作業(yè)編寫(xiě)高斯順序消元法程序，并用該程序求解習(xí)題2，3，4等